直线与圆锥曲线的位置关系-2019年高考数学（理）之高频考点.pdf

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1、解密22 直线与圆锥曲线的位置关系篦解高片高考考点命题分析三年高考探源考查频率直线与圆锥曲线的位置关系及弦长问题解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.2018课标全国I 82018课标全国I 112018课标全国H 122018课标全国IHI62018课标全国H 192017课标全国I 10 圆锥曲线的最值、范围、证明问题2018课标全国I 192018课标全国H1202017课标全国IH202016课标全国H 20 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题2017课标全国I 2020

2、15课标全国1120 一 对 内 解 解考点占11 匚位置关系及弦长问题题组一直线与圆锥曲线的位置关系的应用-1 y=1（0 i 3,：.4-cz 3,.c2 0 ,c.直线与抛物线交于A,8两点,.I ，解得kRO.Xj +x2=设4（*1 3）产（*2 ）,则2k2+41 6 2k2+4 i oV ABxi+x2+4T xi +x2=k2=T.,.d=3 =土依.检验知k=土熄满足条件.+=K。b 0）,_ ,调研5设椭圆C：a，看 过点右焦点为尸（、历,0卜（1）求椭圆C的方程；（2）设 直 线/：3 =*口（）分别交x轴，y轴于C,。两点，且与椭圆C 交于M,N两点，若C N =M D

3、,求我的值，并求弦长|M N 1【解析】（1）由椭圆C过点Q（J I 1）可吟+/=1 ,由题意可得c=J5,即4 一=2,解得a=2,b y/2(故椭圆C的方程 为 三+匕=1.4 2（2）直线/：=左（一1）与*轴的交点为。（1,0）,与 轴的交点为。（0,左）,x2+2y2=4联立（一）,消去y得，0 +2的人*+2人3_ 4 M设 M（再，i），-V（X n,y2）,则玉+上 +2好，I H !I n H C N=（x j -1,=（一 再,一 左 一 y j止 ,l毛+X、=-=1 Fy由 C N =M D,得*l+2 k-,解得 =-.2由女0得巫，2代入 得2 9-2%-3 =0

4、,MA=J1+左-J(xi+w)，-4再W-/1+6=可得 V2 2考点2圆锥曲线的最值、范围、证明问题题组一圆锥曲线中的最值问题调 研 1已知抛物线y2=4x的焦点为F,A,B是抛物线上横坐标不相等的两点，若A B的垂直平分线与x轴的交点是(4,0),则|AB|的最大值为A.2B.4C.6D.10【答案】C【解析】因为尸(1,0),设尔的,),8(X2,竺)，M(4,0),由|MA|2=|MB|2 得(4一内)2+4=(4 一 孙-+，乂 丁 彳=4尤 1,关=412，代入中并展开得168xi+x；+y；=168必+云+岳 即入彳 一 云=4川-4应,得工|+初=4,所以|AB|W|Afl+

5、|明=(为+$+怎+9=6,当且仅当A,B,尸三点共线时等号成立，所以 1481mlix=6,故选 C.13,1 1 3 9 尸()(_：x Q调研2 如图，已知抛物线炉=丁，点 人(一 一 8(一 ,一)，抛物线上的点 2 2.过点82 4 2 4作直线A P的垂线，垂足为。.(1)求直线AP斜率的取值范围:(2)求|Q4|P Q|的最大值.【解析】（1）设直线A P的斜率为k，Q-lx2 2.直线AP的斜率的取值范围是（1,1）.1 ,1、，1,1 CV =左（4+一）kx-u +左+=0（2）易得直线4 P的方程为“4 2,即 2 49 1 3 9 3V-=（X ）x+H 左一一=0直线

6、BQ的 方 程 为-4 k 2,即 4 2联立直线AP与5。的方程，得A x-v+=0”2 49 3x+&v 左一一=0“4 2-k2+4k+3 9k2+Sk+l（2（-+l）4 M+4解得点。的坐标是-l +-k4-k3+k2+k故。=（1+好.一一）乂 PA=一女）以叫I尸。卜 趴 院=（1+4（1）+4 1+以X）=（l+k）k-Y）令/伏）=（1 一 初 左+以，-1 X 6 0）的左、右焦点分别为6，6，左顶点为A ,离心率为也,a b2点8是椭圆上的动点，AAB6的面积的最大值为 交 二1.（1）求椭圆C的方程;（2）设经过点耳的直线/与椭圆C相交于不同的两点M,N,线段MN的 中

7、 垂 线 为 若 直 线/与直线/相PQ交于点P,与直线x=2相交于点。，求 局 的 最 小 值.MN【解析】（1）由已知，有 =出，B|Ja2=2c2.a 2V a2=b2+c2:,b=c.设8点的纵坐标为%（%w。）.则S-业 仁;（a-。）6=号,即（飙-方=点-1.b=l,a=-/2-2二椭圆C的方程 为 士+y2=i.2（2）由题意知宜线/的斜率不为0,故设直线/：x m y-.设M（N，y）,N（w，%），尸（%，孙），Q（2,y）.联立 0.2m 1 1+2=2 12=2-m+2 m+2由弦长公式，得区入1=再U|凶_闯=历了叵士黑也整理，得口V|=20*.r 1 k+2又 J，

8、二 马=mjp-1=2 zw +2 w 4-2|PO|=yl+mz|xp-2|=Jl+mz-十：.pQ _ 2/+6 w:+3 _ 7 2 z/-j-7 ,2 ,；、-两=20J T丁 而7T刈 i E2，当且仅当J k?+i =:,即加=i时等号成立.Y 加+iPQ 二当加=1,即直线/的斜率为1时，扁 取 得 最小值2.技巧点拨求圆锥曲线中的最值问题常用的方法1 .几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，考虑用图象法来解决，这是几何法，充分体现了数形结合思想.2.代 数 法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值.求函数最值的常见方法有配方法、判别式法

9、、基本不等式法、单调性法、三角换元法等.充分体现了函数与方程思想.题组二圆锥曲线中的范围问题调 研4已知圆(%+1)？+/=1 6的圆心为8,4(1,0),Q为圆上任意一点，线段科的垂直平分线 与线段B Q的交点为P.(1)求点P的轨迹C的方程；U U U UUU1(2)若过点B的直线1交曲线C于M,N两点，求AM AN的取值范围.【解析】(1)连接P4由于是线段4 Q的垂直平分线，所以伊川=仍、1,所以伊川+|P B|=PQ +PB=BQ =4 2 =AB,所以点P的轨迹C是以4 B为焦点，以4为长轴长的椭圆，故其方程 为 二+2 L =1.4 3当直线/的斜率存在时，设/：y =A（x+l

10、）,2 2代 入 工+匕=1,4 3消去）得（3 +止）x2+8k2x+4 M1-1 2 =0 ,设M1（再,）,N（孙 当），则再+9=一8好4M-1 23 +4 左 2 6正一 3 +4 二因 为,必 =（再-1 4 1）1必，=（七一1,当），U LU W UULL所以 月N=（甬 1）（x j -1）+yy2=再七一（须+为）+左?（须+1）（毛+1）=（1 +解）演三+俨 T）（玉+W）+1 +上 =（1 +*）篙+（1+标_&-9 _ 7 5 7-3 +4 F-4 4（3 +4 p）1 9 5 7 UJUB u L i r 7因为 3 +4 左 2 23,所以 一;_|”0,所以一

11、3 W K A/-X N 方 0）e =F-tF-）调研5在平面直角坐标系。中，已知椭圆C,灯 的离心率 2 2分别为左、右焦点，过0的直线交椭圆C于P,Q两点，且 P Q K的周长为8.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点”（3,0）的直线交椭圆C于不同的两点4 B.N为椭圆上一点，且满足。7+0 =tO N（。为坐标原点），当M B|4时,求实数t的取值范围.2 c2 a2-b2 3=解 析 ；a?a2 4,.a 2=4b 2又：4a =8/.a=2,b2=1,x2八 一+y 2=椭圆C的方程是4.（2）设.*2 ），做 卬）/8的方程为尸=k（x-3）,ry=k(x-3),x2 2 _由

12、+y 一 )整理得(1+42)-24k2x+36k2-4 =0.k2 0,得 524/36k2-4O+&=-尸1 盯=-1+4A-2 1+4/c2,.OA+()B=(X+x2,yl+y2)=t(x,y)1 24k2 1 1-6 kX =7(*1+x2)=-=R i +丫 2)=:伏(O+&)-6kl=-则，t(l+4/f2)，e t(l+4fe2).(24 户f 144M-、？+-2=4由点N在椭圆上，得叩+咐(l+W，化简得35=%1 +4 d).又由|48|=v 1 +k2xx-x2 3,即(1+fc2)(x,+X2)Z-4X,X2 3将“1+”2占*2代入得(1+左 B,)(1+止广l+

13、4k2 0,则 8,.8 5.,2 t2k2=-由，得 36-4*,联立，解得3 t2 4._ 2 C Y 或即C W(-2,-)U(&2).故实数t的取值范围是(-Z-书)U(5,2).J。,：啜 .0*S 0)的焦点是尸，直线y =2与C的交点尸至吓的距离等于2.(1)求抛物线C的方程；(2)M是圆/+/-a+1=0上的一点，过点M作F M的垂线交C于A,B两点，求证：=|M*.【解析】由|P F|=2知 尸到准线的距离也是2,P点横坐标是2-勺尸(2-将 1 J代入丁=2a，得p =2,.抛物线C的方程为/=4x.(2)可设直线A B的方程为*=+4曰 七 ),则加尸的方程为J =5xT

14、),k2+b k一肋；联立得 +1左+1,代入片+y -6 x+l =0中，整理得b-X=6 6-1,联立,9=4 x 得 丁-4如-砧=0,J =16/c2+16 i =4(b-l f 0 x=ky+b设A a，%，B 半%,则 乂+%=4%,yxy2=-4 I -/X /Z r Z r _ T P、_ )正KFJ KFB-f 2、r 2 2i-i 22.-1(i 2)(H+H),-4b 1则 P )4 )-+亍+】_ 十-2 T,：.FAFB,.M=W-W.*拒 J。，：国 毯 运 a 技巧点拨I .圆锥曲线中的证明问题常以椭圆、抛物线为载体，借助设而不求法，考查数形结合思想、方程思想、化

15、归与转化能力、逻辑思维能力、运算求解能力.2 .圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等).3.解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明.：A 卷.X.运电 纨 运.运 恕：二.4考点3圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题题组一圆锥曲线中的定点问题调 研 1 设直线I 的方程为x=m(y +2)+5,该直线交抛物线C：y 2 =轨于P,Q 两个不同的

16、点.(1)若点4(5,-2)为线段P Q 的中点，求直线1 的方程；(2)证明:以线段P Q 为直径的圆M恒过点B(1,2).x=m y+(2w+5)V【解析】(1)联立=4 x ，消 去 噌 y Z-4 my-4(2 m+5)=0,设。(*1 必)0“2 5 2),则%+2=4 1 y 2=-8 m-2 0,xi+y2.因为4 为线段P Q 的中点，所 以 2 ，解得m=-l,所以直线，的方程为x+y-3=0.(2)因为“1 +*2=m(y +力)+2(2 m+5)=4 m2+4 m+1 0,K =更1=(2加+54 4 16所 以 的 由2=(*1 -1)(*2 T)+(y：2)(力-2)

17、,即B,P 虎-(丐+町)+1 +伊力2 -2。1 +y?)+旬所 以 加 改=(2 m+5 产-(4 m?+4 m+1 0)+1)+-8 m-2 0-2(4 m)+4)=0,因此B P I B Q,即以线段P Q 为直径的圆恒过点B(L 2).C：X+y1=l(a b 0)迈 M(-,b)(-.0)调 研 2已 知 椭 圆 b 的离心率为2 ,4 为 焦 点 是 2 的抛物线上一点 为直线=上任一点,4 B 分别为椭圆C的上,下顶点，且4 B,三点的连线可以构成三角形.(1)求椭圆C 的方程;(2)直线凡4,H B 与椭圆C 的另一交点分别交于点D,E,求证:直线D E 过定点.【解析】(1

18、)由题意知t2=2x4a2,解得.c 道=-a 2a=2b 1 ,c-2.椭圆C的方程 为 土+y 2=i.4-(2)设点”(见一2)(加工0)，易知4(0J),3(0,1),3 1:.直线HA的方程为,=一一 X+1,直线H B的方程为 =-X-1.联立3,y=x+lmX2 2.-k=14”，嗒+1卜24 八 x=0,w.24w,-XD=736?Dw2-36rn+36问r-r理rm可-r4得e 出=一4 一 TsyE=-Tk+4 4+直线D E的斜率为k=n，-1 2,1 6m.-占”1Vt.直线 E 的士方的程 4为 J-4-mr2 =-w-*-1-2-x+8m ,即 v =-m-:-1-

19、2-x-1-4+w*1 6m i+4 J 16w 2直线DE过定点(o,-技巧点拨定点的探索与证明问题注意利用特殊化思想探求再证明，求解的方法常见的有如下两种：(1)直线过定点，引入适当的变量，求出直线方程，根据方程求出定点；(2)曲线过定点，先用特殊位置的曲线探求定点，再证明曲线过该点，与变量无关.题组二圆锥曲线中的定值问题X2 l，2 J TC：r +K =l(a b 0)与,d(a O),B(O 。(0,0),调 研3已知椭圆 a V 的离心率为2 O A B的面积为(1)求椭圆C的方程；设P是椭圆C上的一点，直线P A与y轴交于点M,直线P B与x轴交于点N .求证：|4 7 1忸 叫

20、 为定值.【解析】(1)由椭圆的离心率为 得 =,2 a 2由 X(a:0)(0 4),。(0*0 ,且4。43的面积为 1 得;。匕=1,又因为储=从+。2,所以。=2,。=1,2所以椭圆C的标准方程 是 三+y 2=i.4(2)设尸点坐标为(x M),当4工0时，直线期 的 方程是)-1=红 匚 工毛N点坐标为 产0 ：H V|=|xv-2H上7 +2 1,直线P A的方程是v =上 彳(X 2),七一2“点的坐标为：|5J/I=I VV-I I=I-+I I：I 2一毛,X j-2所 以 心 pM闫,+2卜|兰 +1|=4;b-1 七一2当 x（）=。时，%=1，此时区U|=2 ,|3|

21、=2，所以|4 V|-|5 A/|=4.综上,|4 V H创4为定值4.调研4已知P 0,抛物线臼公=2py与抛物线C2：y2=2p无 异于原点。的交点为M,且抛物线C1在点M处的切线与确交于点4抛物线，格 点M处的切线与碑 交于点B,与y轴交于点C.(1)若直线y=x+1与抛物线G交于点P,Q,且|PQI=入网求抛物线的方程；(2)证明:ABC的面积与四边形40CM的面积之比为定值.y=x+l o,；.p=1故抛物线g的方程为,=2y.卜2=2px(2)由 ”=2刀,得x=y=2 p或x=y=0,则M(2p,2p).设直线4M：y-2 p =k(x-2p)与 y =2py 联立得-2pk、x

22、-4 pz(l-k J =0由“=4P2k+16P2(1-k)=0 得(勺-2)2=0.kA=2设直线2P=2(*-2p)与/=2Px联立得与9-2py-4pz(l-k2)-0由g=4p2+16p2fc2(l-3=。得(I-2k2)z=O-2 =2.c c,c、BM:y-2 p =-(x -2p)故直线 4M：y-2 P =2(x-2 p),直线 2,从而不难求得4(P，)，B(-2P,0)(0,p),S4goe=P”必 8M=3p,，p2=1.ABOC的面积与四边形40CM的面积之比为3 p：-p 2(为定值).燧 二 参.寓。%：.场 产 二 行.以。，.b 0)调 研5在平面直角坐标系中

23、，已知0(-4 2,0)为 椭 圆az b2 的左焦点，且椭圆“过点(啕(1)求椭圆M的方程；(2)是否存在平行四边形力B C D,同时满足下列两个条件：点4在直线 =2上；点B,C,。在椭圆M上 且 直 线 的 斜 率 等 于1.如果存在，求出4点坐标；如果不存在，说明理由.fc=V2【解析】(1)由题意得1 2 1 ，所以 =力=1，r+r=la2 3b2 F y=1故椭圆M的方程为3 0 ,解得一2 m 2,因为%+),：=r,所以比=呼=7因为四边形BCD为平行四边形，所以Q是AC的中点.yr=2yn-2=-2 -1所以C点的纵坐标 2因为点C在椭圆M上，所以丁建-1这 与 我 6 0

24、）&1.（福建省三明市第一中学2019届高三上学期期中考试）设椭圆V 与直线x=2交于2A、B两点，。为坐标原点，若A B O是直角三角形，则椭圆的离心率为【答案】AZ-A Ox=NS Ox=【解析】根据椭圆的对称性可知，4故A点的坐标为（捐）代入椭圆方程得L+M=LM =34 4d:：b2,故椭圆的离心率为3.故选A.2.（西藏南木林高级中学2019届高三上学期期中考试）如图，已知直线y=x-2与圆/+丫2 _ +3=0及抛物线/=&r依次交于4B C D四点，则|48|+|CD|等于A.10C.14【答案】C【解析】由/+y2-4x+3=0,得（X-2）2+/=1）抛物线J=8 x的焦点为

25、（2,0）,直线y=x-2过（2,0）点，：.AB+CD=AD-2,联立直线 产 2与J=8 x,可得f -12x+4=0,设 A（xp y i）,D（如 以），贝IJX1+%2=12,则有|A|=（jt|+X2）+4=16,故|A3|+|CD|=16 2=14.故选 C.二 十 匕=1（a 6 0）3.（宁夏石嘴山市第三 中 学2019届高三上学期期中考试）已 知 椭 圆 的左焦点为耳（一2,0）,过点耳作倾斜角为30。的直线与圆 十 /二/相 交 的 弦 长 为 回，则椭圆的标准方程为A.2 2x+y=118 42 2V XB.+8 412 2y x iC.4-=116 12D.3=116

26、 12【答案】A用/|=叵【解析】作 垂 直 于 弦，垂足为M,则 2.因为直线的倾斜角为3（）。，且制=2,出b 出所以|甲，|=|。司3 3 0 ,代入得亏=*三，所以戒2,因而。:=/+1=8,故椭圆的标准方程 为 三+二=1 .所以选A.8 44.（湖南省三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）过 抛 物 线 的 焦 点 尸 且 倾 斜 角 为60。的直线交抛物线于A、B 两 点,以AF、8尸为直径的圆分别与y轴相切于点M,N,则|皿=2A/3亍B.73、4后-3【答案】C【解析】设，（町）3（电乃），D.273因为抛物线V=4 x的焦点为歹（1,0）,直 线 的 倾 斜 角 为6

27、0,所 以 直 线 的 斜 率 为 百,直线A B的方程为广 指G T）,因 为 为 直 径 的 圆 分 别 与y轴相切于点M,N,所以|0叫=三 对|办1=夫 13帆-乃 I将A B的方程）=例 一1）代入r=4 x,整理得 j3y2-4 y -4 =0.v,=2(3,v2正T则故选c.5 .（广 东 省2 0 1 9届 高 三 六 校 第 一 次联考）已 知 直 线/的 倾 斜 角 为4 5 ,直 线/与 双 曲 线X*V*C:二 一 二=1（。0.6 0）b 的左、右两支分别交于M、N两点，且也有,N/V都垂直于X轴（其中6,瑞分别为双曲线C的左、右焦点），则该双曲线的离心率为A./3C

28、.V5-1【答案】DB.V5x/5+lD.-2【解析】直线/与双曲线的左、右两支分别交于M、N两点，且M、”都垂直于工轴,.根据双曲线的对称性，设点（c,y），N（c,y）,则4-=1,即 此 之 ，且口巧|=|人其|=卜|,a2 b2 1-1 a又 直 线/的倾斜角为4 5。，二直线/过坐标原点，M=c,2 2c a=c,整理得c：-a c-a：=0,B|Je2-l=0,a解方程得e=叵4或6=匕好（舍去）.故 选D.2 2x yr：-i-=l（a0,60）6.（湖南省益阳市2 0 1 8届高三4月调研考试）设 双 曲 线a b 的左焦点F（-c，0）,直线3 x-y+3 c=0与双曲线 在

29、第二象限交于点A,若|。*=|。/（0为坐标原点），则双曲线 的渐近线方程为A.y=+B.y=,A/6y =-xC.2【答案】Cy=争D.2【解析】设双曲线的右焦点为F （c，O）,y.O A=O F,所以|。川=|。日=|。川,则A A F尸 为直角三角形，即凡4 _LF /1,.、|3 c+3 c|6 c.”则网二而5,所=阿阡乃丽2 a =AF-AF =Q=4=由双曲线的定义得 0,即回,则回,y 一 x所以双曲线的渐近线方程为 2 .故选C.典7.（新疆乌鲁木齐市2 0 1 8 届高三第三次诊断性测验）椭圆的离心率为2 ,尸为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与尸关于直线y =x+4 对

30、称，则椭圆的方程为x2 y2+=1A.1 8 9 B.x 2 y 2 x 2 y2+=1 1-1C.1 8 9 或 9 1 8 D.【答案】Cc _ y/2【解析】由题意知）一彳，得/=2 川=2 1,%2 V2r+%=1（。6 0）,、不妨设椭圆的方程为/V ,椭圆上任取点网显儿），x 2 y2=19 1 8x 2 y 2 x 2 y2+=1 +=18 4 或 4 8取焦点F（-c，0）,则PF 中点 I 2 2 1y o _ -c根据条件可得2kpF=%+c联立两式解得=-4 J o=4 .c,代入椭圆方程解得Q =3 衣，b =3,x 2 y 2 y2 x2-1-=1-1-=1由此可得椭

31、圆的方程为1 8 9 或1 8 9 .故选c.n8 .(四川省泸州泸县第五中学高三上学期期末考试)过抛物线V=2 p x(p 0)的焦点F作倾斜角为石的直线,AF交抛物线于4、B两点，则田内A.7 +4 8B.7-4 也C.7 4 8D.7 2&【答案】C耳)【解析】由题意，知直线AB的方程为y=3 2 ,2x2-7px+p2=0代入抛物线方程y =2 p x 可得 47 4&X=-P,则 2p 84X/5x +-=-p,则2 28+4 J 3 8-4 J 3&-4J3 8+4 J 3、,一，/4fl=TP，I 8 F I=，-14卅=T-P，I 8 F I =由抛物线的定乂可得 2 2 或

32、2 2所以|BF|=7 4 09.(【衡水金卷】普通高校招生全国卷I A信息卷)过抛物线厂=2PHP)的焦点尸且斜率为女(攵()的直线/交抛物线于点A,8,若 AF =/I FB,且 则 攵 的 取 值 范 围 是(3 1)A.(1,7 3)C.(2,2A/2)【答案】DB.(6,2)D.(近 2 近)【解析】如图，延长3A交准线/于点C,分别过点4 B 作A、，/于A，B B J I于用,设直线AB 的倾斜角为。,1皿1则inmAC-,ws-cos6 BCLUUAAy一 B B jAmcos=痴Am.桁 八 1一2 2,-+zw+w cos 6=-=-1即 COS 81+X 1+X则上式是关

33、于;I 的减函数,13 2上由可得（3 2）故人=tan6的取值范围是（6,2&）,故选D.1 0E:二-二=l（a 01 0）1 0 .（广东省深圳市宝安区2 0 1 9届高三9 月调研考试）过双曲线 a，f 的右焦点，且斜率为2的直线与E的右支有两个不同的公共点，则双曲线离心率的取值范围是.【答案】（1,6）Ab1 c1 b1.b 0 4_ 1 v-T=1 +v 5【解析】由题意知0 2,故/.，a故1 e 0力 0）C-a 牙 的 右 焦 点/且 与 双 曲 线 C 只 有 一 个 公 共 点，则 C 的离心率为【答案】G2 2工-二=l（a 0*0）D【解析】双曲线C：/b 的渐近线方

34、程为尸耿，工 一 二=1 0 0/0）L因为过双曲线c：/灯 的右焦点尸的直线/：y=2（-G）与 c只有一个公共点,b所以a=2,0=2（依），又因为/+尸=。2 ,解得C K/5,=,所以离心率为e=a=v 52 21 2.(上海市虹口区2 0 1 8届高三上学期期末教学质量监控)设椭圆亍+?=1 的左、右焦点分别为耳、F2,过焦点耳的直线交椭圆于M、N 两点，若 AM N 6 的内切圆的面积为兀，则S&MNF、=.【答案】42 2【解析】如图.己知椭圆?+勺=1 的左、右焦点分别为尸”尸 2,4=2,过焦点片的直线交椭圆了 M 5,X),N (x2,)两点，M N 6 的内切圆的面积为兀

35、，二 M N g的内切圆半径片1.-xlx(|J|+|J/EI+IATsb/M N F2 的面积 S=2=2 a=4.1 3.(河北省廊坊市省级示范校高中联合体2 0 1 9届高三上学期第三次联考)已知点 耳，鸟 分别为双曲线C-=l(a020)/看 的左、右焦点，过耳的直线交双曲线C的左支于A,B两点，且|伍|=3,忸 用=5,|A网=4,则的面积为.9【答案】-2【解析】V|A F2|=3,飓1=5,又抬尸2|T A Q|=2 a,|8&1 T 8Q|=2 a,AF2+BF2-AB=4a=3+5-4=4,.a =l,：.|5 F|=3,又|A 尸 2 +|A B|2=|BF2|2,贝 I

36、NF2 A 8=90。,s i n 6 =35-x5x3xsinB=-x 5 x 3 x-=-=2 2 5 21 4.(河 北 省 廊 坊 市 省 级 示 范 校 高 中 联 合 体 2 0 1 9届 高 三 上 学 期 第 三 次 联 考)已知点用为双曲线C:今X 一当V =&()*0)a 片 的 右 焦 点，直 线 y =履 交 C于两点，NAF,B=则c的虚轴长为.【答案】2 夜【解析】由题意知点B与点/关于原点对称，如图，设双曲线的左焦点为尸】，连 接/巧，BF、,由对称性可知四边形/尸洞先是平行四边形，Fb 4 F：=y,S：/守=2出,设/尸2 =7 力 则以巴=2 方阳，在/尸1

37、 尸二中，由余弦定理可得：4。?=苏-(m-2a)：-w化简得：4 c2-4 屏=，求-力%即4 炉=加(?w-2 a),又s,也=i-?M (?n-2 a)省=2g,2 2：.b-=2,：.2b=2y/2.1 5.(四川省攀枝花市2 0 1 8 届高三第三次(4 月)统一考试)已知产为抛物线E：/=飘 的 焦 点，过歹作倾斜角为a的直线/与抛物线 交于4 8两点，过 4 8向E 的准线作垂线，垂足分别为C、。，设 C O的中点为M.若a e(0 二 ,则明目的取值范是.【答案】(4,”)【解析】因为直线/的倾斜角ae 0,所以直线/的斜率(k=t a na w 0：设过焦点F的直线方程为y

38、=A:(x-1),联立 =务-1)44x y2-y-4=0口 一 ，整理得 k4所以y+%7则 x +%22k所以网寸一即点M 的坐标为(一1,彳,又因为A,所以二4 1 2,所以即|M 耳 的取值范围是(4,+o o).1 6.(陕西省四校联考2 0 1 9 届高三高考模拟)如图，已知抛物线C/u Z p N p 。)过点4(1,1).(1)求抛物线C的方程；(2)若过点P(3,-l)的直线与抛物线C 交于M,N两个不同的点(均与点A不重合)，设直线A M,A N的斜率分别为 i，”,求证：卜丁修为定值.【答案】(1)y2 =x.(2)见解析.【解析】（1）由题意得2P=1,所以抛物线的方程

39、为y2=x.（2）设”（5 力），2（%及），直线M N的方程为x=C（y+l）+3,代入抛物线的方程得y2-y -1 -3=o.所以A =（t+2）2 +8 o,y i+y2=t,丫 1 丫 2=-3八 怎=五 二1.上1 =1一 字 口=_ii_m il*甬 T 比 T y：-1（弘+1）（乃+1）1,2+1+0）的【答案】（1）/=4y；（2）见解析.【解析】（1）由题意可知,（力 厂近x+工尸0或，/的方程为“3 2设 A（X 1,y）,5（”2 由6.PV=x+-3 2 ,3-2DV 3 y:-5 +-:=0工一尔,得 4V j+v2=故 3,所以陷=的+阳=*+、+P=三+P=所以

40、p =2,故抛物线E的方程为d=4 y.（2）设点N（/,y o）,升 wO,因为y 所以y=；x.）-%=产（尸与）切线方程为令 丁 =一 1,可解得初=也 一2%用 mA山.1 2/)EV=(&jo-l)nuff mu，/_ 4/_ 4/EM 百=_ 一 2%+2=-至+2=02 0 2 2所以F M 1 F N.1 8.（广东省中山一中等七校联合体2019届高三第二次（11月）联考）已知抛物线C：yZ=2px（p 0）的焦点为F,抛物线。上存在一点E（2,t）到焦点F 的距离等于3.（1）求抛物线C的方程；（2）已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线=-1 上的点，且F PJ_F Q

41、,求直线PQ与抛物线C的交点个数，并说明理由.【答案】（1）/=4匕 仁）直线PQ与抛物线C只有一个交点，理由见解析.【解析】（1）抛物线的准线方程为无=一，2所以点E（2,。到焦点的距离为2+日=3,解得 =2.所以抛物线C的方程为丁=4x.（2）直线PQ 与抛物线C 只有一个交点，理由如下：/2、设点P 为，点Q 为（一1,加），焦点F为（1,0）,L 4 j第九1FP=-L y0则 一I X U产0 =(-2=由题意可得?/。=0,-2 +-1 :+即 o =0故I )从而m-.2%故直线P。的斜率 4y-o =-x-j-坦-豆故直线P。的方程为 此1”,即 2 4.又抛物线C的方程为丁

42、=4%,2联立消去X得&一先)=,故丁=%，且x=故直线PQ与抛物线C只有一个交点.19.(2018届呼和浩特市高三年级第一次质量普查调研考试)己知椭圆C的中心在原点，其中一个焦点与抛2(1,-)物线y=4%的焦点重合，点2在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；6 G(2)设椭圆的左、右焦点分别为3尸2,过2的直线I与椭圆C相交于4B两点，若 以的面积为飞一，求以乙为圆心且与直线/相切的圆的方程.2 2X V+=1【答案】(1)4 33+1)2+/=?(2)【解析】(1)由题意，抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),x2y2=l(a b 0)故设椭圆C的方程为。b 且/一研=1 =1,又点（1

43、1）在椭圆C上,于是x 2 y2-F =1故所求椭圆C的方程为4 3（2）设直线，的方程为x=m y +1,(x=m y +1|3x2+4y2 =1 2储 +4)/+b r n y-9 =0,A=1 44m2+1 44 0,设4（,力）,8（勺）2）,其中打，力就是上述方程的两个根,-6 m-9y1+力=.2/外力=-2-所以 3 m +4 3m +4-1 2./1 +i n2 4B|=J l +m2-z-4+3 m2d =-=B=点心到直线，的 距 离 为 1+巾2,1271+6 上所以.24+3 k，解得山2 =2.2 2r =设所求圆的半径为r,1 +巾2 1 3（x+I）2+/=4所以

44、所求圆的方程为 32 0.（河北省衡水中学2 0 1 9届高三第一次摸底考试）已知抛物线石：x-=2pj（P 0）的焦点为尸，A（2,%）是E上一点，且|A尸|=2.（1）求E的方程;（2）设点8是 上 异 于 点A的一点，直线A8与直线y=x-3交于点P ,过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线5M过定点.【答案】（1）E的方程为V=4 y；（2）见解析.【解析】（1）根据题意知，4=2 p y0,因为|A尸|=2,所 以%+5=2 .联立，解 得%=1,p =2.所以E的方程为f=4 y.设8（石,X）,M（x2,y2）.由题意，可 设 直 线 的方程为丁 =履+6,代入d=4 y,得/

45、一4丘 46 =0.由根与系数的关系，得否+9=4攵，玉 =-46 .由MPLx轴及点P在直线y=x 3匕 得0 1均，七 一 ，X j-4 _ g +6 1由A,P,8三点共线，得 七 一2 七一2,整 理,得（左T）不巧一（2左-4）甬+（b+l）巧一处一6=0将代入上式并整理，得（2-再）（24+6-3）=0由点8的任意性，得2k+6-3 =,所以卜=辰+3 -2左=左（刀-2）+3,即直线3加 恒过定点（2,3）.21.（湖 北 省“荆、荆、襄、宜 四 地 七 校 考 试 联 盟”20 19届 高 三 上 学 期1 0月 联 考）已知椭圆E:工 +二=l（a b 0）广 过点（2,0）

46、,且其中一个焦点的坐标为（1,0）.（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆E的右焦点F的直线/与椭圆交于两点A,6,在x轴上是否存在点历，使得为定值？若存在，求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.2 2【答案】（1）土 +匕=1；（2）见解析.4 3【解析】（1）由己知得a =2,c =l,.匕=6,则E的方程为工+匕=1；4 3（2）假设存在点加（毛,0）M M A-M B为定值,当直线I的斜率不为0时，可设直线I的方程为x =叫+1,联 立 卜=阳+1,得（3/+4）丁+6吟9 =0设H 再 木），3（电6）,6 m 9则V i1+v3=_3加-+-4.至=3-+-4-,ULU LBLU山=（

47、再 一%j=（期-%乃）*ULU-UL11-/、2j.M A-M B x-不）+弘 y2=（加+1）必$+。一天）而（M+乃）+。-毛）J疗+“一 为三4卜（】f）m再黑3+（1一切=笥羌T+（l-J,6 15 _ 9要使上式为定值，即与相无关，应有 3 4,解得/=1，8U H,111VN U M B此时13 564,当M的 坐 标 为5,0（11、综上，存在点M,0（8 ）当直线/的斜率为0时，不妨设（一2）4（2，rm-uiKr 13 A L 4 M B=-f,6 4 .UU U1K 13 5使得 6 4 ,为定值.22.（20 18届安徽省江淮十校高三第二次（4月）联考）己知抛物线。丁

48、2=轨的焦点为F.（1）若斜率为-1的直线 过点?与抛物线C交于4 B两点，求|4尸|+出用的值；（2）过点M（m,0）（m 0）作直线，与抛物线C交于4 B两点，且 以 F B 0必+y2=今/力=-4 m.以=（X j-l,yJ/B =（x2-l,y2）内 的=XJXJ-CXJ+x2）+1+y/z=正&必 尸 +y i-*8/+/2Z）+1=16。仍尸+y/+1又.内 丽 0,m?-6 m +1 -4 J 。恒成立,工m?-6 m +1 0,/.只需m?-6 m +1 0即可，解得 3-2W m3+2 Z所求小的取值范围为（3 -2 2,3 +2、2）.C:+y2=l2 3.（四川省攀枝花

49、市2 0 1 9届高三第一次统一考试）已知椭圆 4 ”的右顶点和上顶点分别为A、8,斜率为;的直线/与椭圆C交于尸、。两点（点P在第一象限）.（1）求证：直线AP、3Q的斜率之和为定值；（2）求四边形AP 5Q面积的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）（2,20 .【解析】（1）设直线I的方程为：y=x+i,代入椭圆C：三+r=1,并 整 理 得:9+2以+2/-2=0.4设尸（再,“）0（孙 必）厕%+x：=-2b再七=2 b2-2从而 X3&+个产+（；”广-Z U-；：器 1）=。,所以直线A P、B Q的斜率之和为定值0.2C:+v2=l（2）设 4 的左顶点和下顶点分别为C、则直线

50、/、B C、A O 为互相平行的直线，2所以A、3 两点到直线/的距离等于两平行线5 C、A O 间的距离，为 dFlQ|PO|=AA+P.tPBo=Q|=上一百|=x/S 4 d*又 尸点在第一象限,.一l b 6 0）24.（河南省新乡市2019届高三第一次模拟考试）如图，已知椭圆 a b.的左、右焦点分别为耳,工，|耳 周=2,过点耳的直线与椭圆C 交 于 A,8 两点，延 长 即 交椭圆C 于点M,居的周长为&（1）求C的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点P（毛,0）,使得为定值？若存在，求 不；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,-F=1 ;（2）存在点P,且X。=.2 4 3