2022-2023学年上海市晋元高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

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1、2022-2023学年上海市普陀区高二上学期期末数学试题一、填空题1 .直线/过点P（l,2）且 倾 斜 角 为 则 直 线/的 方 程 为.【答案】x=l【详解】；直线/过点尸（1,2）且倾斜角为y,直线/的方程为故答案为：4 12 .若C C：,则C?0 的值为.【答案】2 0【分析】通过已知得出的值，即可利用公式计算得出答案.【详解】C：o=C：,n _ n1 0!（n-1 0）!-9!（n-9）!即 1。=-9，7?=1 9 ,故答案为：2 0.3 .已知一个圆锥的底面积为乃，侧面积为2 江，则 该 圆 锥 的 体 积 为.【答案】叵3【解析】利用圆的面积公式和圆锥侧面积公式可得到方程

2、组，解方程组求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长，再利用勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积即可.nr1=7i f r =1【详解】设圆锥的底面半径、高、母线长分别为心 九/,则,.解 得,。所以=G .圆锥7vrl=/=2的体积叵.3 3故答案为：叵3【点睛】考查了圆锥的侧面积公式和圆锥体积公式，考查了数学运算能力.4.某校从高一新生中随机抽取了一个容量为2 0 的身高样本，数据从小到大排序如下（单位：c m）：1 5 2,1 5 5,1 5 8,1 6 4,1 6 4,1 6 5,1 6 5,1 6 5,1 6 6,1 6 7,1 6 8,1 6 8,1 6 9,1 7 0,1

3、 7 0,1 7 0,1 7 1,x,1 7 6,1 7 8,若样本数据的8 5 百分位数是1 7 3,则 x的值为.【答案】1 7 5【分析】根据百分位数的意义求解.【详解】第 8 5 百分位数是1 7 3,因为2 0 x 0.8 5 =1 7,所以一=1 7 3,x =1 7 52故答案为：1 7 55.已知直线/的一个方向向量为1 =(1,2,-1),平面a的一个法向量为 =(5,x,3),若3,则实数【答案】-1【分析】通过已知得出d J.,即可利用垂直向量的数量积为零列式求解.【详解】Illa,：.d L n y.小 =5 +2 工 一 3 二 0，解得户T,故答案为：-1.6.如图

4、，已知正三棱柱A B C-A A G 的底面边长为1 cm,高为5 cm,一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达4点 的 最 短 路 线 的 长 为.【答案】屈【分析】曲面最值问题一般都化曲为平，变成两点间线段最短.如图将正三棱柱侧面展开2次,可 知 曲 面 上 的 最 小 值 即 为 对 角 线+5?=而故答案为：/617.设有4 位志愿者随机选择到四个不同的核酸检测点进行服务，每个检测点可接纳多位志愿者，则四 个 核 酸 检 测 点 都 有 志 愿 者 到 位 的 概 率 是.(结果用最简分数表示)【答案】点3【分析】先根据分步乘法原理得4 位志愿者到核酸点位的可能性和四个核酸检

5、测点都有志愿者的情况，再根据古典概型公式求解即可.【详解】由题知，4 位志愿者到核酸点位的可能性共有“=4x 4x 4x 4=256种，其中四个核酸检测点都有志愿者到位的共有桃=A：=24种，所以四个核酸检测点都有志愿者到位的概率是尸m=24总=弓3.n 256 323故答案为：.8.平面直角坐标系内，点4(1,2)方(6,14)到直线/的距离分别为4 和 9,则满足条件的直线/有_ 条.【答案】3【分析】动直线和点的距离不变，可理解为直线是圆的切线，从而利用两圆的位置关系得出两圆公切线的条数，即是直线/的条数.【详解】由已知可把直线/看成是以41,2)为圆心，4 为半径的圆的切线，同时是以8

6、(6,14)为圆心，9 为半径的圆的切线，由于两圆圆心距|阴=J(6-iy +(14-2)2=13=4+9,所以两圆相外切，根据外切的两圆的公切线有3 条可知，满足条件的直线/有3 条.故答案为：3.9.我们知道：c：=c;=;+C：:，相当于从两个不同的角度考察组合数：从 个不同的元素中选出加个元素并成一组的选法种数是C；对个元素中的某个元素A,若A 必选，有c；二：种选法，若 A不选，有七：3 种选法，两者结果相同，从而得到上述等式，试根据上述思想化简下列式子：C；C；+C；C-+C：C：2+=(l k m n,m ji e N).【答案】c%【分析】根据题意，分某女(1左 初4 ,肛 2

7、个元素中选取个数为0,1,2,3,，女讨论求解即可得答案.【详解】根据题意，从+女个不同元素中选出加个元素并成一组的选法种数是C%,若对其中的某女 （1 4 k 加4 ，加、eN）个元素分别选或不选，则k（1 4 k 机W ，肛 e N）个元素一个都没有选，有 种 选 法;有一个元素被选取，有CC；i种选法；有两个元素被选取，有C：C；2种选法；有三个元素被选取，有C：C：T种选法；有氏个元素被选取，有C：C；7种选法；所以C t*=C;C：+C；C：i+C：C：2+C：C；/，（k m-1 =。平行”的充要条件.故选：D【点睛】结论点睛：本题考查充要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）

8、若p是q的必要不充分条件，则夕对应集合是。对应集合的真子集；（2）。是g的充分不必要条件，则。对应集合是q对应集合的真子集；（3）。是4的充分必要条件，则夕对应集合与4对应集合相等；（4）P是4的既不充分又不必要条件，4对的集合与P对应集合互不包含.1 4.设A,B是两个事件，以下说法正确的是（）A.若P（A）+P（8）=1,则事件A与事件8对立B.若P（A）+P（3）=1,则事件A与事件B互斥C.若尸（A 8）=P（A）+P（3）,则事件A与事件8互斥D.若P（A cB）=P（A）P（B）,则事件A与事件8相互独立【答案】D【分析】由互斥事件，对立事件，相互独立事件的定义求解即可【详解】对于

9、A,B：例如抛掷一枚均匀的骰子，记事件A为“出现偶数点”，事件B为“出现1点或2点或3点”，则尸（A）=0.5,尸（8）=0.5,P（A）+尸 =1,但事件A,B既不互斥也不对立，故A,B错误；对于C：在不同的试验下，即使P（A 3）=P（A）+P（3）,也不能说明事件A与事件8一定互斥，故C错误；对于D：根据相互独立事件的定义可知：若尸（A c8）=尸（A）P（8）,则事件A与事件3相互独立，故D正确；故选：D15.记S”为等比数列 叫 的前项和.已知q=-4,4=:,则数列 S,（）A.无最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项C.无最大项，无最小项 D.有最大项，有最小项【答案】D【分析

10、】求出公比/求出5“，然后分析 S,的性质即可.【详解】设公比为4,则=q=_；，当”为偶数时，5，=一|1-5）对应函数为减函数，当 为奇数时，5，=一|（1 +5），对应函数为增函数,Q即 S,!$4 ,Q即 S$3 S$Eu平面A B C D,所以PJ_E.因为P）cA=,所以ED_L平面P A（2）以。为原点，”,3 瓦尸分别为%2轴，建立空间直角坐标系，如图所示:P（0,0,2）,A（2,0,0）,*1,6,0）,PA=（2,0,2）,AB=（-1,0）,CA=（3,-x/3,0）设平面R钻的法向量=（x,y,z）,则n PA=2x-2z=0r，令 y=in AB=-x+/3y=0解

11、得=（6,1,G）,卬LM a2则 一 下p西k一71 9.已知圆 C 经过A（）,l）,B（4,a）（a（）两点.如果AB是圆C 的直径,证明：无论a 取何正实数，圆 C恒经过除4 外的另一个定点，求出这个定点坐标.（2）已知点A 关于直线y=x-3 的对称点A 也在圆C 上，且过点B的直线/与两坐标轴分别交于不同两点M 和 N,当圆C 的面积最小时，试求忸历口四|的最小值.【答案】（1）证明见解析，定点为（4,1）忸 孙 明 L=8【分析】（1）设点P（x,y）是圆C 上任意一点，由AB是圆C 的直径，得 AP.BP=0,从而可求出圆C的方程，即可得出结论；（2）根据题意可得点C 在直线y

12、=x-3 上，要使圆C 的面积最小，则圆C 是以A 4 为直径的圆，从而可求出圆C 的方程，进而可求得B点的坐标，设出直线/的方程，分 别 求 出 的 坐 标，再根据两点间距离公式结合基本不等式即可得解.【详解】（1）设点P（x,y）是圆C 上任意一点，因为A 8是圆C 的直径，所以4P.BP=0,即(x,y_l(x_4,.y_a)=x(x_4)+(y _ l)(y _ a)=0,所以圆C 的方程为:x(x-4)+(y-l)(y-a)=0,则x=4,y=l 时等式恒成立，故定点为（4,1）,所以无论。取何正实数，圆 C 恒经过除A 外的另一个定点，定点坐标为（4,1）；（2）因点4 关于直线y

13、=x-3 的对称点片也在圆C 上，所以点C 在直线y=x-3 上，又圆C 的面积最小，所以圆C 是以A4,直径的圆，设过点A 与直线y=x-3 垂直的直线方程为y=-x+l,由 方 程 组 二:得 C（2,-l）,则 h q =J（2-0）2+（-l-l）2 =2应所以圆C 的方程为（x-2）2 +（y+l=8,当 x=4 时，。=1 或。=-3,又 0,所以 a=l,即 8（4,1）,由题意知直线/斜率存在且不为零，设直线/的方程为丁-1 二4卜-4）,当x=0 时/=1-4氏，当y=0,x=4,k所以I|BN|=J16+16%-J1+.=4亚+*2 4 2 2-p-+2=8，(当且仅当2=

14、5,即化=1时取等号)则当&=1时，怛1mhi=82 0.正一ABC的边长为4,CZ）是AB边上的高，E、尸分别是AC和8 c 边的中点，现将-4 5 C 沿 C。翻折成直一面角A D C B.求证：直线A8 平面D EF；（2）求二面角E-0 F-C 的余弦值;(3)在线段BC上是否存在一点P,使A P L O E?若存在，请指出尸点的位置，若不存在，请说明理由.【答案】证明过程见详解 理(3)存在，靠近B的三等分点【分析】(1)判定线面关系，可以从线线关系寻找，由线段中点，可利用中位线性质的线线平行，再利用线面平行判定定理确定;(2)求二面角，一般利用空间直角坐标系，结合空间向量的数量积解

15、决：先建立空间直角坐标系，再分别计算两平面的法向量，最后利用空间向量数量积求夹角的余弦值，经判断所求二面角为锐角即可得出结论；(3)确定点的位置，一般利用空间直角坐标系求出点的坐标，再明确位置关系.要求点P的坐标，只需列两个独立条件，一个为在直线上，另一个为垂直，利用这两个条件可得点尸的位置，进而求解.【详解】(1)如图，在ABC中，由 尸 分别是AC、BC中点，得EF/AB,又 A3(Z平面O E R E F u平面A B，平面DEF.(2)由题知，A D V C D,平面平面3 O C,且交线为DC,.4)，平面因为 8,OCu平面8 O C,所以 A。，OC,又已知.,.A 2 B 2

16、8两两垂直，以点。为坐标原点，直线&OC、D 4为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，如图所示，则 A(0,0,2),B(2,0,0),C(0,2G,0),E(0,G,l),F(l,G,0),平面C D F的法向量为DA=(0,0,2),设平面E D F的法向量为。=(x,y,z),则DFn=0D E n=0 即x+y/3y=0G y +z=0取”=卜,-6 3),cos=)4MH7二二面角E OF C 的余弦值为叵.7(3)设 P(x,y,0),因为 A P_L)E,贝 U AP.E=6 y-2 =0,;.y=半，又 8P=(x_2,y,0),PC=(-x,2 _ y,0),BP/P C,

17、(x-2)(2 g -y)=-孙,y/3x+y=2y/3,把 =空 代 入 上 式 得X=&,；.BP=!BC,3 3 3 在线段8 c 上存在点尸g,竽,0,即靠近B 的三等分点，使 APLDE.2 1.设各项均为整数的无穷数列%满足q=l,且对所有“eN*,用-|=均成立.(1)求”1+“2+%的所有可能值；(2)若数列%使得无穷数列4、四、%、2 -r 是公差为1 的等差数列，求数列 叫 的通项公式；(3)求证：存 在 满 足 条 件 的 数 列 使 得 在 该 数 列 中 有 无 穷 多 项 为 2021.四，为奇数【答案】(1)-1,3,7；(2)a=_；(3)证明见解析.二支,为偶

18、数2【分析】(1)用列举法写出，,生的值，计算出4+生+/可 得；(2)题意可得出奇数项数列的通项公式，然后由相邻两项差的绝对值求得偶数项.(3)利 用(2)中数列构造一个循环数列，则可证明.【详解】数列各项均为整数，(1)4=1,|%-力=1,则“2=0 或 2,|/一生|=2,“2=。时，%=-2 或 2,%=2时，%=。或 4,所以q+4+%=-1,3,3,7,即可能值为-1,3,7；2)由已知则|%-%=2-1,|%+1-02“|=2,即=-1,同“一（+1）|=2,所以%,=1-，但，为奇数所以4=_2:士二,为偶数2（3）由（2）可知存在一个数列 奇数项为从1 开始的连续自然数，易

19、知4M=2 0 2 1,然后从第4 0 4 1 项开始，构造奇数项为公差为一1 的等差数列，（如以液=心阳+4 0 4 1,包冈=%（乂 2 一 4 0 4 2 =2 0 2 0 ）,8 0 8 3 n这 样 由（2）知，当=2 Z+1,ZEZ,女 之2 0 2 0 时，an=-,=2 A,Ze Z 时，2 2 0 2 1 时，一“=一 解得?=8（）82+,则当奇数取至1 时，重复第一段的数列，得到一个周期数列，在此周期数列中存在无穷多项为2 0 2 1.即证.【点睛】关键点点睛：本题考查数列递推公式的应用，数列通项公式的求解，解题关键是通过（2）构造一个循环数列，以此解决出现无穷多项为2 0 2 1 的数出现的问题.第（3）小题难度较大.