2023年三年高考数学真题分类解析：专题06-导数的几何意义.pdf

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1、 专题 06 导数的几何意义 考纲解读明方向 考点 内容解读 要求 常考题型 预测热度 1.导数的概念与几何意义 1.了解导数概念的实际背景 2.理解导数的几何意义 选择题、填空题 2.导数的运算 1.能根据导 数定义 求函数 y=C(C 为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数 2.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数 选择题、解答题 本部分主要是对导数概念及其运算的考查,以导数的运算公式和运算法则为基础,以导数的几何意义为重点.1.导数的几何意义最常见的是求过曲线上某点的切线的斜率、方程、斜率与倾斜角的关系、切点的坐标,或以平行、垂直直线的斜率间的

2、关系为载体求字母的取值等.2.导数的运算是每年必考的内容,一般不单独考查,而在考查导数的应用时与单调性、极值与最值结合出题考查.3.本节内容在高考中分值为 5 分左右,属于容易题.2018年高考全景展示 1.【2018 年理新课标 I 卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A.B.C.D.【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.2【2018 年全国卷理】曲

3、线在点处的切线的斜率为，则_ 【答案】【解析】分析：求导，利用导数的几何意义计算即可。详解：，则，所以，故答案为-3.点睛：本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题。3【2018 年理数全国卷 II】曲线在点处的切线方程为_【答案】【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.详解：点睛：求曲线的切线要注意“过点 P的切线”与“在点 P处的切线”的差异，过点 P的切线中，点 P不一定是切点，点 P也不一定在已知曲线上，而在点 P处的切线，必以点 P为切点.4.【2018 年理数天津卷】已知函数，其中 a1.（I）求函数的单调区间；（II）若曲线在点处

4、的切线与曲线在点 处的切线平行，证明；（III）证明当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线.【答案】()单调递减区间，单调递增区间为；()证明见解析；()证明见解析.【解析】分析：（I）由题意可得.令，解得 x=0.据此可得函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）曲线在点处的切线斜率为.曲线在点处的切线斜率本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方

5、程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某 为.原问题等价于.两边取对数可得.（III）由题意可得两条切线方程分别为 l1：.l2：.则原问题等价于当时，存在，使得 l1和 l2重合.转化为当时，关于 x1的方程存在实数解，构造函数，令，结合函数的性质可知存在唯一的 x0，且 x00，使得，据此可证得存在实数 t，使得，则题中的结论成立.详解：（I）由已知，有.令，解得 x=0.由 a1，可知当 x变化时，的变化情况如下表：x 0 0+极小值 所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.（II）由，可得曲线在点处的切线斜率为.由，可得曲线在点处的切线斜率为.因为这两条切线平行，故有，即.两边取以 a 为

6、底的对数，得，所以.（III）曲线在点处的切线 l1：.本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某 曲线在点处的切线 l2：.要证明当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线，只需证明当时，存在，使得 l1和 l2重合.即只需证明当时，方程组有解，由得，代入，得.因此，只需证明当时，关于 x1的方程存在实数解.设函数，即

7、要证明当时，函数存在零点.，可知时，；时，单调递减，又，故存在唯一的 x0，且 x00，使得，即.由此可得在上单调递增，在上单调递减.在处取得极大值.因为，故，所以.下面证明存在实数 t，使得.由（I）可得，当时，有，所以存在实数t，使得，因此，当时，存在，使得.所以，当时，存在直线 l，使 l 是曲线的切线，也是曲线的切线.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数

8、的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某 所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用 5【2018 年理北京卷】设函数=（）若曲线 y=f（x）在点（1，）处的切线与 轴平行，求 a；（）若在 x=2 处取得极小值，求

9、 a 的取值范围【答案】(1)a 的值为 1 (2)a 的取值范围是（，+）（）由（）得 f （x）=ax2（2a+1）x+2ex=（ax 1）(x 2)ex 若 a，则当 x(，2)时，f(x)0所以 f(x)0 在 x=2 处取得极小值 若 a，则当 x(0，2)时，x 20，ax1 x 10所以 2不是 f(x)的极小值点 综上可知，a 的取值范围是（，+）点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.2017年高考全景展示 本初等函数的导数

10、公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某 1.【2017 山东，理 20】已知函数 22cosf xxx，cossin22xg xexxx，其中2.71828e 是自然对数的底数.（）求曲线 yf x在点,f处的切线方程；（）令 h xg xafxaR，讨论 h x的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.【答案】（）222yx.（）综上所述：当0

11、a 时，h x在,0上单调递减，在0,上单调递增，函数 h x有极小值，极小值是 021ha ；当01a 时，函数 h x在,lna和0,lna和0,上单调递增，在ln,0a上单调递减，函数 h x有极大值，也有极小值，极大值是 2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 极小值是 021ha ；当1a 时，函数 h x在,上单调递增，无极值；当1a 时，函数 h x在,0和ln,a 上单调递增，在0,lna上单调递减，函数 h x有极大值，也有极小值，极大值是 021ha ；极小值是 2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa.本初等函数的导数公式和导数的四则运算

12、法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某 试题解析：（）由题意22f又 22sinfxxx，所以2f，因此 曲线 yf x在点,f处的切线方程为 222yx，即 222yx.（）由题意得 2()(c o ss i n22)(2 c o s)xh xexxxa xx，因为 cossin22sincos222sinxxhxexxxexxaxx 2sin2sinxexxa

13、xx 2sinxeaxx，令 sinm xxx 则 1cos0m xx 所以 m x在R上单调递增.因为(0)0,m 所以 当0 x 时，()0,m x 当0 x时，0m x (1)当0a 时，xea0当0 x 时，0h x，h x单调递减，当0 x 时，0h x，h x单调递增，所以 当0 x 时 h x取得极小值，极小值是 021ha ；本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线

14、在点处的切线方程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某 (2)当0a 时，ln2sinxah xeexx 由 0h x 得 1lnxa，2=0 x 当01a 时，ln0a，当,lnxa 时，ln0,0 xaeehx，h x单调递增；当ln,0 xa时，ln0,0 xaeehx，h x单调递减；当0,x时，ln0,0 xaeehx，h x单调递增.所以 当lnxa时 h x取得极大值.极大值为 2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa，当0 x 时 h x取到极小值，极小值是 021ha ；当1a 时，ln0a，所以 当,x 时，0h x，函数 h x在,上单调递增，无极值；当1a

15、时，ln0a 所以 当,0 x时，ln0 xaee，0,h xh x 单调递增；当0,lnxa时，ln0 xaee，0,h xh x 单调递减；当ln,xa时，ln0 xaee，0,h xh x 单调递增；所以 当0 x 时 h x取得极大值，极大值是 021ha ；当lnxa时 h x取得极小值.极小值是 2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa.综上所述：当0a 时，h x在,0上单调递减，在0,上单调递增，函数 h x有极小值，极小值是 021ha ；本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切

16、点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某 当01a 时，函数 h x在,lna和0,lna和0,上单调递增，在ln,0a上单调递减，函数 h x有极大值，也有极小值，极大值是 2lnln2lnsin lncos ln2haaaaaa 极小值是 021ha ；当1a 时，函数 h x在,上单调递增，无极值；当1a 时，函数 h x在,0和ln,a 上单调递增，在0,lna上单调递减，函数 h x有极大值，也有极小值，极大值是 021ha ；极小值是 2l

17、nln2lnsin lncos ln2haaaaaa.【考点】1.导数的几何意义.2.应用导数研究函数的单调性、极值.3.分类讨论思想.【名师点睛】1.函数 f(x)在点 x0处的导数 f (x0)的几何意义是曲线 yf(x)在点 P(x0，y0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 y y0f (x0)(x x0)注意：求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过点 P 的切线的不同 2.本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，

18、或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.2.【2017 北京，理 19】已知函数()e cosxf xxx（）求曲线()yf x在点(0,(0)f处的切线方程；（）求函数()f x在区间0,2上的最大值和最小值【答案】()1y；（）最大值 1；最小值2.【解析】本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为答

19、案点睛该题考查的是有关曲线在某 （）设()e(cossin)1xh xxx，则()e(cossinsincos)2e sinxxh xxxxxx .当(0,)2x时，()0h x，所以()h x在区间0,2上单调递减.所以对任意(0,2x有()(0)0h xh，即()0fx.所以函数()f x在区间0,2上单调递减.因此()f x在区间0,2上的最大值为(0)1f，最小值为()22f.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的最值.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点是需要求二阶导数，因为 fx不能判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设 h

20、xfx，再求 h x，一般这时就可求得函数 h x的零点，或是 h x恒成立，这样就能知道函数 h x的单调性，根据单调性求最值，从而判断 yf x的单调性，求得最值.2016年高考全景展示 1.【2016 高考山东理数】若函数()yf x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()yf x具有 T性质.下列函数中具有 T性质的是（）（A）sinyx （B）lnyx （C）exy （D）3yx【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及

21、其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某 值的乘积为负一.当sinyx时，cosyx，有cos0 cos1，所以在函数sinyx图象存在两点0,xx使条件成立，故 A 正确；函数3ln,xyx yeyx的导数值均非负，不符合题意，故选 A.考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义.【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考

22、命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想解题，降低难度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等.2.【2016 年高考四川理数】设直线 l1，l2分别是函数 f(x)=ln,01,ln,1,xxx x 图象上点 P1，P2处的切线，l1与 l2垂直相交于点 P，且 l1，l2分别与 y 轴相交于点 A，B，则PAB 的面积的取值范围是()（A）(0,1)（B）(0,2)（C）(0,+)（D）(1,+)【答案】A【解析】试题分析：设 111222,ln,lnP xxPxx（不

23、妨设121,01xx），则由导数的几何意义易得切线12,ll的斜率分别为121211,.kkxx由已知得12122111,1,.k kx xxx 切线1l的方程分别为1111lnyxxxx，切线2l的方程为2221lnyxxxx，即1111lnyxxxx.分别令0 x 得 110,1ln,0,1ln.AxBx 又1l与2l的交点为2111221121,ln11xxPxxx，11x，21122112111211PABABPxxSyyxxx，本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关

24、系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某 01PABS 故选 A 考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B坐标，由两直线相交得出P点坐标，从而求得面积，题中把面积用1x表示后，可得它的取值范围解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用 3

25、.【2016 高考新课标 3 理数】已知 f x为偶函数，当0 x 时，()ln()3f xxx，则曲线 yf x 在点(1,3)处的切线方程是_【答案】21yx 考点：1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0 x 时，函数()yf x，则当0 x 时，求函数的解析式”有如下结论：若函数()f x为偶函数，则当0 x 时，函数的解析式为()yf x；若()f x为奇函数，则函数的解析式为()yfx 4.【2016 年高考北京理数】设函数()a xf xxebx，曲线()yf x在点(2,(2)f处的切线方程为(1)4yex，（1）求a，b的值；（2）求

26、()f x的单调区间.【答案】（）2a，be；（2）)(xf的单调递增区间为(,).【解析】试题分析：（1）根据题意求出()fx，根据(2)22fe，(2)1fe ，求a，b的值；本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某 （2）由题意知判断)(xf，即判断11)(xexxg的单调性，知()0g x，即()0fx，由此求得()f x的

27、单调区间.所以，当)1,(x时，0)(xg，)(xg在区间)1,(上单调递减；当),1(x时，0)(xg，)(xg在区间),1(上单调递增.故1)1(g是)(xg在区间),(上的最小值，从而),(,0)(xxg.综上可知，0)(xf，),(x，故)(xf的单调递增区间为),(.考点：导数的应用.【名师点睛】用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于 0 的点外，还要注意定义区间内的间断点 本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数本部分主要是对导数概念及其运算的考查以导数的运斜率与倾斜角的关系切点的坐标或以平行垂直直线的斜率间的关系为载体求字母的取值等导数的运算是每年必考的内易题年高考全景展示年理新课标卷设函数若为奇函数则曲线在点处的切线方程为答案点睛该题考查的是有关曲线在某