高考数学一轮复习讲练测专题28函数与方程文.pdf

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1、2020 年高考数学一轮复习讲练测 专题 2.8 函数与方程（讲）文（含解析）1 专题 2。8 函数与方程 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。知识点一 函数的零点(1)函数零点的概念 对于函数yf（x)，把使f（x)0 的实数x叫做函数yf(x）的零点。（2）函数零点与方程根的关系 方程f(x)0 有实数根函数yf(x）的图象与x轴有交点函数yf（x）有零点。（3)零点存在性定理 如果函数yf(x)满足:在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线；f（a)f(b）0；则函数yf（x）在（a，b)上存在零点，即存在c(a，b），使得f（c)

2、0，这个c也就是方程f（x)0 的根.知识点二 二次函数yax2bxc(a0）的图象与零点的关系 b24ac 0 0 0 二次函数 yax2bxc(a0)的图象 2020 年高考数学一轮复习讲练测 专题 2.8 函数与方程（讲）文（含解析）2 与x轴的交点（x1，0)，(x2，0）(x1,0）无交点 零点个数 2 1 0【特别提醒】1.若连续不断的函数f（x)在定义域上是单调函数，则f(x）至多有一个零点，函数的零点不是一个“点，而是方程f（x）0 的实根.2.由函数yf（x）（图象是连续不断的）在闭区间a，b 上有零点不一定能推出f(a)f(b)0，如图所示,所以f(a)f(b）0 是yf(

3、x）在闭区间a,b 上有零点的充分不必要条件.考点一 函数零点所在区间【典例 1】(2019河北正定中学模拟）若x0是方程错误!xx13的解,则x0属于区间（)A.错误!B。错误!C.错误!D.错误!【答案】C 【解析】令g（x）错误!x,f（x）x错误!,则g（0)1f(0）0，g错误!错误!12f错误!错误!13,g错误!错误!13f错误!错误!13,结合图象可得错误!x0错误!。【方法技巧】确定函数f(x）的零点所在区间的常用方法 (1）利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf（x）在区间a，b上的图象是否连2020 年高考数学一轮复习讲练测 专题 2.8 函数与方程（讲）文（含解析）3

4、 续，再看是否有f（a）f（b）0。若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点（2)数形结合法:通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断【变式 1】（2019山西忻州一中模拟)函数f(x)ln x错误!的零点所在的区间为（)A.（0,1）B.（1,2）C.(2，3)D.(3，4）【答案】B【解析】易知f(x）ln x错误!在定义域(0,）上是增函数，又f(1）21，b1，b0 【答案】C【解析】当x0 时，yf(x)axbxaxb（1a）xb0，得x，2020 年高考数学一轮复习讲练测 专题 2.8 函数与方程（讲）文（含解析）5 则yf（x)axb最多有一个零点；当x

5、0 时，yf（x)axbx3（a+1）x2+axaxbx3(a+1)x2b，2(1)yxax，当a+10，即a1 时,y0,yf(x）axb在0，+）上单调递增，则yf(x）axb最多有一个零点，不合题意；当a+10,即a1 时,令y0 得x（a+1，+），此时函数单调递增，令y0 得x0,a+1），此时函数单调递减，则函数最多有 2 个零点。根据题意，函数yf(x)axb恰有 3 个零点函数yf(x)axb在（，0）上有一个零点,在0，+)上有 2 个零点,如图：0 且,解得b0，1a0,b(a+1）3，则a1，b0。故选 C【方法技巧】解决此类问题通常先对解析式变形,然后在同一坐标系内画出

6、函数的图象，数形结合求解【变式 3】(2018全国卷)已知函数f（x）错误!g（x）f(x)xa.若g(x)存2020 年高考数学一轮复习讲练测 专题 2.8 函数与方程（讲）文（含解析）6 在 2 个零点，则a的取值范围是(）A 1，0)B0,)C 1,)D 1，）【答案】C【解析】令h（x）xa,则g(x)f（x）h(x）在同一坐标系中画出yf(x),yh（x)的示意图,如图所示若g(x）存在 2 个零点，则yf（x)的图象与yh(x）的图象有 2个交点，平移yh（x)的图象，可知当直线yxa过点（0，1）时,有 2 个交点，此时 10a，a1.当yxa在yx1 上方，即a1 时，仅有 1

7、 个交点，不符合题意当yxa在yx1 下方，即a1 时,有 2 个交点，符合题意综上，a的取值范围为 1，)故选 C。考点四 根据函数零点的范围求参数范围【典例 4】（2019辽宁抚顺一中模拟）若函数f（x)(m2）x2mx（2m1）的两个零点分别在区间（1，0）和区间(1，2)内，则m的取值范围是_【答案】错误!【解析】依题意，结合函数f（x)的图象分析可知m需满足错误!即错误!解得错误!m错误!.【方法技巧】解决此类问题应先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理,建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围。【变式 4】(2019河北保定一中模拟)设函数f（x）错误!g(x)f(x

8、）4mxm，其中m0。若函数g（x)在区间（1,1)上有且仅有一个零点，则实数m的取值范围是（)2020 年高考数学一轮复习讲练测 专题 2.8 函数与方程（讲）文（含解析）7 A1错误!B.错误!C1错误!D.错误!【答案】C【解析】作出函数yf（x）的大致图象,如图所示函数g（x）的零点个数函数yf（x)的图象与直线y4mxm的交点个数直线y4mxm过点错误!，当直线y4mxm过点(1，1)时，m错误!；当直线y4mxm与曲线y错误!1(1x0）相切时，设切点为错误!，由y错误!得切线的斜率为错误!，则错误!错误!，解得x0错误!,所以 4m错误!4，得m1.结合图象可知当m错误!或m1

9、时，函数g(x)在区间(1,1)上有且仅有一个零点 考点五 求函数多个零点（方程根)的和【典例 5】(2019石家庄质量检测)已知M是函数f(x)|2x38sin x（xR)的所有零点之和，则M的值为_【答案】12【解析】将函数f(x)2x3|8sin x的零点转化为函数h（x）|2x3与g（x）8sin x图象交点的横坐标在同一平面直角坐标系中,画出函数h（x）与g(x)的图象，如图，因为函数h(x)与g（x）的图象都关于直线x错误!对称，两个函数的图象共有 8 个交点,所以函数f（x)的所有零点之和M8错误!12。2020 年高考数学一轮复习讲练测 专题 2.8 函数与方程（讲）文（含解析）8 【方法技巧】求函数零点的和，求函数的多个零点(或方程的根以及直线ym与函数图象的多个交点横坐标）的和时，应考虑函数的性质，尤其是对称性特征（这里的对称性主要包括函数本身关于点的对称，直线的对称等）.【变式 5】(2019浙江诸暨中学模拟）已知函数f(x)错误!g(x）错误!则函数f(g（x)的所有零点之和是_【答案】错误!错误!【解析】由f（x）0,得x2 或x2，由g(x)2,得x1错误!，由g(x)2,得x错误!，所以函数f（g（x)）的所有零点之和是错误!1错误!错误!错误!。