高一数学下学期期中期末题型复习-平面与平面垂直（解析版）（人教A版2019必修第二册）.pdf

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1、专 题 平 面 与 平 面 垂 直 1,平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 文 字 语 言 图 形 语 言 符 号 语 言 线 面 垂 直=面 面 垂 直 如 果 一 个 平 面 过 另 一 个 平 面 的 垂 线,那 么 这 两 个 平 面 乖 H171.Laa A.Bi u 2,平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 文 字 语 言 图 形 语 言 符 号 语 言 面 面 垂 直=线 面 垂 直 两 个 平 面 垂 直，如 果 一 个 平 面 内 有 一 直 线 垂 直 于 这 两 个 平 面 的 交 线,那 么 这 条 直 线 与 另 一 个 平 面 垂 直 卜 a

2、工 Bac=1q u aa ll=a _1_/3,二 面 角 的 概 念 定 义 从 一 条 直 线 出 发 的 两 个 半 平 面 所 组 成 的 图 形.画 法 平 卧 式 直 立 式 记 法 二 面 角 a-L(3 或 a-AB-/3二 面 角 的 平 面 角 Oe/；OAua,O B u p；04，/,0 8 _U,则 二 面 角 a-l-/3的 平 面 角 是 NAOB.r z n x座 考 点 预 览 考 点 一 面 面 垂 直 的 判 定 和 性 质 定 理 的 理 解 考 点 二 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 考 点 三 平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质

3、 定 理 考 点 四 求 二 面 角 考 点 一 面 面 垂 直 的 判 定 和 性 质 定 理 的 理 解 例 1.(2023 高 三 课 时 练 习)如 图，已 知 尸 矩 形 A8CQ所 在 的 平 面，则 下 列 说 法 中 正 确 的 是.(写 出 所 有 满 足 要 求 的 说 法 序 号)平 面 B4)_L平 面 B4B；平 面 平 面 PCQ；平 面 PBC_L平 面 B4B；平 面 P5C_L平 面 PCD【答 案】【分 析】根 据 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 及 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 判 断 即 可.【详 解】由 PAJL矩 形 48CD所 在

4、 的 平 面，所 以 PAJ_A8,又 A B _ L 4),旦 R 4 cA Z)=A,P A A O u 平 面%),所 以 平 面 PAD,又 他 u 平 面 R 4 B,所 以 平 面 P4B_L平 面 P A D,故 正 确；由 PA_L矩 形 4BCO所 在 的 平 面，所 以 B4_LC,又 C_LAO,且 R 4 cA D=A,PA,Au平 面 P4),所 以 CD 1平 面 PAD,又 C O u平 面 PC。，所 以 平 面 P C D L平 面 尸 4 故 正 确；由 PA，矩 形 ABCD所 在 的 平 面，所 以 PA，8 C,V.B C A.A B,且 PA AB=

5、A,PA A B u平 面 所 以 BC上 平 面 乂 B C u平 面 P B C,所 以 平 面 P3C_Z平 面 P A 8,故 正 确；依 题 意 得 8 C,C O,若 平 面 PBCJ_平 面 PC,作 8 M L p c交 P C F M,平 面 PBC。平 面 PC=PC,所 以 8 M 工 平 面 P C O,又 C Z）u 平 面 PC）,所 以 8M L C D因 为 BM BC=B,B M,8C u平 面 P 8 C,所 以 8,平 面 P B C,因 为 P C u平 面 P 8 C,所 以 C D LPC,与 c r），p。矛 盾，故 错 误.故 答 案 为：.例

6、2.（2022秋.河 南 许 昌.高 二 禹 州 市 高 级 中 学 校 考 阶 段 练 习）对 于 直 线“，和 平 面 a,0,的 一 个 充 分 条 件 是（）A.m L n,m a,n ft B.m l n,a/?=？，u aC.m L a,n V p D.m/n,m e a【答 案】D【分 析】根 据 空 间 线 面、面 面 位 置 关 系 的 判 定 定 理 和 性 质 定 定 理 逐 个 分 析 即 可 得 答 案.【详 解】对 A：?_”，ml la,n/3,不 一 定 得 到 a_L尸，A错 误；对 B：m n,a（3=m,“u a,不 一 定 得 到 a_L尸，B错 误；对

7、 C：m/n,m V a,n l/3,则 a/尸 或 两 平 面 重 合，C 错 误；对 D：m/n,n-P,则 帆 _ L，又，“u a,所 以 a_L/?,D 正 确；故 选：D.例 3.（2023全 国 模 拟 预 测）设 机，是 两 条 不 同 的 直 线，a/是 两 个 不 同 的 平 面，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.若 m a,n/p,m/n,则 a/B.若 m _La,n，（3,m/n,则&C.若 m a,n 工。，a L/3,则/D.若 加 _La,in L n,则 a_L【答 案】D【分 析】由 选 项 A 的 条 件 可 得 出 两 个 平 面 相 交 或 平

8、 行 可 以 判 断 A选 项；由 选 项 B 的 条 件 可 得 出 两 个 平 面 平 行 可 以 判 断 B 选 项；由 选 项 C 的 条 件 可 得 出 两 条 直 线 可 以 平 行、相 交 或 异 面 可 判 断 C选 项；根 据 面 面 垂 直 的 判 定 可 以 判 断 D选 项;【详 解】对 于 A：若 小 a,n/3,m/n,则 a,相 交 或 平 行，所 以 A 错 误.对 于 B：若 根 _ L a,由/入 得 _ L a,又 因 为，力，则 a 和 尸 平 行，所 以 B 错 误.对 于 C：若 加 a,nj3,a 1 p,则 m，”可 以 平 行，相 交 或 异

9、面，所 以 C 错 误.对 于 D：若 z_La,m V n,则 u a 或 a,当 u a,又 _ 1,分，可 得 a _ L；当“a 时，如 图，平 面 a 内 必 然 有 一 条 直 线 设 为/与 平 行，由“，夕，则/_L/?,由 面 面 垂 直 的 判 定 可 得 所 以 DiE确.例 4.（2023秋,内 蒙 古 包 头 高 三 统 考 期 末）设。为 直 线，夕 为 平 面，则。，尸 的 必 要 不 充 分 条 件 是（）A.直 线。与 平 面 夕 内 的 两 条 相 交 直 线 垂 直 B.直 线。与 平 面 夕 内 任 意 直 线 都 垂 直 C.直 线。在 与 平 面?垂

10、 直 的 一 个 平 面 内 D.直 线。与 平 面 夕 都 垂 直 于 同 一 平 面【答 案】C 分 析 根 据 题 意 知 找 一 个 山。能 推 出 的 但 反 之 不 成 立 的 一 个 结 论.【详 解】根 据 题 意 知 找 一 个 由 力 能 推 出 的 但 反 之 不 成 立 的 一 个 结 论.对 A：根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理，若 直 线。与 平 面 夕 内 的 两 条 相 交 直 线 垂 直，则 若 a，月,则 直 线。与 平 面 力 内 的 两 条 相 交 直 线 垂 直，故 A错 误；对 B：根 据 线 面 垂 直 的 定 义，直 线。与 平 面 夕

11、 内 任 意 直 线 都 垂 直 是。，尸 的 充 要 条 件，故 B 错 误；对 C：若 尸，设 a u a,由 面 面 垂 直 的 判 定 知 a_L，故 直 线“在 与 平 面 夕 垂 直 的 一 个 平 面 内；若 直 线。在 与 平 面 万 垂 直 的 一 个 平 面 内，不 妨 设 平 面 7，尸，若 取 a=/c Q,则 a_L6 不 成 立，故 C 正 确;对 D：若 a J尸，又 a L a,则 a,不 可 能 有 平 面 用 与 平 面 a 垂 直，故 D错 误.故 选：C例 5.（2021 陕 西 榆 林 陕 西 省 神 木 中 学 校 考 模 拟 预 测）设 a,6 为

12、 两 个 平 面，则 C 尸 的 充 要 条 件 是（）A.a,力 垂 直 于 同 一 条 直 线B.a 内 有 两 条 直 线 与 夕 内 无 数 条 直 线 垂 直 C.a 内 有 一 条 直 线 与 夕 垂 直 D.a,垂 直 于 同 一 平 面【答 案】C【分 析】逐 项 分 析 选 项 中 的 直 线，平 面 的 位 置 关 系，选 出 充 要 条 件.【详 解】对 于 A 项，a,夕 垂 直 于 同 一 条 直 线 则 两 个 平 面 平 行，A 项 错 误；对 于 B 项，如 图 长 方 体 中，平 面 ABCD中 直 线 A B,直 线 8 与 平 面 4万&。中 平 行 于

13、直 线&。的 无 数 条 直 线 都 垂 直，但 是 平 面 ABCD与 平 面 A B C。不 垂 直，B 项 错 误;对 于 C 项，平 面 a 过 垂 直 于 夕 的 直 线，则；反 之，若 a，6，在 a 内 作 垂 直 于 交 线 的 直 线 垂 宜 于 夕，C 项 正 确；对 于 D 项，如 图 长 方 体 中，平 面 A D R A与 平 面 B C G A都 垂 直 于 平 面 A B C D,但 是 平 面 A D R A与 平 面 BCC.B,不 垂 直，D 项 错 误.故 选：C.考 点 二 平 面 与 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 例 6.（2023全 国 高 一

14、 专 题 练 习）如 图，已 知 三 棱 锥 SA BC中，侧 棱 SA=SB=SC,Z A B C=9 0%求 证:平 面 ABCJ_平 面 ASC.【答 案】证 明 见 解 析【分 析】作 S”,A C 交 A C于 点 H,由 全 等 三 角 形 的 性 质 得 出 5”，结 合 面 面 垂 直 的 判 定 证 明 即 可.（详 解】作 S H 1 A C 交 A C 于 点 H,连 接 BH,：S4=SC,：.AH=HC.在 RtZSABCC 中，是 AC 的 中 点，.B H=AC=A,2又 SH=SH,SA=SB,.SA“丝 SBH（SSS）,:.SHLBH,又 A C n 8 H

15、=，AC,8 H u平 面 A B C,.飞“，平 面 ABC,又 SHu平 面 A S C,：.平 面 A6c_L平 面 ASC.例 7.（2023江 西 校 联 考 二 模）如 图，点 C在 直 径 为 A B的 半 圆。上，CD垂 直 于 半 圆。所 在 的 平 面，BCII平 面 A Q E.且 CD/BE.【答 案】（1）证 明 见 解 析；【分 析】（1）根 据 给 定 条 件，证 明 B C工 平 面 4 8,再 借 助 线 面 平 行 可 得 B C/O E,然 后 利 用 线 面 垂 直 的 判 定、面 面 垂 直 的 判 定 推 理 作 答.【详 解】（1）因 为 点 C在

16、 半 圆。上，A 3为 直 径，则 B C J.A C,而 C O _L平 面 ABC,B C u 平 面 A B C,于 是 C D LBC,又 AC CD=C,A C,C D u 平 面 AC。，则 有 3 C J 平 面 AC。，由 C0/ABE 知 点 B,C,O,E 共 面，又 B C/平 面 A D E,平 面 B C D E c平 面 ADE=Z）E,B C u 平 面 8CDE,因 此 8 C 7/O E,即 有 O E 2平 面 ACZ）,又 力 E 在 平 面 A O E内，所 以 平 面 A D E L平 面 AC例 8.（2023 四 川 成 都 统 考 二 模）如 图

17、，三 棱 柱 A 8 C-A百 G 中，与 A 8 均 是 边 长 为 2 的 正 三角 形，且 A 4,=逐.Bi 证 明:平 面 ABC 1 平 面 A B C；（2）求 四 棱 锥 A-8 8 G C 的 体 积.【答 案】（1）证 明 见 解 析（2）2【分 析】（1）取 8 c 的 中 点 0,连 接 A。，A。，利 用 勾 股 定 理 证 明 A 0 L A。，易 得 平 面 A S G，再 根 据 面 面 垂 直 判 定 定 理 即 可 证 明；（2）由（1）可 证 明 A。为 三 棱 柱 的 高，利 用 同 底 等 高 的 椎 体 与 柱 体 的 关 系，通 过 割 补 法 即

18、 可 求 解.【详 解】（1）取 G 的 中 点。，连 接 A。，O.A 4 G 与 与 G 均 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，二 A 0 J _ 8 C，A。，4 G，A,O=AO=yf3.：.NAOA为 二 面 角 A-s c-a 的 平 面 角.：AAt=/6,AtO2+AO2=A,A2,：.AO AO.因 为 AO_LA。，A O _LB|C，A 0 c B 1 G=0,4 O,B C u 平 面 AS所 以 A。L 平 面 A 4 G，又 O u 平 面 A B,平 面 4用 C J 平 面 A B g.(2)匕-Bqqc=匕 0C-&4G 一 匕 l-ATG=2 匕（_&

19、%（；,由（1）知，A,0 1 A 0,A。，A G.A O c 8 c=。，瓦 G u 平 面 A B C，A O u平 面 A 8 G，；AO_L平 面 A A G.A O 为 三 棱 锥 A-A 8 c 的 高.二 匕 G=gxS V W xA=g x x 4 x g=l.，四 棱 锥 A-BBCC的 体 积 为 2.例 9.（2023春 四 川 德 阳 高 二 德 阳 五 中 校 考 阶 段 练 习）如 图，在 几 何 体 ABCDE中，4）_1_面/18,A D BC,A D=2BC,AB=BE.（1）求 证：平 面。CE_L平 面。A E；【答 案】（1）证 明 见 详 解【分 析

20、】（I）根 据 线 线 平 行 证 得 BM C N,再 结 合 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 与 面 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 得 证;【详 解】（1）分 别 取 的 中 点 M,N,连 接 BM,MN,CN,则 M N AD,M N=-A D,2由 题 意 可 得：BC AD,B C-A D,则 M N B C,M N=BC,2故 B C N M 为 平 行 四 边 形，则 BM CN,为 A E 的 中 点，且=则 又 丁 AZ）_L 平 面 A8E,B M u 平 面 4 8 E,则 8 M _LA）,AErAD=A,AE,ADu平 面 ADE,故 8 M l 平

21、面 ADE,l l BM CN,可 得 CN _L平 面 A D E，C N u 平 面。C E,故 平 面 O C E J平 面 DAE.例 10.（2021春 陕 西 汉 中 高 一 统 考 期 末）如 图，四 边 形 ABC。为 菱 形，G 为 A C 与 3。的 交 点，3E_L平 面 ABCD.E（1）证 明：平 面 月 C，平 面 BED；（2）若 NABC=120。，A E 1 E C,AB=2,求 三 棱 锥 G-A D 的 体 积.【答 案】（1）证 明 见 解 析 骼【分 析】（1）由 己 知 线 面 垂 直 得 BE，A C,再 由 菱 形 对 角 线 垂 直 得 线 面

22、 垂 直，从 而 可 得 证 面 面 垂 直;（2）匕，。二 匕 一 八，求 出 AG。面 积 和 高 所，再 由 棱 锥 体 积 公 式 计 算.【详 解】（1）证 明：四 边 形 A8CO为 菱 形，.必 u平 面 BED,B E u平 面 BED,.：A C工 平 面 BED.又 A C u平 面 AEC,，平 面 AEC_L平 面 BED（2）在 菱 形 A8CD 中，由 NABC=120,AB=2,可 得 AG=GC=J 5，GB=G D=l.AE1EC,.,.在 R AEC 中，可 得 4G=GC=EG=6.由 B E L平 面 A8CC,8 G u平 面 ABC。，得 BELBG

23、.所 以 EBG为 直 角 三 角 形，点 E 到 平 面 A G D 的 距 离 BE=dEG2-GB。=五 S AAGD=；AG.GD=；X 6 X I=.G-AED=V E-A G D=q S A A G D，8=马 乂 乂 立=.考 点 三 平 面 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 例 11.(2023全 国 高 一 专 题 练 习)如 图 所 示，在 直 角 梯 形 ABCC中，Z A D C=90,CD/AB,AB=4,AD=C=2.将 AOC沿 4 c 折 起，使 平 面 AOC_L平 面 A B C,得 到 几 何 体。一 ABC.求 证：BC_L平 面 ACD【分 析】

24、由 几 何 关 系 证 明 8 C L A C,再 由 面 面 垂 直 的 性 质 8 C L平 面 ACD【详 解】如 题 图(1),在 梯 形 ABCZ)中，AD=CD=2,ZADC=90,过 C作 C E LA8,E 为 垂 足，二 四 边 形 AECO为 正 方 形，:.CE=AE=EB=2,：.ZACE=ZBCE=45,-8=9()。，即 8C_L4C,如 题 图(2),平 面 AC)_L平 面 ABC且 平 面 ACOC平 面 ABC=AC,又 BCu平 面 ABCS.BCLAC,平 面 4C D例 12.(2023全 国 高 一 专 题 练 习)如 图，在 四 棱 锥 P-A B

25、 C O中，四 边 形 A8CO是 等 腰 梯 形，/A B C=6 0。,AB/CD,(7 3=8=1.点 为 棱 27的 中 点，点 F 为 棱 A 3上 的 一 点，且 A B=4 A F,平 面 P 2 C L平 面 A8CD.(1)证 明：AC PB；(2)证 明：EF 平 面 力).【答 案】(1)证 明 见 解 析(2)证 明 见 解 析【分 析】（1）由 条 件 可 证 梯 形 中 4c4BC,再 结 合 面 面 垂 直 的 性 质 即 可 证 明；（2）取 棱 P C 中 点 为 G,可 证 明 EF/AG,结 合 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可 证 明 结 果.

26、【详 解】（1）由 条 件 易 得：AD=DC,NAOC=120。，贝 I JAC。=l+l-2xlxlxcosl20=3，AC=6，ZABC=20,由 余 弦 定 理 可 知：AB=2,则/4CB=90。，所 以 AC_LBC.又 平 面 P8C_L平 面 ABCD,且 平 面 P8Cn平 面 ABCD=BC,且 ACu平 面 ABCD,则 AC_L平 面 PBC,又 PBu平 面 PBC,所 以 AC。9（2）由（1）可 知 48=2.取 棱 P。中 点 为 G,连 接 EF、EG、AG,因 为 E 为 PC 的 中 点，所 以 EG）C,且 EG=OC,又 A F=!A B=:，所 以

27、AF QC,且 A F=；OC,4 2 2所 以 EG AF,且 EG=AF,所 以 四 边 形 AFEG为 平 行 四 边 形，所 以 EF/AG.乂 EFC平 面 PAD,且 AGQ平 面 PAD,则 EF 平 面 PAD.例 13.（2021.陕 西 西 安.统 考 二 模）如 图，在 四 棱 锥 P-ABQ）中，一 批。是 等 边 三 角 形，底 面 ABCD是 棱 长 7 F为 2 的 菱 形，平 面 上 41.平 面 A B C O,。是 A）的 中 点，ZDAB=-.（2）求 点。到 平 面 A48的 距 离.【答 案】（1）证 明 见 解 析【分 析】（1）连 结 B D,判

28、断 A3。为 等 边 三 角 形，证 明。根 据 面 面 垂 直 的 性 质 判 断 得 到 O B L 平 面 PAD.（2）等 体 积 法 转 化%,=匕 一 八。8求 解.证 明：连 结 瓦），1T.底 面 A 8 C O 是 菱 形，NZMB=,A3。为 等 边 三 角 形，又。是 A O 的 中 点，。3,4），平 面 心!.平 面 A B C D,平 面 A4c平 面=O B u 平 面 ABCD,，0 8 _L平 面 PAD.（2）设 点。到 平 面 A4B的 距 离 为 A,易 知 0P=0B=6，在，R4B 中，PA=AB=2,PB=6：.5A W B=XV6X由 八 8=匕

29、 一 3，得 k 巫 力=l x L 6 x l x e，解 得 力=妪.3 2 3 2 5点。到 平 面 以 8 的 距 离 为 巫.5【点 睛】.例 14.（2023 全 国 高 一 专 题 练 习）如 图，在 四 棱 锥 P-中，底 面 A 8 C D 为 直 角 梯 形,C D/AB,ZABC=90,AB=2BC=2 C D,侧 面 曰 D_L平 面 ABC.【答 案】（1）证 明 见 解 析【分 析】（1）证 明 A O 1 3 Z）,继 而 根 据 面 面 垂 直 的 性 质 证 明 平 面 R 4 D,根 据 线 面 垂 直 的 性 质 即 可 证 明 结 论；【详 解】（1）证

30、 明：C D/AB,ZABC=9 0,B C 1 C D,:设 BC=CD=2,:.BD=2 五,NCB=45。，A 8=4,：3 B A=4 5,A A D=yj BDr+A B2-2BD-AB cos ZDBA=,2 4-1 6=2夜 AD2+BD2=AB2.A A D B D.:平 面 R A D _ 1 平 面 ABC。，平 面 R 4 c平 面/W C 3=4）,8 D u 平 面 ABC。，二 BO 1 平 面 P A D,；尸 A u 平 面 P A D,:.B D V P A.15.（河 南 省 开 封 市 2023届 高 三 下 学 期 第 二 次 模 拟 考 试 文 科 数

31、 学 试 题）如 图 1,在 直 角 梯 形 4 8 C D中，AS C D,4 4）=90。，A D=C D-A B,将,沿 A C折 起（如 图 2）.在 图 2 所 示 的 几 何 体 O-A B C 中：2（1）若 平 面 AC）_L平 面 4 B C,求 证：AO_LBC；【答 案】（1）证 明 见 解 析【分 析】（1）先 通 过 余 弦 定 理 及 勾 股 定 理 证 明 A C 1 _ 8 C,再 通 过 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 证 明 5C_L平 面 ACD,从 而 可 证 线 线 垂 直；【详 解】（1）记 在 AADC 中，A C=yjAD2+D C2=42a

32、 ZBAC=45,在，A BC中，AB=2 a,由 余 弦 定 理 得 BC=lAB2+AC2-2 A B X A C XCOSZBAC=卜/+2a2-2 x 2 a x/2 a x=.所 以 AC2+8C2=A 8 2,所 以 ACJ_8C,因 为 平 面 ACL平 面 A B C,平 面 ACO i平 面 A8C=AC,8 C u平 面 ABC,所 以 B C,平 面 AC/）,又 u 平 面 AC。，所 以 A O/B C：考 点 四 求 二 面 角 例 16.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，在 长 方 体 A 8 C O-A B G A中，=BC,尸 为 C Q 的

33、中 点，则 二 面 角 8-P G-C 的 大 小 为（）A.30 B.45 C.60 D.90【答 案】B【分 析】由 二 面 角 的 定 义 证 明 N B C C即 为 二 面 角 B-P C-C 的 平 面 角，求 出 此 角 即 得.【详 解】如 图，在 长 方 体 A B C O-A 4 G A中，P C 平 面 8 C C 4,CG u 平 面 8CC声,BC,u 平 面 B C C g,所 以 P G，BG,且 PC,1 CG,所 以 NBC、C 即 为 二 面 角 B-P Q-C 的 平 面 角，又 g=BC,易 得 ZBC,C=45.故 选：B.例 17.（2023高 一

34、课 时 练 习）已 知 二 面 角 一/-尸 的 平 面 角 是 120。，在 面 a 内，4 3 _ L/于 B,Afi=2,在 面 夕 内，于。，CD=3,8 0=1,M 是 棱/上 的 一 个 动 点，则 AM+C M的 最 小 值 是.【答 案】V26【分 析】将 二 面 角 4 平 摊 开 来，在 平 面 内 根 据 两 点 之 间 线 段 最 短 求 解.【详 解】将 二 面 角。一/一 平 摊 开 来，即 为 如 下 图 形，当 A,M,C在 一 条 直 线 上 时 A M+C M 有 最 小 值,最 小 值 为 对 角 线 AC,因 为 AE=2+3=5,CE=B)=l,所 以

35、 AC=JAE?+CE?=而，故 答 案 为：V26.例 18.(2023春 全 国 高 一 专 题 练 习)如 图，已 知 PB1/3,垂 足 为 A、B,若 NAP8=60。，则 二 面 角 a-/-力 的 大 小 是.【分 析】根 据/A P 5 与 二 面 角 大 小 互 补 进 行 求 解.【详 解】设 二 面 角。-/-夕 的 大 小 为，因 为 E4_La,PBL/3,垂 足 为 A、B,所 以 e+NAP3=180,乂 NAPB=60,所 以，=180 NAPB=120。.故 答 案 为：120。例 19.(2022秋 湖 南 怀 化 高 二 校 考 阶 段 练 习)如 图，在

36、 正 方 体 A B C D-A B C a 中，(1)求 异 面 直 线 4片 与 BC,所 成 的 角 的 大 小;(2)求 二 面 角 C-A 8-C 的 大 小.【答 案】（呜：【分 析】（1）作 出 异 面 直 线 4片 与 B G 所 成 的 角，并 求 得 角 的 大 小.（2）判 断 二 面 角 G-4 8-C 的 平 面 角，并 求 得 角 的 大 小.【详 解】（1）在 正 方 体 ABCO-A B G。中，连 接 B，O G，由 于。C A g，所 以 N O G B 是 异 面 百 线 A 4 与 B G 所 成 的 角，由 于 三 角 形 是 等 边 三 角 形，所

37、以 N O G 8=g,所 以 异 面 直 线 Aq 与 B G 所 成 的 角 的 大 小 为.（2）在 正 方 体 A 8 C O-A q G R 中，ABA.BC,ABLBC,所 以 N G B C 是 二 面 角 C,-AB-C的 平 面 角，根 据 正 方 体 的 性 质 可 知 N G B C=f，47T所 以 二 面 角 G-A B-C 的 大 小 为;.4JT例 20.（2023春 全 国 高 一 专 题 练 习）如 图，在 正 四 棱 锥 P-A B C D 中，ZPAB=.（1）求 侧 棱 PA与 底 面 48c。所 成 角 的 大 小;（2）求 二 面 角 P-AB-C

38、的 大 小 的 余 弦 值.【答 案】:4 正 3【分 析】（1）根 据 线 面 角 的 定 义 可 证 得/R4。为 所 求 角，设 等 边 RIB的 边 长 为。，由 长 度 关 系 可 求 得 cosNPAO,从 而 得 到 结 果：（2）由 二 面 角 平 面 角 定 义 可 知 N P E O 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角，由 长 度 关 系 可 求 得 结 果.【详 解】（I）设 底 面 正 方 形 A B C D 的 中 心 为 0,连 接 A0,P。，由 正 四 棱 锥 P-A 8 C O 结 构 特 征 知：PO 平 面 A B C D,即 点 尸 在 平 面 A

39、B C O 上 的 投 影 为 0,N R 4 O 为 侧 棱 P A 与 底 面 的 C D 所 成 角，在 右 上 钻 中，PA=PB-=.口 243为 等 边 三 角 形，设 其 边 长 为 a（a0）,P0_L平 面 AfiCO,在 RtZPA。中，PA a,AO=AC=-a cos Z.PAO=2 2 PA 2JT 7 T/.ZPAO=-,即 侧 棱 R A 叼 底 面 A8C0所 成 角 的 大 小 为 不 4 4（2）取 A 3 的 中 点 为 E,连 接 PE,OE,在 正 方 形 ABC。中，OE_LAB：在 等 边 中，P E L A B，:.NPEO为 二 面 角 P-A

40、B-C 的 平 面 角，P O L 平 面 ABC。，E O u 平 面 ABC。，:.P O 工 EO；在 RlZPEO中，PE=S,OE=B C=a,cosZPEO=,2 2 2 PE 3 二 面 角 P-AB-C 的 大 小 的 余 弦 值 为 3.321.（2023全 国 高 三 专 题 练 习）如 图 所 示，在 三 棱 锥 中,NABC=NBCr=NCD4=9（）o,AC=6后,BC=CD=6.设 点 A在 底 面 8 8 上 的 射 影 为 E.（1）求 二 面 角 A 8。C 的 余 弦 值.【答 案】-33【分 析】（1）设。为 即 的 中 点，连 接 A O,利 用 线 面

41、 垂 直 的 判 定 定 理 得 到%1平 面 A O C,可 得/A O C 即 为.Ifll/H A-B D-C,i n 用.通 这 几 何 关 系 和 金 弦 定 理 川 列 到 cos/A O C=-同,即 可 求 解；3【详 解】（1）由 题 意 可 得 AB=8O=AO=6&，如 图，设。为 3 D的 中 点，连 接 A O,则 AO_L3D,CO_LB。，因 为 AO CO=O,A O,C O u平 面 AOC,故 3工 平 面 AOC.Z A O C 即 为 二 面 角 A-8 O C 的 平 面 角，乂 8 u平 面 BC。，则 平 面 8 8 1.平 面 AOC,.顶 点

42、A在 底 面 BCO上 的 射 影 E 必 在 O C 上，故 CE1BD.因 为 A E L平 面 SCO,C u 平 面 S C O,所 以 M L C E,易 得 OC=372,AO=3瓜 AC=6+，则 cos ZAOC=1 8+6-1。匕=一 且，2x3V2x3V6 3 二 面 角 A 3。C 的 余 弦 值 为-立.3AO精 准 练 习 一、单 选 题 1.（2023 全 国 高 一 专 题 练 习）已 知 直 线 切、”，平 面 a、夕，满 足 a 夕=且 则“机，/”是“%的（）条 件 A.充 分 非 必 要 B.必 要 非 充 分 条 C.充 要 D.既 非 充 分 又 非

43、必 要【答 案】A【分 析】利 用 空 间 中 的 垂 直 关 系 和 充 分 条 件、必 要 条 件 的 定 义 进 行 判 定.【详 解】因 为 a B=n,所 以 u,又 因 为 机，/，所 以 加 _L，即“切，?”是 的 充 分 条 件；如 图，在 长 方 体 中，设 面 ABC。为 面&、面 BC尸 为 面 夕，则 机 _L，FL?与 面 夕 不 垂 直，即“加，户 不 是 的 必 要 条 件；所 以“m J尸”是“加”的 充 分 不 必 要 条 件.故 选：A.2.（2023 全 国 高 一 专 题 练 习）如 图，附 垂 直 于 矩 形 A8CO所 在 的 平 面，则 图 中

44、与 平 面 PC D垂 直 的 平 面 是pB CA.ABCD B.平 面 P8CC.平 面 附。D.平 面 PCD【答 案】C【分 析】由 线 面 垂 直 得 到 线 线 垂 直，进 而 证 明 出 线 面 垂 直，面 面 垂 直.【详 解】因 为 PAJ_平 面 ABC。，C)u平 面 4BCD,所 以 PALCD,由 四 边 形 4BCZ)为 矩 形 得 8,4),因 为 R4cAD=A,所 以 CD J_平 面 PAD.又 CO u 平 面 PCD,所 以 平 面 PC。_L平 面 PAD.故 选：C3.(2022高 一 课 前 预 习)m,表 示 直 线，a,y表 示 平 面，给 出

45、 下 列 三 个 命 题:(1)若 aC0=ni,naa,_!_?，则 _L；(2)若 a_L尸，aCy=m,ftCy=n,则 _1_加；(3)若?J_a,n邛,m n,则 a_L夕.其 中 正 确 的 命 题 为()A.(1)(2)B.(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)【答 案】B【分 析】(1)(2)可 举 出 反 例，(3)可 以 用 线 面 垂 直，线 线 垂 直 证 明 出 面 面 垂 直.【详 解】如 图 1,满 足 anQ=ni,nua,n m,但 不 满 足 _1_尸,(1)错 误;n如 图 2,满 足 a_L夕，aCyym,阳 y=,但 不 满 足(2)错 误;如

46、图 2若，_La,nA.p,tnX.n,则 aJ_p.因 为/”_La,m L n,所 以 u a 或，若 u a,因 为 _LQ,所 以 a_LK若 a,则 在 a 内 存 在/使 得 I,因 为 J_,所 以/J 夕，所 以 a_LK综 上：若?_La,_1_ 夕，/“_!_，则 aJ_p,(3)正 确.故 选：B4.(2023内 蒙 古 包 头 一 模)如 图，在 正 方 体 ABC。-A 4 G。中，民 色 分 别 为 所 在 棱 的 中 点，尸 为 下 底 面 的 中 心，则 下 列 结 论 中 错 误 的 是()A.平 面 平 面 AAGCC.M P1C.D【答 案】CB.MP/A

47、CtD.E/平 面 A。与【分 析】根 据 空 间 线 面 位 置 关 系 依 次 讨 论 各 选 项 即 可 得 答 案.【详 解】解：对 于 A 选 项，由 E,F分 别 为 所 在 棱 的 中 点 得 瓦 7/%,由 正 方 体 的 性 质 易 知 A C 1 8 0,M-L平 面 ABC。，E f u 平 面 ABC),所 以 AA|_LEF,A C r E F,ACAA4,=A,AC,AA u 平 面 A41GC,所 以 所 1 平 面 4AG C,E P u平 面 E F G，所 以 平 面 EFCt，平 面 AAC,故 A 选 项 正 确；对 于 B 选 项，尸 为 下 底 面

48、A f C Q 的 中 心，故 尸 为 A G，B Q 的 中 点，因 为“为 所 在 核 A A的 中 点，所 以 M P/A G，故 B 选 项 正 确；对 于 C 选 项，若 P L C Q,由 B 选 项 知 M P/A G，则 有 A G C Q,令 一 方 面，由 正 方 体 的 性 质 知 4 G。为 直 角 三 角 形，ADA.DC,所 以，4G _!；不 满 足，故 C 选 项 错 误；对 于 D 选 项，由 A 选 项 知 E F/6。，由 正 方 体 的 性 质 易 知 M R/8 力,所 以 用 DJ/EF,B Q u 平 面 A C 4,即 0 平 面 ARB一 所

49、以 EF 平 面 A R 4，故 D 选 项 正 确.故 选：C5.（2023安 徽 蚌 埠 统 考 二 模）设 a，夕 是 两 个 不 同 的 平 面，“，6 是 两 条 不 同 的 直 线，下 列 说 法 正 确 的 是（)A.若 a _ L a,b 1。,a V b,则 aJL/?B.若 a _ L a,b u。,a L b,则 a_ L C.若 a _ L a,bkf3,a b,则 a_L/?D.若 a _ L a,a Lb,a-0=b,则【答 案】A【分 析】根 据 题 意，由 空 间 中 直 线 与 平 面 的 位 置 关 系 对 选 项 逐 一 判 断，即 可 得 到 结 果.【

50、详 解】对 于 A,若 a，a,bL/3,a l b,则。_ 1尸，故 正 确；对 于 B,若“，。，bu/3,a l b,则 a 与 夕 相 交 或 者 a 尸，故 错 误；对 于 C,若。_ 1夕，bVp,a b,则 a/，故 错 误；对 于 D,若 a J _ a,alb,a 夕=6,则 a 与 夕 相 交，不 一 定 垂 直，故 错 误.故 选:A6.（2023春.全 国.高 一 专 题 练 习）在 长 方 体 ABC。-A耳 中，AB=3,BC=2,A4=1,则 二 面 角 D.-BC-D的 余 弦 值 为（）A 石 n 2石 r 710 n 3710A.D.V.D.-5 5 10