2021-2022学年广西钦州市高二年级下册学期3月月考数学（文）试题含答案.pdf

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1、2021-2022学年广西钦州市高二下学期3月月考数学（文）试题一、单选题1.设 复 数 2=士 力 （其中为i 虚数单位），则复数Z的共辗复数z 在复平面内对应的点位于I 2 J（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【分析】设 z 0=巫，得到z j的值以3 为周期出现，求得z=土亘，得 到 六 +i,结0 2 2 2 2合复数的几何意义，即可求解.【详解】设手，则常=二1 ，z；=l,端=若 叵=4，可得Z。的值以3 为周期呈周期性出现，所以z=Z673*3+2=二 普,所 以 彳=士 叵=-_ L+i,在 复 平 面 内 对 应 的 点 且）在第二象限.2

2、2 2 2 2故选：B.2.ABC的三个顶点所对应的复数分别为中ZZ2，Z3，A B =4,A C =5,点 O 为 4 3 c 所在平面内一点,对应复数 z,满足Iz-z J T z-Z jR z Zsl，则 A 0.8 C=（）9A.-3 B.-C.6 D.102【答案】B【分析】由复数的几何意义得。为 ABC的外心，从而根据三角形外心性质及平面向量数量积的儿何意义即可求解.【详解】解:|z-zl|=|z-z2|=|z-z3|,由复数的几何意义知。到 A,B,C三点的距离相等，即。为 ABC的外心,c过。作。M_LAB交AB于M 点，作 QN_LAC交 AC于N 点，因为。为一ABC的外心

3、，所以，N 分别为AB与 AC的中点,A0-BC=AO AC-AB=A0-AC-A0-AB,由平面向量数量积的几何意义知AO.AC=卜0,A。cosNOAC=|AN|.|AC|=x5 =,4 0 .48=|A0|网 cos NCM8=|AM”A8|=2 x 4=8,25 9AO BC=-S =-.2 2故选：B.【点睛】关键点点睛：由复数的几何意义得出。为.ABC的外心,积的几何意义是本题解题的关键.3.已知i 是虚数单位，z(l+i)=2 i,则复数z 所对应的点位于(A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限【答案】A【分析】利用复数的运算法则求解复数z,即得.【详解】由z(l+i)=2i,

4、根据外心的性质及平面向量数量)D.第四象限2i 2 i(l-i)2(i+l)得寸 2=7z=-=l+i,1+i(l+i)(l-i)2复数z 所对应的点位于在第一象限,故选：A.4.若复数z满足z+2+i=(3-i)(l+2 i),则 z 的 模 为()A.5B.3C.亚D.6【答案】A【分析】根据复数乘法和减法的运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.【详解】由 z+2+i=(3-4(l+2i)=z+2+i=3+6 i-i+2 =z=5+5 i-2 i=3+4i,所以+4。=5 ,故选：A5 .复数z=A （i 为虚数单位）在复平面内所对应的点位于（）l+2iA.第一象限 B.第二象限C.

5、第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】先利用复数的除法和复数的乘方化简复数z,再利用复数的几何意义求解.2i2021 2i【详解】由题知,=2i(l-2i)4 2.-=-H 1(l+2i)(l-2i)5 5则其在复平面内所对应的点为&9所以该点位于第一象限,故选：A.6.若复数z 满足 =l+3 i(i为虚数单位)，复数z 的共规复数为()ZA 3 1-n 3 1 A.+i B.-110 10 10 103 1.3 1.C.-1 D.-+i10 10 10 10【答案】B【分析】根据复数相等，应用复数的除法求z,由共甄复数的概念写出z 的共辆复数.【详解】由已知得：z=A1+3?z(l-3z

6、)3 1.-=-1-1(1+30(1-3)10 103 1复数z 的共朝复数为6-记 故选：B.7.已知复数4=-l+i,Z2=2,在复平面内，复数4 和 z?所对应的两点之间的距离是（）A.&B.2 C.回 D.4【答案】C【分析】根据复数的几何意义以及两点间的距离公式即可求解.【详解】z,=-1+/,在复平面内对应的点为（-1），Z2=2,在复平面内对应的点为（2,0）,所以两点之间的距离为J（-l-2）2+（1-0=M.故选：C8.1748年，瑞士某著名数学家欧拉发现了复指函数和三角函数的关系，并写出以下公式*=cosx+isinx,这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的

7、天桥 .根据此公式可知，设复数z=e今，根据欧拉公式可知，士表示的复数的虚部为（）AA.-a-R V2.0近 n V2.D.-1 C.-D.-12 2 2 2【答案】C【分析】根据题设定义的欧拉公式写出Z的三角形式，由复数的几何性质写出1-的三角形式，进而求 三，即可知其虚部.【详解】由题意知：z=e =c o s-+z s i n-,而 1-1=夜 8$（-巳）+人也（一马,4 4 4 4 =（cos+/sin）=,即虚部为1-/2 2 2 2 2故选：C.9.欧拉公式*=cosx+isinx（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数+在复平面内

8、对应的点位于（）大A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】Aii y/2i【分析】=*.万=不，然后算出即可得答案.e4 cos+sin4 4i _ i _ _ (l _ i)_ 及.【详解】It+2 +le4 cos+，sin 4 4所以其对应的点为，在第一象限故选：A1 0.已知 为实数，复数z=（a-2）+ai（i 为虚数单位），复数z 的共辗复数为2,若z 2 0,则1一三=（）A.l-2 i【答案】BB.l+2iC.2+iD.2-i【分析】根据复数运算首先求出Z?，再根据只有实数可以比较大小可得关于。的方程和不等式，进而解得。的值，代入可得结果.【详解】z=(a

9、2)+a i,z2=(-2)+i)=(a -2)-a2+2 (a 2)i,“解得a =2,(a-2)-q-=0,在结合方程有实数根得,进而分b =o和go两种情况求解即可.h-hx=0【详解】设z=4 +b i,a,b&因为忖=1,所以/+从=i,所以将z=a +i,a,0 R代入方程f+J x+z r。整理（X?+a r +a）+（b-b x）i =0,因为关于x的方程f +z.;c+z=0有实根，x2+a r 4-a =0所 以7 7八b-bx=0所以当6 =（）时，解得a =l ,此时关于x的方程为f+x+l =0或f x-l=0,易知方程d+x+l =0无实数根，故舍去，所以z=-l;

10、当6 x 0时，解得x=l,“=-1，所以6 =土 且，所以z=士 i,此时方程有实数根x=l,满足2 2 2 2条件.综上，z=-i s K z=-1.2 2故这样的复数z的个数为3个.故选：C【点睛】本题考查复数方程有实数根，求对应的复数，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于设z=a+仇进而根据题意得（犬+办+“）+（-加）i =0,即X2+4-t z =0b-bx=O,进而求解.1 2.下列关于复数的命题中（其中i为虚数单位），说法正确的是（）A.若关于x的方程（l +O V+a r+l-4 i =0（a e R）有实根，则”-1B.复 数z满足（1 +1”=严2

11、。，则z在复平面对应的点位于第二象限C.z,=-4 +l +（2 a2+3 a）z,Z 2=2 q +（q 2+a）i。为虚数单位，ae/?）,若a -；,则马2D.l +2 i是关于x的方程f +px+g =O的一个根，其中p、q为实数，则4 =5【答案】D【分析】直角利用复数的运算，复数的几何意义，一元二次方程根与系数的关系，逐项判定，即可求解.【详解】对 于A中，设方程的实数根为f,代入方程可得（1 +。*+0 +1-今=0,所 以 2+：“+=解得。=3,所 以A不正确；1-4=0 2;2020 1 对于 B 中，复数（l +i”：，2 02 0,可得z=-=1 +i l +z 2 2

12、则复数z在复平面内对应的点为（g,-g）,位于第四象限，所 以B不正确；对于 C 中，复数4=-4 a +l +（2 a 2+3 a）i,z2=2 +（Q2 ,当 -g时，可知当a 2+a w（）时，因为虚数不能比较大小，所 以C不正确;对 于D中，l +2 i是关于x的方程f +px+q n O的一个根，根据复数方程的性质，可得1-2 i也是方程的根,可得l +2 i +l-2 i =-p(l +2 i)(l-2 i)=,解得。=-2应=5,所 以D正确.故选：D.二、填空题31 3.设i为虚数单位，在复平面上，复 数 不 不 对 应 的 点 位 于 第（2T）象限.【答案】一3 Q 1 2

13、【分析】化简复数莅=7=云+王i结合复数的几何意义，即可求解3 3 3(3 +4 i)9 1 2【详解】由题意，复数=%:八=去+不(2-1)3-4 1 (3-4 1)(3 +4 1)2 5 2 5可复数在复平面内对应的点z(福9,芸1 2)位于第一象限.故答案为：一1 4 .若z eC且|z+2-2 i|=l,则|z-2-2 i|的 最 小 值 为.【答案】3【分析】根据复数模的几何意义，|z+2-2 i|=l表示圆心(-2,2)且半径为1的圆，|z-2-2 i|是该圆到(2,2)的距离，应用数形结合即可确定最小值.【详解】卜+2-2 =1表示圆心为(-2,2),半径为1的圆，而|z-2-2

14、 i|表示圆上的点至1 1(2,2)的距离,最小值为圆心到点(2,2)的距离减1,即最小值为J(-2-2)2+(2-2)2-1 =4-1 =3,1 5 .已知i为虚数单位，复数z=(2 +)(l-出)为实数，则2 =.【答案】|【分析】利用复数的乘法化简复数Z,由已知条件求出参数的值，即可得出复数Z.【详解】z =(2 +4)(l-a i)=(2-i)(l-5)=2-a-(2 a +l)i且z e R,2 a +1 =0 可得。=二，因 止 匕，z =2 2故答案为：y.1 6 .若i是虚数单位，复数z满足z(l +i)=2 i,则忖=.【答案】0【分析】根据复数的四则运算法则和复数的模的计算

15、公式，即可化简得到答案.【详解】由题意，复数满足（l +，）z =2 i,则2i 2i+2Z=L=:=1 +1 +z （l+z）（l-z）2所以忖=+=/2 .故答案为：0.【点睛】本题主要考查了复数的运算与化简和复数模的求解，其中熟记复数的四则运算和复数模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.三、解答题1 7,在Z 2 名=1 0（0）；复平面上表示五的点在直线x+2 y =0 上；z/a-i）0,三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数Z =l +i,Z 2=a+3 i（a s R）,（i 为虚数单位），满足_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

16、_ _.若 2 =+一,求：Z|Z2（1）复数Z 的模；（2）复数z?（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）7 2 4【答案】选择见解析；（1）1;（2）-i.【分析】（1）分别选择，根据复数的运算法则，求得。=1,可得z?=l +3 i,进而求得复数z,得到复数的模；（2）由（1）得到z =.-i,结合复数的运算法则，即可求解z 2.【详解】（1）若选：由Z 2 Z 2 =卜2=/+9=1 0,又由4 0,可得a =l;若选：由五=N=（l +,3i）/+3：（：3）i,z】a +3 i ci+9 ci 4-9又由复平面上表示五的点在直线x +2 y =0 上，可 得:二+2 x

17、：二=0,z2a+9 a+9即。+3 +2（。-3）=0,解得。=1；若选：由 4（-i）=（l +i）（a-i）=（6 r 4-l）+（6 Z-l）i 0,可得 八，解得。=1,一 1 二 0综上可得，复数z?=l +3 i.1 1 1 1 1-i l-3 i 3 4.又由 z =I =-1-=-1-=-1,人 H z,z2 1+i l+3 i 2 1 0 5 53 4(2)由(1)知，z =-iJ6_24._2_24.石一石|一一石一石1 8.己知关于x 的方程x 2-(ta n 6 +i)x-(2+i)=0(1)若方程有实数根，求锐角。和实数根；(2)用反证法证明：对 任 意 乃+5(k

18、 e Z),方程无纯虚数根.【答案】(1)-1,9；(2)证明见解析.【分析】3)设方程的实数根为。，得到(ta n +i)a-(2 +i)=0,根据复数相等的条件，列出方程组，即可求解；(2)假设方程有纯虚数根，设为。i(O x O),得至心历尸(ta n O +i)历-(2 +i)=0,化简得到方程2 ta n26 +ta n 6 +l =0,结合判别式和一元二次方程的性质，即可求解.【详解】(1)设方程的实数根为“，则/-(ta n，+i)a-(2 +i)=0,即a2-a ta n，-2-(a +l)i =0,所以“ta n 2 ,解得 =-i,ta n 6 =1,a +l =0又因为e

19、 为锐角，所以。=.4(2)假设方程有纯虚数根，可设为历SeR力H 0),b+/?2 =0 1 1则3 i)2-(ta n 9 +i)-(2 +i)=0,即，八，八，可得7；+7 +2 =0-6 ta n。+1=0 ta n_ 0 ta n0即 2 ta n?(9 +ta n e +l=0,可得方程 A =/一 4x 2 x 1 0 ,所以为虚数，这 与 熹eR矛盾,故假设不成立，所以结论成立，即 对 任 意 乃+(后 e Z),方程无纯虚数根.1 9.已知复数z。满足z 0 +2 =(1)求 z。的共轨复数1；(2)复数4 满足 K|z J S 3-4i|,求马在复平面内对应点的集合所表示的

20、图形面积.【答案】（1）z0=-2 +i；（2）2 0人【分析】（1）由复数的运算法则，化简得z 0=-i-2,结合共规复数的概念，即可求解；（2）由（1）可得%|=6，得 到 逐4团4 5,根据复数的几何意义，得到4在复平面内对应点的集合为圆环，结合圆的面积公式，即可求解./.2 0 1 9【详解】（1）由复数Z。满足z0=g-2 =i2（,l 9-2 =i3-2 =-i-2,所以 z 0=-2+i.（2）由（1）可得=石，且|3-4i|=5,可 得 出4同45,所以4在复平面内对应点的集合所表示外半径为R =5 ,内半径为r=石的圆环，所以面积为S=TR2-%产=乃*5 2-乃、（6y=2

21、 0%.Z +12 0.已知复数4=(1+炉，设Z 2=yZ I（1）求复数Z 2；z +1（2）若复数z满足，z+z2=z+z2 f 求|z|.【答案】（1）z/-3；叵.-5 5 5【分析】（1）根据Z 1=（l +i）2计算出马，把4带入Z2=W即可计算出Z 2.（2）设复数z =x+yi,满 足 出=（四,z +Z2=K即可计算出片儿从而得出|z|.4 I 4 J【详解】解：（1）Z I=（l+i）2=2 i,1 +2/(1 +2?)(-1-2/)_ 3 4.-l +2 z -(-l +2 z)(-l-2/)5 5l(2)设复数 z =x+yi(其中 x,ye R).L L-X+l X+l y所以-=解倚AT.2 2由 z +z 2 =z +z 2,所以4=-卜4-g j，解得y=g4.所以z =-i+,|W =J(-iy+图=华