2022-2023学年广东省湛江市高二年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

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1、2022-2023学年广东省湛江市高二上学期期末数学试题一、单选题1.已 知 集 合 =付*1，8=小 2 ,则小=（）A.（一 8,2）B.（，1）C.。2）D.（1，1 ）【答案】C【分析】求出集合4再根据交集的运算即可得出答案.【详解】解：=M gx l=T 0 x =；x(gx 2 x 2)x 2解得二 衿【点睛】本题主要考查点面距离的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4 .设i为虚数单位，。口，“。=1”是“复数 一了一口是纯虚数”的()条件A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简z,

2、再根据纯虚数的定义求出。的值，利用充分条件和必要条件得定义即可判断._ 且_ _1 i -2 1 +i【详解】复数 2 1-/2 0-0(1+0 2 2 2 5是纯虚数，则/-1 =0,解得a=l,一 上_1 _故，a=1，是“复数z 一 下 一 匚7是纯虚数”的充分不必要条件,故选：A.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轨复数，解题中要注意把i的事写成最简形式.5 .已知/(x)=s i n x c o s x,则/G)的最小值与最小正周期分别是()A.2 ,

3、兀 B.T,兀 C.2 ,2兀 D.-2,2无【答案】A【分析】根据正弦的二倍角公式化简，即可根据周期公式求解出周期，由正弦函数的性质求出最小值.f(x)=s i n x c o s x =s i n 2 x-=n【详解】2 ,故最小正周期为2 ,最 小 值 为2.故选：A.体重6位：k g)6.目前，国际上常用身体质量指数B MI身同黑位：m?)来衡量人体胖瘦程度以及是否健3康.某公司对员工的BM I值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为前；女员工中，肥胖者2的 占 比 为 丽，已知公司男、女员工的人数比例为2：1,若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（）3A.W0【答案

4、】D9B.2 0 03 3C.5 D.4【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.【详解】设公司男、女员工的人数分别为2 和 ，c 3 3”2 1 7 X-=-则男员工中，肥胖者有 1 0 0 50 人，2 nn x =女员工中，肥 胖 者 有 1 0 0 50 人，设任选一名员工为肥胖者为事件A,肥胖者为男性为事件8,3 3 n贝产尸叱耍V,1尸 网4）=则P(A B)=5Q =3P(A)-2 _ _ 475故选：D.x2 V2 5 H z-1(h 0)7.。是椭圆。b2 上的一点,anZP A F=-2,则椭圆的离心率0 为()也 6-1A.

5、2 B.2A 为左顶点，尸为右焦点，PF x轴，若C.3 D.2【答案】DP F=,【分析】PF，轴得 a,在 直 角 中 由 正 切 的 定 义 可 得 d b，c 的齐次式，从而得出e 的方程，求得结论.iPFk【详解】解：轴，1 1 a,1 P F _ 1而吐得a 2 ,即 2(一/=/+*.2/+0-1 =0,解得6=-1(舍)或 5.故选：D.8.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的五角星中，以4B,C,D,E 为顶点的多边形为正P T _ V5-1五边形，且 1,门 2.若 丽-9=义 丽(X G

6、 R),则入=()亚+1 后-1 75+1 1-亚A.2 B.2 C.2 D.2【答案】D【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到 2,即可求解.【详解】根据图形的对称性，可 得 丽=前，=反，由和向量的运算法贝可得初 一 万=就-反=就+说=而，又 由 卧 回，阿 卜 司，故爪与区所产萼.故 选:D.二、多选题9.已知抛物线C/=2 p x(p 0)的焦点为尸(4,0),p 为 0 上的-动点，/5，1),则下列结论正确的 是()A.夕=4 B.当P F lx 轴时，点 P 的纵坐标为8C.阳 的 最 小 值 为 4 D.户闻+户可的最小值为9【答案】CD【分析】根据焦点坐标可得0

7、=8,即可判断A,根据坐标运算即可判断B,根据焦半径以及自变量的范围即可判断C,根据三点共线即可判断D.2E _ 4n-g【详解】对于A,由抛物线C：=2 p x（p 0）的焦点为“（4,0）可知5 -=P-，故A错误，对于B,当 P F lx 轴时，则点2 的横坐标为4,将其代入V=1 6 x 中得y=8,故B错误，对于C,设 （X”。），贝 产-”0+5 一%+4,由于3 0,所 以 囱=x 0+4 2 4,故 阳 的 最 小 值为 4,故 C 正确，对 于 D,过户作PM垂直于准线于M,过A 作A E垂直于准线于E,则 附+附=照+|阴皿回=6,当尸，E,A三点共线时等号成立，故 D 正

8、确；1 0.将函数/（x）=，sin（0 x+e）的图象向左平移7 个单位长度后得到y=g（x）的图象如图，则A./G）为奇函数（7tT C B.f（x）在区间1 7 万1上单调递增C.方程/G）=l在（;）内有4 个实数根D./（X）的解析式可以是/(x)=2sinf 2 x-y【答案】BC【分析】利用图象可求得函数g（x）的解析式，利用函数图象平移可求得函数/（X）的解析式，可判断 D选项；计算/（）可判断A选项；利用正弦型函数的单调性可判断B选项；当x e（，2%）时,2 万求出方程（“I对应的 一5 可能取值，可判断C选项.【详解】由图可知，函数8（“）的最小正周期为 1 1 2 T

9、J ）,2 万0 =7=27(立 2,所以，g(x)=2si9+),则g 母=2 *)2,可 得?夕 卜 +(p=2 k7r+(k e Z)(p=2 kTV-(k e Z)所以，60 2、L 得 3V)|d-因为 2,则乃(P=3所以,g(x)=2 s i nf 2 x-y71将函数g （x）的图象向右平移Z个单位可得到函数/（X）的图象,f(%)=2 s i n 2故71故函数/（X）不是奇函数，A错;4 x乃 不212万（）（对于B选项，当时，一 V，故函数/（X）在 区 间 上 单 调 递 增，B对;对于C选项,当x e(O,2 i)时,3 3 32 1 2 乃1 0 万-2 x-/（x

10、）=2 s i n 2 x-w 2 s i n 2 x-对于D选项，I 3）1 3 人 口错.故选：B C.1 1.已知数列J满足q=1,。同=3。“+1,e N*,则（）A.1 2 1 是数列中的项B.-%=3 C.*是等比数列1 1D.存在 wN*,%-j-F H-=32【答案】A B C【分析】由递推关系式a e=3。，,+1 可知，通过构造等比数列可求得数列 ”的通项公式为_3-1丁，即可计算并判断出ABC正确；再利用不等式进行放缩可得出对于任意的“eN1 11 3 H-F ,4-3-3T=2X3T,1 22所以Z=当 =1 时，4=i22 .1 +1 +.+1 +q当2 2时，1 2

11、二311-233 21 11 3即 对 于 任 意 的 4-p._|-一册2,所以不存在4 w N*,。21 1 1-1-F H-=32即 D错误.故选：A B C1 2.如图，在平行四边形4 88中，4 B =T,4）=2,N/=6 0。，沿对角线8。将.3。折起到PBD 的位置,使 得 平 面 平 面 88,连接PC,下列说法正确的是（）A.平面尸CD_L平面B.三棱锥尸-8 8 外接球的表面积为10K正C.PZ）与平面P8C 所成角的正弦值为4V21D.若点M 在 线 段 上（包含端点），贝 面 积 的 最 小 值 为 7【答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关

12、系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验6.详解3CZ)中，C D =1,B C=2,Z-A=60。,所以=故 BD2+CA =BC2,所以 8O LCO,因 为 平 面 平 面 8 8,且平面尸8。fl平面8 c o =8 0,又BD LC D ,CD u 平面BCD所以CZ）,平面尸8 0,。匚平面尸山 所以平面2,平面93。，故 A 正确；c 0 N/P B,0 N=-P B取5 c 的中点为N,P B中点为。，过N 作 2，由 平 面 平 面 BCD,且平面P B D n 平面B C D =B D

13、,又8。_L尸 8,尸 8 u 平面PSD,故尸8 _L平面BCZ）,因此ON _L平面B C D，由于O N /P B,O N =-P B8 8 为直角三角形，且 N 为斜边中点，所以08=0 力，又 2，所以QB =O N,B Q /O N，因此0P=08,因此为三棱锥尸-BCD外接球的球心，且半径为OB=SBQ2+BN2=4兀-=5T T，故球的表面积为 4,故 B 错误,以。为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则8（b，0,）,】0,1,0）；P（60,因为8P=(0,1),B C =(-V3；,0),(=(百，。，1)设平面P B C的法向量为=G J*）,m-BP=O Jz=O所

14、 以 猛 屈=尸1氐+，取 户5贝 产330）cos=叵 空 =一 二 立 也所以 1八。尸 1 2x2/3 4,故 与 平 面 尸 8 c 所成角的正弦值为4,故 C 正确,因为必在线段尸。上，设（百“，0,）,则 标=（6 一 6。，0,一“）,d=隔 一（修 了=户一=J?（凸+3所以点”到8 c 的 距 离 V 18cl V 4 2 4 V4时Ac3-7A=:4选当故d 取 得 最 小 值 7,此时AA/8C面积取得最小值2 7 7,D正确.三、填空题1 3.写出过点0（2,2）且与圆（x+l）+V=l相 切 的 一 条 直 线 的 方 程.【答案】3x+4 y-2 =0（答案不唯一）

15、【分析】根据题意：先讨论斜率不存在的情况是否成立；斜率存在时，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】当过点尸（一 2,2）的直线斜率不存在时：方程为：x=-2,此时直线到圆心的距离”=l=r,满足题意；当过点（I 2）的直线斜率存在时：设方程为：y=*（x+2）+2,即-y +2 2 =0,因为直线与圆（x+l）2+=l 相切,d=所以-k+2k+2yj+k2=13,解得:4,所以直线方程为：3x+4 y-2 =0,所以过点尸（一 2 2）且与圆Q +l）-+/=l 相切的一条直线的方程x=-2 或3x+4y_2=0,故答案为：3x+4y-2=0（答案不唯一）.14.等差

16、数列 J 的前 项之和为J，若%=6,则%=.【答案】6 6【分析】直接利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可.S _ 11（%+。“）_ 22a$_ 66【详解】由已 知 条 件 得 2 2故答案为:66.15.若 场、砺、反 为 空间三个单位向量，0 A10 B,且 反 与 方、丽 所成的角均为60。，则|04+05+OC|=【答案】亚【分析】根据向量的模长公式即可代入求解.O A -O C=O C-O B =xx cos 6 =-【详解】由题意可得出5=0,2|04+05+OC|=+O B2+O C2+2 04 O B+2 O A O C+2 O C-O B=,1+1+1+0+2

17、 1+2,-=V5V 2 2故答案为：旧3T1 6.已知椭圆25 16 的右焦点为尸，点 P 在椭圆上且在x 轴上方.若线段尸尸的中点在以原点。为圆心，I 用为半径的圆上，则直线勿的斜率是.【答案】/及.【分析】设椭圆得左焦点为尸，连接。，尸 ，根据线段尸尸的中点M 在以原点。为圆心，1。尸1为半径的圆上，可得。”卜口尸上。，从而可求得归尸卜归口，在AP F F,利用余弦定理求得NPF尸的余弦值，从而可得出答案.【详解】解：设椭圆得左焦点为尸，连接工+片=1由椭圆 25 16 得，a=5,b=4,c=3,则下（-3,0）,尸（3,0）,|，|=2c=6,|PF|+|PF|=2a=10,因为点M

18、 在以原点O 为圆心，1用为半径的圆上，所以1切=1同=。=3,因为，分 别 为 及 得 中 点，所 以 附 1=2|。尸1=6,所 以 附|=1 0 一 附，|=4,c o s A P FF=1 6 +3 6-3 6=1 s in ZP FF=所以 2 x 4 x 6 3,则 3 ,所以 t a n Z.P FF-2 7 2 ,因为点P在椭圆上且在x轴上方，则直线PF的倾斜角与/分尸互补,所以直线P 尸的斜率-2&.故答案为：-2 及.四、解答题eg/邛1 7.在 N8 C中，内角4,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知。=应，=后，5 求 sin 8；（2）若 8是钝角，求 Z C 边上

19、的中线长.72【答案】（1）工（2）1【分析】（1）根据同角基本关系可得正弦值，进而根据正弦定理即可求解，B D =-（B A +B C）（2）根据余弦定理可求解*利用向量得 2 ,平方后即可求解.co s/l =A e(0,n)sir t 4 =V l-cos2A=【详解】(1)由 5 ,则 5 ,由正弦定理得年,6b a.bsvaA 5 M-=P sm5 =-尸一=sinB sia4-a yJ2 2R 6cosB=-(2)由于8是钝角，故 2 ,n_ a2+?-62 _ 2+?-5 _ V 2cosB-7=-由余弦定理可得 2 ac 2,2 c 2 ,解得c=l （负值舍去），BD=-（B

20、A+BC）设/C 边上的中线为80,则 2 ,（2 B D）2=（BA+BC）2=c2+a?+2 acco s8 =+（何 +2 x l x V 2 x|-|=1所以I 2 J,I 瓯,“1所以 2 ,即4C 边上的中线长为2.x2 y21 8.设第一象限的点例（X。）是 双 曲 线 彳 一 瓦 一 乂 ，上的一点，已知C 的一条渐近线的方y x程是 2 .V 2 3xoy（）v-（1）求人的值，并证明：2 X。；若 直 线/号=3 和曲线c 相交于E,了两点，求怪尸【答案】（1 心=血，证明见解析【分析】（1）根据渐近线方程可得力 =后，进而根据分析法即可求解,（2）联立方程，由韦达定理以及

21、弦长公式即可求解.C:江-5=1仅 0）【详解】（1）4 b2,的渐近线方程为_,by =2故=区二上1,例(o)双曲线方程为4 2在双曲线上，所 以 4 2V 2 3丁/一 4 0,%0,若 2 X。，显然成立，若3|V 2 3 1 2 12 9 A l xn2 0 zxo o )3 V 2 2 1X。时，只需要证明l X。)，即证2%,4 人因此只需要%2明证+9-4n86982-1而9-42%由9-4故9 八 n勺 ,3-3 1 2-2 丁 玉)一 汽 一与 成立，因 此2%K一片=1 x2 1 2 x +2 2 =0(2)联立直线与双曲线方程L =X-3 ,设尸(孙功上(孙凹)，则西+

22、=1 2 户 产&=2 2,所以由弦长公式得：间=国(网 +x j _ 4 中 2 =V 2 V 1 22-4,2 2 =4 将1 9.如图，在棱长为2的正方体88-44G中，E为 4D 中点.(1)求平面DB D与平面E8夹角的余弦值；(2)探究线段8c 上是否存在点尸，使得。尸平面S E?若存在，确定点尸的位置；若不存在，说明理由.V 3【答案】2(2)存在，点下为线段8c 上靠近点C 的三等分点见解析【分析】(1)以。为原点，DA,D C ,所在直线分别为X 轴，N 轴，Z轴建立空间直角坐标系,求出平面8 4 E 的法向量，平面的一个法向量.利用空间向量的数量积即可求解(2)假设在线段8

23、c 上存在点尸，使得。尸 平 面 通 过 向 量 共 线 以 及 向 量 的 数 量 积 为 0,求解即可.【详解】（1）如图，以。为原点，DA,DC,O R所在直线分别为X轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则”(2,0,。)，8(2,2,),C(0,2,。)，。(0,0,),E(l,0,。)，/2,2,2),0,2)率=(1,0,-2),丽=(1,2,0),设平面3R E的法向量斤=(x,y,z),n-DE=0(x-2 z=0万丽=。，即fx +2y=,令x=2,则y=-l,z=l,.,.万=(2,T,1),连接/C,AC l BDt由于平面Z C,Z C u平面/C,所以A。，/。，X C

24、 1平面BQ。，4C=(-2,2,0)为平面B.D的一个法向量.cos 而 外=至A =一直.A Cn 76x78 2,旦.平 面 与 平 面 8 夹角不超过9(y,故平面。瓦与平面旗2夹角的余弦值为2(2)假设在线段8 c上存在点F,使得。尸平面8R E.设 酝=2函(20,1),函=(2,0,2),DF D C+CF=DC+A,CBt=(0,2,0)+A(2,0,2)=(2A,2,2 A).。尸/平面,二 而_L万，即方.厉=0,.(2/1,2,2孙(2,t,1)=0,即6 2 =0,解得-3厘 ”,在线段A。上存在点尸，使得。尸平面8。或，此时点尸为线段8 c 上靠近点C 的三等分点.2

25、 0.甲、乙两人组成“新队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为P,乙每轮猜对的概率为夕(。4).在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.已知“新队”在一轮活动中都猜错的概率为6,只猜对一个成语的概率为万.求 P，4 的值；(2)求“新队”在两轮活动中猜对2 个成语的概率.q=一【答案】I 213 36【分析】(1)根据相互独立事件发生的概率公式求解；(2)分情况讨论，根据相互独立事件发生的概率公式计算.(1 一 P)(1一 夕)=一【详解】(1)都猜错的概率为 6,即p+2 的 二,7p+q=7opq=_ q=所 以 1 3解 得 2.1 1

26、1-=(2)“新队”在一轮比赛中猜对2 个的概率为 6 2 3,1 1 1 1 1 1 13-X-1-X-1-X-=-所以“新队”在两轮活动中猜对2 个成语的概率为3 6 6 3 2 2 36.21.设等比数列 J 的前 项和为S，且“向=25,+1,(eN)(1)求数列 J 的通项公式；(2)在“,与“间之间插入个实数，使这+2 个数依次组成公差为4 的等差数列，设 数 列 的 前项和为北，求证：孩.【答案】(1)“(2)证明见解析【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质,即可求出数列%的通项公式;（2）根据等差数列的性质，可得7 7 F,可得4,23再利用错位相减法即可得出.【详解

27、】（1）解：.4M=2S,+1“2 2 时，=2S_+1 一=，+一 an =2 an =an+=(之 2)而外=2囚+1,由 为等比数列，.2q+l=3%=%=(2)解：+1 ”+1 ,_ 2 3 4 n +1.n-2+2 3?+2 37 +-+237 7+2 37 7(?)2 3 n-n +13 2-31 2-32 2,3-2 2 3一 23”2Tl i 1 1 +1一 3 2-3,2-32 2.3T 2-3iLfir16 +1 1 1 (1Y-1 +1=1 H-t：-=L-=1-|-.1 2.3 4 4 U)2-3 5 2/1+534 4 3 ,T 15 2+5 15.8 8.3”T 8

28、2 2.已知椭圆C的中心在原点，一个焦点是片(一2，),一个顶点的坐标是G四).(1)求。的方程.(2)设动直线:了=云+枕与椭圆。相切于点凡 且与直线x=3交于点。，证明：以尸。为直径的圆恒 过 定 点 并 求 出”的坐标.工+匕=1【答案】（1）6 2（2）知（2,0）,证明见解析【分析】（1）根据椭圆几何性质可得C=2,6=&,进而可求”=卡,尸 竺4 、联 立 方 程，根据判别式为0得 病=2 +6吃 进 而 可 得I机 “，（3,3%+加），根据向量垂x2+y2-3 x+2+（x-2）-科=0直的坐标运算可得 /加3加 方 对任意的左，加恒成立，即可求解定点.2 2x y/【详解】（

29、1）由焦点是耳（一2，）,可知焦点在x轴上，故设椭圆方程为/+记 一*）,有题意可知c =2,b =&,故 =指，x2 丁+=1故C的方程为6 2一+-=2+6左 加x +3/6 =0（2）联 立b=丘+加，故D=（6吗-4（1 +3町 州-6）=。，化简得病=2+6及3mk 6k tn 2设尸（X。），则/=一 在 素=一T，%=5+-寸=1故 m,m）；。（3,3及 +加），设 则2夕X2+3-竺WaeSX+D=ae+6V2 6,、-y-（3攵+m）H=O加 9，化简得a 2 d一+3k+加 宇y =00.对任意的幺机恒成立，故满足竺Wx +y -3x +2=0 x 2=0=y =0 x=2y=0，故以尸。为直径的圆恒过定点M且/（2，0）,【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中常涉及范围或最值问题，以及定点定值问题.根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.另外在解析儿何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的垂直关系得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用.