2022-2023学年广东省广州市天河区高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

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1、2022学年第一学期天河区期末考试高二数学一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1,直线/：+e +3=的倾斜角。为()ri 2 5A.6 B.3 C.3 D.6【答案】D【解析】【分析】根据斜率的定义即可求得倾斜角.【详解】x +6 +3,=_ U n 的倾斜角。满足 k=tan 0)上横坐标为5 的点到焦点的距离为5,则的 值 为()A.52B.2C.4D.5【答 案】D【解 析】【分 析】由方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程，进而由抛物线的定义可得：2 2,解之可得。值.【详 解】由题意可得：抛 物 线 产=2px(p0

2、)开口向右,焦点坐标为或 ，准线方程为：5因为抛物线上横坐标为2的点到焦点的距离为5,由抛物线的定义可得:5 _(_)=5+=52 2 2 2,解之可得：P =5 ,故选：D._ _.一 -AP=-AC4.如 图，在 平 行 六 面 体”8 8一4 4*中，设 赤，AD =b,M=c,若 点P满 足 9 则HP等 于()4_ 4-5_ 5 _ 4-4_ 4_ 4-5_ 5 _ 4-4_a+b+c a+b+c a+b+c a b cA.9 9 9 B,9 9 9 c,9 9 9 D.9 9 9【答 案】A【解 析】【分 析】由空间向量的线性运算法则求解.【详 解】.ABC D-A C 是平行六面

3、体,4 c =4 +4 4 +力/=b+a c 一 4 一 一 4 一 4 一 5一AP=A A+4P =c+(6+a-c)=a+/?+c故选：A.5.圆G：1+/-4 =0与圆。2：/+/一 以+勺-12=0的位置关系是（）A.内含 B.内切 C.相交 D.外切【答案】C【解析】【分析】求出圆心距，与两圆半径的和、差的绝对值比较大小可得.【详解】G标准方程是-+V=4,圆心为G（0,0）,半径为/=2,G标准方程（X-2）2+3+2）2 =2 0,圆心G（2,-2）,半径火=2后，I 21 ,0 2y/2 x0=-1-）。-2,Q（T,一）y=x+-点1,.直线/的方程为 2,1y=x+尸，

4、。两点间距离的最小值为平行线 2和V =+1间的距离，1-厂2=V 2二尸，两点间距离的最小值为 尤 4.故选：B.7.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板()A.1 1 25 块 B.1 1 34 块 C.1 1 43 块 D.1 1 52 块【答案】B【解析】【分析】由等差数列前项和的性质求解.【详解】记 从 中 间

5、 向 外 每 环 扇 面 形 石 板 数 为 是 等 差 数 列，且公差为 =9,%=9,设每层有左环，则=3 左,=3402,%是等差数列，则S k,S2k-Sk,Si k-S2 k也成等差数列，所以 2(S 2*Y)=S*+GS 2)所以 S,=3(%-&)=3402,S 2k 1=1 1 34,故选：B.8.已知8(0,-7),0(1 2,2),以 c 为焦点的椭圆过小8 两点，则椭圆的另一个焦点厂的轨迹方 程 为()丁一辰/一族=1(”。A.48 B.48【答案】A【解析】【分析】由两 点 间 距 离 公 式 可 得=1 3忸1 =1 5,|48|=1 4,根据题中条件，得到闷-幽=2

6、 1 4,结合双曲线的定义,即可得出结果【详解】因为（，）,（，）,（，）,所以|阳=4 2 2+（7-2”1 3,1 8cl M 1 22+（7-2）2=1 5,I阳=,因为4 8都在椭圆上，所以+比1 +忸。1一|好|=|6 c Hz c|=2=表示点(1),故A错误;兰+金=1选项B:4 3,=2力=6长轴长为2a=4,短轴长2b=2 6，故选项B错误；x ,y,3一=i y=_ x选项C：4 3化 简,-4 ，选项c正确；选项D:抛物线x =_ 2_ y2 y2=x 2p=L x表示成标准方程为 2,2,焦点坐标为1 8 J准线为 8,选项D正确；故选：C D.1 0.N 8 C的三个

7、顶点坐标为4(4,0),2(0,3),C(6,7),下列说法中正确的是()A.边8 c与直线以一2歹+1 =平行B.边8 c上的高所在的直线的方程为3+2 -1 2 =C.过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为x+1 3 =D.过点/且平分A/I B C面积的直线与边8 c相交于点0(3,5)【答案】B D【解析】【分析】由直线斜率判断A,求出相应的直线方程判断B C,求出边8C中点坐标判断D.,7-3 2 3k-=【详解】直线8C的斜率为 6-0 3 ,而直线3 x-2 y +l =的斜率为2 ,两直线不平行，A错；3 3_ -y=_(x-4)8C边上高所在直线斜率为2 ,直线方程为

8、2 ,即3*+2 -1 2 =0 ,B正确；7过C且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为X +V 1132=_。八，过 原 点 时 方 程y为=,一6 1,C错;过点/且平分N B C面积的直线过边8。中点，坐标为(3力)，D正确.故 选:B D.1 1.(多 选)设 数 列 4 满 足a+犯+5%+(2 -1)。“=2 ,记数列%2 +1 的 前”项 和 为 J则()A.a 22an =-7B.2 -1C.S =2 +1D.S?=nan+【答 案】AB D【解 析】【分 析】依题意当=i时，求 出 ，再利用作差法得到Q-1)4=2,即可得到 4的通项公式，再利 用 裂 项 相 消 法

9、 求 数 列1 2 +1的前项和即可:【详 解】解：由题意q+3 a2+5%+(2 T)%=2，当=1时，得q=2令 北=q +3 a2 +5%-F(2n-l)a =2n则当 2 2时,T“_ =q +3 a2 +5a3 +,+(2”3)a“_ 1 2 -2所以 HT=(2 T)%=2CL.=Q 2 -1 .又=1 时、2 x1-12也成立,2一1 ,故数列 12/7 +1的通项公式为 G+1)(2”1)2/2-1 2/7 +1S=1-14-14-1 3 3 5 5 7d-1-2/7-3 2/1-1 2n-2/?+l即22221111 1 _ 2 2 +1 2 +1 ,即有 S“=nan+故选

10、：AB D.1 2.如 图，已知正方体E C。一 的 棱 长 为2,E、F、G分 别 为 棱8 C、C G、8 8的中点，则下列选 项 中 正 确 的 是()3&A.点/到 直 线E F的 距 离 为22C.三棱锥4-/E F的体积为3【答案】ACD【解析】B.平面4 E F截正方体所得截面为五边形D,存在实数入使得4 G =+【分析】在A/E尸中，由三边长求得后尸边上的高判断A,证明共面判断B,由V-vA T EF 0-四 求得三棱锥的体积判断C,证明根据平面向量的基本定理判断D.【详解】连 接 由 已 知/=石，E F=E,A F=AC2+CF2=JAB2+BC2+CF2=J4+4+1 =

11、3c os Z.A FE=A F2+E F2-A E22A F-EF9 +2-5 _ 7 22 x 3 0 2s i n =4 E产中，2A Fsin N A FE=3 x红=生点/到 直 线M的距离为 2 2 ,A正确;连接8 G,则由瓦尸分别是8 C，G中 点 得 所/8c,又正方体中易得8/四，因此班1/2,.6平面4环，从而截面为四边形E F R,B错;由已知点尸到直线44的距离行于ZC=2 J 5,=-x2 x2 V 2 =2A/2 4/2平面力“山即为平面为C G4,。尸/阳，物U平面c尸.平 面 阳E,则C尸平面四E,：.F,C到平面 4*的距离相等，.由正方体性质知8到平面/C

12、 G4的距离为J 5,是8c中点，则E到平面 46的距离为 2 ,.V.A TAEEFF VEF A-AWF-3-SA4 AA/F d 3 x 2 V 2 x 23,C 正确；GE与49平行且相等（可由用G传递），则4Gn是平行四边形，4 G/Q F,。尸 u平 面 板 巴，4G。平 面 的%.”/平 面 用 以 实 际 卜 近=印，而在平面“EP中，不共线，衣，才可作为平面4斯的基底，从而存在实数黑使得D p =2 A F +A E 即 4G=%Zb+D 正确故选：ACD.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3 .在各项均为正数的等比数列%中，若。2。4+2%+。4。6

13、=4,则%+%=.【答案】2【解析】【分析】根据等比数列的性质计算.【详解】等 比 数 列 各 项 均 为 正 数，.a2 a4+2 3 a5+。4 a6=a；+2 a3 a5+屋=（%+%=4 a3+a5=2（负值舍去）故答案为：2.1 4.如图是某圆拱形桥的示意图，雨季 时 水 面 跨 度 为6米，拱高（圆拱最高点到水面的距离）为1米.早季时水位下降了 1米，则此时水面跨度增大到 米.【答案】8【解析】【分 析】画出圆拱图示意图，构建直角坐标系，列出雨季和旱季时水位方程即可求出圆的半径，旱季时水面跨度.【详 解】画出圆拱图示意图，设圆半径为H,雨季时水位方程4 （R T）=3解 得 夫=5

14、；旱季时水位方程（R 2）=长，解得DE=4,所以此时水面跨度为2OE=8.所 以 答 案 为8.15.如图，在 棱 长 为2的正四面体（四个面都是正三角形）4 8 8中，M,N分 别 是“。、8 c的中点，则异面直线V,CM所成角的余弦值为【答 案】3【解 析】【分 析】作出异面直线所成的角，在三角形中由余弦定理求解.【详 解】如 图，连 接O N,取ON中 点G,连 接 G,又 加 是 中 点，则MG/NN,所 以异面直线NN,CM所 成 角 是NCMG或其补角,.A MG=-AN=由已知 4N=CM=V3；2 2NG=-D N =CG=yNG2+NC22 2,又 DN 工 BC,MCG

15、中,3,7 3 2cos ZCMG=4 4=22x与百322.异面直线ZN,CM所成角的余弦值为3.2故答案为：3.=1（。6 0）2_.1的右焦点为尸，过尸点作圆x+N=b的一条切线，切点为延长尸T交椭圆C于点儿 若T为线段/尸的中点，则椭圆C的离心率为.在175【答案】3#3【解析】【分析】利用图中的几何关系及椭圆的定义即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为片，连接“耳，OT,/一 .O T=AF =h n,TF=JOFf-OTf=y/c2-b2由几何关系可知 2，则 I Yl I I I ,即由 椭 圆 的 定 义 可 知 回+|盟=2。,即2b+2的彳=2 a且c 2=a 2 _ ,b_2

16、整理得3b?-2ab=,解得a 3,V5故答案为：3.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知数列%为等差数列，E,是其前项和，且$3%+牝=1 6.数列 2中，4=1加N*)(1)分别求数列/,4的通项公式；(2)求 数 列*的前项和北.【较案】(1)%=2 +3(T)=3-1 i(2)=弓)(2)【解析】【分析】(1)设等差数列 J的公差为“，根据等差数列的通项公式和等差数列的前 项和公式列出方程组，解之即可求出数列%的通项公式，由题意可知：数列1“J为等比数列，利用等比数列的通项即可求出数列也J的通项公式；an +=(3-l)+(；)T

17、(2)结 合(1)可得：2 ,利用分组求和的方法即可求解.【小 问1详解】设等差数列%的公差为，因为$3 =1 5,%+%=1 6,3 q +3d=1 5 q =2则j q+q+4 d =1 6,解得：1 d =3,所 以%=2 +3(-1)=3-1,_.bn+=bn(/;e N*)/,x又因为仇=|,2 ，,所以数列道/是 以1为首项，以2为公比的等比数列，则4=1 x故数列4 ,a 的通项公式分别为：。“=2 +3（-1）=3-1【小问2详解】由 可 知：T所以i=%+4+0 2+6 2+4 +4+,1,+“=(q+%+/+(A+&+&+)(2 +3-1)”I-+-F11-21 8.已知圆

18、C的圆心在x轴上，且经过坐标原点。和点/（3,百）.（1）求圆C的标准方程；（2）求过点P（4,4）与圆C相切的直线方程.【答案】（X-2+V=4；(2)3 x-4 y +4 =0或 x =4【解析】【分析】（1）设圆心坐标为（出 ）,由圆心到圆上两点距离相等求得“，然后得半径，从而得圆标准方程;（2）切线斜率存在时，设方程为丁-4 二仪-4）,由圆心到切线距离等于半径求得左,再说明斜率不存在时直线也是切线.【小 问 1 详解】设圆心C坐标为（。，）,由 同=J（”3+3,解得”2,.圆 半 径 为 =困=2,圆方程为（x 2）2+y2=4；【小问2详解】易知直线x =4与圆C相切,当切线斜率

19、存在时设方程为y _ 4 =左(X 4),即A x _ y _ 4左+4 =0,-。-4左+4|3 3.7/.“一+1 ，解得k=_4,切线方程为y 4 =_4(x 4),即43 x _ 4 y +4.=0A,综上切线方程为力-4歹+4 =0或x =4.1 9.如图，在直三棱柱8C-44G中，4 =8 =C =2,）、E、尸分别是棱44、CG、8c的中点.（1）求证：。尸 平面；（2）若/求平面。后 尸与平面/8 C的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析:V3(2)3【解析】【分析】（1）取/c中点M连接尸，证明。尸 4”,即可证明（2）利用空间向量法分别将平面。石五与平面N 8C的法向量表

20、示出来,OF/呼面4 G再求出夹角的余弦值取4 C中点M连接F M，AM ,A.D/A B A AD=2AB，_EL，F M -AB又 F M AB,2AlD/F M,AD =F M，二四边形是ADFM平行四边形，DF/AiM5又平面u平面44 eq,所以。网平面【小问2详解】因为ABAB所以4 E又因为直三棱柱 Z 8 C-44。中，_ L Z8 且/4 c/E =/,/4,/E u 平面/C C 所以481平面4.CG又/Cu平面4/CG所以4B上4c所以48、/C、4两两垂直故以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系由题知，4 =”=2所以4(0,0,0),(0,2,1)F(1,1,0)

21、4(0,0,2),B 2,0,2),0(1 4 2)设平面。斯的法向量为=(x/，z),)=(-1,2,-1)(Z)F=(O,l,-2)p F E =0 C-X+2J/-Z=0则1方.。尸=,tv-z =O取y =i,得=(i,i,i),平面ABC的一个法向量m=(0,0，1),-一 m-n 1 VJc os =i f f =(=网 v 3 3V3所以平面OE尸与平面4 8 C的夹角的余弦值为32 0.设数列“的前项和为S，已知6=1,%=2,且a“+2+S“+i=3 S“+3(e N*).(1)求证：2 =3%；(2)求邑.【答案】(1)证明过程见详解c_ 3,+|3(2)2 2【解析】分析

22、(1)当e N*,2 2 时，由题可得 4+2+S“+I=3 S“+3(e N ),an+t+Sn=3 Sn_,+3(w N*),两式子相减可得 +2 一%+1=3 at i-a”,即an+2=3 a”,(2),然后验证当 =1时,命题成立即可；(2)通过求解数列 的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前2项和的通项公式.【小 问1详解】)由条件，对任意 e N*,有为+2=3 S -5川+3(E)，因而对任意 e N*,N 2 ,有 J=3 S,I-S“+3 (C N*),两式相减,得 a+2%+i =-%,即%+2 =3%,(N 2),又q =1,。2 =2 所以/=3 S -S 2 +3 =

23、3%-(a+。2)+3 =3%故对一切eN”，限=3%.【小问2详解】必=3由(1)知，产 ,所 以 ,于是数列 a 是首项6 =1,公比为3的等比数列，数列 的“是首项4 =2,公比为3的等比数列，所以 a2n-=3 1,aln=2 x S ,，于是 2 =q +a2+a2=(&+%+4 2 -1)+仅2 +%+&2 )=(1+3+.3T)+2X(1+3+.3T)=3X(1+3+.3T)=S 3(3 -1)_ 3n+l 3所 以2=2 =F F-21.如图，在矩形N8 C Z)中，A B=2,B C=1,E为N 8的中点，将/沿直线O E折起到4 (4任平面/8 C 0的位置.（1）判断当Z

24、 O E折起到什么位置时，四棱锥4一3 8 的体积最大（无需证明），并求出这个最大体积;7 1 0（2）若4 0 二百，点”在线段小c上，当直线8 M与平面Q E C所成角的正弦值为10时，试判断点M的位置.V 2【答案】（1）平面4 O E 1平面8 8 E时，四棱锥”一8 8后的体积最大，最大体积为4 .（2）M为4c中点.【解析】【分析】（1）利用4点到直线OE的距离是定值，得 出 平 面 平 面8 8 E时体积最大，再由体积公式计算；（2）取D E中点,建立如图所示的空间直角坐标系，设4=4c,（0 的距离最大为4 ,由4 u平面得平面,平面6 C D E ,4。=坐 SB CDE=S

25、A B CDSA ED=2 x l-l x l2=-由已知 2 ,2 2Vy A l-B CDE2与也3 B C D E 1 3 2 2 4 .石，所以 4c 2 =4。2+。2,A O oc又4（9 _ L O ,D E H OC =Ot。,0。=平面8 0）后，.40，平面80 0 ,以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。一盯z,其中C E/x轴.4（0,0,亭 C（6,浮 0）/斗）设X轴与CQ交于点N,则N为CD中点，连接8N,BN交OC于煎P,由QN与8 E平行且相等得QE8 N是平行四边形，所以B N DE,于是P为CE中点,6NPOE=BP=CE2 2T,因此BN=BP+

26、PN=6,所 以 若 i耳=（-冬 争/眼=几4。=（后4 一 卓 4,一4%）f 0,n的=西+丽=（0”也，立X +也 丸+巫）则 、2 2 2 2平面DEC的一个法向量是=（，1）,V i o因为直线EW与平面。E C所成角的正弦值为1 0n-BM而所以72.V2-/t 1-2 2j(历 _今+(_f/1 +&)2+(_+J+V T oTo解得 2(九=2舍去),所以M是4。中点.T-7 7 =l(a 0,6 0)F(3 0)P(4,J 1 5 )2 2.已知双曲线C：k从 的 右 焦 点 为l 人点V J在双曲线C上.(1)求双曲线C的标准方程；(2)设/、8分别为双曲线C的左、右顶点

27、，若过点尸的直线/交双曲线C的右支于M、N两点，设直线8 N的斜率分别为占、&,是否存在实数2使得占=e?若存在，求出力的值：若不存在，请说明理由.2 9J J【答案】(1)4 52 =-(2)存在，5,理由见解析【解析】【分析】(1)由条件列方程组解得参数即可；h(2)设 直 线 为 尤=叼+3,联立双曲线方程消X,结合韦达定理可表示出心，再由与y”+y，v的关系消元，从而得出总的定值比值.【小 问1详解】除+=32由题意得,4 2网/=4 不 上=，解 得I*=5 ,故双曲线c的标准方程为4 5【小问2详解】直线/交双曲线C的右支于M、N两点，故斜率不为0,设为“=少+3,联立双曲线方程化

28、简得（5 m2-4）/+3 0my+25 =0_ 30/7 2 _ 25D=（30 4 25,（5/M2-4）=4 00（/M2+1）0 则 加+%=-歹二,加 取=落7,25八加 遗 正 遐直线/与右支交于两点，则 yMyN=5，-4j o ,则 e2 5，5 0展,4(-2,0),8(2,0)k-x“Y+2 4k =x-2i f)坨k=%+2=加2)=加(瞥 +1)=%外,+%ki YN yN+2)yN(myM+5)myMyN+5 yv%N -2加 +Mv _ 6m 5Z v v5 加 加%-（加+即）h5/1 5=7（%+八）+加=君=卜 _:（加+打）+5%-+Z v 2,=-,存在 5使得勺=尤小【点睛】（1）直线与圆锥曲线的定值问题，一般是借助韦达定理将内容表示出来，再根据式子的特征进一步化简求值.（2）本题直线设成x=+3的形式，方便处理直线斜率不为0的 情 形（包括斜率不存在），也方便表示