高考数学压轴题跟踪演练系列三.pdf

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1、 江苏省备战 2010 高考数学压轴题跟踪演练系列三-1（本小题满分 13 分）如图，已知双曲线 C：xayba b22221 0 0()，的右准线 l1与一条渐近线 l2交于点 M，F 是双曲线 C 的右焦点，O 为坐标原点.（I）求证：OM MF；（II）若|MF 1 且双曲线 C 的离心率 e 62，求双曲线 C 的方程；（III）在（II）的条件下，直线 l3过点 A（0，1）与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Q 且 P 在 A、Q 之间，满足 AP AQ，试判断 的范围，并用代数方法给出证明.解：（I）右准线 l12：xac，渐近线 l2：ybax MacabcF c c a b

2、()()22 2 20，OMacabc()2，OM MFa bca bcOM MF 2 222 220 3 分（II）ebae a b 6212222 2 2，双曲线 C 的方程为：xy2221 7 分（III）由题意可得 0 1 8 分 证明：设 l31：y kx，点 P x y Q x y()()1 1 2 2，由 x yy kx2 22 21 得()1 2 4 4 02 2 k x kx l3与双曲线 C 右支交于不同的两点 P、Q 122k 11 分 AP AQ x y x y，()()1 1 2 21 1，得 x x1 2 的取值范围是（0，1）13 分 2（本小题满分 13 分）已

3、知函数 f xxn x n f n n x n n N()()()()(*)0 01 1 1，数列 an满足 a f n n Nn()(*)（I）求数列 an的通项公式；（II）设 x 轴、直 线 x a 与 函 数 y f x()的 图 象 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 为S a a()()0，求 S n S n n N()()(*)1；（III）在集合 M N N k k Z|2，且 1000 1500 k 中，是否存在正整数 N，使得不等式 a S n S nn 1005 1()()对一切 n N 恒成立？若存在，则这样的正整数 N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数

4、 N；若不存在，请说明理由.（IV）请构造一个与 an有关的数列 bn，使得 lim()nnb b b 1 2 存在，并求出这个极限值.解：（I）n N*f n f n n()()1 1 分 将这 n 个式子相加，得 an nn Nn()(*)12 3 分（II）S n S n()()1 为一直角梯形（n 1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为 f n f n()()1，高为 1 121212 22()()n n n n n 6 分（III）设满足条件的正整数 N 存在，则 又 M 2000 2002 2008 2010 2012 2998，N 2010 2012 2998，均满足

5、条件 它们构成首项为 2010，公差为 2 的等差数列.设共有 m 个满足条件的正整数 N，则 2010 2 1 2998()m，解得 m 495 M 中满足条件的正整数 N 存在，共有 495 个，Nmin 2010 9 分（IV）设 bann1，即 bn n n nn 2121 11()()则 b b bn n nn 1 22 112121313141 112 111()()()()()显然，其极限存在，并且 lim()lim nnnb b bn 1 22112 10 分 注：bcann（c 为 非 零 常 数），b b q qnannann n()(|)120 12121，等 都 能 使

6、lim()nnb b b 1 2 存在.19.（本小题满分 14 分）设双曲线yax22231 的两个焦点分别为 F F1 2、，离心率为 2.（I）求此双曲线的渐近线 l l1 2、的方程；（II）若 A、B 分别为 l l1 2、上的点，且 2 51 2|AB F F，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（III）过点 N()1 0，能否作出直线 l，使 l 与双曲线交于 P、Q 两点，且 OP OQ 0.若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由.解：（I）e c a 2 42 2，双曲线方程为 yx2231，渐近线方程为 y x 33 4 分 （II）设

7、A x y B x y()()1 1 2 2，AB 的中点 M x y，则 M 的轨迹是中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 10 3，短轴长为10 33的椭圆.（9 分）（III）假设存在满足条件的直线 l 设 l y k x l P x y Q x y：，与双曲线交于，、，()()()11 1 2 2 由（i）（ii）得 k23 0 k 不存在，即不存在满足条件的直线 l.14 分 3.（本小题满分 13 分）已知数列 an的前 n 项和为 S n Nn()*，且 S m man n()1 对任意自然数都成立，其中 m 为常数，且 m 1.（I）求证数列 an是等比数列；（II）设数列

8、an的公比 q f m()，数列 bn满足：b a b f bn n 1 1 113，()()*n n N 2，试问当 m 为何值时，lim(lg)lim(nb anb b b b b bn n 31 2 2 3 3 4 b bn n 1)成立？解：（I）由已知 S m man n 1 11 1()()S m man n()1（2）由()()1 2 得：a ma man n n 1 1，即()m a man n 11对任意 n N*都成立（II）当 n 1 时，a m ma1 11()由题意知 lgmm 11，mmm110109，13 分 4（本小题满分 12 分）设椭圆)0(12222 b

9、abyax的左焦点为 F，上顶点为 A，过点 A与 AF 垂直的直线分别交椭圆和 x 轴正半轴于 P，Q 两点，且 P 分向量 AQ所成的比为 8 5（1）求椭圆的离心率；（2）若过 F Q A,三点的圆恰好与直线 l：0 3 3 y x 相切，求椭圆方程 解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q 其中),0(,2 2b A b a c 由 P 分 AQ所成的比为 8 5，得)135,138(0b x P，2 分 a xax231)135()138(02220 2，4 分 而 AQ FA b x AQ b c FA),(),(0，0 AQ FA cbx b cx2020,0，5 分

10、由知 0 2 3 2,3 22 2 2 a ac c ac b 21.0 2 3 22 e e e 6 分（2）满足条件的圆心为)0,2(2 2cc bO，)0,(,2 22 2 2 2 2c O ccc c acc b，8 分 圆半径 acacbr 2 2222 10 分 由圆与直线 l：0 3 3 y x 相切得，ac2|3|，又 3,2,1,2 b a c c a 椭圆方程为 13 42 2 y x 12 分 5（本小题满分 14 分）（理）给定正整数 n 和正数 b，对于满足条件 b a an 21 1的所有无穷等差数列 na，试求1 2 2 1 n n na a a y 的最大值，并

11、求出 y 取最大值时 na 的首项和公差（文）给定正整数 n 和正数 b，对于满足条件 b a an 21 1的所有无穷等差数列 na，试求1 2 2 1 n n na a a y 的最大值，并求出 y 取最大值时 na 的首项和公差（理）解：设 na 公差为 d，则1 1 1 1,a a nd nd a an n 3 分 dn na nn2)1()1(1 4 分)3(211 1a ann 7 分 又 21 121 1,n na b a b a a 44 944 9)23(3 321 121 1 1b ba b a a a an n n n，当且仅当231 na 时，等号成立 11 分 8)4

12、 9)(1()3(211 1b na anyn 13 分 当数列 na 首项491 b a，公差nbd43 4 时，8)4 9)(1(b ny，y 的最大值为8)4 9)(1(b n 14 分（文）解：设 na 公差为 d，则1 1 1 1,a a nd nd a an n 3 分)3(21)2)(1(1 11 11a an a aa nnnn，6 分 又21 121 1,n na b a b a a 44 944 9)23(3 321 121 1 1b ba b a a a an n n n 当且仅当231 na 时，等号成立 11 分 8)4 9)(1()3(211 1b na anyn

13、13 分 当数列 na 首项491 b a，公差nbd43 4 时，8)4 9)(1(b ny y 的最大值为8)4 9)(1(b n 14 分 6（本小题满分 12 分）垂直于 x 轴的直线交双曲线 2 22 2 y x 于 M、N 不同两点，A1、A2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线 A1M 与 A2N 交于点 P（x0，y0）（）证明：;22020为定值 y x（）过 P 作斜率为002 yx 的直线 l，原点到直线 l 的距离为 d，求 d 的最小值.解（）证明：)0,2(),0,2(),(),(2 1 1 1 1 1A A y x N y x M 则 设)2(2111 xxyy

14、M A 的方程为 直线 直线 A2N 的方程为)2(211 xxyy 4 分，得)2(222121 2 xxyy（）0 2 2 2 2),(20 02020 0000 y y x x y x x xyxy y l 整理得 结合 的方程为 20202020122 2242yy y xd 于是 10 分 当 1,1,120 0取最小值 时 d y y 12 分 7（本小题满分 14 分）已知函数 x x x f sin)(（）若;)(,0 的值域 试求函数 x f x（）若);32(3)()(2:),0(,0 xfx f fx 求证（）若)32(3)()(2,),)1(,(,)1(,xfx f fZ k k k k k x 与 猜想 的大小关系（不必写出比较过程）.解：（）为增函数 时 当)(,0 cos 1)(,),0(x f x x f x（）设)32(3)()(2)(xfx f fx g，32sin3sin)(2)(x x fx g 即)32cos cos(31)(xx x g 6 分（）在题设条件下，当 k 为偶数时)32(3)()(2 xfx f f 当 k 为奇数时)32(3)()(2 xfx f f 14 分