2022年高考数学一轮复习三定问题及最值精讲（解析版）.pdf

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1、9.6三定问题及最值(精讲)思维导图求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值./求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的 1 7 解析式，再利用题设条件化简、变形求得.定 值e-1 求 某 线 段 长 度 为 定 值.利 用 长 度 公 式 求 得 解 析 式，再依据条件对 解 析 式 进 行 化 简、变形即可求得.曲线的三定及最值特殊推理法：先从特殊情况入手，求出定点，再证明定点与变量无关直接推理法选择一个参数建立直线系方程，f将题目中给出的曲线方程(包含直线方程)巾的常量当成变量，将变量x,F 当 成 常 量,将 原 方 程 转

2、 化 为 止，J，)+X,J，)=o 的形式(是原方程中的常勤；(ii)根据直线过定点时与参数没有关系(即直线系方程对任意参数都成立)，得到方程组用 r,F)=0.y)=(h(iii)以申方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点,若定点具备一定的限制条件.可以特殊解决.函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数的单调性求解不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的范围常见考法考法一定点【例1】（2 0 2 1 贵州贵阳市贵阳一中高三月考（理）已知椭圆Cj二+=1（。/,（）的 离 心 率 为 ,a b 3且过

3、椭圆的右焦点F有且仅有一条直线与圆G：/+丁=2相切.（1）求椭圆G的标准方程;（2）设圆G与y轴的正半轴交于点P.已知直线/斜率存在且不为0,与椭圆C 1交于A,B两点，满足=（。为坐标原点），证明：直线/过定点.【答案】（1）+/=1:（2）证明见解析.3【解析】（1）因过椭圆的右焦点F（G O）有且仅有一条直线与圆C 2：/+产=2相切，则点尸（c,0）在圆C 2：x2+y2=2.,即0 2=2,而椭圆G的离心率6 =亚=,解得。=如，则。3b2=a2-c2=1，所 以 椭 圆 的 标 准 方 程为三+/=1；3（2）圆C z：V +y 2 =2与y轴的正半轴交于点p（o,何，依题意，设

4、直线/的方程为产丘+机（女 片0）,A,B两点的坐标分别为（西,乂），（苍,为），,_ J 7 -J5由=知 直 线 初 斜 率 ”与心-互为相反数，又 3，,即，=:一.,王 即2 1二 色+=正=0,化简整理得:王w (y _0)+%-码=。，又 凹=依+m，y2=kx2+m ,于是得 2 g x 2+（6一逝）（X+%2）=O，由消去 y 得：（3 2 2+1 卜2+6 近+3 帚-3 =0,则士+七 二-,为 x,=M，从而有2h即 二+（?-夜）（-华-）=0,即2h（3 一3）-6%伽 0）=0,解 得 吁 立，此时直线/的方程为y=kx+-,所以直线/恒过定点（0,孝）.【一隅三

5、反】,21.（2 0 2 1 海 口中学高三月考）设椭圆+=1 1 有）的左右焦点分别为E,F,右顶点为A,已知薪+血=向 其中。为原点，e为桶圆的离心率.（1）求椭圆C的方程；（2）若过E 的直线/与坐标轴不垂直，它与椭圆C交于M,N两点，A T 是点M 关于X 轴的对称点，试判断直线N M 是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由.2 2【答案】3+方=1：（2）过定点，且定点为（-4,0）.1 1 3 e【解析】（1）依题意6 =逐,西+网=网，Qc a cHII t i 3 x _ 3 x V-+-,=S-,a2-c2=3c2,a2=4 c2c a a-c ac

6、a-ca1=b2+c2,4 c2=3+c2,c=,a=2,2 2所以椭圆c 的方程为三+匕=1.4 3（2）（-1,0）,依题意可知直线2 的斜率存在且不为0,设直线/的方程为y =Z（x+l），设MQ,y）,N（X 2,%），“（%，X），y =%（x +l）x2 y3 消去y并化简得（3+4 公）d+8/x+4/-12 =0,4 3-8 公 4 M2-12二 有 直线M W 的方程为科 必:二21。-%）,X2 X根据椭圆的对称性可知，若宜线M 0过定点，则定点在x轴上,由此令y=o得%=吐乩（x-占）,X2 X即x=y G 2 f）+玉=凶（占一为）+=（%+乂）=%+）人%+X 1%+

7、y 必+x%+石 +2 x2+%1 +24 k2-*412 l=2 3-1 +i=2x上 阵+1x,+占 +2-8 A:又-r+23+4 k2 4 r-1 2-3-4公2x-；-8二+6+8公所以定点为（T,0）.2.（2021 九龙坡区重庆市育才中学）阿基米德（公元前287年-公 元 前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆面积除以圆周率万等于椭圆的长半轴长）2与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系中，椭圆C:5+=l（ab0）的面积等于2乃，且椭圆C的焦距为a b2分（1）求椭圆C的标准方程；（2）点P（4,0）是x轴上的定点，直线/与椭圆C

8、交于不同的两点4 8,已知4关于）轴 的 对 称 点 为5点关于原点的对称点为N,已知H M、N三点共线，试探究直线/是否过定点.若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）C:+y2=l；（2）直线恒过定点（-1,0）.42 2【解析】（1）椭圆（7:0+25=1（。0）的面积等于2 ,.乃 出?=2万，a b：.ab=2,椭圆C的焦距为2百，.=2c=23,ah=21，%),8(,乂)，则MJ%,%),阳-和-必)，P、M、N三点共线，得-X)-4必x2+4凹(+4)+%(+4)=0,直线/：x =m y +力 与 椭圆。交于 A8 两点，%=m y+f,x2=my2+t

9、 y(my2+r +4)+y2 myx+/+4)=0 ,2 物 力+(，+4 心+%)=，x=m y+t由 +4)y 2 +2机)+4 =0 ,.0*一4%=祖2+4 代入2 啊 i%+(f+4)(y+%)=。中,m2+4 t22mttn2+4/.8/?(r4-l)=0=0,/.2 m(r2-4)+(r+4)(-2/w r)=0 ,当帆=0,直线/方程为x=Z,则M、N重合，不符合题意;当 =-1 时,直 线/：=阳-1,所以直线/恒过定点(T,恒.3.(2 0 2 1 湖北)已知椭圆马+耳=1(“6 0)经过以下四个不同点中的某三个点：B-&a b2 2C(-l,l),D(3,叵).2 6(

10、1)求椭圆7 的方程；(2)将椭圆T 上所有点的纵坐标缩短为原来的且倍，横坐标不变，得到椭圆：已知M,A 两点的坐标分2别为(0,1),(0,T),点尸是直线y =2 上的一个动点，且直线力0,F N分别交椭圆 于。(G,分别异于 M,V 点)两 点，试判断直线G H是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.2 2工+2=1(O【答案】(1)4 4 1；(2)直线G 恒 过 定 点 03.3I ,【解析】由 题 意 可 得 4 C一定在椭圆上，即，+=1 3若 8 在椭圆上，则 苏+亦=1,由可得力1 +13=1,不存在，所以在椭圆上，可得看9+款21=L，4由可得/=4，

11、吩=、,2所以椭圆的方程为：5十 卷=13（2）将椭圆7、上所有点的纵坐标缩短为原来的且2倍，横坐标不变，设汇上的点为：（x,y）,对应的点（x,），）,由题意可得），所以=%,一 双,I-y,人 一人,2,2所以，的方程+=，设网科2）,G（X，x）,MF-1m,3kNF=一m所以直线M F的方程为:y=-x+l,m3直 线 破 的方程y=工-1,m联立宜线M b 与椭圆的方程1y-x+m2X 2L=1整理可得(4+m2)x2+8mx=0,所 以%=1-8/w4+/w2-4 rjr.即G-8根-4、4+/4+/)联立直线，忸与椭圆的方程：H24？36-n r36+m2 36+m23 y=x-

12、M I24/77、整理可得(36+m2)x2-24/77X=0,所以/=-厂 2 1 36+加 一+y=1436 m 日 0，y-i=-r 即 36+nrnr-4 36-/n2所以直线G H 的斜率为：kcll=加2 3 g.病4+/36+m22(/4-144)-1 2-32m+12)16mITT 4所以直线8的方程为：，-赤7 7 T-1 216m8 机X+-r4 +加整理可得y =-巴 士 x+L当x=0,y =-1 6 m 2 2所以直线G H恒过定点（0,g）.考法二定值【例 2】（2 0 2 1 河南高三月考（文）已知椭圆C：+/=1（人 0）的左焦点为尸，离心率为孝,过/且垂直于x

13、 轴的直线被椭圆C截得的线段长为2.（1）求椭圆C的方程;（2）已知点A（2,0）,过 P（2,-4）的直线/交椭圆C于 M,N两点，证明：直线A 用 的斜率与直线4V的斜率之和为定值.【答案】（1）+-=1；（2）证明见解析.4 2【解析】（1）设椭圆的半焦距为c,则 a ,2b2彳 =2,a2=b2+c2,解得 =2,b=y/2,2 2所以椭圆C的方程为三+E =1.4 2（2）由题意知直线/斜率存在,设其方程为丫 =质+小（z*0）,加（不乂）,N,力），y=kx+m,联 立 方 程 组/V 代入消元并整理得：（2 2+1）/+4加a+2 机2-4 =0,-1-=1,4 2A =（4 f

14、 a n）2-4 x（2/+1）（2/M2-4）=32k2-Sm2+1 6 0,贝|J&+N=-4km2m2-42 犬+1 内=2.+1%X,-2 /2将 y=h i+/n,必=监+机 代入，整理得:“AM+Z/W =（g +ni）（x2-2）+（AX2-2）（%-2）（一2）2 g x 2+（加 一 24）（x+x2）-4mMW-2（x）4-x2）+4-4（2 左+m）将韦达定理代入化简得：一2（24+叼因为直线/过点。（2,-4）,所以2Z+帆=-4,代入“AM+“AN-4（2 女+?）2（2%+加）2得 Mw+&AN=；.【一隅三反】1.（2021 重庆高三月考）在平面直角坐标系Q r

15、中，已知椭圆G +/=l（a 0）的离心率为日,且 C过点例（2,1）.点 R。在。上，且直线 阀不与坐标轴垂直.（1）求 C的方程；（2）若直线加，他的斜率存在，分别记为尤，右，证明：加 过。点的充要条件是4&=-；【答案】（1）+=1 （2）证明见解析.8 2【解析】（1）由题意：-=,:.a =2b,a 2所以椭圆G/+g =l.代入M（2,l）得：b2=2,所以椭圆C：+=1.8 2（2）设直线图为：y=依+九/3（入|,乂）,0（,）,叱,。的斜率分别为匕出,，-二+片=1,联立 I 1 L m 2m+1 4 k 1右&公=一：时，-；=一一，4 1 6/+I 6 6 +病一 4 4

16、化简得：nr+2km-m =0=m =0.m+2k-=0,若加+2&-1=0,则y=h +l-2/过点M（2,l）,直线M P,版只有一条存在，故舍去.：.m=0,则直线偌过原点.2.（2 0 2 1 全国高三（理）已知椭圆（7:+口 =1（4 /0）的 离心率为亚，两焦点与短轴两顶点围成的a b 3四边形的面积为4 夜.（1）求椭圆C的标准方程；（2）我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点。作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于 A,8 两点，若直线08的斜率存在，记为尢，k2.求证：匕右为定值；试问|Q A F+|O 8|2 是否为定值？若是，求出该定值；

17、若不是，请说明理由.r2 v2 1【答案】（1）。+乙=1；2二一彳，|。4|2+|。0 2=8.6 2 3【解析】（1）依题意得 =乎，2bc=4 6，/=+/，解得=述力=0a 32 2所以椭圆C的标准方程为工+匕=1（2）直线OB的方程分别为y=&B，y=k/,设椭圆C的“卫星圆”的圆心为（毛,）因为直线。A,。8为“卫星圆，的两条切线，则W=r4化简得（2 x：3 居2 -4。%+24-3 =0,（2 只 一 3）后 一 4&+24-3 =0所以K，自为方程（2%-3）公 4 丘。为+2 点一3 =0的两根，故 桃 2=等|又 因 噂+*】所以帙=寥=鬣 故g 为定值T设 4&，%），

18、3（巧,力），1%=&工22 6 2 6则l（W+|08F=（i+k：）由于 e =一i 屋 所以抬,2=时i,得|O A+|O 8|2=6。+%：）2（9 片+1）8 0 +3（）3 好+1+3 将+1-3 将+1=8所以|。4+|0 臼2为定值8.3 （2 0 2 1 福建高三月考）已知椭圆E：2 2?+方=l（a b 0）的左、右焦点分别为。,居，点A（O,-,直线A 8的倾斜角为6 0 ,原点。到直线A 8的距离是正4（1）求 E的方程;（2）过 E上任一点P 作直线P6，PE 分别交E 于M,N（异于尸的两点），.FtM=m P Fl,F2N =nPF2,探 究 是 否 为 定 值？

19、若是，求出定值；若不是，请说明理由.m n【答案】（1）y+y2=l；（2）是定值，定值为6.【解析】（1）由题意，点A（O，-W）,直线A%的倾斜角为60 ,所以c =l,在R t A O 玛中，求得点0 到直线A的距离是走，2又由原点。到直线4 鸟 的 距 离 是 在 则/=2,所以。2=/一,2=1,4故 E 的标准方程为+2=1.（2）当点尸为椭圆右顶点时,1 _ PFX V 2 +1 PF2 x/2-1in FXM/2-l n F2N 5/2+1,所以，+4=6；m n当点P为椭圆左顶点时，同理可得+,=6；m n当点P不为椭圆顶点，即直线PM，PN的斜率均不为零时,设直线PM的方程

20、是x =T+?，直线P N的方程是x=l +sy,分别代入椭圆方程、+y 2=l,可得（产 +2）y 2 -2 A 7-1 =0 和1 2 +2）y2+2 s y-l =0,设 P（M，%），M4,%），则 为凹=一胃1,%=一 三 工,uutm i i u u i 1 yn 2 /2 小由耳=小尸耳，可得y=一加%，则蔡=一:=%+2）,由直线PM的方程”=T+ry，可得 二 一，y。所以=必（产+2）=5+1）2+2 公=3 +2%，UULU UUU 1 1 1由玛N=/Y；,同理可得一 =3 2%,所以+=6 为定值.nm n综上所述，为定值6.m n2 2 24（2 02 1 沙坪坝区

21、重庆八中）与椭圆C:+与=1（a b 0,c 0 且/=+。2）相关的两条直线工=幺a b c称为椭圆C的准线，拥有丰富的几何性质.已知直线/是位于椭圆C右侧的一条准线，椭圆上的点到/的距离的最大值为6,最小值为2.（1）求椭圆C的标准方程及直线/的方程；（2）设椭圆C的左右两个顶点分别为A，4,T为直线/上的动点，且T不在x 轴上，小1与C的另一个交点、为M,与C的另一个交点为N,F 为椭圆C的左焦点，求证：的周长为定值.2 2【答案】(1)+=1,x=4；(2)证明见解析.4 3 2a c-a=2【解析】(1)由题知，即a/-a=6、c又因为从=a2-c2=3,所以椭圆。的标准方程为 十

22、f=1 ,直线/的方程为x =4.4 3（2）证明：题意可知，4（-2,0）,4（2,0）,7（4 ）（，。0）,设Mw，%），直线”的方程为=:（+2）,6直线A 2 T 的方程为y =5（x-2）,联立方程组y =-(x+2),可得(2 7+/1+4 小+4-108=0,三+J4 3c 4 C-108 5 4-2/可得一 2 k而尸所 以 寸 不 彳贝 I j y =!(玉+2)=:o o 5 4-2/,2 7+r2、+2718r2 7+r故”5 4-2 r2 7+/由,18f)2 7+r j=/(x-2)2 2x +y =ii4 3可得(3 +)/一4/3+4产-12 =0,可得所以则%

23、=加-2）=；（量-2：-6/3 +*故N2-6-6/18r 6r故直线MV的方程为尹 枭=熹 二|耳 卜 一 暮）,2 7+Z2 3 +/化筒得y+黑6f(2-6)Hn6t即y=_x+-总i心故宜线MN过定点（1,0）,所以 月0 N的周长为定值&当f=3时，M（l，J 小-野 或N ,可知MN是椭圆的通径，经过焦点（1,0）,此 时 MN的周长为定值4 a =8,综上可得，FM N的周长为定值8.考法三定直线【例3】（2 02 1 全 国高三月考（理）在平面直角坐标系x O y中，已知点M（-G,0）,直线/“=-竽,动点P到点M的距离与到直线/的距离之比为也.2（1）求动点P的轨迹E的方

24、程；（2）设曲线E与X轴交于A、8两点，过定点N（-1,O）的直线与曲线E交于C、。两 点（与A、B不重合）,证明：直线A C,8。的交点在定直线上.2【答案】（1）+/=1：（2）证明见解析.4【解析】（1）设P（%y），根据题意,2，整理得三+丁=1432所以动点P的轨迹E是椭圆，方程为土+丁=1.4（2）由题意知，直线的斜率不为0,设过点N（-l,0）的直线方程为x =1,代入椭圆E的方程，整理得（加2+4）/一29-3 =0,因为 =4 P+1 2（m。+4）=1 6（机？+3）0,所以设C（西,y），D（x,y2）,（XPX2*2）,r I 2m 3 与则 X+%=,，J%=_ _

25、r-7.m +4 w+41 1 1 （1）得 A（2,0）,B（2,0）,则直线AC的方程为丫=T（X+2）,直线3。的方程为y=f（X-2）,百 +2 x,-2联立两直线方程，消去y蝌亚少x .2 G2）y+G+2），2整理得一（g-）y,将X,=myt-1,x2=m y,-1 代入整理得*二 2空 竿 业若上 也，（乂+%）+2%彳-4 y-把式代入，整理得*=2-厅+4=T,2m2y+2.加+4即直线A C与直线8 3的交点的横坐标恒等于-4所以直线AC,即 的 交 点恒在定直线x =T上.【一隅三反】1.(20 21 安徽高三(理)已知椭圆C:+，=l(a 0,6 0)过点(2,1),

26、离心率为弓，抛物线V=-1 6 x的准线/交x 轴于点A,过点A作直线交椭圆C 于 ，N.(1)求椭圆C 的标准方程和点A的坐标；(2)设 P,。是直线/上关于x 轴对称的两点，问：直线PM与Q N的交点是否在一条定直线上？请说明你的理由.【答案】(1)y+=l；4(4,0)：(2)定直线x =2,理由见解析.4 1 ,靛+乒=1【解析】(1)由题意可得 从=合-/解得“2=8,匕 2=2,c 5/3e=、a 2 ,即椭圆C 的方程为：工+汇=1,8 2又由抛物线V=T6x,可得准线方程为/:x =4,所以4(4,0).（2）设（4 ），Q（4,-r）,M N:x =my+4,M（x，y）,N

27、（x2,y2）由X =my+4/：4）,2_8=0,整理得（+4）/+8 冲+8=，8 机 8所以X +、2=-一=，乂 =工 7，tn+4 /n +4y,+y0则 y+必=my%即-=-m，y2直线 P M 为 y T=E （x-4）,即 y-r=1（x-4），再一4 4X 宜线Q N 为y+f =&2（x-4）,即 y+f =上4-4），x,-4 my2-得：2f =（一二（一 4）,即 2（，+%）（I）y2 y,J m y,y2所以2r=L(T川)(x-4),解得：x=2,m所以直线PM与Q N的交点恒在定直线x =2 上.2.(20 21 福建莆田高三)曲线C 上任意一点P 到点F(

28、2,0)的距离与它到直线=4 的距离之比等于多 过点M(4,0)且与x 轴不重合的直线，与C交于不同的两点4 B.(1)求C 的方程；(2)求证：AABF内切圆的圆心在定直线上.【答案】(1)二+”=1;(2)证明见解析.8 4【解析】(1)设P(%y),由题意：让 高 =弓=(X-2)2+丫2=*一 4)2,化简得：-+=1,即 的方程为：-+=1.8 4 8 4(2)设直线Lx=m y+4,A(xl fy1),B(x2,y2 将2代入 C得:(m2+2)y2+8my 4-8=0,4=647n2-32(m2+2)0=?n2 28m为+2=一 产为”=品设直线.与步的斜率分别为七,七,则七+%

29、2=六+含=缶+券=2叼1为 +2 8，+为)_ 2-舟+2(-晶)=o(”1+2)(见2+2)(my2)my2+2)：.kr=一/2，贝此8尸 =71-乙4尸“，二直线 =2平分乙4FB,而三角形内心在乙4FB的角平分线上，.ABF内切圆的圆心在定直线x=2.3(2021 江苏泰州市高三)已知椭圆P:匕+丁=1的右顶点为A,点例(看,%)是椭圆尸上异于A 的一点，4MNJ_x轴于点N,B是M N的中点，过动点用(题,%)的直线/:xx+4%y=4 与直线A 3交于点C.(1)当 修=5 时，求证：直线/与椭圆P只有一个公共点；(2)求证：点C在定直线上运动.【答案】(1)证明见解析；(2)证

30、明见解析.【解析】不 妨 设%0,当X。=时，由 今+尤=1得%=，所以直线/方程为2 x+4gy=4,即y=_ x+g,5 5 8 4 3 5 6y=x+元=_ zIII,8 4,解得:，故直线/与椭圆尸的交点坐标为住x 2 1 4 15+/=1 y=-4-5所以直线/与椭圆只有一个公共点.因 为 加(%,%)(%0),MZV_Lx轴，6 是M N的中点，所以8(%,%因 为%0,所以/*2,所以直线A 8的方程为y=_(x_2)，%-24 L妙即k 2(3)1)，x0 x+4 y0y=4联立，:（X 2）得（片+2 -2为 卜=4%-8 +4.片，2（%一 2）又因为手+尤=1,所以尤=1

31、一 ，因此 x；+2（i才 2 x 0 x =4 x（）-8 +4（i 寸,H|-（x0-2）2x=（x0-2）2,所以x =-2,所以点，在定直线x =2上运动.考 法 四 最 值（范围）【例4】（2 0 2 1 河南高三月考（文）已知抛物线C：一=2外（p 0）的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于A,B两 点,当A,8两点的纵坐标相同时，|A B|=4.（1）求抛物线C的方程；（2）若P,Q为抛物线C上两个动点，归。|=机（加 0）,E为P Q的中点，求点E纵坐标的最小值.【答案】（1）V=4 y；（2）当0 m =1 6（A:2+Z?）0,设 P（%,y）,。（毛,%），则占+占=4%,

32、占超二-43|P 0 =x/1 +父 J（X +*2 1-4 X X 2 =J 1 +L+1 6方=m,2所 以 八 项由一仁符合所以 乂 +丫 2=&（%+）+2 匕=4/+2 =+2 公，-2所以点E的纵坐 标*岩=瑞可+八端可+代+1）7川令1 =4 2+1 2 1，则/=+/_ 1.1 6 r2当?1 时，即0 加4时，函数%=?+一在 时 取 得 最 小 值，（为L=g _i,4 16/4 22综上所述：当0 加0）,过点P（3,0）的直线/交抛物线E于A ,B,且。4。8 =-3 （。为坐标原点）.（1）求抛物线E的方程；（2）过户作与直线/垂直的直线加交抛物线E于C,D.求四边形

33、A C 8。面积的最小值.【答案】（1）/=4x；（2）6 4.【解析】（1）设直线/为x =）+3 代入E:y?=2 px 整理得y2-2 pty 6/?=0设 人（西,凹）,8（%,%）所 以 乂 +必=2 Pt y必=-6 p又所以=94 p-4 P 2山 OAOB=-3=XX2+yty2=3 得9-6/?=3 =p=2综上：所求抛物线E的方程为y2=4 x(2)由(1)得 X+必=由,*必=T2|AB卜 Jl+y(4/)2+48=4，1 +产，4+3令,有S,CBD=；|A8|CD|=8J2+?J l0+3町=8yl 3m2 +16?+20故当m=2 时，四边形AC8 面积有最小值8

34、j34+162+20=642(2021 长沙市湖南师大附中)在平面直角坐标系大力中，已知尸(1,。)，动点尸到直线x=6 的距离等于2|PF|+2.动点尸的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C 的方程；(2)已知4 2,0),过点F 的动直线/与曲线C 交于B,。两点，记,AOB和及。的面积分别为R 和邑，求 5+E 的最大值.r2.,2【答案】(1)+-=1 ；(2)最大值为3.4 3【解析】(1)设点P(x,y),当xN 6时，P到直线x=6 的距离显然小于归尸|,故不满足题意；故|x_6|=2j(x_12+y2+2(x(x,y2),x=my+1联 立 d y2,整理得(3病+4)9+6 冲-9

35、 =0,()显然成立,-F -=1I 4 3LL 6 机 9期 以y+必=一。2,”，月必=2，3m+4 3m+4所以E _%|=+必）2-4 5%=Ja 6,J +1,6 4 =l；y?YY l 3+4 J 3/n+4 3 加+4故S,+S2=j o A|x|+；0 A 匹 卜OAy i-y2=，妾:f 设r =不病+1，之1，则利*=r 1，C ,C 12则每邑=手 节=口,，十一因为d 1,所以3 f +l2 4 （当且仅当f =l时，等号成立）.故*邑=壬”H一即5+$2 的最大值为3.2 2.3.（2 0 2 1 福建南平市）已知椭圆C:+专5 人。）的长轴长为46，点（百，卡）在C

36、上.（1）求C的方程；（2）设C的上顶点为从右顶点为反直线/与A B 平行，且与C交于M,N两点，而=而，点F为C的右焦点，求|。目的最小值.【答案】（1）+-=1；（2）豆叵.12 8 5【解析】（1）因为C的长轴长为4 石，所以2 4 =4 后，即”=2/.又 点 便，何 在 C上，所以，+卷=1，代入“=26，解得=8,2 2故C的方程为三+工=1.12 8（2）由（1）可知，A,8的坐标分别为（0,2 a）,（2 7 3,0）,直线A B的方程为&x +Gy _ 2 耐=0 ,设/：/5%+石/+7 =0（2 4-2 /）,七+九1-1-_ 1 _ _联立/2 x+/3 y4-7 W=O由 =8 根2 16（机 2 -2 4）=3 8 4 8 m 2 o,得病 4 8,设M（5，X）,N 5,y j ,D（x0,y0），因 为 而=加，所以为屈V 的中点,则x产詈=一 空因为6 +，=0,所以为=一 皿，6又尸的坐标为（2,0）,所以|尸|=7（o-2）2+yo =档 +鬲+4 +需=J 等+二时,|D F|取得最小值，且最小值为 争.