2022-2023学年四川省内江市高二年级上册学期期末考试数学（理）试题含答案.pdf

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1、2022-2023学年四川省内江市高二上学期期末考试数学(理)试题一、单选题1.某个年级有男生180人，女 生 160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为6 8 的样本，则此样本中女生人数为()A.40 B.36 C.34 D.32【答案】D【分析】根据分层抽样的性质计算即可.【详解】由题意得：样本中女生人数为68x=32.180+160故选：D2.己知向量帆=(一 3,2,4),n=(l,-3,-2),则 卜()A.2 0 B.8 C.3 D.9【答案】C【分析】由向量的运算结合模长公式计算即可.【详解】?+”=(-3,2,4)+(1,-3,-2)=(-2,T,2)m+n|=

2、J(-2)2+(-lf+22=3故选：C3.如图所示的算法流程图中，第 3 个输出的数是()35A.2 B.C.1 D.一2 2【答案】A【分析】模拟执行程序即得.【详解】模拟执行程序，A=1,N=1 ,输出1,N =2 ；满足条件，A =l+：1 =3 ,输 出3;，N=3；2 2 23 1满足条件，A =-+-=2,输出2,N =4；2 2L所以第3 个输出的数是2.故选：A.4.一个四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）【答案】B【分析】把三视图转换为几何体，根据锥体体积公式即可求出几何体的体积.【详解】根据几何体的三视图可知几何体为四棱锥P-A 3 cD,如图所示：P D _L

3、 平 面 且 底 面 为 正 方 形，P D =A D =21O所以该几何体的体积为：V=-x 2 x 2 x 2 =3 3故选：B5.经过两点44,2 y+D,心3）的直线的倾斜角为1，贝”=（）A.-1【答案】B【分析】先由直线的倾斜角求得直线的斜率，再运用两点的斜率进行求解.【详解】由于直线A 3的倾斜角为差，4则该直线的斜率为=tan437r=-1 ,4又因为 A(4,2y+1),8(2,-3),所以 =(2y+l)+3=_ ,解得y=-3.4-2故选：B.6.为促进学生对航天科普知识的了解，进一步感受航天精神的深厚内涵，并从中汲取不畏艰难、奋发图强、勇于攀登的精神动力，某校特举办以

4、发扬航天精神，筑梦星辰大海为题的航天科普知识讲座.现随机抽取10名学生，让他们在讲座前和讲座后各回答一份航天科普知识问卷，这 10名学生在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，下列叙述正确的是()100%95%90%.*榔 85%.一 .售 80%.田 75%.*-一-70%.*.65%.*.*.60%!-.*.*.n v-1-1-1-1-1-1-1-1 2 3 4 5 6 78 9 10*讲座前 讲座后居民编号A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D.讲座前问卷答题的正确率的极差小于讲

5、座后正确率的极差【答案】B【分析】根据题意以及表格，可分别计算中位数、平均数、极差等判断、排除选项是否正确，从而得出答案.【详解】讲座前问卷答题的正确率分别为：60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,9 5%,中位数为 70%；75%=72.5%70%,故 A 错误;讲座后问卷答题的正确率的平均数为0.8+0.85x4+0.9x2+0.95+1x210=89.5%8 5%，故 B 正确;由图知讲座前问卷答题的正确率的波动性大于讲座后正确率的波动性，即讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差，故 C 错误；讲座后问卷答题的正确率的极差为1 0 0%-

6、80%=20%,讲座前正确率的极差为95%-60%=35%,20%d=B.a=6,d=-3 3C.a=-6 ,d=D.a =6,d=-3 3【答案】D【分析】根据两直线平行的性质可得参数“，再利用平行线间距离公式可得.【详解】由直线2 x-y +3=0与直线o r-3 y+4 =0平行，得2x(-3)-(-l)x a =0,解得 =6,所以两直线分另I J为 2 x-y +3=0和 6 x-3 y+4 =0 ,即 6x-3y +9=0 和 6x-3y +4=0 ,所以两直线间距离d=NY=J L ,6+3 2 3故选：D.8.若连续抛掷两次质地均匀的骰子，得到的点数分别为修，“，则 满 足 川

7、+川 2 5的概率是()A.|B.C.-D.2 36 9 1 2【答案】B【分析】利用列举法列出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】解：设连续投掷两次骰子，得到的点数依次为“、，两次抛掷得到的结果可以用(?,)表示，则结果有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6

8、),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共有3 6种.其中满足病+方 25 有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),共 1 3 种，所以满足疗+“2 7=0 上任意一点，过点P 作两条直线与圆C：(x+l)?+y2=4相切，切点分别为A,8 则|AB I 的最小值为()A.714 B.半 C.2 6 D.G【答案】A【分析】根据直线与圆相切的几何性质可知，当IPCI取得最小值时，cosNACP最大，|A 8|的值最小，当PC，/时，I PC

9、|取得最小值，进而可求此时|48|=旧【详解】圆C是以C(-1,O)为圆心，2为半径的圆，由题可知，当N4cp最小时，的值最小.cosZACP=-=-j-当|PC|取得最小值时，cosNACP最大，N4CP最小，点C到直线/的距离4=*=4血，故当|PC|=4及 时，cosNACP最大，且最大值为 当，此时sinZ A C P =|A g|=,则|A8|=/iZ.2|AC|4 4故选：A12.如图所示，在长方体ABCO-AMCR中，点E是棱CG上的一个动点，平面8ER交棱AA于点尸，下列命题错误的是()A.四棱锥用-BE%尸的体积恒为定值B.存在点E,使得8Q J平面BQEC.存在唯一的点E,

10、使得截面四边形BE。尸的周长取得最小值D.对于棱Cg上任意一点,在棱AO上均有相应的点G,使得CG 平面EBR【答案】D【分析】由%,口卬=%-明4+%-g4结合线面平行的定义，即可判断选项A,由线面垂直的判定定理即可判断选项B,由面面平行的性质和对称性，即可判断选项C,由特殊位置即可判断选项D.【详解】对A,幺-喇/=%-即4+/-明a,又CCHBB,CC、Z平面BBID,BB u平面B B R ,所以CCJ!平面8 8 Q,同理AA 平面8 8 Q,所以点E,尸到平面8 8 a的距离为定值，则叫棱锥耳-BE。尸的体积为定值，故选项A 正确;对于B,因为8 4=线。，可得对角面B8QQ为正方

11、形，所以由平面BCC蜴，B E u平面 B C C f,所以O C L 3 E,若 B E 1 4 C,则 8 c DC=C,8 0,。，所以 3_1_平面 B Q C,由 8Qu 平面 B Q C,所以 B 0 1 B E,又 BR c BE=B,BR,BE u 平面 BD*,所以 8QJL平面B 2 E,故 B 正确；对于C,由面面平行的性质定理可得，四边形BE。为平行四边形，由对称性可得，当四边形为菱形时，周长取得最小值，即存在唯一的点E,使 得 截 面 四 边 形 的 周 长 取 得 最 小 值，故选项C正确.对于D,当E 点在C 处时，对于A。上任意的点G,直线CG与平面EBR均相交

12、，故选项D 错误.故选：D二、填空题x-20【答案】6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】解：由约束条件作出可行域如图：将目标函数z=2 x+y转化为y=-2 x+z表示为斜率为_ 2,纵截距为z 的直线,当直线y=-2 x+z过点B时，z取得最大值，显然点8(2,2),则 Z g=2 x 2 +2=6.故答案为：6.1 4.直线/与圆5+1)2 +(丫-1)2 =1相交于4,8两点，且4(0,1).若 4用=应，则直线/的斜率为【答案】1【分析】设直线方程，结合弦长求得圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公

13、式列出等式，即可求得答案.【详解】根据题意，直 线/与 圆(x+l)2+(y-l)2 =l相交于A8两点，且A(0,l),当直线斜率不存在时.，直线x =0即y轴，显然与圆相切，不符合题意；故直线斜率存在，设直线/的方程为、=丘+1 ,即履-y+l =0 ,因为圆(x +l)2+(y-l)2=l的圆心为(1,1),半径为、=1 ,又弦长|A B|S所以圆心到直线的距离为d=/一 (野l y =乎,k 72所以而7 7 F，解得攵=1,故答案为：1.1 5.已知E是正方体A B C D-A冉G R的棱。的中点，过A、C、E三点作平面。与平面A4G A相交，交线为/，则 直 线/与 所 成 角 的

14、 余 弦 值 为.【答案】3【分析】由面面平行的性质与异面直线所成的角的求法求解即可【详解】因为过ACE三点的平面a与平面AfG D相交于/,平面a与平面A B C D相交于A C ,平面AgG 4与平面A B C D平行,所以/A C,又AG/MC,故AG/所以直线/与BG所成的角就是直线AC与8G所成的角,也即是NAG 8(或补角)又易知 A G B为等边三角形，所以直线/与8G所成角的余弦值为C OS 60 0 =1,故答案为：；16.设m e/?,过定点A 的动直线+四=0 和过定点8 的动直线，n r-y-m +3=0 交于点P（x,y）,则.TV S面 积 的 最 大 值 是.【答

15、案】|【详解】试题分析：易知A（0,0）,B（1,3）两直线互相垂直，故|PA|2+PBf=ABf=10.-.S=|E4|PB|+(y+l)2=5.3(3)依题意，直线/的方程为丫+2 =-一。-3),即3 x+4 y l=0,4圆心C(5,-l)到直线的距离为1=5一1=2 ,所以 尸|=2 _/=2VT4=2.19.直四棱柱AB S-AACQ,底面A 8 C D 是平行四边形，Z A C B =6 0 ,他=百,B C =1，AC=2 ,E,尸分别是棱AC48的中点.D 求 证:EF.平面A A。：(2)求三棱锥F-ACA的体积【答案】(1)见解析 2【分析】(1)取 的 中 点 M,连结

16、“EM 4,证明四边形诙EM 为平行四边形，则AM M，再根据线面平行的判定定理即可得证；(2)利用余弦定理求出AC,再利用勾股定理求出AA，再根据Y C A=-C结合棱锥的体积公式即可得出答案.【详解】(1)证明：取 的 中 点，连结在，A。中，/，E分别为AQ，AC的中点，所以M E/)C且 M E =O C ,2底面A B C D 是平行四边形，F是棱A 8的中点，所以 A F .D C S.A F =-D C ,2所以 ME/AF 且 M E =A F ,所以四边形AFEM为平行四边形，所以E F平面AAD,4M u 平面AA。，所以E F 平面AA。；(2)在 中，/A C B =6

17、(),AB=6,8 C =1,由余弦定理有 A B2=A C1+B C1-2A C x B C xcosA C B,解得AC=2,则 S ABC=xlx2xsin60=,因为F 为A 8的中点，所以5卬=；S ABC=-由己知直四棱柱A B S-A BIGA,可 得 幺 AC=90,AC=2，AC=2 j7,可得 AA=j2 8-4=2 遍,VF-ACA=J-AFC=(S A F C-AA=g x 手 等.2 0.某校从参加高一年级期中考试的学生中抽出40名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段40,50),50,60),L,90,100后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问

18、题:，频率砺0.025-.1-0.015-10.010-1-0.005-04050 60 70 80 90 100 分数(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)根据频率分布直方图估计这次数学考试成绩的平均分；(3)若将分数从高分到低分排列，取 前 1 5%的同学评定为“优秀”档次，用样本估计总体的方法，估计本次期中数学考试“优秀”档次的分数线.【答案】(1)答案见解析(2)7 1(3)8 6【分析】(1)根据所有频率和为1 求第四小组的频率，计算第四小组的对应的矩形的高，补全频率分布直方图；(2)根据在频率分布直方图中，由每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和，求出

19、平均分；(3)由频率分布直方图可知：成绩在区间 9 0,1 0 0 占5%,区间 8 0,9 0)占2 5%,由此即可估计“优秀”档次的分数线.【详解】(1)由频率分布直方图可知，第 1,2,3,5,6 小组的频率分别为：0.1,0.1 5,0.1 5,0.2 5,0.0 5,所以第四小组的频率为：1 一 0.1-0.1 5 -0.1 5 -0.2 5 -0.0 5 =0.3,在频率分布直方图中第四小组对应的矩形的高为0.0 3,补全频率分布直方图对应图形如图所示：(2)由频率分布直方图可得平均分为：0.1 x 4 5 +0.1 5 x 5 5 +0.1 5 x 65 +0.3 x 7 5 +

20、0.2 5 x 8 5 +0.0 5 x 9 5 =7 1；(3)由频率分布直方图可知：成绩在区间 9 0,1 0 0 占5%,区间 8 0,9 0)占2 5%,则估计本次期中数学考试优秀”档次的分数线为：8 0 +1 0 x 1 =8 6.2 1.如图，已知正方形A B C。和矩形A C E尸所在的平面互相垂直，AB=O,A F =,M是线段E F的中点.(1)求证：平面A C E F J平面8。尸;求证：平面BEF；(3)求二面角A-O F-B的大小.【答案】(1)见解析(2)见解析 60【分析】(1 )建立空间直角坐标系，利用A M.8 =0，AM.DF=0,可得AM I平面8 )下，进

21、而可得面面垂直.(2)由4?=忘，A F =1,得D F =D E =5 从而D M上E F,连BM,得D M L B M ,由此能证明D M 2平面8 E尸.(3)由(1)得，A M=(0,-1,1)是平面BQF的一个法向量.D C =(-1,-1,0)是平面4)尸的一个法向量，c o s =1=g 即可.【详解】(1)四边形A C E尸是矩形，.，A C,平面A C E F _ L 4 3 C。，平面A C E F门平面A B C )=AC,AFu平面A C E R.A F _ L平面ABCD.设A C c E 8 =O,则O M _ L平面A B C。建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分

22、别为：0(0,0,0),A(0,1,0),8(-1,0,0),C(0,-1,0),0,0),E(0,-1,1),尸(0,1,1),M(0,0,1).BD=Q ,0,0),DF=(-,1,1),A M =(0 ,-1 ,1),AM.BD=0,A M.DF =0-l +l=0,A M Y B D,A M DF,BD尸JOM2+OD2,MB=yOM2+OB2,OB=OD,得 BM=DM=曰 又 BD=2,DM2+BM2=BD2/.DM BM,又 BM EF=M,MB,EF u平面 BEF,：.DM 工平面 BEF.(3)由(1)得，AM=(O,-1,1)是平面3F的一个法向量.又AF，平面ABC。得

23、AF LCD,又CDLDA，故PC=(-I,-I,O)是平面ADF的一个法向量，故 cos=F =V2xV2 2二面角A-。/一8为锐角，二面角A DF 3为60.E72 2.已知圆M:(x-3+y 2=9.设。(2,0),过点。作斜率非0的直线4,交圆M于P、Q两点.过点。作与直线4垂直的直线4,交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S,求S的最大值;(2)设8(6,0),过原点。的直线0 P与8Q相交于点义,试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【答案】(1)17；点N在定直线x=-6上.【分析】(1)由题意设出直线4,6 方程，利用点到直线的距离公式，弦长

24、公式以及基本不等式即可解决问题；(2)利用圆与直线的方程，写出韦达定理，求出直线0 P 与直线3。的方程，且交于点N,联立方程求解点N 即可证明结论.【详解】(1)由圆M:(x-3)2+V=9 知，圆心为M(3,0),半径尸=3,因为直线/1过点。(2,0)且斜率非0,所以设直线4方程为：y-0=k(x-2),即日-y 2%=0,则点M 到直线4 的距离为:所以|PQ卜 2斤*=2.32-f i U=2,8公+91 +公由且直线4 过点。,所以设直线4 方程为：y-0 =-l(x-2),即X+一 2=0,K所以年刊=2 32-则点M 到直线4 的距离为:10 9k2 +8故S=阳 四|=g 2

25、2 例+9乂弘2+8jV。+公 f当且仅当8 k2+9=9 3 +8=&=1时取等号,所以四边形EPFQ的面积S的最大值为17.(2)点N 在定直线x=-6 上.证明：设 2。,),。(和力)，直线PQ过点D，则设直线PQ方程为：x=my+2,联立x=my+2(X-3)2+/=9消去x 整理得:+1)y2-2my-8=0,X+必2m-8y.4-y,m/(、所以=-=町%=-4(X+%),%以 4由 =%-0 =%1 -0 X所以直线O P的方程为：百k _乃一0 _%，。一-一彳，所以直线8Q 的方程为：丫=上 7（彳-6）,x2-6因为直线O P与直线BQ交于点N,y=x所以联立，y=-及（x-6）所以“工口=_6 M l+2)_(町+2)%-%(a%+2)-6=6 W+myly2+2y2-myiy2+4yi_+6%必+2%3*(-4),(+%)+6%为+2y一 2y-12)，2 +6)，2 _ T2yl 6y?_ _6%+2y%+2%所以4 =-6,所以点N 在定直线x=-6 上.