2023年高考第一模拟试题：数学（新高考Ⅱ卷B卷）（全解全析）.pdf

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1、2023年高考数学第一次模拟考试卷（新高考n 卷 B 卷）数学全解全析注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第I卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合/=x|-l x 2 ,集合 8=xl x 3,则（）A.x|-lx3 B.x|-lxlC.x|l x 2

2、D.x|2 x 3【答案】A【分析】根据数轴表示两个集合即可求得集合的并集.【详解】解析在数轴上表示两个集合，如图：-B-1 1 2 3易知力 u 8=x|-1 x 0 和a /7 7 7),因为g(x)+g(-x)=I n (x +x2+j+I n 卜 x +4?+4 0 ,所以g(x)是 R上的奇函数，又x 0 时，g(x)在(O,+e)上单调递增，所以g(x)在 R上单调递增，且有唯一零点0,所以/(x)的图像一定经过原点(0,0),当。=0 时，加一。)与/(x)的图像相同，不符合题意.当。0 时，/(x)=a +“|x”n(x +G7T)是 R上的奇函数，且在(0,+)上单调递增，所

3、以/(X 。)与/(X)的图像可能为选项C；当a 0 时，若xf M,l +a|x|0 J(x)f-8 ,所以/(x a)与/(x)的图像可能为选项A或 B.故选：D.二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。9.已知函数/3=小布(5+9)。0,。0,一会夕，|的部分图象如图所示，则()A.函数/(x)的最小正周期为兀B.点。,0)是曲线y =/(x)的对称中心C.函数力在 区 间 内 单 调 递 增D.函数/(x)在 区 间 0 弓 内有两个最值点【答案】A CA=2y/2【分析

4、】由题可得 4 s i n e =2/s i n x +e)=26可得函数/(力=2 夜 s i n J x +热，然后根据三角函数的性质逐项分析即得.A=2 6【详解】由图可知,/sin g =2,A sin（如 +9）=2&所以 sin p=又-p 方,所以=,4by.兀）1 的 兀 兀 ，r所以 sm=-+:=1,-1 =一 I-2kn,k Z,V 8 4J 8 4 2得 G=2+16A,k WZ,yL ,得0 2所以直线/与圆相离，依圆的知识可知，四点4 P,B,四点共圆，且1 M P ,所以俨 股|.|力a=4 5,4 =4 x|x|P/l|x|/l A/|=4|P J|,而 网 二

5、4阴,当直线心 工/时，|加外曲=石，1尸4=1，此时1 P M M却最小,.M P:y-l=；(x-l)即 y =；x+g,y=-1 xd1 rx =-1.由,2 2 ,解得.2 x+y +2 =0 所以以MP为直径的圆的方程为(x-l)(x+l)+M v -1)=，B P x2+/-j-l =0,两圆的方程相减可得：2x+y+=0,即 为 直 线 的 方 程.故选：B C D.1 1.如图，正方体N 8 C D-44cA的棱长为1,E,F ,G分别为线段8 C,C C,含端点)，贝IJ()上的动点(不A.异 面 直 线 他 与 江 成 角 可 以 町B.当G为中点时，存在点E,F使直线4G

6、与平面”印 平行9C.当E,b为中点时，平面4Eb截正方体所得的截面面积为三D.存在点G,使点C与点G到平面4E尸的距离相等【答案】BCD【分析】根据异面直线夹角的求解方法，线面平行的判定，以及正方体的截面面积的计算，结合几何体的结构特点，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A：因为。故。与“尸的夹角即为4/与/尸的夹角/尸，又当尸与C重合时，4/斤 取得最大值，为；当产与点q重合时，/厂取得最小值，设其为a,则tana=%=J I,故a f；又点尸不能与C，G重合，故故A错误；对B：当G为4 8中点时，存在瓦F分别为8C，GC的中点，满足4G面/E尸，证明如下：取8 G的中点为

7、连接如下所示：显然4 花，又Z E u面4E尸，/附&面/E尸，故4/面/E尸；乂易得M G/EF ,E F u面ZE尸,M Ga面/尸，故 G 面 尸；乂 AXM C MG=M,AM,MG u 面 A、MG,故面 AMG 面 A EF ,乂&G u面4 G,故4G面力防，故B正确;对C：连接如下所示:因为E F H B C A D ,故面A EF D、即为平面花尸截正方体所得截面;又D、F =A E=Z 故该截面为等腰梯形，又E昨显,A D =g,2 2故截面面积5 =；（所+公 小 小7 2 _（4）,所）=9，故C正确;对D：连接G C,取其中点为，如卜所示:要使得点G到平面/E尸的距离

8、等于点C到平面A E F的距离，只需E F经过GC的中点，显然存在这样的点G满足要求，故D正确.故选：B C D.1 2.已知3 =5 =1 5，则。，6满足的关系有（）A.I =1 B.ab 4 C./-i-h 1 6a b【答案】A B D【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质可判断A正确，根据L+，=1,结合基本a b不等式可判断B C D的正误.【详解】由3 =5 =1 5,则。=1呜1 5 0,6 =1%1 5 0,=1-fD+1-aA知AB；+1 -=l o gI53+l o gI55 =l o g1 51 5 =l,正确；l o g31 5 l o g51 5：1 +

9、=1 且。0,6 0,工 6 ,所以1 =工+工 2），,即。64,故正确,a h a b abC：由 A、B 知：a+b=ab,l f i a2+b2=(a+b)2-2ab=(aby-2ab=(ab-l)-1 8,故错误，D：由上，(。+1)2+3+1)2=/+/+2(4+6)+2=(泌)2+2 1 8 1 6 ,故正确.故选：A B D.第n卷三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分。1 3.设a:l Wx 4,p-.x m,若a是尸的充分条件，则实数机的 取 值 范 围 是.【答案】4,”)【分析】根据题目条件得到l V x 4 n x V w,从而求出实数的取值范围.【

10、详解】a是尸的充分条件，故】V x 1 2 0),再由独立重复试验的概率公式即可求解.【详解】因学生成绩符合正态分布N(1 0 5,S 2),故P(X 1 2 0)=匕 型 卢 =；,故任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于1 2 0 的概率为尸=C(；j_+(5j=:故答案为：321 5 .已知-3 c x 0,则/(X)=X，9-X2的最小值为.【答案】弓【分析】|大1为/）=如 丁 =-，（9 7 2）*2,再利用均值不等式即可得出答案.【详解】因为-3x-x+*=-,当且仅当9-=/,即、=一 逑 时 取等，2所以/(x)=H/立 的 最小值为，.0故答案为:1 6.已知抛物线C：

11、x2=4y的焦点为尸，点P的坐标为(2,1),动点4 8在抛物线C上，且 为J_P B,则FA+FB的最小值是.【答案】11【分析】由口,8得 方.而=0,从而推得4ab=-2(a+b)-5,再由抛物线的定义推得FA+FB4(a+b)2+4(ci+b)+2,从而利用换元法及配方法即可求得E4+F 8的最小值.【详解】依题意，设/(4。,4。2),5(4瓦4从),由于4 8与p不重合，则44H2,4 6 2 2,即2a#1,2b声1,因为以，尸8,所以PA PB=4a-2,4a2-l-(4b-2,4b2-1)=4(2a-)(2b-1)+(2a+)(2a-)(2b+)(2b-)=(2a-1)(26

12、-l)4+(2tz+1)(26+1)=(2a-1)(26-)4ab+2(a+b)+5=0,则 4ab=-2(a+6)-5,由抛物线的定义可得FA+FB=4a2+4b2+l=4a2+4b2+2=4(a2+b2+2=4(a+h)2-8ab+2=4(a+b)2-2-2(a+b)-5+2=4(a+b)2+4(a+b)+12,SLt=a+h,则 H +=4/2+4+12=40+1111,当且仅当a+b=f=-g时，等号成立，所以F4+F 5的最小值为11.故答案为：11.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。1 7.在AA S C中，角 4 伐C 所对的边分别为

13、也c,满足JfecosC=c.求角5；3 _ _ 7(2)若cosC=l，丽=4DC，43。的 面 积 为 求。的值.【答案】(1)8=94。二2【分析】利 用 1 弦定理.、正弦和用公式，以及sin/=sin(3+C),即可求出力8：(2)利用三角形面积公式可得m =逑，再利川正:弦定理可得=逑 八 即可求巾。的值.2 8【详解】(1)解：利用正弦定理得：V2sinScosC=/2sirt4 sinC 即亚sin8cosc=(8+C)-sinC=fsin BcosC+cos sin C-sinC,化简得 sinC=V2sinCcos5,由C 为 8。的内角，得sinCwO,可得 cosB=乂

14、,2冗又s 为 研。的内角，所以 人“_ _ 4 4(2)解：己 知 而=4反，则80 =1 8。=。，S.ABD=B Ds in 5 =2C5a=5，即 ac=，近 3夜 7 0-F X-=-，2 5 2 10即 =逑。83-4由 cosC=-,可得sinC=-cos2 C=y,47 C 4sind=sin(C+8)=sinCcos +cosCsin =-xv 4 *7*4 4 5a c _ a _ c利用正弦定理可得，京=菽=逮=4,i(r 5联立可得c=2.1 8.已知数列 4“的前项和为 S”,q =3,(-l)S,=S,I+2_(22).(1)求数列 4 的通项公式；(2)令b,吟,

15、求数歹IJ色 的前项和T.【答案】(1)。=2/-1 4 =3-2 +3T【分析】(1)变型可得=1,从而可得 为等差数列，进而求得5“=2,根据。“与s”的关系可得。“=2-1；(2)根据错位相减法即可求解.【详解】(1)因为(1)S.=S“T+2-(2 2),则有-S T=2-N,两边同时除以(T)得：2-9旦=1,，=1,n n-1所以数列 2 是以1 为首项，1 为公差的等差数列，n故 2 =l+(-l)x l =，则 S“=2,n当 2 2 时，an=S -S,.,=n2-(n-1)2=2 n-l,符合 q=1,故氏=2 -1.。殁w1 3 5 7 2-3 2 1 不万 十 +寸 +

16、2n 3 2 12 2”、小,口 1Tl 2 2 2 ,2 2 7-1一 得：一 7 r 7 +L -TT2 2 22 23 24 2 2+,呜T+,42-1 3 2 +32 +i 2得北=3-等1 9.某校为了 了解学生每天完成数学作业所需的时间收集了相关数据(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图)，其中，学生完成数学作业的时间的范围是(0,1 0。.其统计数据分组区间为(0,2 0),2 0,4 0),4 0,6 0),6 0,8 0),8 0,1 0 0 .（2）以直方图中的频率作为概率，从该校学生中任选4人，这 4名学生中完成数学作业所需时间少于2 0 分钟的人数记为X

17、,求 X的分布列和数学期望.【答案】（1）=0.01 2 5（2）分布列见解析，数学期望为1.【分析】（I）根据频率分布直方图的性质即可求解；（2）由题意可知，随机变量X服从二项分布.【详解】（1）由直方图小矩形面积之和为1,可得:2 0 x +0.02 5 x 2 0+0.006 5 x 2 0+0.003 x 2 x 2 0=,解得 x =0.01 2 5 ；（2）X的可能取值为0,1,2,3,4.由直方图可知，每位学生完成数学作业所需时间少于2 0分钟的概率为!,4则尸。）=图：*尸亮，（X =2）=C：（/备,P（1）=叱j（务 专p（X=4）=所以X的分布列为:X01234p8 12

18、 5 62 76 42 71 2 836 412 5 6因为X阳 4，）4所以 E（X）=0=4 x；=l .2 0.如图，在多面体4 8 C 3 E F 中，四边形CO E尸是边长为2的正方形,A B/CD,A D L CD,BE=3A B=3,A D=2.（1）求证：平面4 9 尸_L 平面8 CE；（2）求 平 面 尸与平面B C F所成锐角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；【分析】（1）作出辅助线，求出8。=石，由勾股定理逆定理得到8 0,OE,进而得到线面垂直，得到。E 工力。，从而得到“。_L 平面CO E尸，得到N O _ L C ,最终证明出C 1.平 面 尸，得到面面垂直；

19、（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面角的余弦值.【详解】（1）证明：连接8 力，因为 8 E=3 4 B=3,Z ）=2 ,所以4 8 =1,因为力8/8,4 0 工CD,所以/。工2 8,由勾股定理得：BD=IAD2+AB2=A/5，EFA因为 8 E=3,O E=2 ,故 BE?=D E2+B D?，所以 BD 工 D E ,乂 C D A.D E,C D C B D =D,所以。工 平面为BCD,又4 D u平面ABCD,所以。E I N。，乂 N O _L CD,E D Q C D =D,所以/_!.平面CQ EF ,又C E u平面C D E F,所以/Z)J _CE,又

20、D F L C E,4 D C D F=D ,所以 C E L平面/。尸,乂 C E u平面B C E,所以平面/。尸，平面BCE.(2)由(1)知次1,Q C,DE两两垂直，以D 为原点，次，反，诙 的 方向为x,y,z 轴的正方向建立C(0,2,0),E(0,0,2),尸(0,2,2),8(2,1,0),CE=(0,-2,2),CB=(2,-1,0),CF=(0,0,2),由CE _L 平面A D F知 丽=(0,-2,2)是平面A D F的一个法向量.设平面BCF的法向量为=(x,y,z),由，CBn=O 得:CFH=O2x-y=02z=0m：Z =O,令x =l,则y =2,故7 =(

21、1,2,0),设平面ADF与平面BCF所成锐角为0，即 cos 0=CE-n|-4|V l OCE-n 2 y/2 xy/5 所以平面ADF与平面BCF所成锐角的余弦值 为 叵52 22 1.设巴，名分别是双曲线的左、右两焦点，过点石的直线a b/:x-冲-f =0(m,f e R)与的右支交于M,N两点，过 点(-2,3),且它的虚轴的端点与焦点的距离为(1)求双曲线的方程；当|町|=|乙用时,求实数机的值；-1-(3)设点M 关于坐标原点O的对称点为P,当奶=5 与时，求 P M N 面积S的值.【答案】(1)*-匕=13/八 +而(2)加=-1 5(3)24【分析】(1)根据点在双曲线上

22、及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；(2)由点在直线上求得f=2,根据B 到直线，：x-W-2=0 的距离与等腰三角形 外 底 边 炳 上的高相等，列方程求参数”(3)设 M ,y/),N(X2,y”,联立双曲线与百线方程，应用韦达定理 得%+%=二 察，-5rnQ1必+%=二，由向量的数量关系可 得/=白，根据对称点，三角形面积公式-5rn3 5$=2 5 刖=2 帆-乃|,可求尸A/N面积.【详解】（1）因为双曲线过 点（-2,3）,且它的虚轴的端点与焦点的距离为J7,-2=1 ，可得：/丁，解得：M l+（/+）=7 也=3所以双曲线的方程为Y-仁=1.3（2）因为直线/：x-w

23、 y =0,且 过 点 入（2,0）,贝|J2 mxO Z =0,解得：t =2,由|岫|=怩 用 得：三角形印明 为 等腰三角形，所以等腰三角形 不 明 底边M6 上的高的大小为，/耳2 一（笞 二 2：=而，又因为点B 到直线/：x-w-2 =0 的距离等于等腰三角形 与 鸣 底边上的高,则公用厚=A，Vw2+1化简得：“即机=土巫.15 15（3）设 A/（x/yi）,N（必/）,2上由直线与双曲线联立得：x-T=1,x-m y-2=0化简得：（3力 2-1）/+12叩+9=0,由韦达定理得：乂+%=丁121寸n，%为=-丁 彳9不，-5rn l-37w-*1-12m、9又岫=72广，即

24、外=-2%，则-必=方，2 =,2-3rn l-3/w即2(12/77 Y _91一3加 2则 /二二,又点M关于坐标原点O的对称点为P,则:S=2 S _ =2 3-刃=郎 的 +以 一 4,3）-咛笫粤则 所 求 的 面 积为匡.2 2.己知函数/(x)=lnx+ax+1 (其中awR).(1)当4 =-1时，求/(X)的最大值：(2)对任意x e(0,+8),都有/(x)Kx e成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)最大值为0(-8【分析】(1)将。=-1代入函数中，求出函数/(x)的导数，根据函数单调性求出最值.(2)任意x w(0,+8)都有/(x)4 x e*成立，代入/(x)进

25、行参变分离，得a V -T n x-1X构造新函数，求最值即可求得.【详解】(1)将a =-l代入函数中，/(x)=l n x-x +l,由x 0所以八x)=L _ l=X X当0 x 0,所以函数/(x)在(0,1)上单调递增；当x l时，f x)0,所以函数/(x)在(1,+8)上单调递减；故函数/(X)1 r ax =/)=l n l 1 +1 =0(2)任意xe意+o o)都有/(x)V x e成立,即/(x)=In x+a x +1 x eJ,B P t z 0,在(0,+8)上恒成立，即 (x)在(0,+8)上单调递增.又()=)ee 1 =ee 1 0 ,故人(外在d,i)内有零

26、点，设零点为%,e当x e(!,X o)时，g (x)0 ,所以 g(x)m in =g)=Xo2ex+l n x0,则 Xoe =,1 In所以/e =l n e 的,%设/(%)=XQX,tx)=ex(x+l)0,所以f(x)在(0,+8)单调递增,.1r(x0)=/(l n x0),即 o =l n ,xo以 1所以e =一,%所以名 心。)：/。”1 1%一,X。所以。KI.即实数a的取值范围是(7【点睛】导数题常作为压轴题出现，常见的考法：利用导数研究含参函数的单调性(或求单调区间)，求极值或最值求切线方程通过切线方程求原函数的解析式不等式恒(能)成立问题，求参数的取值范围证明不等式解决问题思路：对函数求导利用函数的单调性进行求解；构造新函数对新函数，然后利用函数导数性质解决.