2023年高考第一模拟考试卷：数学（上海A卷）（全解全析）.pdf

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1、2023年 高 考 数 学 第 一 次 模 拟 考 试 卷 数 学.全 解 全 析 注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 等 填 写 在 答 题 卡 和 试 卷 指 定 位 置 上。2.回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 上 无 效。3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡

2、一 并 交 回 一、填 空 题 1.已 知 i为 虚 数 单 位，复 数 z=2-i,则 z-N=.【答 案】5【分 析】利 用 共 轨 复 数 概 念 与 复 数 的 乘 法 运 算 即 可 得 解.【解 析】因 为 z=2-i,所 以 5=2+i,故 z N=（2 T）（2+i）=4 T 2=5.故 答 案 为：5.2.若 集 合 A=卜 卜 一 5 4+6 0卜 B=*三 2 2,则 低 力 B=【答 案】伸。=川 0 4犬 9,.。4=卜,0或 44x49o B 1 4 x 9）.故 答 案 为：x|xl或 44x49.3.函 数/（司=7+电-1）的 定 义 域 为 _.【答 案】。

3、,4【分 析】根 据 函 数 的 解 析 式 有 意 义 列 出 不 等 式 组，求 出 解 集 即 可.【解 析】要 使 函 数，(x)=G+l g(x-1)有 意 义，则 45-x 00,解 得 xx 4r 所 以 所 以 函 数 x)=二+l g(x-l)的 定 义 域 为(1,4.故 答 案 为：(1,4.4.小 赵、小 钱、小 孙、小 李 到 4 个 景 点 旅 游，每 人 只 去 一 个 景 点，设 事 件 A 为 4 个 人 去 的 景 点 不 完 全 相 同，事 件 B为 小 赵 独 自 去 一 个 景 点，则 P(8|A)=.3【答 案】y【分 析】首 先 求 出 小 赵 独

4、 自 去 1个 景 点 的 情 况 数，再 求 出 4 人 去 的 景 点 不 完 相 同 的 总 可 能 性 数，最 后 得 到 概 率.【解 析】小 赵 独 自 去 一 个 景 点，则 有 4 个 景 点 可 选，其 余 3 人 只 能 在 小 赵 剩 下 的 3 个 景 点 中 选 择，可 能 性 为 33=2 7种，所 以 小 赵 独 自 去 一 个 景 点 的 可 能 性 为 4 x 27=108 种，1 no 鼻 因 为 4 个 人 去 的 景 点 不 完 全 相 同 的 可 能 性 为 4 J 4=252种，所 以 P(8|A)=:3故 答 案 为：y.5.代 数 式，+2)(4

5、-1)5的 展 开 式 的 常 数 项 是(用 数 字 作 答)X【答 案】3【分 析】写 出 二 项 展 开 式 的 通 项，令 x 的 指 数 为 零，求 出 参 数 值，再 代 入 通 项 即 可 得 解.摄 一 1 j 的 展 开 式 通 项 为 Rr+=C；G J(T)=C；.(-l)r-x2r-10,所 以，(丁+25的 展 开 式 通 项 为 小=.(-琰./T。+2 G.(-1)一。=c.(一 1)。产 8+2 C(_ 1)由 2%8=0，可 得 2 K)=0k=4r=5因 此，+2）（5 一 1）的 展 开 式 的 常 数 项 为 C；-（T）4+2C；.（-1）5=3.故

6、答 案 为：3.6.若 等 差 数 列 4 满 足%+%+%0，%+4 o 0，8 0,又 生+4 0=4+a9 V 0,/.a9 0）,若 f（x）在（彳，；）上 无 零 点，则。的 取 值 范 围 为【答 案】（0,1 弱【分 析】由 辅 助 角 公 式 化 简，由 三 角 函 数 性 质 求 解，【解 析】”x）=sin（s-g,而 若 x）在（,当）上 无 零 点，则!2 兀，（0-,co-3 或-:-3-0 或：CO-3 713万 4,八 3 冗，571 4，7-CD-4 0-G）-71-CD-4-2 3 2 3 2 3 62 9 2解 得 或 9 3 97 0 Q故 答 案 为：（

7、0,8.已 知./（力=2/-0+111在 区 间（1,+）上 单 调 递 增,则 实 数。的 取 值 范 围 是 _ 分 析】求 导 后 得 到 4/_双+1 0在 x e(1,上 恒 成 立,参 变 分 离 后 得 到 a 4 4x+/在 x w(1,物)卜.恒 成 立，利 用 导 函 数 求 出 4x+，5,从 而 求 出 实 数。的 取 值 范 围.X【解 析】fx)=4x-a+-=4 eCVC+l,问 1,何，X X故 只 需 4*2-如+1*0在 xw(l,4w)上 恒 成 立，则 a44x+在 xe(l,+oo)上 恒 成 立，其 中 了=4-3=”一 0 在 xe(l,4w)上

8、 恒 成 立，X X故 4x4 5,所 以 aK5,x故 答 案 为：(,5.2 29.已 知 双 曲 线：二-2=1(。0力 0)的 实 轴 为 4 4，对 于 实 轴 AA?上 的 任 意 点 尸，在 实 轴 4 4 上 a b都 存 在 点。，使 得|PQk 回，则 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 夹 角 的 最 大 值 为；【答 案】y【分 析】通 过 分 析 得 到 a 2 小，设 渐 近 线 与 x 轴 的 夹 角 为。，则 t a n 6 4 3，求 出。三,从 而 求 3 6出 双 曲 线 r 的 两 条 渐 近 线 夹 角 的 最 大 值.【解 析】对 于 实 轴 A 4

9、 上 的 任 意 点 尸，在 实 轴 A 4 上 一 都 存 在 点 Q，使 得|尸。|=折，当 点 p 位 于 原 点 时，则 要 且 2 6 6,才 能 满 足 要 求，所 以:且，设 渐 近 线 与 x 轴 的 夹 角 为。，则 tan”正，a 3 3因 为。4，则 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 夹 角 为 2。4 1，6 3故 答 案 为：y10.已 知 函 数/(x)是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数，在。+8)上 是 增 函 数，H/(x2+or+Z7)0的 解 集 为.【答 案】(。，+8)【分 析】由 题 意 可 得 出 产+6LV+/?|2x2+4x+1|，可 知

10、方 程/+O+b=0 与 方 程 2工 2 4-4x 4-1=0 同 解,可 解 得。=2力=g,则 不 等 式 为 x+sin；x 0,利 用 函 数（x）=x+singx的 单 调 性 即 可 解 出 不 等 式.【解 析】由 于 函 数 f（x）定 义 在 R 匕 的 偶 函 数，在 0,m）是 增 函 数，由 7（%2+依+6）4/（2丁+4+1）得/（,2+以+4）4/02-+4工+1）,所 以+奴+.W p f+4x+1,解 方 程 2x2+4x+l=0得 玉=.2+啦 J2=令 8 二 八 以+尻 则 0,所 以 芭 二 _：,=2 2&是 方 程 M+仪+力=0 的 两 根,一

11、 a=%+/=2 a=2由 韦 达 定 理 得，1，解 得，1,贝/不 等 式 abx+sinbx 0 即 尤+sin 0,设(x)=x+sinx,23+&L,Icoslxe2 2 2 2_ _2,2故”(x)0,所 以（x）单 调 递 增，且（0）=0,故 解 集 为（0,）.故 答 案 为：（。，+8）.【点 睛】方 法 点 睛：对 于 求 值 或 求 解 函 数 不 等 式 问 题，一 般 先 利 用 函 数 的 奇 偶 性 得 出 区 间 上 的 单 调 性，再 利 用 其 单 调 性 脱 去 函 数 的 符 号/，转 化 为 解 不 等 式（组）的 问 题，若/）为 偶 函 数，则/

12、(-x)=/(x)=/(|x|).11.如 图，在 长 方 体 A B C D-A A G A 中，A D=DD1=1,AB=6,E,F,G分 别 为 AB,BC，G A 的 中 点.点 P在 平 面 A B C O 内，若 直 线 已 尸 平 面 E F G,则 线 段 A P 长 度 的 最 小 值 是 _【答 案】巨 2【分 析】利 用 线 面 平 行 的 判 定 定 理，面 面 平 行 的 判 定 定 理，确 定 P在 直 线 A C,再 根 据 R P,A C时 线 段 D P最 短 即 可 求 解.【解 析】解：如 图，连 结 R A,A C,R C,E,G 分 别 为 AB,B

13、C,G R的 中 点，二 AC/EF,EFZ平 面 AC。，A C u平 面 4 c 2，EF 平 面 AC。，EG/ADt,EG a 平 面 ACDl,ADt u 平 面 ACDt,EG 平 面 AC。，：EF EG=E,.平 面 EFG 平 面 ACQ,R P 平 面 EFG,点 P在 直 线 A C上，在 ACQ 中，AD、=y/i,AC=2,CD1=2,S 叫 c=；x&x=.当 R P J.4 C 时，线 段 R P 的 长 度 最 小，最 小 值 为 1 2.在 空 间 直 角 坐 标 系。一 种 中，三 元 二 次 方 程 所 对 应 的 曲 面 统 称 为 二 次 曲 面.比

14、如 方 程V+y2+z2=l表 示 球 面，就 是 一 种 常 见 的 二 次 曲 面.二 次 曲 面 在 工 业、农 业、建 筑 等 众 多 领 域 应 用 广 泛.已 知 点 P(x,y,z)是 二 次 曲 面 一 个+y2-2z=0 上 的 任 意 一 点，M x 0,y 0,Z o,则 当 上 取 得 最 小 值 时，不 等 式 廿 上 做 恒 成 立，则 实 数。的 取 值 范 围 是 _.xy+-2 0 x 2 2【答 案】Je,+8)【分 析】先 通 过 三 取 得 最 小 值 这 个 条 件 找 出 当 天 y，z的 关 系，带 入 后 一 个 不 等 式，利 用 对 数 恒

15、等 式 孙 变 型，此 后 分 离 参 数 求 最 值 即 可.【解 析】根 据 题 意 4/-孙+y2 2z=0,带 入 二 可 得：三=舁=4 1二 xy+y-=空+三 一 g,而 xy xy 2xy 2xy y 2x 2x0,y 0,利 用 基 本 不 等 式 在+户-4=2,当 在=，即 y=2x取 得 等 号，此 时 y 2x y 2x y 2xz y=2x2Z=4X2-X-2X+4X2=6X 即 z=3 f,综 上 可 知，当 一 取 得 最 小 值 时，2,带 入 第 二 个 式 孙 z=3x子 可 得，+0,HP+6rjv-lnx0,于 是 土+ar-Qlnx=cL*+a(x-

16、lnx)20,设 x 2 x x1 Y 1w=w(x)=x-lnx,ux)=1一 一=-,故 当 X 1 时,“(%)递 增，Ovxvl时，(x)递 减，x xu(x)mjn=w(l)=l；于 是 原 不 等 式 转 化 为 时，e+m N 0 恒 成 立，即-“4 乏 在 学 1时 恒 成 立，设 U/J(M)=(M1),于 是“(“)=d(-1)2 0,故/!()在 时 单 调 递 增，h(u)min=h m=e,-a-e即 可.故 答 案 为：-e,+8)【点 睛】本 题+ar-alnx20恒 成 立 的 处 理 用 到 了 对 数 恒 等 式，若 直 接 分 离 参 数 求 最 值，会

17、 造 成 X很 大 的 计 算 量.二、单 选 题 13.设 随 机 变 量 XN(O,1),f(x)=P(Xx),其 中 x 0,则 下 列 等 式 成 立 的 是()A./(2x)=2/(x)B./(-x)=l-/(x)C.P(Xx)=2-/(x)【答 案】B【分 析】根 据 正 态 分 布 曲 线 的 对 称 性，以 及 太 累 的 计 算 方 法，逐 项 判 定，即 可 求 解.【解 析】因 为 随 机 变 量 XN(O,1),所 以 此 正 态 曲 线 关 于 直 线 x=0对 称，因 为“X)=P(X x)(x0),所 根 据 对 称 性 可 得/(-x)=P(Xx)=l-/(x)

18、,所 以 B 正 确；由 2x)=P(X2 2x),2/(x)=2P(XNx),所 以 尸(X 2 2x)与 2P(X 2 尤)不 一 定 相 等，所 以 A 错 误;由 P(X4x)=l P(X2x)=l x),所 以 C 错 误;由 P(因 2 幻=尸(*或 乂 4 一 冷=2/3,所 以 力 错 误.故 选：B.14.下 列 命 题 正 确 的 是()A.若”0,则，a bB.若 函 数 不 是 偶 函 数，则 对 其 定 义 域 内 每 个 实 数 X,都 有 1y(-x)N“x)4(7 TC.函 数 y=sinx+,xe 0,的 最 小 值 为 4sinx I 2D.若 4M=2q,

19、(eN*),则 4 是 等 比 数 列【答 案】Ax x 0【分 析】利 用 作 差 法 可 判 断 A 选 项 的 正 误；取 f(x)=3一 八，利 用 特 殊 值 法 可 判 断 B 选 项 的 正 I x,x U误；利 用 基 本 不 等 式 可 判 断 C 选 项 的 正 误；取 4=0 可 判 断 D 选 项 的 正 误.【解 析】对 于 A 选 项，Qab 0.-7 A 选 项 正 确；a b ab a bfx x 2 0对 于 B 选 项，取/(x)=.当 x 0,此 时/(一 力 力/(可，该 函 数 不 是 偶 函 数,但=B 选 项 错 误；对 于 C 选 项，当 时、0

20、 sinx 1,由 基 本 不 等 式 可 得 y=sinx+一 N2/sin犷/一=4,1 2 sin x V sin x4当 11仅 当 sinx=时，即 当 sinx=2时，等 号 成 立，但 OvsinxWl,故 等 号 不 成 立，smx4(乃 所 以，函 数 y=sinx+,xe 0,的 最 小 值 不 是 4，C 选 项 错 误；smx 2对 于 D 选 项，对 任 意 的“e N*，a=0,满 足。向=2“(%*),但 数 列 4 不 是 等 比 数 歹 1，D 选 项错 误.故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 命 题 正 误 的 判 断，考 查 不 等 式 的 基 本 性

21、质、偶 函 数 定 义 的 理 解、基 本 不 等 式 以 及 等 比 数 列 的 判 断，考 查 推 理 能 力，属 于 基 础 题.1 5.已 知 正 方 形 ABCQ的 边 长 为 4,点 M、N 分 别 在 边 4。、8 c 上，且 4 0=1,BN=2,若 点 P在 正 方 形 ABC。的 边 上，则 P M.P N的 取 值 范 围 是（）A.6,6 B.6,2 C.-2,6 D.2,2【答 案】C【分 析】建 立 平 面 直 角 坐 标 系，利 用 向 量 的 数 量 积 运 算 及 二 次 函 数 求 值 域 即 可 得 解.【解 析】如 图，建 立 平 面 直 角 坐 标 系

22、，则 M(O,1),N(4,2),当 尸 在 A。上 时，设 尸(0,y)(0 4 y 4 4),p j=(o,1-y),/W=(4,2-y)-T T 3 1PM-PN=y2-3 y+2=(y-)2-,3-1-当 y 时，(P M-P N)m in=-“当 y=4 时，(P M./W)0 m=6，即 一 4当 尸 在 8 c 上 时，设 P(4,y)(0 y 4),则 局=一 y),由=(0,2-y)，.f 3 1 1:.P M-P N=y2-3 y+2=(y-)2-,PM-PN 6,当 P在 A B上 时,设 尸(x,0)(0 x 4 4),p f=(_x,l),/W=(4-x,2),P M

23、-P N=x2-4 x+2=(x-2)2-2，当 x=2时,(2.尸&)而=一 2，当 x=4时(PM PM)M=2,即 一 2WP例 PNW 2,当 尸 在 C D上 时，设 P(x,4)(0 当 x=4时，(前 前)皿、=6，即 2 4 PM PN 4 6.综 上 可 得，-2PM PN6故 选：C1 6.双 曲 线-产=绕 坐 标 原 点 o 旋 转 适 当 角 度 可 以 成 为 函 数/a)的 图 象，关 于 此 函 数 f(x)有 如 下 四 个 命 题，其 中 真 命 题 的 个 数 为()f(x)是 奇 函 数；/(x)的 图 象 过 点 或/(X)的 值 域 是(y0，-!T

24、400 函 数 y=/(x)x 有 两 个 零 点.A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1个【答 案】C【分 析】求 出 双 曲 线 的 对 称 中 心 和 顶 点 坐 标 以 及 渐 近 线 方 程，画 出 f(x)的 图 象(位 于 一、三 象 限),对 选 项 一 一 判 断 即 可，由 对 称 性 可 分 析/(X)的 图 象 在 二、四 象 限 的 情 况，即 可 得 到 答 案.【解 析】双 曲 线 1-丁=1关 于 坐 标 原 点 对 称，可 得 旋 转 后 得 到 的 函 数 f(x)的 图 象 关 于 原 点 对 称，所 以/(X)为 奇 函 数，故 正 确；双 曲 线

25、的 顶 点 为(6.0),渐 近 线 方 程 为 y=等 x,可 得/(X)的 图 象 渐 近 线 为 x=0 和 y=立 x,图 象 关 于 直 线 y=A 对 称，所 以 f(x)的 图 象 过 点 4，|或(亭，一，由 图 象 的 对 称 性 可 得，/(x)逆 时 针 旋 转 60度，位 于 一、三 象 限，按 顺 时 针 旋 转 60度，位 于 二、四 象 限；故 正 确；/(X)逆 时 针 旋 转 60度，位 于 一、三 象 限，由 图 象 可 得 顶 点 为 亭,|或(亭,一 9)不 是 极 值 点，则“X)的 值 域 不 是 卜 8,V u T 收)“X)顺 时 针 旋 转 6

26、0度，位 于 二、四 象 限，由 图 象 的 对 称 性 知“力 的 值 域 不 是 1-8,-|U 方 用)，故 错 误；当 f(x)的 图 象 位 于 一、三 象 限 时，“X)的 图 象 与 直 线 y=x 有 2 个 交 点，函 数 y=/(x)-x有 两 个 零 点，当/(x)的 图 象 位 于 二、四 象 限 时，f(x)的 图 象 与 直 线 y=x 没 有 交 点，函 数 y=/(x)-x没 有 零 点，故 错 误，故 选；C.【点 睛】本 题 考 查 双 曲 线 的 方 程 以 及 性 质，考 查 函 数 的 奇 偶 性 和 对 称 性 以 及 值 域 的 求 法，主 要 考

27、 查 运 算 能 力 以 及 数 形 结 合 的 综 合 分 析 能 力，属 于 难 题.三、解 答 题1 7.如 图，三 棱 台 ABC-F中，N ABC=90。，A C=2A B=2D F,四 边 形 ACFQ为 等 腰 梯 形，N ACF=45。，平 面 ABEQJ平 面 ACFD 求 证：ABA.CF-,（2）求 直 线 BD与 平 面 ABC所 成 角 的 正 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析 喈【分 析】（1）延 长 A/入 BE、CF交 于 点 P,由 平 面 平 面 ACFD推 导 出 CPJ平 面 A B E D,进 而 可 得 出 CP_LA&（2）设。尸=m 可

28、 得 出%=缶，BC=鸟,过 点 尸 作 PMJ-8C于 点 例，计 算 出 点。到 平 面 A8C的 距 离 人 即 可 求 得 直 线 8。与 平 面 ABC所 成 角 的 正 弦 值.【解 析】（1）证 明：延 长 A。、BE、C尸 交 于 点 P,B,四 边 形 ACF。为 等 腰 梯 形，N ACF=45。，=N APC=90。，即 CP_LAP,.,平 面 A8ED_L平 面 A C F D,平 面 AB ED c平 面 ACFD=AP,C P u平 面 AC尸。，J.CPJL平 面 A8E。，A B u平 面 ABEO,/.CPJ.AB.(2)由 AC=2AB=2O凡 可 知。为

29、 鬼 的 中 点，设 尸=。，则 PA=&“，BC=y/3 a,由(1)知，CPAB,.ZABC=9O,B P ABA.BC,CP BC=C,CP、BC u 平 面 PBC,，A8_L 平 面 尸 8 C,.z.PB=yJPA2-A B2=a BD=；P A=a,过 点 作 PM_L 8 c 于 点 M,ABJ_ 平 面 PBC,P M u 平 面 PBC,：.AB A.PM,又 A8 BC=C,AB,8 C u 平 面 A B C,二 PM_L 平 面 A B C,二 PM_LBC,由（）知，CP ABED,：.CPA.PB,/.P M B C=C P P B,BPPM/3=5/2a-a.，

30、=；为 总 的 中 点,G 3D 到 平 面 A B C的 距 离 h=-P M=a,2 6 直 线 8 与 平 面 ABC所 成 角 的 正 弦 值 为 y=D D-6a显 7 F-T a218.ABC 中，内 角 A、B、。所 对 的 边 分 别 为 a、b、c,=a2+c2-a c.当 4 为 何 值 时，函 数 V=2sin2A+cos（号 4）取 到 最 大 值，最 大 值 是 多 少？若 等 于 边 A C上 的 高，求 sin（F）的 值.【答 案】A=g 时，y=2sin，A+cos（C）取 得 最 大 值,最 大 值 为 2；1【分 析】由 余 弦 定 理 求 对 y=2si

31、n2A+cos（m）恒 等 变 形 得 到 y=l+sin（2A=利 用 整 体 法 求 解 出 最 大 值:（2）先 利 用 三 角 形 面 积 公 式 和 止 弦 定 理 得 到 sin AsinC=sin C-sin A,再 使 用 和 差 化 积 等 得 到 sin=-s i n 2?,解 方 程 求 出：s i n?=1 或 舍 去 不 合 要 求 的 解，求 出 答 案.2 4 2 2 2 2【解 析】（1）由/=/+0 2 一 四 得：c o s“=竺,2ac 2ac 2因 为 3 0,兀），所 以 8y=2sin2 A+=1-cos2A+cos 7 1 Tl Tt=1-cos2

32、A+cos 2A=1-cos 2A+cos-cos 2 A+sin sin 2 A1 3）3 3y/3._.1 _.(八 八 7 7 1 1、I H-sin 2A cos2A=l+sin|2A2 2 6因 为 A E（。,与）,所 以 67 t 976 K A)m所 1 以 当 2 A-巴=2,即 A=巴 时，j=2sin2 A+cos6 2 3=l+sin（2 A-）取 得 最 大 值，最 大 值 为 2：（2）由（1）知：B=p由 三 角 形 面 积 公 式 得：jacsinB=h/i=h（c-a）,从 而 aesinB=b(c-a),由 正 弦 定 理 得：sin Asin Csin B

33、=sin B(sin C-sin A),因 为 sin 8=,所 以 sin Asin C=sin C-sin A,2由 和 差 化 积 得：sin C-sin A=2cosX s i n j=2cos 上 A n=.C=si An-2e j.2C+A.2 C A 1 cos(C+A)1 cos(C A)因 为 sin 2-sm2-=-2c o s(C-A)2cos(C+A)cos C cos A+sin C sin A-cos C cos A+sin C sin A.,-=-=sin C sin A,所 以 sin Csin A=sin?2C+A.o C A.2 冗 B.2。一 4 3.2

34、C-A-sin-=sin-sin-=sm-22 2 2 22 2 22 2 2 2 4 2,.C A 3.2。4 Ajj/g C A 1 3故 siny=w-s i1 r y,解 得：Siny=-n-，因 为 s in C y 4 w(-l,l),所 以 s i n=L2 21 9.疫 情 防 控 期 间，某 小 微 企 业 计 划 采 用 线 下 与 线 上 相 结 合 的 销 售 模 式 进 行 产 品 销 售 运 作.经 过 测 算，若 线 下 销 售 投 入 资 金 x（万 元），则 可 获 得 纯 利 润 二（万 元）；若 线 上 销 售 投 入 资 金 x（万 元），425x 0V

35、 x 20 当 投 入 线 下 和 线 上 的 资 金 相 同 时，为 使 线 上 销 售 比 线 下 销 售 获 得 的 纯 利 润 高，求 投 入 线 下 销 售 的 资 金 x（万 元）的 取 值 范 围;（2）若 该 企 业 筹 集 了 用 于 促 进 销 售 的 资 金 共 3 0万 元，如 果 全 部 用 于 投 入 线 下 与 线 上 销 售，问：该 企 业 如 何 分 配 线 下 销 售 与 线 上 销 售 的 投 入 资 金，可 以 使 销 售 获 得 的 纯 利 润 最 大？并 出 求 最 大 的 纯 利 润.【答 案】（10,40）投 入 线 下 销 售 的 资 金 1

36、0万 元，投 入 线 上 销 售 的 资 金 为 2 0万 元 时，纯 利 润 最 大，最 大 值 为 62.5万 元【分 析】（1）根 据 题 意 分 0 V X M 2 0与 x 2 0进 行 讨 论 求 出 即 可；（2）设 投 入 线 下 销 售 的 资 金 为 x（万 元），投 入 线 上 销 售 的 资 金），（万 元），结 合 题 意 写 出 总 利 润 的 表 达 式，利 用 函 数 的 性 质 求 解 即 可.【解 析】（1）当 0 4 x 4 2 0时,5x由 一 4-得 x 10,30 x所 以 1 0 2 0时,由 竺 5 0得 x 4 0,4所 以 2 0 V x 4

37、0综 上 所 述，投 入 线 卜 的 资 金 x（万 元）的 取 值 范 围 为（10,40）（2）设 投 入 线 下 销 售 的 资 金 为 x（万 元），投 入 线 上 销 售 的 资 金 y（万 元）,所 以 x+y=30当 0 4 y W 2 0 即 1 0 W 3 0 时,、，-，/、5x 25y 5x 750总 利 润 x）+/广 彳+工-25易 得 L（x）在 区 间 1（）,10面 上 严 格 递 减，在 区 间 1076,30 上 严 格 递 增 又 L(10)=62.5,L(30)=37.5所 以 当 x=10时，乙（。恤=62.5当 2 0 y M 3 0 即 0 V x

38、 1 0时，总 利 润 L（x）=y+50 62.5缘 上 所 运，投 入 线 下 销 售 的 资 金 1 0万 元，投 入 线 上 销 售 的 资 金 为 2 0万 元 时,纯 利 润 最 大，最 大 值 为 62.5万 元.2 0.已 知 中 心 在 原 点。，左 焦 点 为 6（-1,0）的 椭 圆 G 的 左 顶 点 为 A,上 顶 点 为 8,到 直 线 A 8 的 求 椭 圆 C1的 方 程;过 点 P（3,o）作 直 线/,使 其 交 椭 圆 G 于 R、s两 点，交 直 线 x=l于。点.问：是 否 存 在 这 样 的 直 线/,使|PQ|是|国、|8|的 等 比 中 项？若

39、存 在，求 出 直 线/的 方 程；若 不 存 在，说 明 理 由；2 2 2 2 若 椭 圆 C1方 程 为+*1（。匕 0）,椭 圆 C2方 程 为：号+%=k（k O,k#l）,则 称 椭 圆 C2是 椭 圆 G 的 k倍 相 似 椭 圆.已 知 C?是 椭 圆 的 3倍 相 似 椭 圆，若 直 线 y=sx+t与 两 椭 圆 G、Q 交 于 四 点（依 次 为 尸、2、R、S）,且 尸 S+RS=2 Q S,试 研 究 动 点 E（s,r）的 轨 迹 方 程.【答 案】三+t=14 3 存 在，y=（x-3）4/4s2（3）-=19 32 2【分 析】（1）设 椭 圆 G 方 程 为.

40、+表 印,。），根 据 己 知 条 件 可 得 出 关 于 明 匕 的 方 程 组，解 出 这 两 个 量 的 值，即 可 出 椭 圆 C1的 方 程；（2）分 析 可 知 直 线/不 与 x轴 重 合，设 直 线/的 方 程 为 x=%y+3,记/?（为,）、5（,y2）,0（xo,yo）,将 直 线/的 方 程 与 椭 圆 C1的 方 程 联 立，列 出 韦 达 定 理，求 出%,由 已 知 条 件 可 得 出、以=必，求 出 用 的 值，即 可 得 出 直 线/的 方 程；（3）设。、R、p、s各 点 坐 标 依 次 为（为,匕）、（巧，丹）、（不，%）、（%），将 直 线 y=sx+，

41、与 两 椭 圆 的 方 程 联 立，列 出 韦 达 定 理，分 析 可 知 人-匕|=3|玉-|，化 简 可 得 出 动 点 后 的 轨 迹 方 程.【解 析】（1）解：设 椭 圆 C|方 程 为+2=1（4 万 0）,所 以 直 线 4 8 方 程 为 二+=1,即 笈-殴+=0,-a b所 以，点 出 一 1,0）到 直 线 4 8 距 离 为 d=-中+殁 1=2 6=+从=7（“-1）2,!a2+b2 7又 从=一 1，解 得：。=2,b=6 故 椭 圆 G 方 程 为 上+=1.4 3（2）解:当 直 线/与 x轴 重 合 时，俨=2,而 网.|PS|=lx5=5,所 以|P52*|

42、H?H PS|,不 合 乎 题 意;若 存 在 直 线/,使|p。是|PR|、1Psi的 等 比 中 项，则 可 设 直 线/方 程 为=阳+3,联 立 7 1 I L 12 可 得（3*+可，+18my+15=0,所 以，=（18，）2-4 x l5（3m2+4）=48（3，2-5）0,解 得 拉 记 夫 G，X）、S（w，%）、Q（%,%）,由 韦 达 定 理 可 得 乂%=。?彳，5m+4在 直 线/的 方 程 中，令 x=l,可 得 y=2 即=-2.，m m因 为|PQ=|PR|P S|,即 0+）4=（1+/）1%，则%必=必,所 以，丁 工=3,解 得?=逑，满 足 相 2，3”

43、+4 加 3 3故 存 在 直 线/，使 俨。是|*?|、|咫 的 等 比 中 项，其 方 程 为 x=W y+3,即 y=乎（*-3）.5 2（3）解:椭 圆 的 的 3倍 相 似 椭 圆 G的 方 程 为 上+工=1，12 9设。、R、P、S各 点 坐 标 依 次 为（占，匕）、（巧，/）、（W，%）、（七,，4），联 立 y=sx+t3x2+4）2=12可 得（4 s-2+3 卜 2+8sa+4/-12=0,则 白=64s?/一 4（4$2+3）（4r2-12）=48（4 r+3-r2）0,.n.8st止 匕 时.x+x2=飞 口 1,X yX24r2-123+4?所 以，|%一 占 I

44、=7（X.+X2）2-4X,X2=4,3（：二；I联 立）:SX+可 得（4s，2+3）d+8 m+4*-36=0,3x+4yZ=36 v A,=64s2r2-4（4?+3）（4 r-3 6）=48（1252+9-r）0,所 以 w+z=一 品 誉 所 以，k-止 后 菽=啤 产，因 为 西+工 2=七+%4，可 得 线 段 PS、QR的 中 点 相 同，所 以 冏，由 PS+RS=2QS=PQ=Q R,所 以|PS|=3|Q/?|,可 得|巧 r/=3|百 一 司,.4,3(2+9 2=3、结(452+3)=口 2+9=4产，满 足 4，40,3+4s?3+4s)故 动 点 E(sj)的 轨

45、 迹 方 程 为 今-率=1.【点 睛】方 法 点 睛：利 用 韦 达 定 理 法 解 决 直 线 与 圆 锥 曲 线 相 交 问 题 的 基 本 步 骤 如 下：(1)设 直 线 方 程，设 交 点 坐 标 为(公，匕)、(得，/)；(2)联 立 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 方 程，得 到 关 于 x(或 的 一 元 二 次 方 程，必 要 时 计 算；(3)列 出 韦 达 定 理；(4)将 所 求 问 题 或 题 中 的 关 系 转 化 为 玉+%、(或%+%、的 形 式；(5)代 入 韦 达 定 理 求 解.21.已 知 函 数/(x)=(x-l)e，-or(aeR 且。为 常 数)

46、.(1)当。=0,求 函 数 f(x)的 最 小 值；(2)若 函 数/*)有 2 个 极 值 点，求。的 取 值 范 围；若/(x)21nx-e+l对 任 意 的 xe(0,+8)恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.【答 案】-1(2)-a0e(3)al【分 析】(1)首 先 求 函 数 的 导 数，利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性，再 求 函 数 的 最 小 值；(2)首 先 求 函 数 的 导 数/(x)=m,-。，再 设 函 数 力(力=疣，利 用 导 数 分 析 函 数/z(x)的 图 像，转 化 为 直 线 y=a与 y=/0时,制 x)0,单 调 递 增，当

47、 x0时,/0,7(x)单 调 递 减,所 以 当 x=0时，函 数 取 得 最 小 值/(。)=-1；(2)函 数 的 定 义 域 为 R,fx)=xe-a,设 7i(x)=夜”,(x)=(x+l)e*,由/i(x)=(x+l)e*=0,得 x=-l,列 表 如 下：X y,-1)-1(-1,+8)0+(x)减 极 小 值 e增 当 x0时，h(x)=xex0时，=xe*0,当 时，直 线 了=。与 y=/z(x)的 图 像 有 2个 交 点，设 这 两 个 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 x“w，且 eX/时，fr(x)=xex-a0 t当 玉 v x v/时，/(x)=xev-0,此

48、 时 函 数 力 有 2个 极 值 点,所 以。的 取 值 范 围 是-,。0；e(3)不 等 式/a)Nlnx e、+l对 任 意 的 x(0,w)恒 成 立，等 价 于 xe-lnx-12原 对 任 意 的 X(0,y)恒 成 立,InX+l r 一-2所 以。We*-对 任 意 的 XW(),”)恒 成 立,令 尸(力=6-四 产，其 中 xw(O,y)，则 F，(x)=e*+?=，e：lnx令 9(彳)=3%”+111%，其 中 xe(O,4w),则 d(x)=(x2+2x)e+,0,对 任 意 的 X G(0,+O O)恒 成 立,所 以 夕(x)在(0,+8)上 单 调 递 增，因 为 e13)=ee 2_ 0,故 存 在 使 得 9(f)=/S+加/=0,当 0 xf时,F(x)f时，F(x)0,此 时 函 数 F(x)单 调 递 增，所 以 尸(xL,=P(f)=e-产，因 为/e=-lnf,贝 1 沿=-亨=-1血，因 为 则 一 lnf0,l),因 为 函 数(x)=xe*在(0,+8)上 单 调 递 增，由 汨=-lne-M可 得)=(一 Inf),故 f=-lnf,可 得 e=1,所 以 F(xL=F(f)=e-唱 一 个=1，故 a V L