高一数学新教材同步配套教学讲义-03妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题（解析版）（苏教版2019必修第二册）.pdf

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1、专题0 3 妙用极化恒等式解决平面向量数量积问题【题型归纳目录】题型一：定值问题题型二：范围与最值问题题型三：求参问题以及其它问题【知识点梳理】(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：a+b+kz-M2=2(|2+|b/)证明：不妨设 4B=a,A=),则 AC=a+，D B =a-b|AC|2=AC2=(a+,=|fl|2+2a-h+l|Dfi|2=D B2=(-/?)2=|2-2-+|ft|2 两式相加得：|AC|2+|DB|2=+卜 =2(网2+1 AD(2)极化恒等式：上面两式相减，得：叫-极化恒等式平行四边形模式：a-b=A C f几何意义：向量的数量积可以表示为以

2、这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差三角形模式：a-b=AM(M为8。的中点)【典型例题】题型一：定值问题例 1.（2023全国高三专题练习）如图，在一A8C中，。是 BC的中点，E、F 是AO上的两个三等分点,8ACA=4，BF CF=-l.则 BECE 的 值 是（）A.434B.8【答案】C【解析】因为。是8 c 的中点，E,尸是AO上的两个三等分点,所以 BF=BD+DF CF=CD+DF=BD+DF BA=BD+DA=BD+3DF，CA=CD+DA=-BD+3D F，所以 B尸.CFulBO +O尸)(一O尸。-8 0。=-1,BACA=(8 0 +3尸)(-

3、BD+3F)=9DF，-B lf=4,可得BD2=,8 8又因为 BE=8 0 +E=BD+2D F，CE=CD+DE=-BD+2DF所以BCE=?.2-2 5 13BD+2DF4-BD+2DF=4DF-BD=4x-八)8 878故选：C.例 2.（2023 全国高三专题练习）如图，在 4 3 c 中，。是 BC边的中点，E,F 是线段A。的两个三等分点,若 6A-C4=7，BE CE=2,贝（）B D CX.-2 B.-1 C.1 D.【答案】B【解析】依题意，。是BC边的中点，E,尸是线段AE）的两个三等分点,则8A-C4=-B C-A D-4 AZ)-B C 36 FD-BC/1 2、（

4、i 2 2 1 2BE CE=-BC AD BC AD=A BC（2 3 八 2 3 J 9 42 216FD-BC 个-=2,4、，2.2因 止 匕即2=,8。2=8，BF CF=（gBC F。）卜g8C 呵=/=4x：-8 =故选：B.例3.（2023全国高一假期作业）如图，在平行四边形A8C 3中，A8=l,A/）=2,点E,F,G,H分别是A 8,8c,8,AO 边上的中点，则 EF FG+GH HE=D.34【答案】A2.2【解析】取H F中 点O,则EF FG=EF EH=E0-OH=GH HE=GH GF=GO2-OH；-（H，因止匕EF FG+GH E=|,选 A.题型二：范围

5、与最值问题例4.（2022 山东师范大学附中模拟预测）边长为1的正方形内有一内切圆，M N是内切圆的一条弦，点尸为正方形四条边上的动点，当弦M N的长度最大时，P M.P N的取值范围是.【答案】I。，！4【解析】如下图所示:设正方形ABCD的内切圆为圆。，当弦M N的长度最大时，M N为圆。的 一条宜役,PM.PN=（PO+OM）（PO-OM当P为正方 形 反 8 的某边的中点时，|巩国,当P 与正方形A8C3的顶点重合时，|。尸|=也，即，父02归 也，In tax 2 2 I 1 21 1 2 1 1 一因此，PM PN=PO 一一G 0,-.I I 4 4_故答案为：fo,i._ 4_

6、例 5.（2022湖北省仙桃中学模拟预测）如图直角梯形A8C。中,EF是8 边上长为6 的可移动的线段，AD=4,AB=8+,BC=12,则尸的取值范围为.【答案】99,148【解析】在 8 c 上取一点G,使得BG=4,取 E产的中点P,连接DG,BP,如图所示：则OG=8/5，GC=8,CD=82+（873）2=16.tan NBCD=6 即 NBCD=60.8BE-BF=B E+B F -（B E-B F =：（28理-=加-9 ,当时，网取得最小值，此时|此=12xsin60=6 6，所以（BE.幽=（6国-9=99.当F 与。重合时，CP=3,8 c =12,贝”啊=122+132-

7、2X12X13X-=157,当E 与C 重合时，CP=3,BC=2,则 阳=122+32-2X12 X 3X-=117,所以（B E B F）=1 5 7-9 =1 4 8,即底的取值范围为 99,1 4 8 .故答案为：99,1 4 8 例 6.（2 0 2 2 全国高三专题练习）己知直线/：y =x+2 与圆C:（x-a）2 +y 2 =，（r o）相切于点M（1,%）,设直线/与x 轴的交点为A,点尸为圆C上的动点，则 尸 4 分/的 最 大 值 为.【答案】3 6 +1 8 万【解析】圆。：（工 一 4）2 +9=/（0）的圆心的为（4,0）,因为直线/与圆C相切于点M（1,%）则 =

8、2 0-1也 U,，奸以,2 得/-%+4 =（）,所以 a=2,r =3 5/2，（a+1）?+（2 a-了=r2所以直线方程为y =x +4,圆的方程为（x-2 +y 2=i 8,所以A（-4,0）,M（-l,3）,A M 的 中 点-则%，加=（2 0 +。4）（/0 +0 河）=/。2 5 4 2 4（|+r）2；4/2因 为 因=J（2 +|j+（|=半,|4 闸=炉 存=3 夜所以（|Q C|+r）2_；A M 2=|Q C +2rQC +r2-A M2=3 6 +1 8 故尸4 P M 4 3 6 +1 8 石，所以P A-P M的最大值为3 6 +1 8 石故答案为：3 6 +

9、1 8 石例 7.（2 0 2 2 全国高三专题练习）如图，在边长为2的正方形A 8 C。中，M,N 分别为边BC,C。上的动点,以M N为边作 等 边 PMV,使得点A,尸位于直线MN的两侧，则 PNjB的 最 小 值 为.【答案】-；【解析】如图，连接8 M谈 B N,用N中点分别为E,F,连接P E,PF,E F.DP C M=a,CN=h a 2,0 h 2=PE-BE f在R t BCN中,由勾股定理得3%2=蹂2+。=6+4,则9=：从+1,BN,MN中点分别为,F,则 E F为 的 中 位 线,:.E F/B M PLEF=-B M =-a ,NEFM=NCMN,2 2在R t

10、CMN中,由勾股定理得MY=:+。丫2=，力+升,sin ZCMN=,=sin NEFM,MN 7 7 7 在等边.PMN中，/为 MN中点，则 尸 尸，MN,PF=-M N =yla2+b2,2 22cos NPFE=cos|-+NEFM|=-sin NEFM=-b-：,在-PE尸中，由余弦定理得o/oPE2=EF2+PF2-2 E F-PFcosZPFE=a2+-b2-a b-a y/3 b +,4 2当 N 与。重合时，BOV,C W,.庄户不存在，但可验证上述等式依然成立,PN-PB=a2+/?2-ab a+6 b2 2“一健得4 216 4 4 16 4 4当且仅当4=也 0+L 时

11、等号成立.4 2 关于6 的函数丫 =-3 从+空在0,2 I二单调递增,16 4 4.空。一!2 一 1,当且仅当。=0 时等号成立.16 4 4 4PN P B -,当且仅当 =,，b=0 时等号成立.4 2故答案为：-g.4题型三：求参问题以及其它问题例 8.（2023春 江苏扬州高一期末）在、中，AC=28C=6,NA C8为钝角，M,N 是边AB上的两个动点，且肱V=2,若 C M.av的最小值为3,则c o s NAC B=.答案2-2质9【解析】取线段MN的中点P,连接C P,过 C 作 COJ_A8于。，如图，PM=；MN=l,依题意，CM.CN=(CP+PM)(C P-PM)

12、=CP。-PM。=CP。-1,因CM C N 的最小值为3,则K日的最小值为2,因此CO=2,/Rt AOC111,cos ZOCA=,sin Z.OCA=2y,在 Rt BOC111,cos NOCB=-,sin Z.OCB=-，CA 3 3 CB 3 3所以 cos ZACB=cos(Z(2C4+NOCB)=cos NOG4cos ZOCB-sin ZOCAsin ZOCB=.9故答案为：IM9例 9.(2023全国高三专题练 习)在 ABC中，AC=28C=4,NACB为钝角，M,N 是边居 上 的 两个动点，且 MN=1,若CM-CN的最小值为二，则cosZAC3=_.4【答案】匕 随

13、8【解析】取M N的中点P,取 PN=-P M，|PN|=W M=g，CM CN=(CP+PM(CP+PN=(CP+PMY(CP-PM=CP2-,3因为c m c N 的最小值“所以C/n=l.则 CH=1,又BC=2,所以 N8=30。，因为4 c=4,所以由正弦定理得：sinA=，cosA=4叵,4 4所以 cos ZACB=cos(150-A)=-等 csA+；sEA2 4 2 4 8故答案为：匕 延8例10.（2022.全国高一）设三角形A 8C,凡是边AB上的一定点，满足且对于边AB上任一点4P,tHW PB PCPUB PUC,则三角形 ABC形状为.【答案】C为顶角的等腰三角形【

14、解析】取8C的中点。，连接P。，P o D,如图所示：P3PC=(pD+；8c(pZ)_；Bc)=|尸Z)_m3C，同理兄B.4C=N o _gBC，PB.PC ,B .RC,.眄 一 眄叫|D|PnD L A B,设。为 AB 的中点,PnB=；O B=W I O C n O C L AB,:.A C=8 C 即三角形ABC为以C 为顶角的等腰三角形.故答案为：c 为顶角的等腰三角形.【同步练习】一、单选题1.（2023高一课时练习）如图，在平面四边形 ABC。中，AB 1 BC,AD 1CD,ZBAD=2Q,AB=AD=,若点E 为边CO上的动点，则A E 8 E 的最小值为（）【答案】A

15、9 3 2 解析AE BE=(AD+DE).(BD+DE)=AD BD+DEAD+BD)-DE=7+BD DE+DEa a=3/2-r +-(0 rC=105,AB=2,=g.若点E 为线段8上的动点，则 A Q B E的最小值为（）【解析】根据题意，连接E 4,E 3,取 AB中点为F，作图如下:在三角形AQF中，由余弦定理可得：F2=4-2/3 c o s 3 0o=l .即/）尸=1,则/尸D 4 =/R 4 D =3 0,故 N F D E =75。,显然当且仅当EELOC时 叫 取得最小值，故|明=s i n 7 5 x ）/=、+&,七/一 的最小值为-1 =.I Imin 4 （

16、4 J 2 4即A E.8 E 的最小值为+也.2 4故选：B.3.（2 02 3 全国 高三专题练习）已知AB是圆。的直径，A B 长为2,C是圆。上异于A,8 的一点，P是圆。所在平面上任意一点，则（P 4 +P 8）/C的最小值为（）1 1 1A.B.C.D.14 3 2【答案】C 解析P A+P B =2 P O,（P A+P B P C =2PO-PC,取 OC中点。，由极化恒等式得，尸。P C =|尸。-|C D|2=|P D F又I P D丸=o ,二（P A +PB）-P C的 最 小 值 为.4.（2 02 3 全国高三专题练习）已知.MC是边长为4 代 的等边三角形，其中心

17、为O,P为平面内一点，若O P =1,则PA-P 8 的最小值是A.-I I B.-6 C.-3 D.-1 5【答案】A【解析】作出图像如下图所示，取 AB的中点为。，则0 0 =46x3x1=2,因为0 P =l,则 P在以。为2 3圆心，以 1 为半径的圆上，则PA P B-（厚+明-（澳-明-（2 P D）-（A B T _ 2 X即 为 圆o上的点P到D的距离，则4 4 1 =1,A PA PB的最小值为-11.故选：A.5.(2023春广东惠州高一校考阶段练习)如图正六边形ABCDEF的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为3,若点P 在正六边形的边上运动，MN为圆。的直径，则

18、尸M,N 的取值范围是()【答案】A【解析】由正六边形ABCDEF的边长为4,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为3,所以正六边形/WCDEF的内切圆的半径为r=OAsin60=4sinsin60=26外接圆的半径为A=4,又由 PM PN=(PO+OM)(PO+ON)=(PO+OM)(PO-OM)=PO2-O M =PO2因为rW P 0|4 R,即|尸。卜 2 6,4 ,可得 PO?.9 w3,7，所以PM.PN 的取值范围是3,7.故 选:A.6.(2023 全国高一专题练习)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一.每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，

19、以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形A8C。斯 的 边长为2,圆。的圆心为正六边形的中心，半径为1,若点P 在正六边形的边上运动，MN为圆。的直径，则 前.向V的取值范围是()AA.2,4 2,3【答案】BI4D.?3【解析】如图，取AF的中点Q,根据题意，A O F是边长为2的正三角形，易得|。|=石,-PO+ON|=|P O+PO-ON+PO-OM+OM-ON=|P02+P0 ON+OM-1=1 P02-.根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时I P O I有最小值为 石，此时|心 7=

20、2，当点P位于正六边形的顶点时|P O|有最大值为2,此时|的 7=3,所以，2PM PN3-故选：B.7.（2 0 2 3春河南安阳高一安阳一中校考阶段练习）已知正方形A8C Q的边长为2,是它的内切圆的一条弦，点尸为正方形四条边上的动点，当 弦 的 长 度 最 大 时，PM.PN的取值范围是（）A.0,1 JC.1,2 B.0,V 2 D.-1,1【答案】A【解析】如下图所示:H考虑P 是线段A 8 上的任意点，P M =P O +O M，P N =P O +O N =P O-O M，圆0 的半径长为1,由于尸是线段A 8上的任意一点，则卜所以，P M PN =（PO +O M）（P O-

21、O M）=P O -O M2 e0,1.故选：A.8.（2023秋广东汕头高二汕头市聿怀中学校考期末）已 知 4 3 C 是边长为2 的等边三角形，A8为圆M 的直径，若点尸为圆M 上一动点，则 P 4 P C 的取值范围为（）A.0,41 B.-1,3 C.-2,4 D.-3,1【答案】B【解析】如图所示PA-PC =PM+M A）-PM+MC =PM+P M-M C+M A-P M +M A-M C=+P M-（M C+M A）+0由图像可知|A/C+M4卜可=2,M C+M A H P M夹角的范围为0,兀 ,所以 PM （MC+M A）=P M|+M 4kosc PM,（MC+MA）w

22、-2,2.所以 PA PC e-1,3.故选：B.9.（2023秋北京高三校考阶段练习）如图，正方形ABC。的边长为6,点、E、尸分别在边A。、BC上，且。E=2 M,C F =2BF ,如果对于常数几，在正方形4 3 8 的四条边上，有且只有6 个不同的点尸使得PE PF=2成 立,那么2的取值范围是（）A.（0,7）C.（0,4）【答案】C【解析】如图所示,B.(4,7)D.(-5,16)PE+PF=1PO设E尸的中点为。，则L二 ，两式平方相减得4PE-PF=4PO=EF?，所以PE-PF即尸。2=2+9,所以卜。卜当点P在O C上时，当 尸在。C的中点处时，I尸O|=T?=4,此时；1

23、 =7,当 尸在。C的中点两侧（非端点4、C）时，4|P O|=5/I+9 5,此时7216,当点P在A8上时，当P在A8的中点处时，卜。卜JIT?=2,此时；1 =一5,当户在AB的中点两侧琲端点A、B）时，2 卜o|=J T i K m,此时一5/1上时，当P在点E处时，忸0卜 历 万=3,此时2=0,当=布，此时0 2 4,点P有2个满足=的点；当 旧 怛。卜 反3 5,此时4/1 16,点P有1个满足屈 卜O|=T 5的点；2PO-9=4,当点尸在BC上时,当尸在点尸处时，忖。卜 +9 =3,此时；1=0,当3 0 0卜 反3 旧，此时0 2 4,点P有2个满足3|P。卜 反 旧 的点

24、；当 屈,。|=而3 5,此时4 九16,点P有1个满足旧|P。卜 5的点；当?在 点A处时，,。|=E，此时2=4,当P在点8处时，|尸。卜 =旧，此时彳=4,当/在点C处时，卜。|=/I：/=5,此时4=16,当P在点。处时，|所 卜 1万=5,此时4=16,综上得：当2=-5时，有1个满足条件的点P；当-5 4 0时，有.2个满足条件的点P；当2=0时，有4个满足条件的点P：当0 九4时，有6个满足条件的点P；当；=4时，有4个满足条件的点P；当4%7时，有2个满足条件的点P；当；1 =7时，有3个满足条件的点P；当7 2.A E=4,则()AB D E CA.A E=-A B+-A C

25、3 3C.AB AC=-4【答案】BCD【解析】对于A,AE=AC+CE=对 于 B,由题意得。为 8E 的中点,B.AD=-A B +-A E2 22 2D.AB+AC=2SA C+-C B A C +-(A B-A C-A B +-A C,故选项 A 不正确;3 3、3 3所以AO=1AB+1AE,故选项B 正确；2 2对于C,取 DE的中点G,由5 c =6,IAD-AE=A G-D E A G +D E=.所以 4G2 =5，AB-AC=A G-B C 对于D,由 G 是 8 c 的中点得AB+AC-),E 是 8 c 的三等分点得G 是 BC的中点，且 OE=2,所以.2 1 24G

26、 DE=4,4AG+；2 0 =AG-；=5-9=-4,故选项 C 正确；=2AG，两边平方得AB+2A8 AC+AC2=44G2，所以AB、AU=20+8=28，故选项 D 正确.故选：BCD.AkB D G E C三、双空题13.(2023秋 天津和平高三天津一中校考阶段练习)在RtZABC中，|PA|2+|PB|2点户满足B4+PB+/lPC=0，当4-1 时，的值为_ _ _ _ _ _；|阿【答案】5-1NC=90,在一ABC所在平面内的一,1取得最小值时,人的值为3【解析】以 C 为原点，分别以。、C 8所在直线为x、y 轴建立平面直角坐标系,则 C(0,0),令 A(a,0)(a

27、0),8(0,加(。0),P(x,y),则 PA=(a-x,-y),PB=(-x,b-y),PC=(-x,-y),由尸A+PB+;IPC=6,可得a l x-Ax=Ob-2 y-Ay=Ox解之得2+2by-2+2ax=3当a=1时 ；hv=则 PA=,PB=,PC=,则 网=g,4/+/,|PB|=1 +4按,|pc|=l址馅,则网2+网|可 学+从|闸+卜 _ _*)?+y 2+工2+(b-y)2.2+f e2-2(a r+f ey)|pc|2=+/-2(/+2)=2+2?=2+(2 +-2(2 +，a Lu +z j 2+A)=22+2 Z +2=(2+l)2+l l,14.（20 23秋

28、 北京密云高三统考期中）如图，在 MC中，”=4&，c =4,N B A C =|万.户为 MC内部（包含边界）的动点，且 抬=1.则%C +A B卜；PB/C的取值范围.AB【答案】4-11,-9【解析】方 法 h 在 中，由正弦定理得：氤荻4 G-即：击sin ZACB sin 34sin ZACB解得：sinZACB=-.22 4 71 71XV ZBAC=,A ZACB=-,/.ZABC=-3 6 6b=c=4,取 3 c 的 中 点 心 连 接 A E,如图所示，在 BE4中，|AE|=|ABsinZABC=4 x s i n=2,：.AB+AC=2AE=4,7 T设=(9,则。0,

29、于，.2.PBPC=PA+AB)PA+AC)=PA+AC+AB)PA+ABAC2=1-2AE-AP+|T4B|X|AC|xcos一 =1-2|A|x|AP|xcos6-8=-7-2x2xlxcos6=-7-4cos6?,3兀1V e 0,y,cose,1,-7-4 c o s e-l 1,-9,故 尸 PC 的范围是：T L-9；方法2：在 ABC中，由余弦定理/=层+,2-力 ccos/54C ,即：48=/?2+16+4/7.解得：b=4 或 5=-8(舍)，|AB+AC|2=(AB+AC)2=AB2+AC2+2AB AC=42+42+2 X 4 X 4XCOS=16,：.AB+AC=4,

30、以A 为原点，AB所在的直线为x 轴，垂直于A 8的直线为），轴建立平面直角坐标系，如图所示,设NR43=a (0 a/3-sin a),PB,PC 2A/3 sin ct 2cos oc H 4sin(tz H)7,6 c/24.7 C 7 V 57r.1 ,TV、1 0 W a W ,一Wan W ,W sin(a H )WI,3 6 6 6 2 6 11 4sin(cu H)74 9,6即：-ll P B PC 所以E,尸分别是以8C,O C 的 个 三 等 分 点，AD=B C，AB=D C，设 EM=kE F，贝 ij AM=48+BE+EM=A8+g 8C+JIEF=AB+g BC

31、+k(EC+CF)I、2.2 2 I 2=AB-BCk(-BC-DC)=(-k)AB+(-+-k)AD,乂 AM=xA8+AD(x eR),61 2 5 3所以解得;“2 3 I所以、=1 一 丁 丁 5设 DN=xDB,x w 0,1 ,4 B-4 D =2x 2c o s 6 0 0 =2,所以 A N =A O +W =A。+xDB=AD+x(AB-AD)=xAB+(l-x)A D ,1 5 1 1MN=A N-A M=xA B +(l-x)A D-(-A B +-A D)=(x)AB+(一一x)AD,2 6 2 6所以 AN MN=xAB+(1-x)A0 (x+x)AD2 6=x(x-

32、)A B2+x(i -x)+(1 -x)(x-)J A BA Z?+(1-x)(-x)AD2 6 2 6=一 竺x=4(x _ 2)2-卫3 3 1 2 36因为 x e 0,1 ,所以 ANMNef-373,白I,36 3故答案为:I；,y/36 31 6.（20 23 全国高三专题练习）如图，在菱形A BC。中，A 8 =2,ZBAD=60,E,F分别为8 C,C上的点,f 1-CE=2EB,CF=2FD,若线段E/上 存 在一点M,使得A M=A A B+m A O(x R),则2=,若点N为线段8。上一个动点，则AMMN的取值范围为.【解析】由题意,设 7 0=几 6/，根据向量的线性

33、运算,I 2：A M A B+B E E M =AB+-AD-EF=AB+-AD+(AD-AB)=(.-)AB+(-+)AD=kAB+-A D,3 3 3 2则L 22 11-=k1 3解得 I-=1 3 3 25:,所以4k若点N为线段B O 上一个动点，如图,CDF设 DN=xD B，xwO,l,ABAD=2X2XCOS600=2.AN=AD+DN=AD+xDB=AD+x(A B-AD)=xAB+(1-x)AD,MN=A N-A M =xAB+(1-x)AD-(|AB+1 AD)=(x+(1-x)AD,AN-MN=x AB+(-x)A D y(x-)AB+(-x)AD5.2 1 5 .2=x(x一 一)AB+x(一一x)+(l-x)(x一 一)AB AD+(i-x)(x)AD6 _ 2 6 J 2.2 14 1 /7?37=4 x-xd-=4 x-，3 3 I 12j 36 37 r因为所以AM M Ne.36 35 37 1故答案为：-;-6 36 3_17.（2023秋天津南开高三校考阶段练习）如图在“ABC中，ZA8C=90,8 c=8,AB=1 2,尸为相中点，E为CF上一点.若CE=3,则 E 4.E B=;C E =ACF（OA -36,当且仅当4=1时，等号成立，故EA.E8的最小值为-36.故答案为：13；-36.