高考数学压轴题跟踪演练系列二.pdf

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1、 江苏省备战 2010 高考数学压轴题跟踪演练系列二-1.(本小题满分 12 分)已知常数 a 0,n 为正整数，f n(x)=x n (x+a)n(x 0)是关于 x 的函数.(1)判定函数 f n(x)的单调性，并证明你的结论.(2)对任意 n a,证明 f n+1(n+1)0,x 0,fn(x)a0 时,fn(x)=xn (x+a)n是关于 x 的减函数,当 n a 时,有：(n+1)n (n+1+a)n n n (n+a)n.2 分 又 f n+1(x)=(n+1)xn (x+a)n ,f n+1(n+1)=(n+1)(n+1)n (n+1+a)n n,f n+1(n+1)|u v|，

2、所以 p(x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10.若 u,v 1，0，则|g(u)g(v)|=|(1+u)(1+v)|=|u v|，满足题设条件；20.若 u,v 0，1，则|g(u)g(v)|=|(1 u)(1 v)|=|v u|，满足题设条件；30.若 u 1，0，v 0，1，则：|g(u)g(v)|=|(1 u)(1+v)|=|u v|=|v+u|v u|=|u v|，满足题设条件;40 若 u 0，1，v 1，0,同理可证满足题设条件.综合上述得 g(x)满足条件.3.(本小题满分 14 分)已知点 P(t,y)在函数 f(x)=1xx(x 1)的图象上，且有 t2 c2at+

3、4c2=0(c 0).(1)求证：|ac|4;(2)求证：在(1，+）上 f(x)单调递增.(3)(仅理科做)求证：f(|a|)+f(|c|)1.证：(1)t R,t 1,=(c2a)2 16c2=c4a2 16c2 0，c 0,c2a2 16,|ac|4.(2)由 f(x)=1 1x1,法 1.设 1 x1 x2,则 f(x2)f(x1)=1 1x12 1+1x11=)1x)(1x(xx1221.1 x1 x2,x1 x2 0,x2+1 0,f(x2)f(x1)0,即 f(x2)0 得 x 1,x 1 时，f(x)单调递增.（3）（仅理科做）f(x)在 x 1 时单调递增，|c|a|4 0,

4、f(|c|)f(|a|4)=1|a|4|a|4=4|a|4 f(|a|)+f(|c|)=1|a|a|+4|a|4 4|a|a|+4|a|4=1.即 f(|a|)+f(|c|)1.4（本小题满分 15 分）设定义在 R 上的函数43201234()f xa xa xa xa xa（其中iaR，i=0,1,2,3,4），当 x=1 时，f(x)取得极大值23，并且函数 y=f(x+1)的图象关于点（1，0）对称（1）求 f(x)的表达式；（2）试在函数 f(x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间2,2上；（3）若+212(13),(N)23nnnnnnxyn，求证

5、：4()().3nnf xf y 解：（1）31().3f xxx5 分 （2）20,0,2,3或 20,0,2,.310 分 （3）用导数求最值，可证得4()()(1)(1).3nnf xf yff 15 分 5（本小题满分 13 分）设 M 是椭圆22:1124xyC上的一点，P、Q、T 分别为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点，且 MNMQ，QN 与 PT 的交点为 E，当 M 沿椭圆 C 运动时，求动点E 的轨迹方程 解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x yN xyx yE x y 则111111(,),(,),(,

6、),Px yQxyT xy 1 分 221122221,(1)1241.(2)124xyxy3 分 由（1）（2）可得1.3MNQNkk 6 分 又 MNMQ，111,MNMQMNxkkky 所以11.3QNykx 直线 QN 的方程为1111()3yyxxyx，又直线 PT 的方程为11.xyxy 10 分 从而得1111,.22xx yy 所以112,2.xx yy 代入（1）可得221(0),3xyxy此即为所求的轨迹方程.13 分 6（本小题满分 12 分）过抛物线yx42上不同两点 A、B 分别作抛物线的切线相交于 P 点，.0 PBPA（1）求点 P 的轨迹方程；（2）已知点 F（

7、0，1），是否存在实数使得0)(2FPFBFA？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211xxxxBxxA 由,42yx 得：2xy 4,021xxPBPAPBPA3 分 直线 PA 的方程是：)(241121xxxxy即42211xxxy 同理，直线 PB 的方程是：42222xxxy 由得：),(,142212121Rxxxxyxxx 点 P 的轨迹方程是).(1Rxy 6 分（2）由（1）得：),14,(211xxFA),14,(222xxFB)1,2(21 xxP 42)14)(14(2221222121xxxxxxFBFA 1

8、0 分 所以0)(2FPFBFA 故存在=1 使得0)(2FPFBFA12 分 解法（二）：（1）直线 PA、PB 与抛物线相切，且,0 PBPA 直线 PA、PB 的斜率均存在且不为 0，且,PBPA 设 PA 的直线方程是)0,(kRmkmkxy 由yxmkxy42得：0442mkxx 016162mk即2km3 分 即直线 PA 的方程是：2kkxy 同理可得直线PB 的方程是：211kxky 由2211kxkykkxy得：11yRkkx 故点P 的轨迹方程是).(1Rxy 6 分（2）由（1）得：)1,1(),1,2(),2(22kkPkkBkkA)1(2)11)(1(42222kkk

9、kFBFA 10 分 故存在=1 使得0)(2FPFBFA12 分 7（本小题满分 14 分）设函数xaxxxfln1)(在),1 上是增函数.（1）求正实数a的取值范围；（2）设1,0 ab，求证：.ln1bbabbaba 解：（1）01)(2axaxxf对),1 x恒成立，xa1对),1 x恒成立 又11x 1a为所求.4 分（2）取bbax，1,0,1bbaba，一方面，由（1）知xaxxxfln1)(在),1 上是增函数，即babba1ln8 分 另一方面，设函数)1(ln)(xxxxG)(xG在),1(上是增函数且在0 xx 处连续，又01)1(G 当1x时，0)1()(GxG xx

10、ln 即bbabbaln 综上所述，.ln1bbabbaba14 分 8(本小题满分 12 分)如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，90C，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，3BDDC，ABC!的周长为 12若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点(1)求双曲线E的方程；(2)若一过点(,0)P m（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且MPPN，问在x轴上是否存在定点G，使()BCGMGN？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)设双曲线E的方程为22221(0,0)xyabab，则(,0),(,0),(,0

11、)BcD aC c 由3BDDC，得3()caca，即2ca 222|16,|124,|2.ABACaABACaABACa （3 分）解之得1a，2,3cb 双曲线E的方程为2213yx （5 分）(2)设在x轴上存在定点(,0)G t，使()BCGMGN xyDOCABxyDOCAB设直线l的方程为xmky，1122(,),(,)M x yN xy 由MPPN，得120yy 即12yy （6 分）(4,0)BC，1212(,)GMGNxtxt yy，()BCGMGN12()xtxt 即12()kymtkymt （8 分）把代入，得 12122()()0ky ymtyy （9 分）把xmky

12、代入2213yx 并整理得 其中2310k 且0，即213k 且2231km 212122263(1),3131kmmyyy ykk （10 分）代入，得 2226(1)6()03131k mkm mtkk，化简得 kmtk 当1tm时，上式恒成立 因此，在x轴上存在定点1(,0)Gm，使()BCGMGN （12 分）9(本小题满分 14 分)已知数列na各项均不为 0，其前n项和为nS，且对任意*nN都有(1)nnp Sppa（p为大于 1 的常数），记12121CCC()2nnnnnnnaaaf nS(1)求na；(2)试比较(1)f n 与1()2pf np的大小（*nN）；NBCOyx

13、GMP(3)求证：2111(21)()(1)(2)(21)112nppnf nfffnpp 剟，（*nN）解：(1)(1)nnp Sppa，11(1)nnp Sppa ，得 11(1)nnnp apapa，即1nnapa （3 分）在中令1n，可得1ap na是首项为1ap，公比为p的等比数列，nnap （4 分）(2)由(1)可得(1)(1)11nnnppp pSpp 12121CCCnnnnnaaa1221CCC(1)(1)nnnnnnnppppp 12121CCC()2nnnnnnnaaaf nS1(1)2(1)nnnpppp，（5 分）(1)f n 1111(1)2(1)nnnpppp

14、 而1()2pf np1111(1)2()nnnppppp，且1p，1110nnppp ，10p (1)f n 1()2pf np，（*nN）（8 分）(3)由(2)知 1(1)2pfp，(1)f n 1()2pf np，（*nN）当2n时，211111()(1)()(2)()(1)()2222nnppppf nf nf nfpppp 221111(1)(2)(21)222npppfffnppp 2111112npppp，（10 分）（当且仅当1n 时取等号）另一方面，当2n，1,2,21kn时，221 2(1)121nnnkn kpppppp 22kn knppp，2222121(1)nkn knnnpppppp 12(1)()(2)2()2(1)nnnppf kfnkf npp，（当且仅当kn时取等号）（13 分）2121211111()()(2)()(21)()2nnnkkkf kf kfnkf nnf n（当且仅当1n 时取等号）综上所述，2121111(21)()()112nnkppnf nf kpp剟，（*nN）（14 分）