高考数学数形结合思想方法的应用.pdf

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1、高考数学第二轮微专题复习 1 课题 数形结合思想方法的应用 内容分析 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合。1.数形结合思想解决的问题有以下几种：（1）构建函数模型并结合其函数图像求参数的取值范围、研究方程根的范围、研究量与量之间的大小关系、研究函数的最值问题和证明不等式；（2）构建立体几何模型研究代数问题；（3）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；（4）构建方程模型，求根的个数；（5）研究图形的形状、位置关系、性质等。2.数形结合思想是解答高考数学试题的一

2、种常用的方法与技巧，特别是在解填空题、选择题时发挥着奇特功效。应注意：（1）准确画出函数图像，注意函数的定义域；（2）用图像法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数，首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时要先作适当变形），然后作出两个函数的图像，由图求解。（3）要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征、要恰当引参，合理用参，建立关系，做好转化、要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏、精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，以便于问题解决。复习要求 高考强化对数形结合思想方法的考查，是考察学生潜能的有效途径。试题以选择题或填空题的形式

3、居多，涉及的内容包罗万象，题目难度大多在中等以上，同时也兼顾对函数与方程、等价转化思想方法的考查。复习中要对一些典型例题进行剖析，让学生体会图形在解题中的作用，然后辅以跟进练习进行训练，有助于学生更好地运用数形结合的思想方法，更好地运用图形解题。复习重点与难点 重点是引导学生善于联想、等价转化和准确规范地作出图形。难点是用代数的方法分析图形，深入探究图形的内在关系；通过图形直观，深刻理解代数式中的隐性关系。例题分析 一、运用数形结合思想方法解题时应注意作图的准确性 例 题 1.（1）函数f(x)=2xx2零点的个数为 ；函数g(x)=sinx lgx零点的个数为 ；函数h(x)=sinx ta

4、nx (2 0时，f(x)=log54x(54)x，则函数f(x)在 R上的零点的个数为 。答案 （1）3，3，1 （2）5 简析：一般的，关于函数零点的个数问题，有三种处理方式（1）作出函数y=f(x)的图像，考察其与 x 轴交点的个数；（2）转化为方程h(x)=g(x)的解的个数判断；（3）转化为h(x)=g(x)的形式，在同一坐标系中分别画出y=h(x)与y=g(x)的图像，考察它们交点的个数。本题是道易错题，会因为随意画图像而导致交点个数出错。第（1）题易错成 2、1、3；第（2）题有两个地方容易忽略，一是定义在 R上的奇函数f(x)，f(0)=0可能会遗漏；二是x 0时，f(x)=l

5、og54x(54)x，转化为y=54 与y=(54)的交点，其实它们有两个交点，高考数学第二轮微专题复习 2 均在y=x上，容易想当然画成一个。提醒学生借助图形解题一定要关注细节，避免图形失真。思考题：函数y=f(x)在定义域内单调递增，若y=f(x)与 y=1()图像有公共点，证明公共点一定在y=x上；若函数y=f(x)在定义域内单调递减呢？二、数形结合思想方法在不等式求最值问题、求参数、代数式的取值范围、最值问题中的应用 例 题 2.若 x,y 满足约束条件x 1 0 x y 0 x+y 5 0，则（1）+12的取值范围为 ；（2）2+2的取值范围为 。答案 （1）(，1 8,+)（2）2

6、,174 简析：正确地作出不等式组表示的平面区域，第（1）题，将目标表达式+12变形为+12+1,联想到区域内的动点（x,y）与定点（2，-1）连线的斜率；第（2）题将目标表达式）2+2 变形为+的形式，再换元令=,()=+1，结合斜率与耐克函数图像求解。三、数形结合思想方法在解决与函数有关的问题、方程根的相关问题中的应用 例 题 3.若方程lg(x2+3x m)=lg(3 x)在x(0,3）内有唯一解，求实数 m 的取值范围。答案 (3 ,0 1 简 析：方 程 lg(x2+3x m)=lg(3 x)在 x(0,3）内 有 唯 一 解 等 价 于 混 合 组2+3 00 32+3=3 有唯一

7、解，等价于0 32+43=有唯一解，作出二次函数y=2+43在（0，3）上的图像，考查直线y=m与它的交点情况。本题在考查数形结合的思想方法同时，更多地考查了等价转化的数学思想方法。例 题4.（1）已 知 函 数 f(x)=|lg|x 1|(x 1)0 (x=1),若 关 于x的 方 程2()()0f xa f xb (R)ab、有且只有 7 个不同实数根的充要条件是 ;答案 a 0 且 b=0 简析：先作出y=f(x)图像，再换元令f(x)=t，方程转化为2+=0，考察二次方程的根以及y=f(x)与y=t 的交点情况。（2）已知函数f(x)=x|x a|2 有三个零点，则实数 a 的取值范围

8、是 。答案 (2 2 ,+)简析：方法一：作出函数f(x)=2 2 ()2+2 (0 ,=0 ,0 三种情况，考察y=f(x)的图像与 x 轴的交点；方法二：转化为x|x a|2=0 ，即 x|x a|=2 ，|=2，研究y=|与y=2的公共点；高考数学第二轮微专题复习 3 方法三：在方法二的基础上继续等价转化|=2 等价于x a=2，即a=x+2 和a=x 2解的情况，再作y=x 1 与y=a 的图像，考察交点。例题 5.若函数()f x是定义在R上的奇函数，当0 x 时 2221()(23)2f xxaxaa,若对任意的xR，都有(1)()f xf x，求实数a的取值范围。答案 66 ,6

9、6 简析：函数f(x)的图像如右图所示，若对任意的xR，都有(1)()f xf x 等价 于将函数f(x)的图像向右平移 1 个单位后，图像在函数f(x)的图像的下方，即只要1 3232 即可。四、数形结合思想方法在解析几何中的应用 例 题6.5420172016|,22yxyxA，ayxyxB201722016|,，且集合BA，其中求实数a的取值范围。答案 a 2 简析：先换元，令|2016|=,|2017|=，则转化为2+245 (0,0)与 u+v a的关系。例 题 7.已知常数1212,xxyy 满足：22111xy，22221xy，12120.5x xy y，则11221122xyx

10、y的最大值为 。答案 3+2 简析：记=(1,1),=(2 2)知|=|=1,=12，知向量,的夹角为MON=60，又11221122xyxy的几何 意义是点 M、N 到直线x+y=1 的距离之和，结合图像，知11221122xyxy的最大值为 3+2 五、数形结合思想方法在三角函数问题中的应用 例 题 8.设(0，2)，试证明：sin .简析：构造单位圆，利用三角函数线。因为 扇形 所以 12 12 12 MP 即sin 0,若|()|恒成立，则实数 a 的取值范围是 .答案 2 ,0 6已知圆 C：22(2)1xy，P(x,y)为圆 C上任意一点，则223xyxy的取值范围是（）.A.(3,2 B.1,2 C.(0,2 D.3(,12 答案 B 7.函数 f()=2+的最大值为 .答案 1 8.求y=(+3)2+(2)2的最值.答案 最大值为 17+4 13，最小值是17 4 13 9.定义：123min,naaaaL表示123,naaaaL中的最小值 若()f x 2min,5,21xx xx，对于任意的nN，均有(1)(2)(21)(2)()fffnfnkf n L成立，则常数k的取值范围是 .答案 12 ,0 10.对，记，则函数的最大值 .答案 3 Rba,babbaaba,min2()min|2|,4f xxx