高考试题数学文辽宁卷解析版.pdf

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1、来 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学(供文科考生使用)解析 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合1,3,5,7,9U，1,5,7A，则UC A（A）1,3 （B）3,7,9 （C）3,5,9 （D）3,9 解析：选 D.在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成.UC A（2）设,a b为实数，若复数121iiabi，则（A）31,22ab（B）3,1ab（C）13,22ab （D）1,3ab 解析：选 A.1231122iabiii ，因此31,22ab.（3）设nS为等比数列na的前

2、n项和，已知3432Sa，2332Sa，则公比q （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 解析：选 B.两式相减得，3433aaa，44334,4aaaqa.（4）已知0a，函数2()f xaxbxc，若0 x满足关于x的方程20axb，则下列选项的命题中为假命题的是 （A）0,()()xR f xf x （B）0,()()xR f xf x （C）0,()()xR f xf x （D）0,()()xR f xf x 解析：选 C.函数()f x的最小值是0()()2bff xa 等价于0,()()xR f xf x，所以命题C错误.（5）如果执行右面的程序框图，输入6,4nm，那么输出的p等

3、于（A）720 （B）360 （C）240 （D）120 解析：选 B.1 3 4 5 6360.p （6）设0,函数sin()23yx的图像向右平移43个单位后与原图像重合，则的最小值是（A）23 （B）43 （C）32 （D）3 解析：选 C.由已知，周期243,.32T（7）设抛物线28yx的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足，如果直线AF斜率为3，那么PF （A）4 3 （B）8 （C）8 3 （D）16 解析：选 B.利用抛物线定义，易证PAF为正三角形，则4|8sin30PF（8）平面上,O A B三点不共线，设,OAa OBbuuu rr uuu rr,则OA

4、B的面积等于 （A）222()aba b rrr r （B）222()aba b rrr r （C）2221()2aba b rrr r （D）2221()2aba b rrr r 解析：选 C.（9）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）2 （B）3 （C）312 （D）512 解析：选 D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：22221(0,0)xyabab，则一个焦点为(,0),(0,)F cBb 一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac ，2bac 220caac，解得512cea.（1

5、0）设25abm，且112ab，则m （A）10 （B）10 （C）20 （D）100 解析：选 A.211log2log5log 102,10,mmmmab 又0,10.mm Q（11）已知,S A B C是球O表面上的点，SAABC平面，ABBC，1SAAB，2BC，则球O的表面积等于（A）4 （B）3 （C）2 （D）解析：选 A.由已知，球O的直径为22RSC，表面积为244.R（12）已知点P在曲线41xye上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是 (A)0,4)(B),)4 2 （C）3(,24 (D)3,)4 解析：选 D.2441212xxxxxeyeeee ，12,1

6、0 xxeye Q，即1tan0，3,)4 第卷 本试卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）三张卡片上分别写上字母 E、E、B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词 BEE的概率为 。解析：填13 题中三张卡片随机地排成一行，共有三种情况：,BEE EBE EEB，概率为：1.3（14）设nS为等差数列na的前n项和，若36324SS，则9a 。解析：填 15.31613 23326 56242SadSad,解得112ad，91815

7、.aad （15）已知14xy 且23xy ，则23zxy的取值范围是 .（答案用区间表示）解析：填(3,8).利用线性规划，画出不等式组1423xyxyxyxy 表示的平面区域，即可求解.（16）如图，网格纸的小正方形的边长是 1，在其上用粗线画 出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的 长为 .解析：填2 3画出直观图：图中四棱锥PABCD即是，所以最长的一条棱的长为2 3.PB 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）在ABC中，abc、分别为内角A BC、的对边，且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（）求A的大小；（）

8、若sinsin1BC，试判断ABC的形状.解：（）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22 即bccba222 由余弦定理得Abccbacos2222 故120,21cosAA （）由（）得.sinsinsinsinsin222CBCBA 又1sinsinCB，得21sinsinCB 因为900,900CB，故BC 所以ABC是等腰的钝角三角形。（18）（本小题满分 12 分）为了比较注射 A,B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选 200 只家兔做实验，将这 200只家兔随机地分成两组。每组 100 只，其中一组注射药物 A，另一组注射药物 B。下表 1 和表 2 分别是注射药物

9、 A和药物 B后的实验结果。（疱疹面积单位：2mm）（）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（）完成下面2 2列联表，并回答能否有 99.9 的把握认为“注射药物 A后的疱疹面积与注射药物 B后的疱疹面积有差异”。附：22()()()()()n adbcKab cdac bd 解：（）图 1 注射药物 A后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 图 2 注射药物 B后皮肤疱疹面积的频率分布直方图 可以看出注射药物 A后的疱疹面积的中位数在 65 至 70 之间，而注射药物 B后的疱疹面积的中位数在 70 至 75 之间，所以注射药物 A后疱疹面积的中位数小于注射药物 B后疱

10、疹面积的中位数。（）表 3 疱疹面积小于270mm 疱疹面积不小于270mm 合计 注射药物A 注射药物B 合计 由于828.102K，所以有 99.9%的把握认为“注射药物 A后的疱疹面积与注射药物 B后的疱疹面积有差异”.（19）（本小题满分 12 分）如图，棱柱111ABCABC的侧面11BCC B是菱形，11BCAB（）证明：平面1ABC平面11ABC；（）设D是11AC上的点，且1/AB平面1BCD，求11:AD DC的值.解：（）因为侧面 BCC1B1是菱形，所以11BCCB 又已知BBCBABACB1111,且 所又CB1平面 A1BC1，又CB1平面 AB1C，所以平面CAB1

11、平面 A1BC1.（）设 BC1交 B1C于点 E，连结 DE，则 DE是平面 A1BC1与平面 B1CD的交线，因为 A1B/平面 B1CD，所以 A1B/DE.又 E是 BC1的中点，所以 D为 A1C1的中点.即 A1D：DC1=1.（20）（本小题满分 12 分）设1F，2F分别为椭圆2222:1xyCab(0)ab 的左、右焦点，过2F的直线l与椭圆C 相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60o，1F到直线l的距离为2 3.（）求椭圆C的焦距；（）如果222AFF Buuuu ruuu u r,求椭圆C的方程.解：（）设焦距为2c，由已知可得1F到直线l的距离32 3,2.cc故 所以

12、椭圆C的焦距为4.（）设112212(,),(,),0,0,A x yB xyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx 联立2222422223(2),(3)4 330.1yxabyb ybxyab得 解得221222223(22)3(22),.33babayyabab 因为22122,2.AFF Byy uuuu ruuu u r所以 即2222223(22)3(22)2.33babaabab 得223.4,5.aabb而所以 故椭圆C的方程为221.95xy （21）（本小题满分 12 分）已知函数2()(1)ln1f xaxax.（）讨论函数()f x的单调性；（）设2a ，证明：对任意

13、12,(0,)x x，1212|()()|4|f xf xxx.解：()f(x)的定义域为(0,+)，2121()2aaxafxaxxx .当a0 时，()fx0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1 时，()fx0,故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0 时，令()fx0,解得x=12aa.当x(0,12aa)时,()fx0；x(12aa，+)时，()fx0,故f(x)在（0,12aa）单调增加，在（12aa，+）单调减少.()不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所以1212()()4f xf xxx等价于 12()()f xf x4x14x2,即f(x2)+4x

14、2f(x1)+4x1.令g(x)=f(x)+4x,则 1()2ag xaxx+4 2241axxax.于是()g x2441xxx2(21)xx0.从而g(x)在（0，+）单调减少，故g(x1)g(x2)，即 f(x1)+4x1f(x2)+4x2，故对任意x1,x2(0,+)，1212()()4f xf xxx.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。（22）（本小题满分 10 分）选修 41：几何证明选讲 如图，ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点.E（）证明：ABEADC

15、;（）若ABC的面积12SAD AE，求BAC的大小.证明：（）由已知条件，可得BAECAD.因为AEB与ACB是同弧上的圆周角，所以AEBACD.故ABEADC.（）因为ABEADC，所以ABADAEAC，即ABACADAE.又S12ABACsin BAC，且S12ADAE，故ABACsin BACADAE.则 sin BAC1，又BAC为三角形内角，所以BAC90.（23）（本小题满分 10 分）选修 44：坐标系与参数方程 已知P为半圆C：cossinxy（为参数，0）上的点，点A的坐标为（1，0），O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为3.（）以O为极点，x轴的

16、正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标;（）求直线AM的参数方程.解：()由已知，M点的极角为3，且M点的极径等于3，故点M的极坐标为(3,3)()M点的直角坐标为(3,66),A(l,0)，故直线AM的参数方程为 1(1).63.6xtyt(t为参数).(24)（本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知a,b,c均为正数，证明：a2+b2+c2+2111abc 63，并确定a,b,c为何值时，等号成立.证明：(证法一)因为a,b,c均为正数，由平均值不等式得 a2+b2+c2233()abc 111abc 133()abc 所以2111abc 239()abc.故a2+b2+c

17、2+2111abc 233()abc239()abc 又233()abc239()abc2 276 3，所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,式和式等号成立.当且仅当22333()9()abcabc时,式等号成立.即当且仅当a=b=c=143时,原式等号成立.(证法二)因为 a,b,c均为正数,由基本不等式 a2+b22ab,b2+c22bc c2+a22ac.所以a2+b2+c2ab+bc+ac 同理222111abc111abbcac 故a2+b2+c2+(111abc)2 ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac 63.所以原不等式成立 当且仅当a=b=c时,式和式等号成立,当且仅当a=b=c,(ab)2=(bc)2=(ac)2=3 时,式等号成立.即当且仅当a=b=c=143时,原式等号成立.