2021-2022学年上海市金山区高二年级上册学期12月月考数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学年上海市金山区高二上学期12月月考数学试题一、填空题1 .半径为2的球的体积为3 2 7 1【答案】3 .【分析】由球体体积公式可得答案.V=-7 t T?3=n【详解】3 3 .3 2一 兀故答案为：32 .直线工+卜-1=的 倾 斜 角 是.3兀【答案】彳【分析】根据直线方程可得斜率，进而可得倾斜角【详解】解：由已知y=-x+L则直线斜率=-1,又倾斜角的范围为 夕）.34故直线+y t=的倾斜角是T.3兀故答案为：彳.3 .己知基函数 的图象过点I 2 九 则 实 数 公【答案】-1卜;）*【分析】将点I 2 弋入y =x求解即可.【详解】解：将点I 2）代入-=2k

2、可得2 ,即有2 T=2、解得=T.故答案为：-14 .已知（L 2）,8（-1,1）,则 直 线 的 两 点 式 方 程 为x-1 _ y-2【答案】1-（-1）2-1【分析】直接由直线的两点式方程公式得出答案.【详解】当直线过两点（*乂），（“2,九）时，其两点式方程为玉-%一%,x-1 _ y-2则直线4 8 的两点式方程为I T 7）2-1x-1 _ y-2故答案为：1-（-1）2-1.M、N分别在线段4 G 与B D上,M N的最小值为.【分析】方法一，该题可以结合正方体的结构特征，将其转化为两异面直线的距离来求;方法二，可设出变量，构建相应的函数，利用函数的最值求解;方法三，建立空

3、间直角坐标系，利用点的坐标以及距离公式表示出目标函数，然后利用函数方法求解最值.【详解】方法一（定义转化法）：因为直线4 a 与8。是异面直线，所以当w是两直线的共垂线段时，取得最小值.取4 G 的中点p,8。的中点。.则线段P 0 就是两异面直线4 G 与8。的共垂线段.下证明之.在矩形8 0 0 4中，尸。为中位线，所以P Q/g,又因为8耳，平面/5CZ）,所以尸0/平面/8 C 0又因为8 O U平面/8C O,所以尸同理可证尸。：心,而 P Q c B D =Q ,P Qc A =P ,所以线段尸。就是两异面直线4 G与B D的共垂线段，且尸。=1.由异面直线公垂线段的定义可得M N

4、*P 0 =1,故M N的最小值为1.方法二：（参数法）如图，取4 G的中点P,8。的中点。.则线段P0就是两异面直线4 G与8。的共垂线段.由正方体的棱长为1可得尸0 =1.连结/C,则C4 G,所 以 为 两 异 面 直 线4 G与8。所成角在正方形A5CO中，A C 1 B D,所以N 80c=90。过点M作A W/C,垂足为H ,连结N H ,则必/尸,且=1设 P M=m ,Q N =i,则 Q H =m在中，HN2=QN2 QH2=n2+m2在 RtAM/W 中，MN2=MH2+HN2=12+n2+m 显然，当机=0 时，M F 取得最小值i,即MN的最小值为i.方法三：（向量法）

5、如图，以。为坐标原点，分别以射线加、2 为x、J z 轴建立空间直角坐标系.设DN=m,4 M=则%(m 8545。,小山45。,0),即恪 金。2 2M(-n cos 45。,sin 45,1)即2 2MN2所以 与4 与门与一41L2 I 2)2 2)=(m2+7 72 6 (加 +)+2加=0 故当 2 时，MN-取得最小值,即 N 的最小值为1.故答案为：1.6.如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是【答 案】0【详解】试题分析：根据圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，分别设出圆锥的母线长和圆锥的底面半径，利用上述关系得到关系式求出两者的比值

6、即可，然后得到其正弦值，求得夹角.设圆锥的母线长为R,底面半径为r,圆锥的侧面展开图是一个半圆，二圆锥的侧面展开扇形的弧长为：成，.圆锥的侧面展开扇形的周长等于圆锥的底面周长，出=2 口，出：r=2：1,所以母线与底面夹角为6 0 .【解析】圆锥的计算.7 .从甲、乙、丙、丁 4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲、乙两人都没有被选到的概率为（用数字作答）.【答案】6【解析】先计算出从4名同学中选2 名同学的情况，再计算出甲、乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.吠=七-6【详解】解：从 4名同学中选2 名 同 学 共 有4 2x 1 种，甲、乙两人都没有被选到有1 种，甲、乙两人都没有被

7、选到的概率为9.8.已知直线。，b,平面a,P ,满足&0/=6 且。_ 1 力，贝心工 工灰,是“a _ L 力,的 条件.【答案】必要非充分条件【分析】根据线面垂直的性质以及充分条件和必要条件的定义即可求解.【详解】如图长方体中，满足an 夕=6 且取 5 =a,满足 贝 Ija u/?,取“尸=。，满 足 力，则取 E F =a,满足 二，则/,所以由“1 _ L 3，得不出“a。,故充分性不成立，因为cA尸=/）,所以up,若a，夕，由线面垂直的性质可得3,人 故必要性成立，故答案为：必要非充分条件.2兀9.一个圆锥轴截面的顶角为丁，母线为2,过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为_.【

8、答案】2【分析】截面三角形为等腰直角三角形时，截面面积最大，进而计算面积即可.【详解】解：由题知I,过圆锥顶点的截面中，截面三角形为等腰直角三角形（直角边为母线）时，截面面积最大，5=-x 2 x 2=2所以，最大截面面积为 2故答案为：210.正四棱锥P-Z 8 c o 的所有棱长均相等，E 是 P C 的中点，那么异面直线8 E 与 P/所成角的余弦值为.旦【答案】3【分析】连接Z C 交 8。于。点，连接O E,则 4，所 以 就 是 异 面 直 线BE与尸/所成的角，在直角三角形EO 8中求解即可.【详解】如下图：B连接NC交8。于。点，连接则OE尸儿 所以N EB就是异面直线BE与尸

9、/所成的角，连接尸。，因为尸 1面/B C O,所以尸。，。8,又因为Z C 1 O 8,A C L P O =O,所以面O E =-,BE=aP O C ,所 以 所 以 直 在 角 三 角 形E 0 8中，设4 =。，则 2 2,/c m O E 也cos/O E B =BE 373故答案为：3.1 1.若一个三棱锥中，有一条棱长为。，其余棱长均为1,则其体积）取得最大值时。的值为76【答案】2【分析】方法一由题意画出图，根据图由三棱锥的体积公式换元由二次函数求得最值时。的值.方法二由三棱锥的体积可知，底面积一定，要使体积最大，只需高最大，即可得出垂直时最大，再由勾股定理即可求出。的值.【

10、详解】方法一：由题意画出棱锥的图形，AB=B C =C D =BD=A C =l,A D =a.取5 C、的中点分别为E、F,所以平面/加垂直5C,S-ED=；4D.EF 尸=J（曰 令/=/,y=3/-/=3-2,关于/的二次函数，_ 3 a a 当 =5,即 -彳 时，体积尸（幻 取得最大值，故”了.方法二：由题意画出棱锥的图形，4B=BC=C D =B D =A C =1,A D a.AC要使三棱锥力-8 8的体积最大，只需点A到底面的距离最大，此时面Z8C，面8 C O,取8 c的中点分别为E,连接“区。3L片+仍=倬2+（图邛逅即2V6故答案为：21 2.在棱长为3的正方体/8C。-

11、中，瓦F分别是棱8C、CG的中点，点G在四边形8C G 4内运动（含边界），若直线4G与平面/跖无交点，则线段CG的取值范围是9y/2 3后【答案】L 【分析】作出辅助线，证明平面4尸2平面/E F,故点G在线段尸2上 运 动（含端点位置），当G与。或尸重合时，CG最大，当C G P。时，CG最小，由勾股定理求出最值，得到取值范围.【详解】正方体 8 8-4 4 0 的体积为2 7,所以正方体的棱长为3,分别取线段4G、布的中点P、。,连接4尸、4 0、P0,瓦尸分别是棱8C、C 的中点,则尸Q/E尸，又P C 平面/E E E F u 平面/7?,所以 P Q/平面 4 P/4 E,又4 尸

12、色平面4EF,AE u平面AEF,所以4。/平面AEF,又P。n 4P =尸，。，4 P u 平面4 尸。，所以平面4 P 平面N E F,故点G 在线段2 上 运 动（含端点位置）,当G 与。或 p 重合时，CG最大，CG=CQ=ylQB2+BC2=Y+32=此时 队21 2,r r.p n CG=-CS,=-X/32+32=当C G J.尸。时，CG最小，此时 4 4 4,-972 3 瓜所以CG的取值范围为L 4 2972 3 店故答案为：L 二、单选题1 3.下列命题中，正确的是（）A.三点确定一个平面B.垂直于同一直线的两条直线平行C.若直线/与平面&上的无数条直线都垂直，则,aD.

13、若 、b、c 是三条直线，。且与。都相交，则直线八 6、c 在同一平面上【答案】D【分析】利用空间点、线、面位置关系直接判断.【详解】A.不共线的三点确定一个平面，故 A 错误；B.由墙角模型，显然B 错误；C.根据线面垂直的判定定理，若直线/与平面夕内的两条相交直线垂直，则直线/与平面。垂直，若直线,与平面a 内的无数条平行直线垂直，则直线/与平面a 不一定垂直，故 C 错误；D.因为a/,所以。、人 确定唯一一个平面，又。与。、人都相交，故直线。、b c 共面，故 D 正确；故选：D.14.在正方体 8 C O-4 8 G 2 中，下列四个结论中错误的是（）A.直线8 c 与直线ZC 所成

14、的角为60 B.直线8 c 与平面A C所成的角为60C.直线8 C 与直线,4 所成的角为90 D.直线8 c 与直线N 8所成的角为90【答案】B【解析】连接“用，求出/4 鸟可判断选项人；连接8 a 找出点用在平面/。上的投影0,设直线c O Ccos 0=-8 c 与平面“AC所成的角为仇由 耳C 可判断选项B；利用平移法找出选项C 和 D 涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解.【详解】连 接 为 等 边 三 角 形，.4 C 4=6 0。，即直线8。与 4 c 所成的角为60。，故选项 A 正确；连接B Q ,阳=8 c =CD1=AD,，四 面 体 是 正 四 面 体，O

15、C =二 点 用 在 平 面 上 的 投 影 为AR C的中心，设为点o,连接4 ,O C,则 3设直线Bc与平面g c所成的角为仇A O C 3风包1则 B（g B C 3 2）故选项B错误;连接8 G,.四|g,且8 c l g,.直线A C 与 物 所 成 的 角 为 go。，故选项c 正确;.力 8 1 平面8。,.8_18（,即直线8。与 所 成 的 角 为 90。，故选项D 正确.故选：B.1 5.已知函数/（x）=sin（5 +*）（/0，0 ）的图象与直线、=6 力）的三个相邻交点的横坐标分别是1,2,4,下列区间是函数/G）的增区间的是（）A.四B.r3C.3,6D.【答案】

16、D/（x）=-Acos x【分析】首先根据已知条件得到 3,再求其单调增区间即可.r =4-1=3 y=【详解】由题知函数的周期 ，解得 31 +2 3x=-=由 6 Z 知，当 2 2 时，函数取得最大值,2万 3 万 川 冗 x +0=2k 兀+(D-2k 兀.3 2 2,解得 2,kw Z712乃 八，、,24一+2 4 4=-A cos x32k 兀 x 2k 冗+肛 左 EZ 3kx3k+令 3，解得 2,k e Z,.当=1时，/（X）的增区间是一故选：D16.定义域在 出可的函数，=/（）图像的两个端点为4、B,向量 =0 4 +（1-）8,设（X J）是“X）图像上任意一点，其

17、中x=M +（l-沙，设 0,1 若不等式眼M 恒 成 立，则称函数/（X）在 “1 上满足V 范围线性近似“，其中最小的正实数人称为该函数的线性近似阈值.下列定义在口，2匕的函数中，线性近似阈值最小的是（）21y=_ 2 y=x A.X B.y x C.XD.4y=sinx3【答案】C【分析】由题意可得点M，N的横坐标相等，点N在线段4 8上，然 后 可 得=然后每个选项逐一求解即可.【详解】由题意可得点M，N的横坐标相等，点N在线段 8上，所以1历训=比”一 凹3_ 2对于A,因为 一嚏，所以“（L2），B Q/），直线N 8的方程为N=r +3所以 N（X，-X+3）,因为 N J,MN

18、=yM-yN=-x+3-=3-x-3-272 所以 XX，当且仅当=夜时等号成立所以 2 3-2及，所以该函数的线性近似阈值为3-2 0；对于B,因为V=x,所以（1,1）,8（2,4）,直线4 8的方程为y=3x-2所以N（X,3X-2）,因为M（X，X）所 以 叱 山 一 酢2-小;当 且 仅 当 号 时等号成立k J1所以 4,所以该函数的线性近似阈值为4；13y=X-B（2 一）对于C,由函数 X,得/（1，0）,2,y（x 1）直线”8方程为 21 Q-7 2 -4 22，线性近似阀值为5.71y=sinx对于D,由函数 3可得8唔,”方 程 为 尸 生|W|3-2 7 2 1-V

19、2 y=x-因为4 2 2 所以线性近似阀值最小的是 x故选：C三、解答题Z B A C =-1 7.如图，直三棱柱4 B G中，AB=A C =,2,4 4=4,点M为线段4 4的中点.(1)求三棱锥4-3 8。的体积；(2)求异面直线8M 与4 G 所成角的大小.V=-【答案】(1)3V10arccos-1V S ABC-AA,【分析】(1)根据 3 求解.(2)NMBC或其补角即为异面直线BM与 B 所成的角，根据余弦定理八,“BM2+BC2-C M2 710cos Z,MBC-=-2BM BC 10 求解.ZBAC=-S=lx lx l=l【详解】因为-C=l,2,所 以 皿 2 2,

20、又因为直三棱柱/8 C-4 A G 中，所以平面/8 C即4 是三棱锥同 一 8 C 的高，则三棱锥4 -8 C 的 体 积 为 展 3 乂血”4 =3 X 5 X 4=(2)因为B C/4 G,所以NM8C或其补角即为异面直线身/与所成的角,在 4MBC 中，BM=CM=V5,BC=V2,cosNMBC=BM BC2-CM：叵由余弦定理得，2BM BC 10ZA/5C=arccos所以 ioV10arccos-故异面直线BM与q G 所成角的大小为 10.1 8.已知两条直线4：加 +了 =加+1,/2：x+W =2w,判断两直线的位置关系.【答案】答案见解析.【分析】以加2 T是否为0 判

21、断两条直线相交或不相交，注意考虑垂直的情况；当?2-1=时，判断两直线平行或重合.【详解】令川-1 2 0,解得加*1,所以当-1时，4与12相交；当机=0 时，4 与4 互相垂直；令/-1 =0,解得机=1；当机=1时，4 的方程为x +y =2,4 的方程为x +y =2,4与4 重合；当,”-1时，4 的方程为x-y =o,4 的方程为x-v =-2,此时2；所以当?#1时，4 与7 2相交，其中机=时，4 与12互相垂直；当机=1时，4与4 重合；当加=_ 时，2.19.如图，“中国天眼”是我国具有自主知识产权、世界最大单口径、最灵敏的球面射电望远镜，其反射面的形状为球冠，球冠是球面被

22、平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为厂，球冠的高为九 球冠底面圆周长为C(1)求球冠所在球的半径R(结果用h、r表示)；r(2)已知球冠表面积公式为$=2万血，当S =6 5 00(U,C =5 00万时，求元的值及球冠所在球的表面积.【答案】2 h5(2)B.16 9 0000万【分析】(1)根据给定信息结合球的截面小圆性质，再借助勾股定理列式计算即得.(2)根据给定条件结合(1)的结论求出球半径R即可计算作答.【详解】(1)如图，点。是球冠所在球面的球心，点 0/是球冠底面圆圆心，点/是球冠底面圆周上一点，线段0/8 是球冠

23、的高，依题意，0 8垂直于球冠底面，显然0/8=，O Ot=R-h,O,A=r,二一+-在R t Z X O O/中，OA-=O O f+OtA2 1 g|j/?2=(R-h)2+r21 整理化简得：-2 h,区;心所以球冠所在球的半径/?有：2 h.r-=25 0(2)因球冠底面圆周长C=500T,则 2乃 ，,S 325 00 h2+rh=-=-R =-又球冠表面积公式为S =27的，且S =6 5 00(h r,则 I nR R,由知 2 h即6 5 000=325 0()2R2+25 02解得R =6 5 0,r _ 25 0 _ 5于是得?-6 5 0-13,球0的表面积为4万丈=4

24、tx 6 5 02=16 9 0000万,r_$所以下的值是否，球冠所在球的表面积是16 9 0000.2 0.如图，在四棱锥尸UZ8CQ中，底面是矩形，且N O=2,AB=-PA=,平面ABCD,E,尸分别是线段48,8c的中点.(3)求直线P E与平面P F D所成角的大小.【答案】(1)证明见解析7 +2及+逐(2),而a r c s i n-10【分析】（1）利用勾股定理证得。尸，“尸，再由线面垂直证得。尸，尸 力，由此证得得。尸工平面P A F,进一步得到尸尸，0；（2）利用线面垂直的性质证得尸8,8 C,PD LCD,PALAB,PAADt从而分别求出各面面积,由此得到四棱锥P/8

25、 C D的表面积；（3）连接EP、ED.E F,由等体积法求点E 到平面PFD的距离，即可求直线PE与平面PFD所成角的正弦值，则所求得解.【详解】（1）连结NF,则在 RM/3尸中，AF=y/AB2+BF2=V I,同理：血，又 AD=2,.DF+AFAD2,则 DF A.AF,PA Ijg ABCD,DF u 面 4BCD,；.DF LPA,又P 4 fU F=40平面p/尸，.O F工平面尸4R而尸尸u 平面尸/尸，则P尸，尸。；(2)已知尸4,底面Z 8 C D,所以P/L 8 C,因为在矩形Z8 C。中，A B 1B C ,又P A c4B =A,PA,ABu面pJ4B,所以3 c

26、l面P/8,又P B u面P 4 B,所以尸8 L 8 C,同理：PD 工 CD,又 P4 工 4B,P4L4D,因此SPA/i=-2 PA-AB=-2 ,S PAD-PA-AD=1 c A D D r,o2,SMCD=AB.BC =2,S.PBC=PB-BC=LyjPA?+AB?衣=6 S pnc=-PD CD=ylPA2+AD2-CD=c 2 2 DC 2 2 2S+l +2+0 +=7+2夜 +石二四棱锥PU Z8 CZ)的表面积 2 2 2(3)连接 E尸、ED、EF,21 1 1 3v SQEFD=SABCD-S.BEF-S&AD E-CDF =4 2 2 4,V 1 c P.1 3

27、 1 1=S曲.尸/_ *4 1 =彳M fz r-PE=-JPA2+AE2=y P F =vPB+BF=V 3；DF=五，2设点E到平面P F D的 距 离 为 人 则 由VE P F D=VP EFD,15得3皿h=-x-P F F D h =3 2h=6 4,解得.八h 国设直线P E与平面P FD所成角的大小为0,则 PE 1 0,730a rc sin-则直线尸E与平面P/吟 所成角的大小为 1 0.2 1.已知函数/（X）的定义域为 2 1，且 x）的图像连续不间断，若函数 X）满足：对于给定的实数m且0加 2,存在与0,2_叫 使 得/）=/+叫 则 称/（X）具有性质尸（M.（

28、1）已知函数/（劝=方,判 断 X）是否具有性质”5）,并说明理由；（2）求证：任取加e（，2）,函数/（x）=（x 7）2,xe 0，2具有性质P（M；（3）己知函数/（x）=sinG,xe 0,2,若/（x）具有性质尸（附），求，的取值范围.【答案】（1）具有，理由见解析；（2）证明见解析；（3）（m =f（xQ）=/（x0+）【分析】（1）根据新定义可知 2,即.2,代入求修即可进行判断;（2）根据条件验证x。）=%+时机的取值范围即可；（3）考虑（和e（l,2）两种情况,利用反证法即可求出加取值范围.【详解】（1）/（X）具有性质,弓），设/&）=/（%+；）（XO-1）2=（XO-1

29、）22,令 2,则 2,解得*=工，又 封，所以/a）具有性质 弓）；任取/e 0,2-m,令/（x。）=/（x。+加），则（/-1厂=（%+加-1）-厮=+1 0 +1 1因为加3,解得 2，又 机 2,所以 2,当 0机 0即一 +0(3)若“e(0，l ,取 2,则 2 且 2 2,故 x e0,2-，”,r/、.T C I7 1 7 T./,、.7t tT l7 V x.z 7 C )Y IT C.r.、又/(x0)=sin(-2-2-)f(x()+加)=sin(V+)=sm(-)=z(x0)入、型 、2 2 2 2 7 7，所以x)具有性质产(加)；假设存在 e(L2)使得/(x)具有性质P(m),即存在会另 。，2-那,使得/(%)=%+旭),若%=,则与+小(1,2),f(xo)=O f(x+m)0)九%+机)3,f(x0)=f(x0+m)所以假设不成立，所以机e(0,l.【点睛】本题以函数的性质新定义为背景，考查函数基本性质及函数与方程的关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.