高考数学真题分类汇编专题18：数列.pdf

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1、2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)1 2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为 2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列

2、(综合题)的全部内容。2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)2 2019 年高考数学真题分类汇编 专题 18:数列（综合题）1.（2019江苏)定义首项为 1 且公比为正数的等比数列为“M数列”.（1）已知等比数列an*nN满足：245324,440a aa aaa,求证:数列an为“M数列”；(2)已知数列bn满足:111221,nnnbSbb，其中Sn为数列bn的前n项和 求数列bn的通项公式；设m为正整数，若存在“M数列 cn*nN，对任意正整数k，当km时，都有1kkkcbc成立，求m的最大值【答案】（1）解：设等比数列an的公比为q ,所以a10，q0。由 ,得

3、，解得 因此数列 为“M-数列.（2）解：因为 ，所以 由 得 ,则 .由 ，得 ,当 时,由 ，得 ，整理得 所以数列bn是首项和公差均为 1 的等差数列。因此,数列bn的通项公式为bn=n .由知,bk=k ,。因为数列cn为“M数列，设公比为q ，所以c1=1，q0.因为ckbkck+1 ，所以 ，其中k=1，2，3，m。2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)3 当k=1 时，有q1；当k=2,3，,m时，有 设f(x）=，则 令 ，得x=e。列表如下:x e（e，+）+0 f（x）极大值 因为 ,所以 取 ，当k=1,2，3，4,5 时，即 ，经检验知 也成立 因此

4、所求m的最大值不小于 5 若m6，分别取k=3,6，得 3q3 ，且q56，从而q15243，且q15216,所以q不存在.因此所求m的最大值小于 6。综上,所求m的最大值为 5【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】(1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M数列”的定义证出数列an为“M数列。（2）利用 与 的关系式结合已知条件得出数列 为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列 的通项公式。由知，bk=k ，.因为数列 cn为“M数列”，设公比为q ，所以c1=1，q 0，因为ckbkck+1 ，所以 ，其中k=1，2，3，m ，

5、再利用分类讨论的方法结合2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)4 求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值.2.(2019 上海)已知等差数列na的公差0,d，数列nb满足sinnnba，集合*|,nSx xb nN （1）若120,3ad,求集合 S；（2)若12a,求 d 使得集合 S 恰好有两个元素；(3）若集合 S 恰好有三个元素：n Tnbb,T 是不超过 7 的正整数，求 T 的所有可能的值 【答案】(1)解：等差数列 的公差 ，数列 满足 ，集合 当 ,集合 （2）解：,数列 满足 ，集合 恰好有两个元素，如图:根

6、据三角函数线，等差数列 的终边落在 轴的正负半轴上时，集合 恰好有两个元素，此时 ，终边落在 上,要使得集合 恰好有两个元素，可以使 ,的终边关于 轴对称，如图 ，2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)5 此时 ,综上，或者 （3)解：当 时，集合 ，符合题意 当 时，或者 ,等差数列 的公差 ,故 ，又 当 时满足条件,此时 当 时，或者 ，因为 ，故 当 时，满足题意 当 时,所以 或者 ,故 当 时，满足题意 当 时,，所以 ,或者 ，故 当 时,因为 对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 ,，不符合条件 2019 年高考数学真题分类汇编专题

7、 18：数列(综合题)6 当 时，因为 对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3个点，必然有 ，不是整数，不符合条件 当 时，因为 对应着 3 个正弦值,故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有 或者 ,，或者 ,此时，均不是整数，不符合题意 综上,【考点】元素与集合关系的判断，集合的确定性、互异性、无序性，等差数列，等差数列的通项公式 【解析】【分析】(1)等差数列 的公差 ，数列 满足 ,集合 ,利用元素和集合间的关系求出结合等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式,从而求出当 时的集合 S。(2）当等差数列首项 时，利用数列 满足 ，用等差数列的通项公式和正弦值的求

8、解方法求出数列的通项公式,再利用数列的通项公式结合元素和集合间的关系，利用三角函数线求出使得集合 恰好有两个元素的 d 的值。（3）利用元素和集合间的关系结合已知条件集合 恰好有三个元素，用分类讨论的方法结合已知条件,用等差数列的通项公式和正弦值的求解方法求出数列的通项公式，再利用 是不超过 7 的正整数，从而求出满足要求的 的所有可能的值 3。(2019 浙江）设等差数列an的前 n 项和为 Sn,a3=4.a4=S3，数列 bn满足：2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)7 对每个 nN*，Sn+bn，Sn+1+bn、Sn+2+bn成等比数列（1）求数列an,bn的通项

9、公式；（2)记 Cn=2nnab，nN*,证明：C1+C2+Cn2n，nN*.【答案】（1）设数列 的公差为d ，由题意得 ，解得 从而 由 成等比数列得 解得 所以 (2）我们用数学归纳法证明 当n=1 时，c1=02，不等式成立；假设 时不等式成立，即 那么,当 时，即当 时不等式也成立 根据（1）和（2），不等式 对任意 成立【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数学归纳法 2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)8【解析】【分析】（1)根据等差数列的通项公式，解方程，结合等比中项，即可求出相应的表达式；（2)采用数学归纳法,现在 n=1 时式子成立,假设 n

10、=k 时式子成立，再证n=k+1时式子也成立即可。4。（2019天津）设na是等差数列，nb是等比数列,公比大于 0,已知1123223,43.abba ba （）求na和nb的通项公式；（）设数列nc满足 求*1 12222nna ca ca cnN.【答案】解：（）解：设等差数列 的公差为 d，等比数列 的公比为 q 依题意，得 ，解得 ，故 .所以，的通项公式为 ，的通项公式 为 。（）解：=.，得，。所以，2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)9【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】(I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出

11、，设 的公差为 ,的公比为 ，根据等比数列和等差数列的通项公式,联立方程求得 和 ，进而可得 、的通项公式；（II）数列 的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前 项和 5.（2019天津）设na是等差数列，nb是等比数列.已知1122334,6,22,24.abbaba （)求na和nb的通项公式；(）设数列nc满足111,22,1,2,kknkknccb n 其中*.kN。（i)求数列 221nnac的通项公式;（ii）求2*1niiia c nN.【答案】解:（）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 。依题意得 解得 故 。所以，的通项公式为 的通项公式为 .（）(

12、i）。所以,数列 的通项公式为 .（ii）2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)10 【考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式，数列的求和 【解析】【分析】本题主要考查等差数列、等比数列以及通项公式及其前项和公式.（）由 ，根据等差数列、等比数列的通项公式列出方程组,即可求 和 的通项公式；(）由（)的通项公式为 的通项公式为 ，得出数列 的通项公式；（）将 代值并化简即可求值。6.（2019卷）已知na是各项均为正数的等比数列，1322,216.aaa (1）求na的通项公式；（2）设2lognnba,求数列nb的前 n 项和.【答案】（1）解：设na的公比为 q，

13、由题设得 ,即 .解得 （舍去）或 q=4.因此 的通项公式为 。（2）由(1）得 ，因此数列nb的前 n 项和为 。【考点】等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和 【解析】【分析】（1）利用等比数列的通项公式整理化简原式得出关于 q的方程，求出公比的值进而求出等比数列的通项公式即可.（2)由已知求出数列nb 的通项公式，再利用等差数列的前 n 项和公式即可求出结果。2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)11 7。(2019 北京）设an是等差数列，a1=-10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列.（I）求an的通项公式；(）记an的前 n 项和为 Sn，求

14、 Sn的最小值。【答案】解：（I）根据三者成等比数列，可知 ,故 ，解得 d=2，故 ；（）由(I）知 ,该二次函数开口向上，对称轴为 n=5.5，故 n=5 或 6 时，取最小值30.【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和 【解析】【分析】（I）根据等比中项,结合等差数列的通项公式，求出 d，即可求出 ;（)由（1），求出 ，结合二次函数的性质，即可求出相应的最小值。8。(2019 卷）已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0，1434,nnnaab 1434.nnnbba （1)证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列；(2）求an和bn的通项公式。【答案】（1)解:由

15、题设得 ，即 又因为a1+b1=l，所以 是首项为 1，公比为 的等比数列 2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)12 由题设得 ，即 又因为a1b1=l，所以 是首项为 1，公差为 2 的等差数列(2)由（1）知，所以 ，【考点】等差数列与等比数列的综合 【解析】【分析】（1）整理已知的递推公式即可得出 ，则 是首项为 1，公比为 的等比数列,再结合已知条件可推出 即可得出 是首项为 1，公差为 2 的等差数列（2)结合（1）的结论把两个数列 、的通项公式相减，即可得出两个数列an和bn的通项公式。9.（2019北京）已知数列an,从中选取第 i1项、第 i2项第 im项

16、（i1i2im)。若 ai1ai2aim。则称新数列 ai1 ，ai2 ，aim.为an的长度为 m的递增子列。规定：数列an的任意一项都是an的长度为 1的递增子列。（I）写出数列 1，8,3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列；（II）已知数列an的长度为 P的递增子列的末项的最小值为 am0 ,长度为 q 的递增子列的末项的最小值为 an0，若 pq，求证：am0an0；(III）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等。若an的长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s1，且长度为 s 末项为 2s1的递增子列恰有 2s1个（s=1.2。），求数列an的通项公式。【

17、答案】解：(I）1，3，5,6 或 1，3,5,9 或 1,3,6,9或 3,5，6,9 或 1，5，6，9(写出任意一个即可）；2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)13(II）设数列 的长度为 q 的一个递增数列为 且 ；设数列 的长度为 p 的一个递增数列为 且 ;因为 p ;(III）（用数学归纳法证明即可）.【考点】数列的应用 【解析】【分析】（I)根据题意直接写出符合题意的数列即可；（II）构造数列证明即可；(III）根据题意写出通项公式即可.10。（2019卷）记 Sn为等差数列an的前 n 项和,已知 Sn=-a5 (1）若 a3=4，求an的通项公式。（2）若 a10，求使得 Snan的 n 取值范围。【答案】（1)解：设 的公差为d 由 得 由a3=4 得 于是 因此 的通项公式为 （2）由（1）得 ，故 。由 知 ，故 等价于 ，解得 1n10 所以n的取值范围是 【考点】等差数列 2019 年高考数学真题分类汇编专题 18：数列(综合题)14【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和等差数列的前 n 项和公式结合已知条件求出等差数列的首项和公差,从而求出等差数列的通项公式.（2)由（1）得 ，故 。由 知 ，故 等价于 ，再利用一元二次不等式求解集的方法结合 n 自身的取值范围,从而求出 n 的取值范围。