高考文科数学圆锥曲线专题复习2.pdf

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1、高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高考文科数学圆锥曲线专题

2、复习(2)(word 版可编辑修改)的全部内容。高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）高三文科数学专题复习之圆锥曲线 知识归纳：名 称 椭圆 双曲线 图 象 x Oy x Oy 定 义 平面内到两定点2 1,F F 的距离的和为常数（大于2 1F F）的动点的轨迹叫椭圆 即 a MF MF 22 1 当 2 a 2 c 时，轨迹是椭圆，当 2 a 2 c 时,轨迹是一条线段2 1F F 当 2 a 2 c 时,轨迹不存在 平面内到两定点2 1,F F 的距离的差的绝对值为常数（小于2 1F F）的动 点 的 轨 迹 叫 双 曲 线 即1 22 MF

3、 MF a 当 2 a 2 c 时，轨迹是双曲线 当 2 a 2 c 时，轨迹是两条射线 当 2 a 2 c 时，轨迹不存在 标 准方 程 焦点在 x 轴上时：12222 byax 焦点在 y 轴上时：12222 bxay 注:根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 焦点在 x轴上时：12222 byax 焦点在y轴上时：12222 bxay 常 数c b a,的 关 系 2 2 2b c a,0 b a，a最大，b c b c b c,2 2 2b a c，0 a c c最大，可以b a b a b a,高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）渐

4、近线 焦点在 x 轴上时：0 x ya b 焦点在y轴上时：0y xa b 抛物线：图形 xyO Fl xyOFl 方程)0(22 p px y)0(22 p px y)0(22 p py x)0(22 p py x 焦点)0,2(p)0,2(p)2,0(p)2,0(p 准线 2px 2px 2py 2py（一）椭圆 1。椭圆的性质：由椭圆方程)0(12222 b abyax（1）范围：a x b-a，x a,椭圆落在b y a，x组成的矩形中。（2)对称性:图象关于 y 轴对称。图象关于 x 轴对称.图象关于原点对称.原点叫椭圆的对称中心，简称中心。x 轴、y 轴叫椭圆的对称轴.从椭圆的方程

5、中直接可以看出它的范围，对称的截距。（3）顶点:椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点 高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）椭圆共有四个顶点:)0,(),0,(2a A a A,),0(),0(2b B b B。加两焦点)0,(),0,(2 1c F c F 共有六个特殊点。2 1A A 叫椭圆的长轴,2 1B B 叫椭圆的短轴。长分别为b a 2,2。b a,分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.（4）离心率:椭圆焦距与长轴长之比.ace 2)(1abe。1 0 e。椭圆形状与 e 的关系：0,0 c e，椭圆变圆，直至成

6、为极限位置圆,此时也可认为圆为椭圆在 0 e 时的特例.,1 a c e 椭圆变扁，直至成为极限位置线段2 1F F,此时也可认为是椭圆在1 e 时的特例。2。椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个)1,0(内常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数 e 就是离心率.椭圆的第二定义与第一定义是等价的，它是椭圆两种不同的定义方式 3.椭圆的准线方程 对于 12222 byax,左准线cax l21:;右准线cax l22:对于 12222 bxay，下准线cay l21:；上准线cay l22:焦点到准线的距离cbcc accap2 2

7、 2 2(焦参数)(二）双曲线的几何性质:1.（1)范围、对称性 由标准方程 12222 byax，从横的方向来看，直线 x a,x a 之间没有图象,从纵的方向来看，随着 x 的增大,y 的绝对值也无限增大,所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线。双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心。（2）顶点 高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）顶点：0,),0,(2 1a A a A，特殊点:b B b B,0),0(2 1 实轴：2 1A A 长为 2a,a 叫做实半轴长。虚轴：2 1B B 长为 2b，b 叫做虚半轴长。双曲线只有

8、两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异.（3）渐近线 过双曲线 12222 byax的渐近线 xaby(0 byax）(4)离心率 双曲线的焦距与实轴长的比acace 22,叫做双曲线的离心率 范围:e1 双曲线形状与 e 的关系：1 1222 2 2 eacaa cabk，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知,双曲线的离心率越大，它的开口就越阔。2.等轴双曲线 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率 2 e。3.共渐近线的双曲线系 如果已知一双曲线

9、的渐近线方程为 xaby)0(k xkakb，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)()(2222 kkbykax或写成 2222byax。4.共轭双曲线 以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线。区别：三量 a，b，c中 a,b 不同（互换）c 相同。共用一对渐近线。双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上.确定双曲线的共轭双曲线的方法：将 1 变为 1。5.双曲线的第二定义:到定点 F 的距离与到定直线 l 的距离之比为常数)0(a cace的点的高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）轨迹是双曲线.其中，定点叫

10、做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线.常数 e 是双曲线的离心率。6.双曲线的准线方程：对于 12222 byax来说，相对于左焦点)0,(1c F 对应着左准线cax l21:，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线cax l22:；焦点到准线的距离cbp2（也叫焦参数）.对于 12222 bxay来说，相对于下焦点),0(1c F 对应着下准线cay l21:；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线cay l22:。（三）抛物线的几何性质（1）范围 因为 p 0，由方程 0 22 p px y 可知，这条抛物线上的点 M的坐标（x，y)满足不等式 x 0，所以这条抛物线在 y 轴

11、的右侧；当 x 的值增大时，|y 也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。（2)对称性 以 y 代 y,方程 0 22 p px y不变，所以这条抛物线关于 x 轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。（3)顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点在方程 0 22 p px y中，当 y 0 时，x 0，因此抛物线 0 22 p px y的顶点就是坐标原点。（4）离心率 高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）抛物线上的点 M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用 e 表示。由抛物线的定义可知,e 1。【典型例题】例 1

12、。根据下列条件，写出椭圆方程（1)中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为 1/2、长轴长为 8；（2）和椭圆 9x2 4y2 36 有相同的焦点，且经过点(2，3)；（3)中心在原点，焦点在 x 轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是 5 10。分析：求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式,其次是根据 a2 b2 c2 及已知条件确定 a2、b2 的值进而写出标准方程。解:（1)焦点位置可在 x 轴上，也可在 y 轴上 因此有两解：112x16y112y16x2 2 2 2 或(2）焦点位置确定，且为（0,5），设原方程为2 22 21y xa b，（a

13、b 0），由已知条件有 14 952 22 2b ab a10,152 2 b a，故方程为 110 x15y2 2。(3）设椭圆方程为 12222 byax，（a b0）由题设条件有 5 10 c ac b及 a2 b2 c2，解得 b10,5 a 故所求椭圆的方程是 15y10 x2 2。例 2.直线1 kx y与双曲线 1 32 2 y x 相交于 A、B 两点，当 a 为何值时，A、B 在双曲线的高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）同一支上？当 a 为何值时，A、B 分别在双曲线的两支上？解：把1 kx y代入 1 32 2 y x 整理

14、得：0 2 2)3(2 2 ax x a（1）当 3 a 时，24 24 a 由0得6 a 6 且 3 a 时,方程组有两解，直线与双曲线有两个交点 若 A、B 在双曲线的同一支，须3222 1ax x 0,所以3 a或 3 a。故当 3 6 a 或 6 3 a 时,A、B 两点在同一支上；当 3 3 a 时，A、B 两点在双曲线的两支上。例 3。已知抛物线方程为)1 x(p 2 y2(p 0），直线m y x l:过抛物线的焦点 F 且被抛物线截得的弦长为 3，求 p 的值。解：设 l 与抛物线交于1 1 2 2(,),(,),|3.A x y B x y AB 则 由距离公式|AB|y y

15、|2|y y|k11)y y()x-(x2 1 2 1222 122 1 则有21 29().2y y 由0 2 y x，)1(2212 22 p py，x p ypy x得 消去.,2.0 4)2(22 1 2 12 2p y y p y y p p 从而2 122 122 14)()(y y y y y y 即294)2(2 2 p p 由于 p 0，解得43 p 例 4.过点(1，0）的直线 l 与中心在原点,焦点在 x 轴上且离心率为22的椭圆 C 相交于 A、B 两点，直线 y=21x 过线段 AB的中点，同时椭圆 C 上存在一点与右焦点关于直线 l 对称，试求直线 l 与椭圆 C

16、的方程.高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）解法一：由 e=22ac，得2122 2ab a，从而 a2=2b2,c=b.设椭圆方程为 x2+2y2=2b2,A(x1,y1）,B（x2,y2)在椭圆上.则 x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2，两式相减得，（x12 x22)+2(y12 y22)=0，.)(22 12 12 12 1y yx xx xy y 设 AB中点为（x0,y0）,则 kAB=002 yx,又(x0,y0）在直线 y=21x 上，y0=21x0,于是002yx=1,kAB=1,设 l 的方程为 y=x+1。右焦

17、点（b,0)关于 l 的对称点设为(x,y)，b yxb x yb xy11 12 21解得 则 由点（1，1 b）在椭圆上,得 1+2(1 b)2=2b2，b2=89,1692 a.所求椭圆 C的方程为 2291698yx=1，l 的方程为 y=x+1.解法二：由 e=21,2222 2ab aac得，从而 a2=2b2，c=b.设椭圆 C的方程为 x2+2y2=2b2,l 的方程为 y=k（x 1）,将 l 的方程代入 C 的方程，得(1+2k2）x2 4k2x+2k2 2b2=0,则 x1+x2=222 14kk，y1+y2=k（x1 1)+k（x2 1)=k（x1+x2）2k=22 1

18、2kk。直线 l:y=21x 过 AB的中点(2,22 1 2 1y y x x),则2222 12212 1 kkkk,解得 k=0，或 k=1.若 k=0,则 l 的方程为 y=0，焦点 F(c,0）关于直线 l 的对称点就是 F 点本身,不能在椭圆 C 上，所以 k=0 舍去,从而 k=1，直线 l 的方程为 y=(x 1),即 y=x+1,以下同解法一。解法 3：设椭圆方程为)1()0(12222 b abyax BAy=12xoyx F2F1高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）直线 l 不平行于 y 轴，否则 AB中点在 x 轴上与直线

19、AB x y 过21中点矛盾.故可设直线)2()1(x k y l的方程为 整理得：消 代入 y)1()2()3(0 2)(2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b a k a x a k x b a k)()(2 2 1 1y x B y x A，设，2 2 22 22 12b a ka kx x 知：代入上式得：又 k x x k y y 2)(2 1 2 1 21 22 1x xkk，21222 22 2 2 a kb a kk k，2122 kabk k，22 e 又 1 2 2)(2 2222 222 eac aabk，x y l 1 的方程为 直线,2 22b a 此时,0 2

20、2 4 3)3(2 2 b x x 化为 方程，0)1 3(8)1(24 162 2 b b 33 b，)4(2 22 2 2b y x C 的方程可写成：椭圆，2 2 2 2b b a c 又，)0(，右焦点 b F，)(0 0y x l F，的对称点 关于直线 设点，则b y xb x yb xy 1 121210 00 000，,得：在椭圆上，代入，又点)4()1 1(b 22)1(2 1 b b，3343 b，1692 b，892 a 所以所求的椭圆方程为:1169892 2 y x 例 5.如图,已知 P1OP2 的面积为427，P 为线段 P1P2 的一个三等分点，求以直线 OP1

21、、OP2为渐近线且过点 P 的离心率为213的双曲线方程。解：以 O为原点，P1OP2的角平分线为 x 轴建立如图所示的直角坐标系。设双曲线方程为2222byax=1（a 0,b 0）由 e2=2 222)213()(1 abac，得23ab。两渐近线 OP1、OP2方程分别为 y=23x 和 y=oyxPP2P1高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）23x 设点 P1（x1，23x1)，P2(x2，23x2）（x1 0,x2 0）,则由点 P 分2 1P P所成的比=21PPP P=2,得 P 点坐标为(22,322 1 2 1x x x x),

22、又点 P 在双曲线222294ayax=1 上,所以222 1222 19)2(9)2(ax xax x=1,即(x1+2x2)2(x1 2x2）2=9a2,整理得 8x1x2=9a2,427131241321sin|211312491232tan 1tan 2sin21349|,21349|2 1 2 1 2 11212 122222 12121 12 1 x x OP P OP OP SOx POx POP Px x x OP x x x OPOP P又 即 x1x2=29 由、得 a2=4，b2=9 故双曲线方程为9 42 2y x=1.例 6.已知点 B(1,0），C(1，0），P 是

23、平面上一动点，且满足.|CB PB BC PC（1)求点 P 的轨迹 C对应的方程；（2）已知点 A(m,2）在曲线 C 上，过点 A 作曲线 C 的两条弦 AD和 AE，且 AD AE，判断：直线DE是否过定点？试证明你的结论.（3）已知点 A（m,2）在曲线 C 上，过点 A作曲线 C 的两条弦 AD，AE，且 AD，AE的斜率 k1、k2 满足 k1k2=2。求证：直线 DE过定点，并求出这个定点。解：(1）设.4,1)1(|),(2 2 2x y x y x CB PB BC PC y x P 化简得 得 代入 高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有

24、翻版必究）).2,5(),5(12,0)2()5()2(),1 4(44442 4:).2 4,1 4(4),1(12:).24,14(,242,0 48 4,4)1(2).2,1(,1 4)2,()2(22222 222 12 22 过定点 即化简得 方程为 则直线得 代入 同理可设直线可得 由得 代入 的方程为 设直线的坐标为 点 得 代入 将xkkyy x k y kk xk kkkk y DEk k E x y xky AEkkDky ykyky x y x k y ADA m x y m A),1,(21212,2,0)2(24),(),(,1 4)2,()3(2 122112 2

25、221 1 1 12 x xxyxyk kb x kb x kx yb kx yy x E y x D b kx y DEm x y m AAE AD得 由的方程为 设直线得 代入 将)2,1(,),2,1(,2)1(2 2).2,1(,2)1(2 2).2().2(,)2(,)2(2,0 2)2()(2 2()2(,2 2222 122 122 1 2 122 2 1 1 定点为舍去 不合 过定点 得 代入 将过定点 得 代入 将代入化简得 将且x k k kx y b kx y k bx k k kx y b kx y k bk bk b k bkbx xkkbx xb x x k kb

26、x x kb kx y b kx y【模拟试题】（答题时间：50 分钟)一、选择题 1.是任意实数，则方程 4 sin2 2 y x 所表示的曲线不可能是（）A。椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D。圆 2.已知椭 121)(122 2t y x的一条准线方程是8 y,则实数 t 的值是（）A。7 或 7 B。4 或 12 C.1 或 15 D。0 高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）3.双曲线 142 2 ky x的离心率)2,1(e，则 k 的取值范围为()A。)0,(B。（12，0）C.（3,0）D。（60,12）4。以 112 42 2 y

27、x的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（)A.112 162 2 y x B.116 122 2 y x C。14 162 2 y x D.116 42 2 y x 5.抛物线 28mx y 的焦点坐标为（）A.)0,81(m B.)321,0(m C.)321,0(m D.)0,321(m 6.已知点 A（2，1），x y 42 的焦点为 F，P 是 x y 42 的点，为使 PF PA 取得最小值，P点的坐标是（）A.)1,41(B。)2 2,2(C.)1,41(D。)2 2,2(7.已知双曲线的渐近线方程为0 4 3 y x，一条准线方程为0 9 5 y，则双曲线方程为（)A.116 9

28、2 2 x y B。116 92 2 y x C。125 92 2 x y D。125 92 2 y x 8.抛物线 2x y 到直线4 2 y x距离最近的点的坐标为（)A。)45,23(B。)1,1(C。)49,23(D。)4,2(9.动圆的圆心在抛物线 x y 82 上，且动圆与直线 0 2 x 相切，则动圆必过定点（）A。（4，0）B。（2，0）C.（0，2)D.（0，2）10 中心在原点，焦点在坐标为（0，52）的椭圆被直线 3x y 2=0 截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为()高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）125 75

29、D.175 25C.1252752B.1752252A.2 2 2 22 2 2 2 y x y xy x y x 二、填空题 11。到 定 点（2,0）的 距 离与 到 定 直线 8 x 的 距 离 之 比为22的 动 点 的 轨 迹 方程 为_。12.双曲线 2 22 2 my mx 的一条准线是1 y,则 m _。13。已知点（2，3）与抛物线)0(22 p px y的焦点距离是 5，p_。14 直线 l 的方程为 y=x+3，在 l 上任取一点 P，若过点 P 且以双曲线 12x2 4y2=3 的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为 _。三、解答题 15.已知双曲线的中心在原

30、点，过右焦点 F（2，0）作斜率为53的直线,交双曲线于 M、N 两点，且 MN 4，求双曲线方程。16.过椭圆 13 42 2 y x的左焦点 F 作直线 l 交椭圆于 P、Q,2F 为右焦点。求：2 2QF PF的最值 17.已知椭圆的一个焦点为 F10 2 2()，,对应的准线方程为 y 9 24,且离心率 e 满足23，e、43 成等比数列。（1）求椭圆的方程。高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）（2）试问是否存在直线 l，使 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，且线段 MN 恰被直线 x 12平分?若存在，求出 l 的倾角的取值范围,若不

31、存在，请说明理由。18.如图所示，抛物线 y2=4x 的顶点为 O，点 A的坐标为（5,0），倾斜角为4的直线 l 与线段 OA相交（不经过点 O或点 A）且交抛物线于 M、N两点，求 AMN 面积最大时直线 l 的方程,并求 AMN 的最大面积.高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）【试题答案】1.C 2。C 3.B 4。A 5.B 6。A 7。A 8.B 9.B 10。C 11。136 72)4(2 2 y x 12。34 13.4 14。4 52 2y x=1 15.解：设所求双曲线方程为 1byax2222（a 0，b 0）,由右焦点为（2

32、，0)。知 c 2，b2 4 a2 则双曲线方程为 142222byax，设直线 MN的方程为：)2(53 x y,代入双曲线方程整理得：（20 8a2）x2 12a2x 5a4 32a2 0 设 M（x1,y1）,N(x2，y2），则222 18 2012aax x 22 42 18 2032 5aa ax x 2 1 2 124531 x x x x MN 48 2032 548 20125822 4222 aa aaa 解得：12 a，3 1 42 b 故所求双曲线方程为：1322 yx 16.解：直线 l:sin 0cos 1t yt x为参数 P、Q 为 l 与椭圆的交点 13)si

33、n(4)tan 1(2 2 t 高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）22 122 1cos 49cos 4cos 6 t t t t 1 1 1 11 1 2 2)(4 16)4)(4(QF PF QF PFQF PF QF PF z 2 2 22 1 2 1cos 43916cos 49cos 4124 164 16 t t t t 1 cos2 时0 cos;3 z2min 时425max z 17.解:（1）依题意，2343，e 成等比数列，可得 e 2 23 设 P（x y，）是椭圆上任一点 依椭圆的定义得 x yy2 22 29 242

34、 23()|化简得 9 92 2x y 即 xy2291 为所求的椭圆方程（2)假设 l 存在 因 l 与直线 x 12相交，不可能垂直 x 轴 所以设 l 的方程为：y kx m 由y kx mx y 9 92 2 消去 y 得，9 92 2x kx m()()()k x kmx m2 2 29 2 9 0 有两个不等实根 4 4 9 9 09 02 2 2 22 2k m k mm k()()高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）设两交点 M、N的坐标分别为()()x y x y1 1 2 2，x xkmk1 2229 线段 MN 恰被直线 x

35、 12平分 12 21 2x x 即 2912kmk k 0 mkk292 代入 m k2 29 0 得 kkkkkkkk k2222222929 09 0941 033 3()或 直线倾角的范围为 3 2 223，解：由题意，可设 l 的方程为 y=x+m，5 m 0.由方程组 x ym x y42,消去 y,得 x2+(2m 4)x+m2=0 直线 l 与抛物线有两个不同交点 M、N，方程的判别式=(2m 4)2 4m2=16(1 m)0，解得 m 1，又 5 m 0,m的范围为（5，0)设 M(x1，y1),N（x2,y2)则 x1+x2=4 2m，x1x2=m2，|MN|=4)1(2 m。点 A到直线 l 的距离为 d=25 m.高考文科数学圆锥曲线专题复习(2)(word 版可编辑修改)_（版权所有 翻版必究）S=2(5+m）m 1，从而 S 2=4（1 m）（5+m）2=2(2 2m)（5+m)(5+m）2(35 5 2 2 m m m)3=128.S 82,当且仅当 2 2m=5+m,即 m=1 时取等号.故直线 l 的方程为 y=x 1，AMN 的最大面积为 82.