2022年全国新高考II卷数学试题（解析版）.pdf

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1、2022年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(新 高 考 全 国 n 卷)数 学 注 意 事 项：i.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上.2.答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑.如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号.回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上.写 在 本 试 卷 上 无 效.3.考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回.

2、一、选 择 题：本 题 共 8小 题，每 小 题 5分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.己 知 集 合 人=-1,1,2,4,8=肛 一 1区 1,则 4 n 8=()A.-1,2 B.1,2 C.1,4 D.-1,4【答 案】B【解 析】【分 析】求 出 集 合 8 后 可 求【详 解】3=x O x 2,故 A n B=l,2,故 选：B.2.(2+2i)(l-2i)=()A.-2+4i B.-2-4i C.6+2i D.6-2i【答 案】D【解 析】【分 析】利 用 复 数 的 乘 法 可 求(2+2i)(l

3、-2i).【详 解】(2+2i)(l-2i)=2+4-4i+2i=6-2i,故 选：D.3.图 1是 中 国 古 代 建 筑 中 的 举 架 结 构，A4,6 4,是 桁，相 邻 桁 的 水 平 距 离 称 为 步，垂 直 距 离 称 为 举，图 2是 某 古 代 建 筑 屋 顶 截 面 的 示 意 图.其 中。是 举，是 相 等DD.C C.BB AA.的 步，相 邻 桁 的 举 步 之 比 分 别 为 帚=O S；U=K，焉=6，6/=勺.已 知 4，&，匕 成 公 差 为。的（JU CfJj D/等 差 数 列，且 直 线 Q 4 的 斜 率 为 0.725,则%=（）A.0.75 B.

4、0.8 C.0.85 D.0.9【答 案】D【解 析】【分 析】设。2=OC1=c g=%=1,则 可 得 关 于%3的 方 程，求 出 其 解 后 可 得 正 确 的 选 项.【详 解】设 O R=G=CB=BA=1,则 C G=k2,AA,=%,依 题 意,有 占-0.2=K，女 30.1=内,且 DR+CCj+BB+AA|OD+DC,+CB,+BA,=0.725,所 以”=0 7 2 5,故 2。.9,故 选：D4.已 知 向 量 4=(3,4),B=(l,(),c=a+/5,若=,贝 V=()A.6 B.-5 C.5 D.6【答 案】C【解 析】分 析】利 用 向 量 的 运 算 和

5、向 量 的 夹 角 的 余 弦 公 式 的 坐 标 形 式 化 简 即 可 求 得,、9+31+16【详 解】解：=(3+r,4),cosM,G=cos。,*,即 一 可 一 3+1同,解 得 f=5,故 选：C5.有 甲、乙、丙、丁、戊 5 名 同 学 站 成 一 排 参 加 文 艺 汇 演，若 甲 不 站 在 两 端，丙 和 丁 相 邻，则 不 同 排 列 方式 共 有()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 捆 绑 法 处 理 丙 丁，用 插 空 法 安 排 甲，利 用 排 列 组 合 与 计 数 原 理 即 可 得 解【详 解】因

6、 为 丙 丁 要 在 一 起，先 把 丙 丁 捆 绑，看 做 一 个 元 素，连 同 乙，戊 看 成 三 个 元 素 排 列，有 3!种 排 列 方 式；为 使 甲 不 在 两 端，必 须 且 只 需 甲 在 此 三 个 元 素 的 中 间 两 个 位 置 任 选 一 个 位 置 插 入，有 2 种 插 空 方 式；注 意 到 丙 丁 两 人 的 顺 序 可 交 换，有 2 种 排 列 方 式，故 安 排 这 5 名 同 学 共 有：3!x2x2=24种 不 同 的 排 列 方 式，故 选：B6.若$皿(+/?)+3$(&+/?)=2夜 85(。+?皿 夕，则()A.tan(-)=l B.ta

7、n(a+=1C.tan(a-/)=-l D.tan(cr+/?)=-l【答 案】C【解 析】【分 析】由 两 角 和 差 的 正 余 弦 公 式 化 简，结 合 同 角 三 角 函 数 的 商 数 关 系 即 可 得 解.【详 解】由 已 知 得：sin a cos/3+cos a sin 尸+cos a cos A 一 sin a sin f3-2(cos a-sin a)sin 4，即：sin a cos-cos sin+cos a cos+sin a sin/7=0,即：sin(a-4)+cos(a-4)=0,所 以 tan(a-4)=T,故 选：C7.已 知 正 三 棱 台 的 高 为

8、 1,上、下 底 面 边 长 分 别 为 3后 和 4百，其 顶 点 都 在 同 一 球 面 上，则 该 球 的 表 面 积 为()A.l(X)n B.128TI C.14471 D.1927r【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 题 意 可 求 出 正 三 棱 台 上 下 底 面 所 在 圆 面 的 半 径 斗 4,再 根 据 球 心 距，圆 面 半 径，以 及 球 的 半径 之 间 的 关 系，即 可 解 出 球 的 半 径，从 而 得 出 球 的 表 面 积.【详 解】设 正 三 棱 台 上 下 底 面 所 在 圆 面 的 半 径 K G,所 以 2 4=*,2心=-5 _，即 4=3

9、,=4,sin 60 sin 60设 球 心 到 上 下 底 面 的 距 离 分 别 为 4,4，球 的 半 径 为 R，所 以 4=,火 29,4=J/?2_16,故 同 一 囚=1或 4+4=1，即=1或,后 _ 9+,厉 2_6=,解 得 R?=25符 合 题 意，所 以 球 的 表 面 积 为 S=4 TIR2=ioo兀.故 选:A.228.已 知 函 数 定 义 域 为 R,且/(x+y)+/(x-y)=/(x)/(y),/(l)=l,则 工/(%)=()*=iA.-3 B.-2 C.0 D.1【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 题 意 赋 值 即 可 知 函 数/(x)的 一

10、个 周 期 为 6,求 出 函 数 一 个 周 期 中 的/。),/(2),/(6)的 值，即 可 解 出.【详 解】因 为/(x+y)+/(x_y)=/(x)y),令 x=l,y=0 可 得,2/(1)=/(1)/(0),所 以/(0)=2,令 x=0 可 得，y)+-y)=2 y),即/()=/(一 y),所 以 函 数/(x)为 偶 函 数，令 y=1 得,/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即 有 x+2)+/(x)=/(x+l),从 而 可 知/(x+2)=-/(x-l),/(x-l)=-/(x-4),故 f(x+2)=/(x-4),即%)=/(%+6),所 以

11、函 数/(%)一 个 周 期 为 6.因 为“2)=/-0)=1-2=-1,3)=/(2)-1)=1 1=2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1,/(6)=/(0)=2,所 以 一 个 周 期 内 的 1)+2)+6)=0.由 于 22除 以 6余 4,22所 以/。)=/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=1-1-2-1=一 3.k=故 选:A.二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5分，部 分 选 对 的 得 2 分

12、，有 选 错 的 得 0 分.9.己 知 函 数/(x)=sin(2x+e)(0。兀)的 图 像 关 于 点 中 心 对 称，则()A.f(x)在 区 间(0,工 单 调 递 减(兀 1 1兀、B.f(x)在 区 间-7；,二 有 两 个 极 值 点 I 12 12)7兀 C.直 线 无 二 一 是 曲 线)，=/*)的 对 称 轴 6D.直 线 y=x 是 曲 线 y=f(x)的 切 线 2【答 案】AD【解 析】【分 析】根 据 三 角 函 数 的 性 质 逐 个 判 断 各 选 项，即 可 解 出.【详 解】由 题 意 得：/I l=sinl+1=0,所 以 5+夕=，攵 eZ,4兀 即

13、 夕=-F kit,Z Z,327r 又 0 e 兀，所 以 攵=2 时，?=,故/（x）=sin 2%+2兀 对 A,当,-2兀 时，2.X H-32兀 3兀 T T,由 正 弦 函 数 y=sin u 图 象 知 y=f(x)在，)上 是 单 调 递 减;对 B,当 xe3 c 2兀 时,2x+G71 1 17T 71 5 7125T，由 正 弦 函 数 y=sin 图 象 知 y=/(x)只 有 1个 极 值 点，由 2x+=,解 得 x=，即=为 函 数 的 唯 一 极 值 点;3 2 12 1277r 27r 77r 77r对 C,当=一 时，2x+=3兀，/()=0,直 线 x=不

14、 是 对 称 轴;6 3 6 62兀 对 D,由 V=2cos2x+：）=-l得：cos（2x+：）=2 3解 得 2x+2兀=27r+2航 或 2x+2 兀=4 T I+2E,ZeZ,3 3 3 3JI从 而 得：尤=也 或 工=+E#E Z,3所 以 函 数 y=/（x）在 点（，日）处 的 切 线 斜 率 为 k=4 句=2 cosy=-1,切 线 方 程 为：y 亭=一 0 一 0）即 y=一 无.故 选：AD.10.已 知 0 为 坐 标 原 点，过 抛 物 线 C:y2=2px（0 O）焦 点 尸 的 直 线 与 C 交 于 A,B 两 点，其 中 A 在 第 一 象 限，点 M（

15、P，0）,若 IAFHAMI,则（）A.直 线 A 3 的 斜 率 为 2指 B.OB=OFC.|AB|4 1 OF|D.Z O A M+Z O B M S0【答 案】ACD【解 析】【分 析 1 由|Aq=|40|及 抛 物 线 方 程 求 得 A（当,当），再 由 斜 率 公 式 即 可 判 断 A 选 项；表 示 出 直 线 A B 的 方 程，联 立 抛 物 线 求 得 以 与,-冬），即 可 求 出|。8|判 断 B 选 项；由 抛 物 线 的 定 义 求 出|A8|=答 即 可 判 断 C 选 项；由 次.丽 0，加.施 0 求 得 NAO3,为 钝 角 即 可 判 断 D 选 项

16、.【详 解】对 于 A,易 得 F（0）,由 同=|40|可 得 点 A 在 的 垂 直 平 分 线 上，则 A 点 横 坐 标 为卜，一 3 p,2-T代 入 抛 物 线 可 得 V=2p.,=g p 2,则 A（学,殍），则 直 线 AB的 斜 率 为 3 2 T-2L 1 P对 于 B,由 斜 率 为 2n 可 得 直 线 A B 的 方 程 为=与 后 37+2，联 立 抛 物 线 方 程 得 2瓜 A正 确;y2 p y p2=Q设 8（X 1，x）,则 巫+则 y=血，代 入 抛 物 线 得 2 6 3=2p-，解 得 S 号 B错 误:对 于 C,由 抛 物 线 定 义 知：|4

17、 8|=”+0+=号 2=4|。同，C正 确;对 于 D,砺.丽=（米 孚）.耳,一 争 当 与 卜 牛 0,角，又 丽*（号-争 舍 卜 小 钝 角，则 NAO8为 钝 0，则 NA7WB 为 又 ZA O B+N A B+NOAM+N O B M=360，则 NOAM+NO8M 1 8 0，D 正 确.故 选：ACD.1 1.如 图，四 边 形 ABC。为 正 方 形，ED_L平 面 ABC。，FB ED,AB=E D=2 F B,记 三 棱 锥 E-A C D,F-A B C,尸 一 A C E的 体 积 分 别 为 片,匕,匕，则（）E A,匕=2%B.%=XC.%=h+%D.2V,=

18、3V,【答 案】CD【解 析】【分 析】直 接 由 体 积 公 式 计 算 匕,连 接 3。交 A C于 点 M,连 接 由 匕=%-EFM+%-EFM计 算 出 匕，依 次 判 断 选 项 即 可.设 AB=EO=2所=2 a,因 为 即，平 面 ABC。，F B E D,则 吊=；中 电 皿=：2。q（2。）2=4 3,K=1-F B-SiASC=1.-（2 a）2=|3,连 接 BO 交 AC 于 点 M,连 接 E M,F M,易 得 B D 上 AC,又 即，平 面 ABC。，A C u 平 面 ABC。，则 匹，A C,又 EDCBD=D,ED,B D u 平 面 B D E F，

19、则 AC_L平 面 BO户，又 B M=D M=B D=&i,过 F 作 R J L D E 于 G,易 得 四 边 形 3）G尸 为 矩 形，则 2F G=B D=2ypia,E G=a,则 EM=3a,EM?+FM?=EF2，则 S M=3 E M F M=当，AC=2，则 匕=%-E FM+Z-E FM=；A C S.M=2/,则 2匕=3匕，匕=3%,匕=匕+匕，故 A、B 错 误;C、D 正 确.故 选：CD.1 2.若 x,y 满 足 V+V-x y=1,则（）A.x+y-2C.jc+y2【答 案】BC【解 析】【分 析】根 据 基 本 不 等 式 或 者 取 特 值 即 可 判

20、断 各 选 项 的 真 假.故 选：BC.【详 解】因 为 竺 2 上 直(a,bl R),由 jI 2)2,(r.v2(x+y)1=3盯 W3,解 得 一 2 x+y 2,、2,x=y=l时，x+y=2 f所 以 A 错 误，B 正 确；2,2由 f+y 2 孙=可 变 形 为 任+,2)_=孙 2 2 _号，所 以 C 正 确；因 为 无 2+丁 一 砂=1变 形 可 得 卜 一 楙)+(y 2=,设 1 2x=cos0+-j=sin O.y-j=sin 0,因 此 x2+y2=cos2+sin2+-=rsincos=l+=sin3 V3 G=g+|sin(2e-2)-|,2,所 以 当

21、冗=走,=_二 错 误.广+卜 2 一 孙=1可 变 形 为，当 且 仅 当 x=y=-l时，x+y=-2,当 且 仅 当 解 得 f+y 2 4 2,当 且 仅 当 x=y=l时 取 等 x-=cos0,-y=sin。，所 以 2夕 cos 2。43 3叵 时 满 足 等 式，但 是 f+V 不 成 立，所 以 D3三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分.13.已 知 随 机 变 量 X服 从 正 态 分 布 N（2,c/）,且 尸（2 2.5）=7【答 案】0.14#.50【解 析】【分 析】根 据 正 态 分 布 曲 线 的 性 质 即 可 解 出.【详

22、 解】因 为 X N（2,），所 以 P（X 2）=0.5,因 此 P X 2.5）=P（X 2）-P（2 X 2.5）=0.5-0.36=0.14.故 答 案 为：（）.14.14.曲 线 y=In|x|过 坐 标 原 点 的 两 条 切 线 的 方 程 为,.【答 案】.y=x.y=-xe e【解 析】【分 析】分 x 0和 x 0 两 种 情 况，当 x 0时 设 切 点 为（无 o，lnx）,求 出 函 数 的 导 函 数，即 可 求 出 切 线 的 斜 率，从 而 表 示 出 切 线 方 程，再 根 据 切 线 过 坐 标 原 点 求 出,即 可 求 出 切 线 方 程，当 x 0时

23、 y=l n x,设 切 点 为（%0，历%），由?=,，所 以 所 以 切 线 方 程 为 X/y-ln x0=（x-x0）,*0又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以 lnx=（一%）,解 得 x 0=e,所 以 切 线 方 程 为 y-l=（x e）,即 玉）e1y=e当 x 0时 y=ln（-x）,设 切 点 为（.I-%）,由 y=，所 以 所 以 切 线 方 程 为 X Xy-ln（x j=（x-x j,又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以-ln（一$）=（一%），解 得 玉=-e,所 以 切 线 方 程 为 y-l=_L（x+e）,即 再-e1y=一 x；e故 答 案 为：y=

24、！x；y-xe e15.设 点 4 2,3）,3（）,“），若 直 线 A S 关 于 对 称 直 线 与 圆（x+3+（y+2）?=1有 公 共 点，则。的 取 值 范 围 是 _.1 3【答 案】【解 析】【分 析】首 先 求 出 点 A 关 于 对 称 点 A的 坐 标，即 可 得 到 直 线/的 方 程，根 据 圆 心 到 直 线 的 距 离 小 于 等 于 半 径 得 到 不 等 式，解 得 即 可；【详 解】解：A（2,3）关 于 y 对 称 的 点 的 坐 标 为 4（2,2a-3）,3（0,。）在 直 线 y 上，所 以 所 在 直 线 即 为 直 线/,所 以 直 线/为 y

25、=3=x+a,即（a 3）x+2y-2a=0；-2圆。:（1+3）2+（2）2=1,圆 心。（一 3,-2）,半 径 r=l，-3（a-3-4-2a依 题 意 圆 心 到 直 线/的 距 离 d=-广=1,7（-3）+227 91 3 1 3 一 即（5-5。）-（。一 3）+22,解 得 即:-1 3故 答 案 为：3 2J16.已 知 直 线/与 椭 圆 三+汇=1在 第 一 象 限 交 于 A,B 两 点，/与 x轴，y轴 分 别 交 于 M,N 两 点，且 6 3|M A H NB|,1 M N|=273,则/的 方 程 为.【答 案】x+夜 y-2 0=0【解 析】【分 析】令 的

26、中 点 为 E，设 A（%，x）,B（w，%），利 用 点 差 法 得 到 自 设 直 线 AB-.y=kx+m,k 0,求 出 M、N 的 坐 标，再 根 据|MN|求 出 左、加，即 可 得 解；【详 解】解：令 A 3 的 中 点 为 E,因 为|M4|=W,所 以设 A（X1,y），2 23（孙%），则 工+里=1，6 3 6 31所 以 立 _ 4+区 _ 立=0,即(%-)(-+)J x+/)()、)一 06 6 3 3 6 3所 以?一%?=,即%女=一 _ 1,设 直 线：），=履+加，左 0,（%-）（内+）2 2rn令 x=0得 丁=机，令 丁=。得 1=一 一，即 Mk

27、加，N（Q,m）,所 以 嗫 9m即 Zx 一=一 1，解 得 k=力 或 k=R（舍 去），_m_ 2 2 22k又|跖 V|=2 j L 即|MN|=.+（血 或=,解 得 m=2 或 加=2（舍 去）,所 以 直 线 AB：y=-券 x+2，即 x+0 y 2 0=O；故 答 案 为：x+夜 y-2 后=0四、解 答 题：本 题 共 6小 题，共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17.已 知 q 为 等 差 数 列，2 是 公 比 为 2的 等 比 数 列，且%一 4=。3 一 4=仇-4（1）证 明：%=瓦；（2）求 集 合 树 a=a,

28、“+q,l 24500 中 元 素 个 数.【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）9.【解 析】【分 析】（1）设 数 列,的 公 差 为 d,根 据 题 意 列 出 方 程 组 即 可 证 出:（2）根 据 题 意 化 简 可 得 加=2-2,即 可 解 出.【小 问 1详 解】设 数 列 6,的 公 差 为 d,所 以,%+d 2b=%+2d-物 4+d-2b、=8Z?j(q+3d)，即 可 解 得，瓦=%=4,2所 以 原 命 题 得 证.【小 问 2 详 解】由 Q)知，4=4=5,所 以 4=a,“+4。4 X2*T=4+(?-1+4,即 2*T=2m，亦 即/n=2*-2e 1

29、,500,解 得 2 4 女 410,所 以 满 足 等 式 的 解 女=2,3,4,（），故 集 合 kbk=%+q,l W m W 5 0 0 中 的 元 素 个 数 为 10-2+1=9.18.记 AABC的 内 角 4,B,C 的 对 边 分 别 为“，b,c,分 别 以 a,b,c为 边 长 的 三 个 正 三 角 形 的 面 积 依 次 为 S，S2，S”己 知 H S,+S3=,sinB=L.2 3（1）求 A/WC 的 面 积；（2）若 sin AsinC=Y 2，求 b.3【答 案】（1）亚 8 I【解 析】【分 析】（1）先 表 示 出 S2,S3,再 由 S S2+S3=

30、*求 得+02-从=2,结 合 余 弦 定 理 及 平 方 关 系 求 得 aC,再 由 面 积 公 式 求 解 即 可;(2)由 正 弦 定 理 得 上=,即 可 求 解.sin-B sin A sin C【小 问 1详 解】由 题 意 得 E=L Y 也=3。2 s 3 s 3 c 2,则 2 2 4 2 4 3 4&n,v 2 2,73 2 _ 331-3)+3飞=-c i-b H-c=-,2 3 4 4 4 22 2 1 2即 十。？=2，由 余 弦 定 理 得 cosB=+、，整 理 得 accosB=l,则 cos8 0,又 lac,n 1sin 8=一，3贝|J cos B=J

31、l=2，ac-=3近,则 S=，acsin 8=；Y（3）3 cos 5 4 极 2 8小 问 2 详 解】372由 正 弦 定 理 得：b a c 则 一 b2 a c.a c.=卡 A=二 9，则 sin B sin A sinC sin-B sin A sin C sin Asin C V2 4石 b 3-3.八 1-=一,b=sm B.sin B 2 2 219.在 某 地 区 进 行 流 行 病 学 调 查，随 机 调 查 了 100位 某 种 疾 病 患 者 的 年 龄，得 到 如 下 的 样 本 数 据 的 频 率 分 布 直 方 图：（1）估 计 该 地 区 这 种 疾 病 患

32、 者 的 平 均 年 龄（同 一 组 中 的 数 据 用 该 组 区 间 的 中 点 值 为 代 表）;（2）估 计 该 地 区 一 位 这 种 疾 病 患 者 的 年 龄 位 于 区 间 20,70）的 概 率；（3）已 知 该 地 区 这 种 疾 病 的 患 病 率 为 0.1%,该 地 区 年 龄 位 于 区 间 40,50）的 人 口 占 该 地 区 总 人 口 的16%.从 该 地 区 中 任 选 一 人，若 此 人 的 年 龄 位 于 区 间 40,50),求 此 人 患 这 种 疾 病 的 概 率.患 者 的 年 龄 位 于 各 区 间 的 频 率 作 为 患 者 的 年 龄 位

33、 于 该 区 间 的 概 率，精 确 到 0.0001).【答 案】(1)47.9岁；(2)0.89；(3)0.0014.【解 析】【分 析】(1)根 据 平 均 值 等 于 各 矩 形 的 面 积 乘 以 对 应 区 间 的 中 点 值 的 和 即 可 求 出；(2)设 4=一 人 患 这 种 疾 病 的 年 龄 在 区 间 20,70),根 据 对 立 事 件 的 概 率 公 式 P(A)=出；(3)根 据 条 件 概 率 公 式 即 可 求 出.【小 问 1详 解】平 均 年 龄 元=(5 x 0.001+15 x 0.002+25x 0.012+35x().017+45x 0.023+

34、55x0.020+65x0.017+75x0.006+85xO.(X)2)xlO=47.9(岁).【小 问 2 详 解】设 4=一 人 患 这 种 疾 病 的 年 龄 在 区 间 20,70),所 以 P(A)=l-P(A)=l-(0.001+0.002+0.006+0.002)x10=1-0.11=0.89.【小 问 3 详 解】设 8=任 选 一 人 年 龄 位 于 区 间 40,50),C=任 选 一 人 患 这 种 疾 病,则 由 条 件 概 率 公 式 可 得 P(C=.=一。231。=0 M 0 2 3=0 00M375。0.0014P(B)16%0.1620.如 图，P。是 三

35、棱 锥 P-A 3 C 的 高，PA=P B，A B V A C,E 是 PB的 中 点.(以 样 本 数 据 中 l-P(A)即 可 解(1)证 明：0/平 面 P A C；(2)若 NABO=NC8 O=30,PO=3,94=5,求 二 面 角 C 的 正 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析【解 析】【分 析】（1）连 接 B。并 延 长 交 AC于 点。，连 接 0 4、P D，根 据 三 角 形 全 等 得 到。4=再 根 据 直 角 三 角 形 性 质 得 到 4 0=0 0,即 可 得 到。为 3。的 中 点 从 而 得 到 O七 PO，即 可 得 证；（2）过 点 A作

36、Az Q P，如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系，利 用 空 间 向 量 法 求 出 二 面 角 的 余 弦 值，再 根 据 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 计 算 可 得；【小 问 1详 解】证 明：连 接 8 0 并 延 长 交 AC于 点。，连 接。4、P D，因 为 P 0 是 三 棱 锥 P ABC的 高，所 以 PO_L平 面 ABC,A O,B O u平 面 ABC,所 以 P O L A。、P O 1 B O,又 PA=P B，所 以 尸。4 M P 0 B,即。4=0 B,所 以 NQ4B=NO84,又 A 8 L A C,即 NBAC=9 0,所 以 N

37、OW+NO W=90,N08A+NOZM=90,所 以 NOZM=NQ4）所 以 4 0=0 0，即 AO=DO=Q B,所 以。为 BO的 中 点，又 E 为 PB的 中 点,所 以 OE/PD,又 0 E Z 平 面 B4C,P D u平 面 PAC，所 以 OE 平 面 P4C【小 问 2详 解】解：过 点 A作 Az OP,如 图 建 立 平 面 直 角 坐 标 系,因 为 PO=3,AP=5,所 以。4=，4尸 02=4,y又 NO5A=N O 3C=3 0,所 以 3 0=2014=8,则 A=4,AB=473-所 以 AC=12,所 以 0（26,2,0）,B（4百,0,0）,网

38、 2点 2,3）,C（0,12,0）,所 以 则 荏=3后 1,；,AB=(4,0,0),AC=(0,12,0),-n-AE-36 x+y+z=0设 平 面 A E S的 法 向 量 为=(x,y,z),贝 卜 2,令 z=2，则 丁=-3,x=0,n-A B=4s/3x=0所 以 3=(0,3,2)；,、in-AE-3y/3a+b+c-0 厂 设 平 面 AEC的 法 向 量 为 根=c),则 0力 0)的 右 焦 点 为 尸(2,0),渐 近 线 方 程 为 丁=氐.(1)求 C 的 方 程；(2)过 尸 的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 A,B 两 点，点 P(

39、x，y J,Q，必)在 C 上，且 M w o,y 0.过 P且 斜 率 为-Ji的 直 线 与 过。且 斜 率 为 G 的 直 线 交 于 点 M.从 下 面 中 选 取 两 个 作 为 条 件，证 明 另 外 一 个 成 立：M 在 A8 上；P Q/A B.|M4|=|MB|.注：若 选 择 不 同 的 组 合 分 别 解 答，则 按 第 一 个 解 答 计 分.2【答 案】(1)Y 匕=3(2)见 解 析【解 析】【分 析】(1)利 用 焦 点 坐 标 求 得。的 值，利 用 渐 近 线 方 程 求 得。力 的 关 系，进 而 利 用。，仇 c 的 平 方 关 系 求 得 6 的 值，

40、得 到 双 曲 线 的 方 程；(2)先 分 析 得 到 直 线 A B 的 斜 率 存 在 且 不 为 零，设 直 线 AB 的 斜 率 为 匕 次)，由 等 价 分 8女 2析 得 到 由 直 线 和 Q W 的 斜 率 得 到 直 线 方 程，结 合 双 曲 线 的 方 程，两 点 间 距 离 公 式 K-D得 到 直 线 P Q 的 斜 率 机=也，由 PQ/A6等 价 转 化 为 6 o=3x0,由”在 直 线 A 6 上 等 价 于 0ky0=k2(x0-2),然 后 选 择 两 个 作 为 已 知 条 件 一 个 作 为 结 论，进 行 证 明 即 可.【小 问 1详 解】右 焦

41、 点 为 歹(2,0),渐 近 线 方 程 为 y=Jir,.g=G,.b=G a，c2 a2+b2=4a2 4 fl=1 b-S-2，C 的 方 程 为：2-匕=1；3【小 问 2 详 解】由 已 知 得 直 线 P Q 的 斜 率 存 在 且 不 为 零，直 线 A B 的 斜 率 不 为 零，若 选 由 推 或 选 由 推：由 成 立 可 知 直 线 A B 的 斜 率 存 在 且 不 为 零；若 选 推，则 M 为 线 段 A 8 的 中 点，假 若 直 线 A B 的 斜 率 不 存 在，则 由 双 曲 线 的 对 称 性 可 知 M 在 工轴 上，即 为 焦 点 产，此 时 由 对

42、 称 性 可 知 尸、。关 于 X轴 对 称，与 从 而 已 知 不 符;总 之，直 线 A 6 的 斜 率 存 在 且 不 为 零.设 直 线 A B的 斜 率 为 屋 直 线 A 8 方 程 为 y=k（x-2）,则 条 件 在 AB t,等 价 于%=人（七 一 2）0 0 0=炉&一 2）；两 渐 近 线 的 方 程 合 并 为 3x2-/=0,联 立 消 去 y并 化 简 整 理 得：（火 2-3卜 2一 4 F 工+4公=。设 4（玉,）,8（毛,为）,线 段 中 点 为 N（/,%），则/=玉 爱 二 芸 寺 外 人 区-2）=言 设 M（%o，%），则 条 件 I=I 等 价

43、于（/_ 工 3）2+（%_%）2=（/_）2+（为 _%）2，移 项 并 利 用 平 方 差 公 式 整 理 得：（玉 一 项）2%一（电+*4）+（%-M）2%一（+%）=，2/-（%3+*4）+%”2%-（必+”）=。,即 与 一 4+左（一%）=0,X3 X48左 2即 x0+6=fK 3由 题 意 知 直 线 P M 的 斜 率 为,直 线 Q M的 斜 率 为 百，由 y%=-V3（毛 一 毛），%一%=6（%一），y-%=（%,+%-2x0）,所 以 直 线 P Q 的 斜 率 加=%=_ 6（%+2%）,芭-x2 x1-x2直 线 PM:y=-/3（x-x0）+y0,即 y=%

44、+疯 一 6%,代 入 双 曲 线 的 方 程 3/-,2 一 3=0,即（、以+丁）（、以 一 耳=3中，得：（为+瓜 0）2瓜-（%+氐 0）=3,解 得 P的 横 坐 标：X=一+%+百%），3/.条 件 P Q/A B 等 价 于 m=&o Bo=3/，综 上 所 述：条 件 M 在 A 3 上，等 价 于 双)=k2(x()-2)；条 件 P Q/A B 等 价 于 ky0=3x0；o 7.2条 件 I人 凹=忸 闾 等 价 于 X。+之=；k 3选 推：2 k2 8 小 由 解 得：Xo=声 3，.x()+6 o=4 X o=+L，成 立；选 推：2k2 6k2由 解 得：0=-,

45、k2-3 a-3机=3%0，；成 立；选 推：2k2 6k2 6由 解 得：/=二,ky0=-,.-.x0-2=-,-3 k2-3 k2-3：.仅)=X(七 一 2),二 成 立.22.已 知 函 数 f(x)=XQa x-e.(1)当 a=l时，讨 论/(x)的 单 调 性；(2)当 0 时，/(%)ln(n+l).【答 案】(1)/(X)的 减 区 间 为(YO,0),增 区 间 为(0,+8).1(2)a,时 题 设 中 的 不 等 式 不 成 立，再 就 结 合 放 缩 法 讨 论(X)符 号，最 后 就 结 合 放 缩 法 讨 论/z(x)的 范 围 后 可 得 参 数 的 取 值

46、范 围.(3)由(2)可 得 对 任 意 的/1恒 成 立，从 而 可 得 之(+1)一 用“7三 一 对 任 意 的 eN*t Jn+n恒 成 立，结 合 裂 项 相 消 法 可 证 题 设 中 的 不 等 式.【小 问 1详 解】当 a=l 时，/(x)=(x-l)ev,则 r(x)=xe”,当 x 0 时，/x)0，故/(x)的 减 区 间 为(,0),增 区 间 为(0,欣).【小 问 2 详 解】设 M%)=xe-e+L 则(0)=0,又(力=(1+0)1一 6”,设 g(x)=(l+冰)十 e”,则 g(x)=(2a+a2x)e，-e”,若 则 g(0)=2a l0,因 为 g(x

47、)为 连 续 不 间 断 函 数，故 存 在 与 e(0,+8),使 得 Vxe(O,Xo),总 有 gx)0,故 g(x)在(0，%)为 增 函 数，故 g(x)g(0)=。，故 力 在(0,不)为 增 函 数，故(x)(O)=T,与 题 设 矛 盾.若 0a3,则(x)=(1+dx)ea(-e=eav+,n(1+ar)-e下 证：对 任 意 x 0,总 有 ln(l+x)x成 立，证 明:设 S(x)=ln(l+x)-x,故 S(x)=-1=0,、)1+x l+x故 S(x)在(0,+co)上 为 减 函 数，故 S(x)S(O)=O 即 ln(l+x)x成 立.由 上 述 不 等 式 有

48、*+网 岗-e*=e2ttv-ev 故(x)W0总 成 立，即/i(x)在(0,+8)上 为 减 函 数，所 以 当 时，有(x)=eav-ev+axe(,x 1-1+0=0,所 以 人(%)在(0,+8)上 为 减 函 数，所 以/?(%)0,总 有“成 立，2 AC-C 十 1 1,产=e，,x=2Inr,I-c故 2/In,r 1即 21nz1恒 成 立.t所 以 对 任 意 的 c N 有 21n整 理 得 到：鹿(几+l)-ln v,Jn故 行+,1 H-F,1 In2-In 1+In3-In24-F+2 J/+”ln(rt+l)-ln=ln(+l),故 不 等 式 成 立.【点 睛】思 路 点 睛：函 数 参 数 的 不 等 式 的 恒 成 立 问 题，应 该 利 用 导 数 讨 论 函 数 的 单 调 性，注 意 结 合 端 点 处 导 数 的 符 号 合 理 分 类 讨 论，导 数 背 景 下 数 列 不 等 式 的 证 明，应 根 据 已 有 的 函 数 不 等 式 合 理 构 建 数 列 不 等 式.