高考理科数学试题解析版.pdf

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1、2019 年高考理科数学试题解析版 2019 年高考理科数学试题解析版 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019 年高考理科数学试题解析版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为 2019 年高考理科数学试题解析版的全部内容。2019 年高考理科数学试题解析版 2019 年普通高等学校招生全国统一考

2、试 理科数学 本试卷共 4 页,23 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟.注意事项:1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2作答选择题时，选出每小题答案后,用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡

3、一并交回.一、选择题：本题共 12 小题,每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1。已知集合24260MxxNx xx ，则MN=A.43xx B。42xx C.22xx D.23xx 【答案】C【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养采取数轴法,利用数形结合的思想解题【详解】由题意得，42,23MxxNxx ，则 22MNxx 故选 C【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二2019 年高考理科数学试题解析版 者部分 2.设复数z满足=1iz,z在复平面内对应的点为(x,

4、y），则 A.22+11()xy B。22(1)1xy C.22(1)1xy D。22(+1)1yx 【答案】C【解析】【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易此题可采用几何法，根据点（x，y)和点(0，1）之间的距离为 1,可选正确答案 C【详解】,(1),zxyi zixyi 22(1)1,zixy 则22(1)1xy 故选 C【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养采取公式法或几何法，利用方程思想解题 3.已知0.20.32log 0.2,2,0.2abc，则 A.abc B。acb C。cab D。bca 【答案】B【解析】【分析】运用中间量0比

5、较,ac，运用中间量1比较,b c【详解】22log 0.2log 10,a 0.20221,b 0.3000.20.21,则01,cacb 故选 B【点睛】本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法，利用转化与化归思想解题 4。古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5122019 年高考理科数学试题解析版（5120。618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高

6、可能是 A。165 cm B。175 cm C.185 cm D.190cm【答案】B【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解【详解】设人体脖子下端至腿根的长为x cm,肚脐至腿根的长为y cm,则2626511052xxy，得42.07,5.15xcm ycm又其腿长为 105cm，头顶至脖子下端的长度为 26cm，所以其身高约为 4207+515+105+26=17822,接近 175cm故选 B【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养采取类比法，利用转化思想解题 5.函数f(x）=2sincosxxxx在,的图像大致为 A。B。2019 年高考

7、理科数学试题解析版 C.D。【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x是奇函数，排除 A，再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案【详解】由22sin()()sin()()cos()()cosxxxxfxf xxxxx ，得()f x是奇函数,其图象关于原点对称又221422()1,2()2f2()01f故选 D【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题 6。我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻组成,爻分为阳爻“-”和阴爻“-”,如图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦，

8、则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A.516 B.1132 C。2132 D.1116【答案】A【解析】【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题,该重卦恰有 3 个阳爻是2019 年高考理科数学试题解析版 相同元素的排列问题，利用直接法即可计算【详解】由题知，每一爻有 2 中情况，一重卦的 6 爻有62情况，其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有36C，所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为3662C=516，故选 A【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复,其次要分

9、析是排列问题还是组合问题本题是重复元素的排列问题,所以基本事件的计算是“住店问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题 7。已知非零向量a，b满足a=2b，且(ab）b，则a与b的夹角为 A.6 B.3 C。23 D.56【答案】B【解析】【分析】本题主要考查利用平面向量数量积数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养先由()abb得出向量,a b的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角【详解】因为()abb，所以2()abba bb =0，所以2a bb，所以cos=22|12|2a bbabb，所以a与b的夹角为3，故选 B【点

10、睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为0,8。如图是求112122的程序框图，图中空白框中应填入 2019 年高考理科数学试题解析版 A。A=12A B.A=12A C.A=112A D.A=112A【答案】A【解析】【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择【详解】执行第 1 次,1,122Ak 是，因为第一次应该计算1122=12A,1kk=2，循环，执行第 2 次，22k ，是，因为第二次应该计算112122=12A，1kk

11、=3，循环,执行第 3次，22k ，否，输出,故循环体为12AA,故选 A【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点,可知循环体为12AA 9.记nS为等差数列na的前n项和已知4505Sa，,则 A.25nan B.310nan C。228nSnn D。2122nSnn【答案】A【解析】【分析】2019 年高考理科数学试题解析版 等差数列通项公式与前 n 项和公式本题还可用排除，对 B，55a,44(72)1002S，排 除B,对C，245540,2 58 50105SaSS ，排 除C 对D，24554150,52 50522SaSS ,排除 D，故选 A【详解】由题知，415144 3

12、0245dSaaad ，解得132ad，25nan，故选 A【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前 n 项和公式,渗透方程思想与数学计算等素养 利用等差数列通项公式与前 n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断 10。已知椭圆 C的焦点为121,01,0FF()，()，过F2的直线与C交于A，B两点。若222AFF B，1ABBF，则C的方程为 A.2212xy B.22132xy C。22143xy D.22154xy【答案】B【解析】【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设2F Bn，则212,3AFnBFABn,由椭圆的定义 有121224,

13、22aBFBFnAFaAFn 在12AF F和12BF F中，由 余 弦 定 理 得22212221442 22 cos4,422 cos9nnAF FnnnBF Fn ，又2121,AF FBF F互补，2121coscos0AF FBF F，两式消去2121coscosAF FBF F,得223611nn,解得32n 222242 3,3,3 12,anabac 所求椭圆方程为22132xy，故选 B【详解】如图，由已知可设2F Bn，则212,3AFnBFABn，由椭圆的定义有121224,22aBFBFnAFaAFn 在1AFB中，由 余 弦 定 理 推 论 得2019 年高考理科数学

14、试题解析版 22214991cos2 233nnnF ABnn 在12AF F中，由余弦定理得221442 2243nnnn ,解得32n 222242 3,3,3 12,anabac 所求椭圆方程为22132xy，故选 B 【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养 11。关于函数()sin|sin|f xxx有下述四个结论:f(x)是偶函数 f(x)在区间（2，）单调递增 f（x)在,有 4 个零点 f（x）的最大值为 2 其中所有正确结论的编号是 A.B.C。D。【答案】C【解析】【分析】化简函数 sinsinf

15、 xxx，研究它的性质从而得出正确答案【详解】sinsinsinsin,fxxxxxfxfx 为偶函数，故正确当2x 时，2sinf xx，它在区间,2单调递减，故错误 当0 x 时，2sinf xx,它有两个零点：0；当0 x 时，sinsin2sinf xxxx ,它有一个零点：，故 fx在,有3个零点：0 ,故错误当2,2xkkk N时，2sinf xx；2019 年高考理科数学试题解析版 当2,22xkkk N时，sinsin0f xxx，又 fx为偶函数，f x的最大值为2，故正确综上所述，正确,故选 C【点睛】画出函数 sinsinf xxx的图象，由图象可得正确，故选 C 12。

16、已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为 2 的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点,CEF=90,则球O的体积为 A。8 6 B.4 6 C.2 6 D。6【答案】D【解析】【分析】先证得PB 平面PAC，再求得2PAPBPC,从而得PABC为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.【详解】解法一:,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形,PABC 为正三棱锥,PBAC,又E，F分别为PA、AB中点,/EFPB,EFAC，又EFCE，,CEACCEF平面PAC，PB 平面PAC，2PABPAPBPC,PABC 为正方体一部分，2

17、2226R ，即 36446 6,62338RVR ，故选 D 2019 年高考理科数学试题解析版 解法二:设2PAPBPCx，,E F分别为,PA AB中点，/EFPB，且12EFPBx，ABC为边长为 2 的等边三角形，3CF又90CEF 213,2CExAEPAx AEC中余弦定理 2243cos2 2xxEACx ，作PDAC于D,PAPC，D为AC中点，1cos2ADEACPAx,2243142xxxx ，221221222xxx，2PAPBPC，又=2AB BC AC，,PA PBPC两两垂直，22226R ，62R，3446 66338VR ，故选D.【点睛】本题考查学生空间想象

18、能力，补体法解决外接球问题可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系,快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决 2019 年高考理科数学试题解析版 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。13。曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为_【答案】30 xy。【解析】【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解：/223(21)3()3(31),xxxyxexx exxe 所以，/0|3xky 所以，曲线23()exyxx在点(0,0)处的切线方程为3yx，即30 xy 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础

19、，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误求导要“慢”，计算要准,是解答此类问题的基本要求 14.记Sn为等比数列an的前n项和若214613aaa，则S5=_【答案】1213.【解析】【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S题目的难度不大,注重了基础知识、基本计算能力的考查【详解】设等比数列的公比为q，由已知21461,3aaa,所以32511(),33qq又0q，所以3,q 所以55151(13)(1)121311 33aqSq【点睛】准确计算，是解答此类问题基本要求本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误

20、 2019 年高考理科数学试题解析版 15。甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主设甲队主场取胜的概率为 0.6，客场取胜的概率为 0。5，且各场比赛结果相互独立,则甲队以 41 获胜的概率是_【答案】0。216。【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解题目有一定的难度,注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,前四场中有一场主场输，

21、第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,综上所述,甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算 16。已知双曲线C：22221(0,0)xyabab的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若1F AAB,120F B F B，则C的离心率为_【答案】2。【解析】【分析】通过向量关系得到1F AAB和1OAF A,得到1AOBAOF，结合双曲线的渐

22、近线可得2019 年高考理科数学试题解析版 21,BOFAOF 02160,BOFAOFBOA 从而由0tan603ba可求离心率.【详解】如图，由1,F AAB得1.F AAB又12,OFOF得 OA是三角形12F F B的中位线,即22/,2.BFOA BFOA由120F B F B，得121,F BF B OAF A则1OBOF有1AOBAOF,又 OA与 OB都是渐近线，得21,BOFAOF 又21BOFAOBAOF ，得02160,BOFAOFBOA 又渐近线 OB的斜率为0tan603ba，所以该双曲线的离心率为221()1(3)2cbeaa 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐

23、进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养采取几何法，利用数形结合思想解题 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60 分。17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设22(sinsin)sinsinsinBCABC(1）求A；（2)若22abc，求 sinC【答案】（1）3A;（2）62sin4C。【解析】【分析】2019 年高考理科数学试题解析版（1)利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222bcabc,从而可整理出cos A,根

24、据 0,A可求得结果;（2）利用正弦定理可得2 sinsin2sinABC，利用sinsinBA C、两角和差正弦公式可得关于sin C和cosC的方程,结合同角三角函数关系解方程可求得结果。【详解】（1）2222sinsinsin2sinsinsinsinsinsinBCBBCCABC 即：222sinsinsinsinsinBCABC 由正弦定理可得：222bcabc 2221cos22bcaAbc 0,A 3A（2）22abc，由正弦定理得：2 sinsin2sinABC 又sinsinsincoscossinBA CACAC，3A 3312cossin2sin222CCC 整理可得：3

25、sin63cosCC 22sincos1CC 223sin63 1 sinCC 解得:62sin4C或624 因6sin2sin2sin2sin02BCAC所以6sin4C,故62sin4C。（2）法二：22abc，由正弦定理得：2 sinsin2sinABC 又sinsinsincoscossinBA CACAC，3A 3312cossin2sin222CCC 整理可得：3sin63cosCC，即3sin3cos2 3sin66CCC 2sin62C 2019 年高考理科数学试题解析版 由2(0,),(,)366 2CC ，所以,6446CC 62sinsin()464C。【点睛】本题考查利

26、用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简,得到余弦定理的形式或角之间的关系。18.如图,直四棱柱ABCD A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4,AB=2，BAD=60，E，M，N分别是BC,BB1，A1D的中点 (1）证明：MN平面C1DE；（2）求二面角AMA1-N的正弦值【答案】（1)见解析；（2）105。【解析】【分析】（1)利用三角形中位线和11/AD BC可证得/ME ND，证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得/MNDE，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD对角线交点为原

27、点可建立空间直角坐标系，通过取AB中点F，可证得DF 平面1AMA，得到平面1AMA的法向量DF;再通过向量法求得平面1MAN的法向量n，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值,进而可求得所求二面角的正弦值。2019 年高考理科数学试题解析版【详解】（1）连接ME，1B C M，E分别为1BB，BC中点 ME为1B BC的中位线 1/MEBC且112MEB C 又N为1AD中点，且11/AD BC 1/NDBC且112NDB C/ME ND 四边形MNDE为平行四边形/MNDE,又MN 平面1C DE,DE平面1C DE/MN平面1C DE（2）设ACBDO，11111ACB DO 由直四

28、棱柱性质可知：1OO 平面ABCD 四边形ABCD为菱形 ACBD 则以O为原点,可建立如下图所示的空间直角坐标系：则:3,0,0A，0,1,2M，13,0,4A，D（0,1，0）31,222N 取AB中点F,连接DF,则03 1,22F 四边形ABCD为菱形且60BAD BAD为等边三角形 DFAB 2019 年高考理科数学试题解析版 又1AA 平面ABCD,DF 平面ABCD 1DFAA DF 平面11ABB A,即DF 平面1AMA DF为平面1AMA的一个法向量，且3 3,022DF 设平面1MAN的法向量,nx y z，又13,1,2MA，33,022MN 132033022n MA

29、xyzn MNxy,令3x,则1y，1z 3,1,1n 315cos,515DF nDF nDFn 10sin,5DF n 二面角1A MA N的正弦值为:105【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题。求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型。19。已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P（1)若AF+BF=4，求l的方程；（2)若3APPB，求AB|【答案】(1）12870 xy；（2）4 133.【解析】【分析】（1)设直线l：3y=xm2

30、，11,A x y,22,B x y；根据抛物线焦半径公式可得121xx+;联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；（2）设直线l:23xyt；联立直线方程与抛物线方程,得到韦达定理的形式；利用3APPB可得123yy，2019 年高考理科数学试题解析版 结合韦达定理可求得12y y；根据弦长公式可求得结果。【详解】（1）设直线l方程为：3y=xm2，11,A x y，22,B x y 由抛物线焦半径公式可知:12342AFBFxx 1252xx 联立2323yxmyx得：229121240 xmxm 则2212121440mm 12m 121212592mx

31、x，解得：78m 直线l的方程为:3728yx，即：12870 xy （2）设,0P t，则可设直线l方程为:23xyt 联立2233xytyx得:2230yyt 则4 120t 13t 122yy ，1 23yyt 3APPB 123yy 21y，13y 1 23yy 则212124134 13144 12933AByyy y 【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用。关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系.20.已知函数()sinln(1)f xxx，()fx为()f x的导数证明:（1）()fx在区间(1,)2存

32、在唯一极大值点；(2）()f x有且仅有 2 个零点【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】2019 年高考理科数学试题解析版【分析】（1)求得导函数后,可判断出导函数在1,2上单调递减,根据零点存在定理可判断出00,2x，使得00gx，进而得到导函数在1,2上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0 x 为 fx在1,0上的唯一零点；当0,2x时,首先可判断出在00,x上无零点，再利用零点存在定理得到 fx在0,2x上的单调性，可知 0f x，不存在零点；当,2x时，利用零点存在定理和 fx单调性可判断出存在唯一一个零点;当,x,可证得 0f x；综合上述情况可证得结论。【详解

33、】(1）由题意知：fx定义域为：1,且1cos1fxxx 令 1cos1g xxx，1,2x 21sin1gxxx，1,2x 211x在1,2上单调递减,1111,7nnaa在1,2上单调递减 gx在1,2上单调递减 又 0sin0 1 1 0g ，2244sin102222g 00,2x,使得00gx 当01,xx时，0gx；0,2xx时，0gx 即 g x01,x上单调递增;在0,2x上单调递减 则0 xx为 g x唯一的极大值点 2019 年高考理科数学试题解析版 即:fx在区间1,2上存在唯一的极大值点0 x。(2）由（1）知：1cos1fxxx，1,x 当1,0 x时，由（1）可知

34、fx在1,0上单调递增 00fxf f x在1,0上单调递减 又 00f 0 x 为 fx在1,0上的唯一零点 当0,2x时，fx在00,x上单调递增,在0,2x上单调递减 又 00f 00fx f x在00,x上单调递增，此时 00f xf，不存在零点 又22cos02222f 10,2xx，使得10fx f x在 01,x x上单调递增,在1,2x上单调递减 又 000f xf，2sinln 1lnln102222ef 0f x在0,2x上恒成立，此时不存在零点 当,2x时，sin x单调递减，ln1x单调递减 f x在,2上单调递减 又02f ，sinln1ln10f 即02ff ，又

35、fx在,2上单调递减 2019 年高考理科数学试题解析版 fx在,2上存在唯一零点 当,x时,sin1,1x，ln1ln1ln1xe sinln10 xx 即 fx在,上不存在零点 综上所述：fx有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可。21.为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲药,另一只施以乙

36、药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多 4 只时,就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙两种药的治愈率分别记为和，一轮试验中甲药的得分记为X（1）求X的分布列;（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8)ip i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p，81p,11iiiipapb

37、pcp(1,2,7)i，其中(1)aP X，(0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8(i)证明：1iipp(0,1,2,7)i 为等比数列；(ii)求4p,并根据4p的值解释这种试验方案的合理性 2019 年高考理科数学试题解析版【答案】（1）见解析；（2）（i)见解析；（ii）41257p.【解析】【分析】(1）首先确定X所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；(2）（i）求解出,a b c的取值，可得110.40.50.11,2,7iiiippppi，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式,采用累加的方式，结合8p和0

38、p的值可求得1p;再次利用累加法可求出4p。【详解】(1）由题意可知X所有可能的取值为:1,0，1 11P X ；011P X ;11P X 则X的分布列如下：X 1 0 1 P 1 11 1 (2）0.5，0.8 0.5 0.80.4a，0.5 0.80.5 0.20.5b，0.5 0.20.1c (i）111,2,7iiiipapbpcpi 即110.40.50.11,2,7iiiippppi 整理可得:11541,2,7iiipppi 1141,2,7iiiippppi 1iipp0,1,2,7i 是以10pp为首项，4为公比的等比数列(ii）由（i)知：110144iiiippppp

39、78714ppp ,67614ppp ,，01014ppp 作和可得:88017801111 44144411 43ppppp 18341p 2019 年高考理科数学试题解析版 44012344011841 44131144441 434141257ppppp 4p表示最终认为甲药更有效的。由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理。【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题。本题综合性较强,要求学生能

40、够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高。（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22。选修 44：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为2221141txttyt，（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos3 sin110 （1）求C和l直角坐标方程;（2）求C上的点到l距离的最小值【答案】（1）22:14yC x;:23110lxy；(2）7【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得C的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标

41、互化原则可得l的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式,从而根据三角函数的范围可求得最值。2019 年高考理科数学试题解析版【详解】（1）由2211txt得:211xtx，又 2222161tyt 22211614 1144111xxyxxxxx 整理可得C的直角坐标方程为：2214yx 又cosx，siny l的直角坐标方程为：23110 xy (2)设C上点的坐标为：cos,2sin 则C上的点到直线l的距离4sin112cos2 3sin11677d 当sin16 时，d取最小值 则min7d【点睛】本题考查参数方程、极坐

42、标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题。求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.23.选修 45：不等式选讲 已知a,b，c为正数，且满足abc=1证明:（1)222111abcabc ;（2）333()()()24abbcca 【答案】（1)见解析；（2）见解析【解析】【分析】2019 年高考理科数学试题解析版（1)利用1abc将所证不等式可变为证明:222abcbcacab，利用基本不等式可证得2222222abcabbcac，从 而 得 到 结 论；（2）利 用 基 本 不 等 式 可 得 3333abbccaab

43、bcca，再 次 利 用 基 本 不 等 式 可 将 式 转 化 为 333224abbccaabc ,在取等条件一致的情况下,可得结论.【详解】(1）1abc 111111abcbcacababcabc 2222222222222abcabbccaabbcac 当且仅当abc 时取等号 22211122abcabc，即：222111abcabc (2）3333abbccaabbcca，当且仅当abc 时取等号 又2abab,2bcbc,2acac（当且仅当abc 时等号同时成立）33323 22224abbccaabbcacabc 又1abc 33324abbcca 【点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力,需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.