高考数学一轮复习专题05函数的单调性与最值.pdf

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1、2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）1 专题 05 函数的单调性与最值 最新考纲 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2。会运用基本初等函数的图象分析函数的性质。基础知识融会贯通 1函数的单调性（1）单调函数的定义 (2)单调区间的定义 如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf（x)在这一区间具有（严格的)单调性，区间D叫做yf(x）的单调区间 2函数的最值 前提 设函数yf（x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件（1）对于任意的xI，都有f（x）M；(2)存在x0I,使得f（x0)M(3)对于任意的xI，都有f（x）M

2、；(4)存在x0I,使得f（x0)M 结论 M为最大值 M为最小值 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）2【知识拓展】函数单调性的常用结论(1)对x1，x2D（x1x2)，错误!0f(x）在D上是增函数，错误!0f（x）在D上是减函数（2）对勾函数yx错误!(a0）的增区间为(，错误!和错误!，)，减区间为错误!，0）和(0，错误!（3）在区间D上，两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数(4）函数f（g(x）的单调性与函数yf(u）和ug（x）的单调性的关系是“同增异减”重点难点突破【题型一】确定函数的单调性(区间)命题点 1 给出具体解析式的函数

3、的单调性【典型例题】下列函数中,值域为 R且在区间(0，+)上单调递增的是（）Ayx2+2x By2x+1 Cyx3+1 Dy（x1）x【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，yx2+2x（x+1）21，其值域为 1，+），不符合题意；对于B，y2x+1，其值域为（0，+),不符合题意；对于C，yx3+1，值域为 R且在区间（0,+）上单调递增,符合题意;对于D,y（x1)x,在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；故选：C 【再练一题】已知函数f（x)ln，则（）Af(x)是奇函数，且在（，+）上单调递增 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）3 Bf（x

4、）是奇函数，且在(,+)上单调递减 Cf（x)是偶函数，且在（0，+）上单调递增 Df（x）是偶函数，且在（0,+)上单调递减【解答】解：根据题意，函数f（x）ln，其定义域为 R,有f（x）lnlnf(x）,则函数f（x）为偶函数,设t，ylnt，对于t,则导数t，当x0 时，t0,即函数t在区间(0，+）上为增函数,又由ylnt在区间（0,+）上为增函数，则函数f（x)ln在 0，+）上为增函数，故选：C 命题点 2 解析式含参数的函数的单调性【典型例题】定义在R的函数f(x）x3+m与函数g（x)f（x)+x3+x2kx在 1，1上具有相同的单调性，则k的取值范围是(）A（，2 B 2，

5、+）C 2，2 D（，22，+）【解答】解：根据题意，函数f(x）x3+m，其定义域为 R，则R上f(x）为减函数,g（x）f(x）+x3+x2kxx2kx+m在 1，1 上为减函数,必有x1，解可得k2，2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）4 即k的取值范围为2,+）；故选：B 【再练一题】已知函数f（x）（a0 且a1）在 R上单调递减,则a的取值范围是（)A ，1）B（0，C ，D（0，【解答】解:由题意，分段函数是在 R上单调递减，可得对数的底数需满足 0a1，根据二次函数开口向上，在(单调递减，可得，即，解得：且x2+（4a3）x+3aminloga

6、（x+1）+1max 故而得：3a1，解得:a a的取值范围是，故选:C 思维升华 确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；（2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”;（3）图象法,图象不连续的单调区间不能用“”连接【题型二】函数的最值【典型例题】若函数f（x）,则函数f（x）的值域是（)A（，2）B（，2 C0，+)D（，0）（0，2)【解答】解:当x1 时,0 2x2，2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）5 当x1 时,f（x)log2xlog210，综上f（x）2,即函数的值域为(,2），故选：A 【再练

7、一题】函数f（x）exx在区间 1，1上的值域为()A 1，e1 B C D0，e1【解答】解：函数的导数f（x）ex1,由f（x）0 得ex10，即ex1，得 0 x1，此时函数递增,由f(x）0 得ex10，即ex1，得1x0，此时函数递减,即当x0 时，函数取得极小值同时也是最小值f（0）1，f(1）e1，f（1）1e1，函数的最大值为f（1）e1，即函数的值域为1，e1，故选：A 思维升华 求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正

8、二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值（4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值，求出最值（5)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值【题型三】函数单调性的应用 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）6 命题点 1 比较大小【典型例题】已知函数，若,则a、b、c之间的大小关系是（）Aabc Bbca Ccab Dbac【解答】解：根据题意，函数，其定义域为 R，则f（x)ln（x）|ln|ln(x）|ln（x)|f（x），即函数f（x）为偶函数,设g（x）ln（x）ln，有g（0）ln10，设t，则yln

9、t，当x0 时,t为减函数且t0，而ylnt在（0，+）为增函数，则g（x）ln(x）ln在0，+)上为减函数，又由g(0）0，则在区间0，+）上，g（x)0，又由f(x)g(x）|，则f（x）在区间0，+）上为增函数，af（）f（log94），bf（log52)f（log254),又由 log254log9411。80.2,则有bac；故选:D 【再练一题】2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）7 已知函数f（x）xln,af（)，bf（），cf(），则以下关系成立的是（）Acab Bcba Cabc Dacb【解答】解：，,;；cab 故选:A 命题点 2

10、解函数不等式【典型例题】已知函数f（x）exex,则关于x的不等式f（x）+f（x22）0 的解集为（）A(2，1）B(,2）（1，+）C（1，2）D（,1）（2，+）【解答】解:根据题意，函数f（x）exex，有f（x）exex(exex）f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f（x）ex+ex0，则函数f（x)在 R上为增函数，f（x）+f(x22）0f（x）f（x22）f（x）f（2x2）x2x2，即x2+x20，解可得2x1，即其解集为（2，1)；故选:A 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）8【再练一题】设定义在 R上的奇函数f(x）满足f（x）x3

11、8（x0），则x|f(x2）0（）A 2,0）2，+）B（2 2，+）C 0，2）4，+）D0,2 4，+）【解答】解：f（x)是R上的奇函数，且x0 时，f(x）x38；f（0）f（2）f（2)0，且f（x）在（0，+），（，0）上都单调递增;x2 时,满足f（x2）0;x2 时，由f(x2）0 得，f（x2）f（2)；x22；x4;x2 时，由f（x2）0 得，f（x2）f（2）；x22；x0；0 x2；综上得，f（x2）0 的解集为0，24,+)故选:D 命题点 3 求参数范围【典型例题】若函数f(x）在 R上是增函数,则a的取值范围为（）A(，1 B（0，2）C（0，1 D 1，2)【

12、解答】解:f（x)在 R上是增函数；解得 0a1；2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）9 a的取值范围为：（0，1 故选：C【再练一题】若（a1），在定义域（，+）上是单调函数,则a的取值范围是（)A B C D【解答】解：f（x）在定义域（，+）上是单调函数时，函数的单调性是增函数时，可得当x0 时，（a21）eaxax2+11，即a211，解之得a x0 时，yax2+1 是增函数，a0 又x0 时，（a21）eax是增函数，a210，得a1 或a1 因此，实数a的取值范围是：1a 函数的单调性是减函数时,可得当x0 时，（a21）eaxax2+11，即a

13、211，解之得a或a x0 时，yax2+1 是减函数，a0 又x0 时，（a21）eax是减函数，a210，得a1 或a1 因此，实数a的取值范围是：a 综上所述,得a 故选：C 思维升华 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略（1)比较大小（2)解不等式利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解,应注意函数的定义域 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）10（3)利用单调性求参数 依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较;需注意若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;分段函数的单调性,除注

14、意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值 基础知识训练 1若,则下列不等式正确的是（）A B C D【答案】D【解析】，对 A选项，变形为 logax3logay2，而函数 y=是单调递减函数，x3y2，logax3logay2，故 A不正确;对 B选项，函数 y=cosx 是单调递减函数，故 B不正确;对 C选项，y=是单调递减函数,故 C不正确；而 D选项，幂函数 y=是单调递增函数，故应选 D。2已知函数且满足，则的取值范围为()A B C D 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）11【答案】C【解析】因为，所以,所以函数为定义在 R上的偶函数；又时，单调

15、递减,所以由偶函数的对称可得：时，单调递增，所以由可得,解得。故选 C 3已知函数,则函数有（）A最小值 ，无最大值 B最大值 ,无最小值 C最小值 1，无最大值 D最大值 1，无最小值【答案】D【解析】函数f（x）的定义域为(，设t，则 t，且x，f（x）g（t）t2+t(t1)2+1，t，g（t）g（1）即g（t）1 函数f（x）的最大值 1，无最小值。故选 D.2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）12 4若函数f(x）=log2（x22x+a）的最小值为 4，则a=(）A16 B17 C32 D33【答案】B【解析】函数f（x)=log2（x22x+a)

16、的最小值为 4,可得y=x22x+a的最小值为 16，由y=（x-1)2+a1，可得a-1=16,即a=17,故选：B 5高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,享有“数学王子的称号,用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过 的最大整数，则称为高斯函数，例如：，已知函数，则函数的值域是（）A B C D【答案】A【解析】当时，；当时，；函数的值域是 故选 A 6已知函数的最小值为 8，则 A B C D【答案】B 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）13【解析】函数的最小值为 8，可得，显然的最小值不为 8；时，由对数函数的性质可得当时，的最小值为，

17、由题意可得，设递增，可得,故选：B 7对于函数 f(x），若a，b，cR，f（a），f(b），f（c）为某一三角形的三边长，则称 f(x)为“可构造三角形函数已知函数 f（x)=是“可构造三角形函数”,则实数 t 的取值范围是（)A B C D【答案】A【解析】由题意可得f(a)+f（b）f（c）对于a，b，cR都恒成立，由于f（x），当t10，f（x）1，此时，f（a）,f（b），f（c）都为 1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）14 当t10，f（x）在 R上是减函数，1f(a）1+t1t,同理 1f（b)t,1

18、f(c)t，故f（a）+f（b）2 再由f（a）+f（b)f（c)恒成立,可得 2t，结合大前提t10，解得 1t2 当t10，f(x）在 R上是增函数,tf（a）1,同理tf（b）1，tf（c）1，由f（a)+f（b)f（c)，可得 2t1，解得 1t 综上可得，t2,故选:A 8奇函数单调递减，若，则满足的取值范围是（）A B C D1，3【答案】D【解析】因为奇函数单调递减，所以函数单调递减，且为奇函数，所以，因为，所以，所以，解得，即满足的取值范围是，故选 D.9如果对定义在 R上的奇函数，对任意两个不相邻的实数,所有，则称函数为“H函数，下列函数为 H函数的是 A B C D【答案】

19、D 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）15【解析】根据题意，对于所有的不相等实数，则恒成立，则有恒成立，即函数是定义在 R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在 R上为增函数,据此依次分析选项：对于 A,为正弦函数，为奇函数但不是增函数，不符合题意；对于 B，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于 C，为奇函数，但在 R上不是增函数，不符合题意；对于 D,为奇函数且在 R上为增函数，符合题意;故选：D 10 已知定义在 上的函数，对任意,有，且时，有,设，则（)A B C D【答案】A【解析】因为对任意,所以，因为时，有，所以函数在区间上是增函数,因为,所以

20、，即，所以，故选 A.2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）16 11已知定义在 R上的函数 f(x）1(m 为实数)为偶函数，记 af(log0。53)，则 a，b，c 的大小关系为(）Aabc Bacb Ccab Dcba【答案】B【解析】解：f（x)为偶函数；f（x）f(x）；11;|xmxm;（xm）2(xm)2;mx0；m0;f（x）1；f（x)在0,+)上单调递增，并且af（）f（)，bf（）,cf（2)；02；acb 故选：B 12已知 t 为常数,函数在区间上的最大值为 2，则 t 的值为 A B C D【答案】A【解析】2020 年高考数学一轮

21、复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）17 令上的增函数。当，即时，舍去。当，即时，由于单调递增，故函数的最值在端点处取得。.若，解得(舍去）。当时，符合题意.当，解得.当时,不符合题意。当时，符合题意。故.所以选 A.13如果奇函数在区间上是减函数,值域为,那么_。【答案】12【解析】由f(x)在区间上是递减函数，且最大值为 5,最小值为2，得f（3）5，f（7）2，f（x）是奇函数,故答案为：12 14已知函数,若上是减函数,则实数 的取值范围为_。【答案】，0）【解析】若在 R上是减函数，因为 y=上单调递减，故只需满足，2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最

22、值（含解析）18 解得：k，0)故答案为：，0）15设函数f（x)=x-1|在xt，t+4（tR）上的最大值为M（t），则M（t)的最小值为_【答案】2【解析】作出函数 f（x)=|x-1 的图象,如图所示，当 t+41 即 t 3 时,f（x）在t，t+4 递减，可得最大值 M（t）=f（t)=t-1|=1-t,由 M（t）在 t-3 递减，可得 M（t）4，即最小值为 4;当 t1 时，f（x)在t，t+4递增,可得最大值 M(t)=f（t+4）=|t+3=t+3,由 M(t）在 t1 递增,可得 M（t）4，即最小值为 4;当 t 1t+4,即3t 1 时，f（x）在(t，1)递减，在（

23、1,t+4)递增,可得 f(x)的最小值为 0；当 t=-1 时，f（t）=f(t+4）=2；当-1t 1 时，f（t）f（t+4），f(x）的最大值 M(t）=f（t+4）=t+3，且 M(t)(2，4)；当3t-1 时，f（t）f（t+4)，f（x）的最大值 M（t）=f（t）=1-t，且 M（t)（2，4)；综上可得 M（t）的最小值为 2 故答案为:2 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）19 16已知函数,若当时，都有，则 a 的取值范围为_【答案】【解析】当时，即 当时,若，即时，若，即时，当时，综上所述，17 对于区间，若函数同时满足：上是单调函

24、数；函数的值域是，则称区间为函数的“保值”区间 求函数的所有“保值”区间 函数是否存在“保值区间？若存在，求出实数m的取值范围;若不存在，说明理由 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）20【答案】（1)；（2)函数存在“保值”区间，此时m的取值范围是【解析】因为函数的值域是，且的值域是，所以，所以，从而函数在区间上单调递增,故有，解得,又，所以,所以函数的“保值”区间为；若函数存在“保值区间，若，由可得函数的“保值”区间为；若，此时函数在区间上单调递减,可得，消去m得，整理得，因为，所以，即，即有,因为,可得；若，此时函数在区间上单调递增,可得,消去m得，整理

25、得 因为，所以，可得，可得 由，即有 综合 得，函数存在“保值区间,此时m的取值范围是 18已知函数常数 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）21 证明上是减函数,在上是增函数；时，求的单调区间；对于中的函数和函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的值【答案】（1)见解析；（2）见解析;（3)【解析】证明：设，且，,，当时，即，当时，即，时,，即，此时函数为减函数，当时,即，此时函数为增函数，故上是减函数，在上是增函数;时,，设，则,，由可知上是减函数,在上是增函数；,即，2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）22 即上是减

26、函数，在上是增函数；由于为减函数，故 又由(2）得 由题意，的值域为的值域的子集,从而有，解得 19已知函数，其中 解关于 x 的不等式；求 a 的取值范围,使在区间上是单调减函数【答案】（1）见解析;（2）。【解析】的不等式，即为，即为,当时,解集为;当时，解集为；当时，解集为；，由在区间上是单调减函数,可得，解得 即 a 的范围是 20已知函数 判定并证明函数的单调性；2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）23 是否存在实数m，使得不等式对一切都成立？若存在求出m；若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；(2）【解析】函数上R上的单调递增函数 证明如下：设

27、,，且，函数上R上的单调递增函数 函数，是R上的奇函数,不等式对一切都成立，对一切都成立,是R上的增函数，对一切都成立,存在实数，使得不等式对一切都成立 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）24 能力提升训练 1已知是自然对数的底数）,，则的大小关系是（)A B C D【答案】A【解析】记，可得 x=e 可知:上单调递增，又，即 故选:A 2若函数，设，则的大小关系 A B C D【答案】D【解析】根据题意,函数,是二次函数，其对称轴为y轴,且在上为增函数,，则有，2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）25 则；故选：D 3已知

28、函数，若的最小值为,则实数 m的值为 A B C3 D 或 3【答案】C【解析】函数，即，当时,不成立；当，即时，递减，可得取得最小值，且，解得成立；当，即时，递增，可得取得最小值，且,不成立；综上可得 故选：4若函数上的最大值与最小值的差为 2，则实数 的值为(）。A2 B2 C2 或2 D0【答案】C【解析】解：当 a=0 时，y=ax+1=1，不符合题意；当 a0 时,y=ax+1 在1，2 上递增，则（2a+1)（a+1)=2,解得 a=2;当 a0 时，y=ax+1 在1，2上递减,则（a+1)（2a+1）=2，解得 a=2 综上，得 a=2,故选 C 5已知直线分别与函数的图象交于

29、两点,则两点间的最小距离为（）2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）26 A B C D【答案】D【解析】根据题意得到 PQ两点间的距离即两点的纵坐标的差值，设 t+1=u，t=u10,原式等于根据均值不等式得到当且仅当 u=1，t=0 是取得最值.故答案为：D.6已知函数的值域为（)A B C D【答案】C【解析】由题意，设，则，又由指数函数的性质,可知函数为单调递减函数，所以函数的值域为，故选 C。7已知函数的定义域为 (1)试判断的单调性；(2)若,求的值域;(3)是否存在实数,使得有解，若存在,求出 的取值范围;若不存在，说明理由。【答案】（1）单调递增

30、（2）（3)存在，且取值范围为【解析】解：（1）设 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）27 单调递增。(2）令的值域为（3）由而当时，令，所以 的取值范围为 8已知函数（1）设的两根,且，试求 的取值范围（2)当时，的最大值为 2，试求【答案】(1）(2）【解析】（1）由题意可得的两根，且，解得 故（2)当时，的最大值为 2，由，可知抛物线开口向上，对称轴为 若,则当时取得最大值，即，解得 若,则当时取得最大值，即，解得 故 9已知函数 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）28（1）若，求a的值(2)判断函数的奇偶性，并证明

31、你的结论(3)求不等式的解集【答案】(1);(2)奇函数；(3）。【解析】，则，得,即，则 函数的定义域为R，即函数是奇函数 由不等式，在R上是增函数,不等式等价为，即，即，得 即不等式的解集为 2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）29 10已知函数。（）判断并证明的单调性；(）设，解关于 的不等式。【答案】(）上单调递增；（）。【解析】解：（）的定义域为,由是奇函数；任取，则，上单调递增；又由（）知，上的奇函数，上单调递增；上单调递增。（），由是奇函数；又由()知上单调递增，上单调递增，等价于，可得:，解得：不等式的解集是.2020 年高考数学一轮复习 专题 05 函数的单调性与最值（含解析）30