2023年考研数一真题及答案解析.pdf

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1、2023年 考 研 数 一 真 题 及 答 案 解 析 一、选 择 题 1、曲 线 y=(x7)(x_2)2(x_3)3(x4)4 的 拐 点 是()(A)1,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(4,0)【答 案】C【考 点 分 析】此 题 考 查 拐 点 的 判 断。直 接 利 用 判 断 拐 点 的 必 要 条 件 和 第 二 充 分 条 件 即 可。【解 析】由 y=(无-1)(%-2)2(%_3)3(尤 _4)4可 知 1,2,3,4分 别 是)，=(%_1)(工 _2)2(%_3)3(了 _4)4=0的 一、二、三、四 重 根，故 由 导 数 与 原 函 数 之 间 的 关

2、系 可 知 工 0,y(2)=y(3)=y(4)=0)，。0,/(3)=/(4)=0,y”(3)#0,丈(4)=0,故(3,0)是 一 拐 点。2、设 数 列/单 调 减 少，lim=0,S“=4(=1,2)无 界，那 么 基 级 数 1)”的 收 敛 W00 女=1 n=l域 为()(A)(-1,1(B)-1,1)(C)0,2)(D)(0,2【答 案】C【考 点 分 析】此 题 考 查 基 级 数 的 收 敛 域。主 要 涉 及 到 收 敛 半 径 的 计 算 和 常 数 项 级 数 收 敛 性 的 一 些 结 论，综 合 性 较 强。【解 析】S“=4(=1,2)无 界，说 明 基 级 数

3、 为(X 1)”的 收 敛 半 径 H W 1；&=1 n=l0 0 Q O”“单 调 减 少，Uman=0,说 明 级 数 1)”收 敛，可 知 幕 级 数 a“(x l)”的 收 敛 半 径 n=l/i=l因 此，塞 级 数 的 收 敛 半 径 R=l,收 敛 区 间 为(0,2)。又 由 于 x=0 时 塞 级 数 收 敛，x=2 时 n=l事 级 数 发 散。可 知 收 敛 域 为 0,2)。3、设 函 数/(x)具 有 二 阶 连 续 导 数，且/(x)0,/(0)=0,那 么 函 数 z=/(x)ln/(y)在 点。0)处 取 得 极 小 值 的 一 个 充 分 条 件 是 0/(

4、o)i,r(o)o(B)/(o)i,r(o)o(O/(o)o(D)/(o)i,r(o)o【答 案】C【考 点 分 析】此 题 考 查 二 元 函 数 取 极 值 的 条 件，直 接 套 用 二 元 函 数 取 极 值 的 充 分 条 件 即 可。【解 析】由 z=/(x)ln/(y)知 z：=/(x)ln/(y),z：=04/(y),2/=柴/(力 f(y)f(y)0,r(0)In/(0)-尸(0)0所 以 有/(0)1，/70)0n n IT4、设/=plnsinArfx,/=FlncotMx,K=IncosMr,那 么/,J,K的 大 小 关 系 是()Jo Jo Jo(A)I J K I

5、 K J(C)J I K(D)K J I【答 案】B【考 点 分 析】此 题 考 查 定 积 分 的 性 质，直 接 将 比 较 定 积 分 的 大 小 转 化 为 比 较 对 应 的 被 积 函 数 的 大 小 即 可。【解 析】xc(0,工)时，0 sin x cos x cot x,因 此 lnsinxlncosxlncotx7t 7t Ineos岫 Incot皿，应 选(B)Jo Jo元 I 4lnsinAz/xJo5.设 A 为 3 阶 矩 阵，将 4 的 第 二 列 加 到 第 一 列 得 矩 阵 3,再 交 换 6 的 第 二 行 与 第 一 行 得 单 位 矩 阵.记 1 04

6、=1 10 001 11 0 0一 0,4=0 0 1，那 么 A=(1 0 1 0A)P R(B)Pt-P2(C)P2Pt(D)P；P.【答 案】D【考 点 分 析】此 题 考 查 初 等 矩 阵 与 初 等 变 换 的 关 系。直 接 应 用 相 关 定 理 的 结 论 即 可。【解 析】由 初 等 矩 阵 与 初 等 变 换 的 关 系 知=6,P?B=E,所 以 4=86-1=/7立-|=舄 6-1,应 选(D)6、设/=(%,%，%，。4)是 4 阶 矩 阵，4 为 4 的 伴 随 矩 阵，假 设(1,0,1,0)，是 方 程 组 4=0 的 一 个 根 底 解 系，那 么 4=0

7、根 底 解 系 可 为 0(A)%,a3(B)%，a2(0 a2,a3(D)a2,a3,a4【答 案】D【考 点 分 析】此 题 考 查 齐 次 线 性 方 程 组 的 根 底 解 系，需 要 综 合 应 用 秩，伴 随 矩 阵 等 方 面 的 知 识,有 一 定 的 灵 活 性。【解 析】由 4=0 的 根 底 解 系 只 有 一 个 知 r(A)=3,所 以 r(A*)=l,又 由 A*A=|A|E=O知，a,a2,a3,a4都 是 A*x=0 的 解，且 A*x=0 的 极 大 线 生 无 关 组 就 是 其 根 底 解 系，又.、o=(即。2，。304)=!+,=0,所 以 线 性 相

8、 关，故%a2,%或%，%，%为 极 大 无 关 组，故 应 选(D)7、设 耳(X),玛(X)为 两 个 分 布 函 数，其 相 应 的 概 率 密 度/(X)/(X)是 连 续 函 数，那 么 必 为 概 率 密 度 的 是()(A)f M/2(x)2a(x/(x)(C)工(X)鸟(X)/(X)玛(力+人(x)K(x)【答 案】D【考 点 分 析】此 题 考 查 连 续 型 随 机 变 量 概 率 密 度 的 性 质。【解 析】检 验 概 率 密 度 的 性 质：工(力 用(力+力(x)6(x)N0；J(x)K(x)+力(x)K(x)办:=(x)6(x)匚=1。可 知/(x)E(x)+力(

9、X)耳(X)为 概 率 密 度，应 选(。)。8、设 随 机 变 量 X 与 y 相 互 独 立，且 石 与 石 上 存 在，记 U=nnxx,y,V=minx,y,那 么 石(UV)=()(A)EUEV(B)E X E Y(0 E U E Y(D)EXES/【答 案】B【考 点 分 析】此 题 考 查 随 机 变 量 数 字 特 征 的 运 算 性 质。计 算 时 需 要 先 对 随 机 变 量 U V 进 行 处 理,有 一 定 的 灵 活 性。【解 析】由 于 UV=maxX,yminX,y=XT可 知 E(UV)=E(maxX,YminX,丫)=(XK)=(X)(K)故 应 选(B)二

10、、填 空 题 9、曲 线 y=1tanf力(0 4 x 4 7)的 弧 长 s=TT【答 案】1-2【考 点 分 析】此 题 考 查 曲 线 弧 长 的 计 算，直 接 代 公 式 即 可。4 解 析 s=(,)-公=/tan?xir=sec2 x-1 公=tanx-电=1-10、微 分 方 程 V+)=*cosx满 足 条 件 y(0)=0 的 解 为 y=【答 案】y=sinxe-【考 点 分 析】此 题 考 查 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 求 解。先 按 一 阶 线 性 微 分 方 程 的 求 解 步 骤 求 出 其 通 解，再 根 据 定 解 条 件，确 定 通 解 中 的 任

11、 意 常 数。【解 析】原 方 程 的 通 解 为 由 y(0)=0,得 C=0,故 所 求 解 为 y=sinxeT11、设 函 数 Mx,y)=言 山，那 么 票 ry=2【答 案】4【考 点 分 析】此 题 考 查 偏 导 数 的 计 算。【解 析】经=4 吟，学=2：ox l+x y o x,2 cosxy(l+x2y2)-2xy3 sin 町 d2Fdx2 A-O=4o。+一 打 故 12、设 L 是 柱 面 方 程 V+y2=l与 平 面 z=x+y 的 交 线，从 z 轴 正 向 往 Z 轴 负 向 看 去 为 逆 时 针 方 向，那 么 曲 线 积 分 J xzdx+xdy+d

12、z-L【答 案】K【考 点 分 析】此 题 考 查 第 二 类 曲 线 积 分 的 计 算。首 先 将 曲 线 写 成 参 数 方 程 的 形 式，再 代 入 相 应 的 计 算 公 式 计 算 即 可。x=cost【解 析】曲 线 L 的 参 数 方 程 为,y=sinr,其 中 f从 0 到 2万。因 此 z=cost+sin r13、假 设 二 次 曲 面 的 方 程 为 x2+3y2+z2+2ayy+2xz+2yz=4,经 正 交 变 换 化 为 y：+4z：=4,那 么 a=【答 案】-1【考 点 分 析】此 题 考 查 二 次 型 在 正 交 变 换 下 的 标 准 型 的 相 关

13、 知 识。题 目 中 的 条 件 相 当 于 告 诉 了 二 次 型 的 特 征 值，通 过 特 征 值 的 相 关 性 质 可 以 解 出 4。【解 析】此 题 等 价 于 将 二 次 型/（x,y,z）=/+3y2+z2+2叼+2xz+2yz经 正 交 变 换 后 化 为 了/=y；+4z；。由 正 交 变 换 的 特 点 可 知，该 二 次 型 的 特 征 值 为 1,4,0。a 1、该 二 次 型 的 矩 阵 为 A=a 3 1,可 知|A|=a22a l=0,因 此 a=T。J 1 1,14、设 二 维 随 机 变 量（x,y）服 从 N（,”2Q 2；O）,那 么 E（XX）=【答

14、 案】3+心【考 点 分 析】：此 题 考 查 二 维 正 态 分 布 的 性 质。【解 析】：由 于 P=0,由 二 维 正 态 分 布 的 性 质 可 知 随 机 变 量 x,y独 立。因 此 E（xy2）=x-Ey2。由 于（X,y）服 从 N（,;o2,c2;0）,可 知=,：片=。丫+（七 丫）2=2+/,那 么 E(Xy2)=/(X/2+cr2)=x/3+x/CT2三、解 答 题 15、（此 题 总 分 值 10分）求 极 限 limX T Oln(l+X)ex-XI【答 案】J5【考 点 分 析】：此 题 考 查 极 限 的 计 算，属 于 式 形 式 的 极 限。计 算 时 先

15、 按 式 未 定 式 的 计 算 方 法 将 极 限 式 变 形,再 综 合 利 用 等 价 无 穷 小 替 换、洛 必 达 法 那 么 等 方 法 进 行 计 算。【解 析】：limx-0lim 1+ln(l+x)-xlI im_ I-exln(l+x)-X 1x ex-.ln(l+.r)-A 京 Tln(l+尤)E式 In用 n-.-vs h m-2xx16、（此 题 总 分 值 9 分）设 z=/（,yg（x）,其 中 函 数/具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，函 数 g Q）可 导，且 在 x=l处 取 得 极 值 g（l）=l,求 d x d y x=l,y=【答 案】儿（1,1）

16、+几（1,1）【考 点 分 析】：此 题 综 合 考 查 偏 导 数 的 计 算 和 二 元 函 数 取 极 值 的 条 件，主 要 考 查 考 生 的 计 算 能 力，计 算 量 较 大。Az,.【解 析】：彳=工(肛,yg(x)y+力(肛,yg(x)yg OX由 于 g（x）在 x=1处 取 得 极 值 g=1,可 知 g=0。故 17、（此 题 总 分 值 10分）求 方 程 左 arctanx-x=0不 同 实 根 的 个 数，其 中 攵 为 参 数【答 案】AW1 时，方 程 攵 arctanx-x=0 只 有 一 个 实 根 女 1时，方 程 Zarctanxx=0有 两 个 实

17、根【考 点 分 析】：此 题 考 查 方 程 组 根 的 讨 论，主 要 用 到 函 数 单 调 性 以 及 闭 区 间 上 连 续 函 数 的 性 质。解 题 时，首 先 通 过 求 导 数 得 到 函 数 的 单 调 区 间，再 在 每 个 单 调 区 间 上 检 验 是 否 满 足 零 点 存 在 定 理 的 条 件。k k 1 丫 2【解 析】：令/l（=%arctanxx,那 么，（0）=0,fx）=-1=-,1+x+x（1）当 1时，r（x）0,/（X）在（，心）单 调 递 减，故 此 时/（X）的 图 像 与 X 轴 与 只 有 一 个 交 点,也 即 方 程 Zarctanx-

18、x=0 只 有 一 个 实 根（2）攵=1时，在（-8,0）和（0,+o。）上 都 有/（x）0,所 以 f（x）在（8,0）和（0,+o。）是 严 格 的 单 调 递 减，又/（0）=0,故/（x）的 图 像 在（-8,0）和（0,+0。）与 x 轴 均 无 交 点（3）女 1 时，-尿 二 x（尿 口 时,r（x）o,/在（一 vrn,vrT）上 单 调 增 力 口，又/（o）=o知，“X）在 斤）上 只 有 一 个 实 根，又/（幻（一 00,一 灰 1）或“口 工+8）都 有/（x）0,/（x）在（一 oo,-G T）或（d,+oo）都 单 调 减，又 了（病）0,lim f（x）=+

19、oo,X-Q0 0,lim f（x）=-oo,所 以/（x）在（-oo,-1）与。轴 无 交 点,在（JZ-1,+8）上 与 不 轴 有 一 个 交 点 综 上 所 述：时，方 程 Zarctanx-x=0 只 有 一 个 实 根 女 1时，方 程 Zarctanx-x=0有 两 个 实 根 18、（此 题 总 分 值 10分）证 明：（1）对 任 意 正 整 数，都 有 一 ln（l+,）+1 n n（2）设 a“=l+l-lnn（n=l,2,）,证 明 数 列 a,收 敛 2 n【考 点 分 析】：此 题 考 查 不 等 式 的 证 明 和 数 列 收 敛 性 的 证 明，难 度 较 大。

20、（1）要 证 明 该 不 等 式，可 以 将 其 转 化 为 函 数 不 等 式，再 利 用 单 调 性 进 行 证 明；12）证 明 收 敛 性 时 要 用 到 单 调 有 界 收 敛 定 理，注 意 应 用（1）的结 论。1 x【解 析】：(1)令 一=x,那 么 原 不 等 式 可 化 为 ln(l+x)Oon x+1先 证 明 ln(l+x)0：令/(x)=xln(l+x)。由 于 f(x)=l-上 0,x0,可 知/(x)在 0,+8)上 单 调 递 增。又 由 于/(0)=0,因 此 当 x 0 时，/(幻/(0)=0。也 即 ln(l+x)x,x O。X再 证 明-0：x+1X1

21、 1令 g(x)=ln(l+x)-o 由 于 g(x)=-0,x0,可 知 g(x)在 0,+8)上 单 调 递 增。由 X+1 1+X(1+X)X于 g(0)=0,因 此 当 x 0 时，g(x)g(0)=0。也 即 0ox+1x因 此，我 们 证 明 了 ln(l+x)0。再 令 由 于，即 可 得 到 所 需 证 明 的 不 等 式。x+1(2)4 田 一%=_ 1 ln(l+-),由 不 等 式 一 为(1+!)可 知：数 列 4 单 调 递 减。n 4-1 n n+1 n又 由 不 等 式 ln(l+!)ln(l+1)+ln(l H)+.+ln(l H)-In=ln(n+1)In 九

22、 0。2 n 2 n因 此 数 列&是 有 界 的。故 由 单 调 有 界 收 敛 定 理 可 知：数 列/收 敛。19、(此 题 总 分 值 11分)函 数/(x,y)具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且/(l,y)=0,/(x,l)=0,y)dxdy=a,D其 中。=(x,y)10 V X 1,0 y 1,计 算 二 重 积 分/=JJ xyfj(x,y)dxdyD【答 案】：a【考 点 分 析】：此 题 考 查 二 重 积 分 的 计 算。计 算 中 主 要 利 用 分 部 积 分 法 将 需 要 计 算 的 积 分 式 化 为 的 积 分 式，出 题 形 式 较 为 新 颖，有 一

23、定 的 难 度。【解 析】：将 二 重 积 分，xyfj(x,y)如 转 化 为 累 次 积 分 可 得 D首 先 考 虑 巧 以”(x,y)公，注 意 这 是 是 把 变 量 y 看 做 常 数 的，故 有 Jo由/(1,y)=/(x,D=o 易 知(1,y)=(%,1)=0。故 不 九(x,y)公=一 1 Wv(x,yu&。Jo Jo对 该 积 分 交 换 积 分 次 序 可 得：-办 f yfAx,y)dx-dx W：(x,y)dyJo Jo Jo Jo再 考 虑 积 分 Wv(x，y M v，注 意 这 里 是 把 变 量 了 看 做 常 数 的，故 有 Jo因 此 20、(此 题 总

24、 分 值 11 分)1=(1,0,1)，%=(，1，1)，4=(1，3,5)，不 能 由 4=(1,4,1),凤=(1,2,3)，/73=(1,3,5),线 性 表 出。求。；将 母&月 由 四，%，%线 性 表 出。2 1 5)【答 案】：a=5；(4 4 2 片)=(%2 3)4 2 10、一 1 0 一 2,【考 点 分 析】：此 题 考 查 向 量 的 线 性 表 出，需 要 用 到 秩 以 及 线 性 方 程 组 的 相 关 概 念，解 题 时 注 意 把 线 性 表 出 与 线 性 方 程 组 的 解 结 合 起 来。【解 析】：由 于 不 能 由 夕 1，/2,尸 3表 示 1可

25、 知 伊 伤 闻=1I1 32 4=。-5=0,解 得。=53 a 此 题 等 价 于 求 三 阶 矩 阵。使 得(综 22，四)=(%4，%)Co 1V71可 知。=（.,%，。3厂（四,住，&）=0 1 3 111 1 5川 11 3、2 43 5,2计 算 可 得。=4、一 12 10。一 2,（2 1 5、因 此（笈 P1 63）=（%4 2 101-1 0-2,(n(-1 1、21、(此 题 总 分 值 11分)A 为 三 阶 实 矩 阵，R(A)=2,且 A 0 0=0 0、T I l(1)求 A 的 特 征 值 与 特 征 向 量(2)求 A【答 案 1(1)力 的 特 征 值

26、分 别 为 1，-1，0,对 应 的 特 征 向 量 分 别 为 0 0 1(2)A=0 0 01 0 0【解 析】：(1)【考 点 分 析】:解 题 时 注 意 应 用 实 对 称 矩 阵 的 特 殊 性 质。向 量 r(A)=2,可 知。也 是，的 特 征 值 而 0 的 特 征 向 量 与 百，多 正 交 设 4=/为 0 的 特 征 向 量 有 4%,+X,=0 一；+；0 得 一 0力 的 特 征 值 分 别 为 1,-1，0对 应 的 特 征 向 量 分 别 为(2)A=PAP2 2.（此 题 总 分 值 1 1分）X 0 1P 3 羽 Y-1 0 1P V 3 本 求：（x,y）

27、的 分 布；（2）z=x y 的 分 布;（3）P XY【答 案】：（1）0 1-1 0里 0 里 01 0Z-1 0 1P 1/3 1/3 1/3 P XY=【考 点 分 析】：此 题 考 查 二 维 离 散 型 分 布 的 分 布 律 及 相 关 数 字 特 征 的 计 算。其 中，最 主 要 的 是 第 一 问 联 合 分 布 的 计 算。【解 析】：由 于 析（x 2=y 2）=i,因 此 析（x 2 y 2）=o。故 p(x=o,y=i)=o,因 此再 由 x=i,y=o)=o 可 知 同 样，由?(*=0,丫=一 1)=0 可 知 这 样，我 们 就 可 以 写 出(x,y)的 联

28、 合 分 布 如 下:(2)2=乂 丫 可 能 的 取 值 有 1,0,1-1 0 10 0 1/3 01 1/3 0 1/3其 中 p(z=i)=尸(x=i,y=-i)=i/3,p(z=i)=p(x=i,y=i)=i/3,那 么 有 P(Z=0)=l/3。因 此，z=x y 的 分 布 律 为 Z-1 0 1P 1/3 1/3 1/3(3)X=2/3,EY=0,EXY=0,cov(X,Y)=EXY-EXEY=0_ cov(x,y)故“痂 漏?=023、(此 题 总 分 值 11分)设 为,马，4 为 来 自 正 态 总 体 N(0，/)的 简 单 随 机 样 本，其 中，J。未 知，嚏 和

29、S2分 别 表 示 样 本 均 值 和 样 本 方 差,(1)求 参 数 b2的 最 大 似 然 估 计 b2A A(2)计 算(4)和。()【答 案】：(1)；工 氏 4)2()=/,(；)=生 j/=i n n【考 点 分 析】：此 题 考 查 参 数 估 计 和 随 机 变 量 数 字 特 征 的 计 算，有 一 定 的 难 度。在 求 02的 最 大 似 然 估 计 时,A9 2最 重 要 的 是 要 将。看 作 一 个 整 体。在 求。一 的 数 学 期 望 和 方 差 时，那 么 需 要 综 合 应 用 数 字 特 征 的 各 种 运 算 性 质 和 公 式，难 度 较 大。【解

30、析】：卷 exp 一（七 一 4）2、2 J1 exp2兀 与（七-）2、那 么 lnL=-卯 2万 一 1 3-必 妻”一/=1 一=%I n 2C I1n(272 2_1 寸(%一 4)2 乙 2/=!令 dnLd(jA/2 A n=0 可 得（T2的 最 大 似 然 估 计 值 T2，最 大 似 然 估 计 量 2=Z/=!/=1(X L 4)?n（2）由 随 机 变 量 数 字 特 征 的 计 算 公 式 可 得 由 于 X|一 0 N(0,cy2),由 正 态 分 布 的 性 质 可 知.一 4 N（O,1）。因 此 CX N o2|/，由 力 2 的 性 质 可 知。X 一 4、2b 7人 2y42,因 此 O(X 0)2=2/,故 0(4)=二 一 n