2022-2023学年广东省深圳市高一上学期期中数学试题（解析版）.pdf

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1、2022-2023学年广东省深圳市深圳中学高一上学期期中数学试题一、单选题1.设全集 U=R,集合A=x|2x5,f i =x|lx3,则集合4 0（。/）=（）A.（2,3）B.（2,3 C.3,5）D.（3,5）【答案】C【分析】先求出6 8,由交集的定义即可得出答案.【详解】因为8=邓 x/-3”在（0,+8）上是减函数，m W 3 +3=l f 则，c八,解得 =1或 =2n-3n 0,y0,S.2x+y=x y,则 x+2y 的最小值为()A.8 B.8及 C.9 D.9夜【答案】C【分析】由已知等式可得1+/=1,根据x+2y=(x+2y)；+g),利用基本不等式可求得结果.2 1

2、【详解】由2x+y=孙，x 0,y 0 得：一 +=1,y%:.x+2y=(x+2y)+-1=5+5 +2=9(当且仅当生=区，即工=3,y=3时取x j y x等号)，.x+2y的最小值为9.故选：C.5.己知log2a+lo g/=0(4 0 且可 能 是()舛 y x y x人 0且b w l),则函数=与g(x)=log/M的图像y八上二T/A.B.C.D.【答案】B【分析】先由lo g 2“+lo g*=0 求得6 =4,再将g（x）=lo g x 转化为g（x）=lo g X,再利用反函数的a性质即可得到正确选项B【详解】由 lo g：；a+lo g 2 b =0 （a 0 且 a

3、H l,b 0 且 b w l）,可得lo g 2（ah）=0,则 必=1,则%=：则 g（x）=l g x =b g：x,又 则 g（x）与 x）互为反函数，则g（x）与f（x）单调性一致，且两图像关于直线N =轴对称故选：Bax 0 一6.已知函数/（）=,0,、八，满足对任意制力 都有 八（）x,-x2值范围是（）3 1 3A.t?e（o,l）B.一，1）C.（0,-D.4 3 4【答案】C0 a l【分析】根 据 条 件 知 在 R上单调递减，从 而 得 出。-20,求的范围即可.3 a 1【详解】./（）满足对任意方为0 都有不）一/（当）0 成立,占一./（X）在 R上是减函数，0

4、 1：.a-2 Q,解得0 1000e”M-2故-().1/-In 2,f W O j=6.93故该新药对病人有疗效的时长大约为6.93故选：C二、多选题9.下列说法正确的是（）A.若c 0,贝ij/c v/cC.若。匕b,c 0,则 a3c/c,故A错误；对于 B 选项，c 0,ayc b3c,故 B 正确；对于 C 选项，Q a b ah,ahb2,a2 abb2,故 C 正确；对于 D 选项，函数 y _ j2+5 _（4?+4）+1 _ J ,令&+4 =问2,+8）,由函数y=f+：在fe 2,y）上单调递增，.yN2+；=|,故D错误.故选：BC1 0.下列说法正确的是（）A.命题

5、“VxeR,/-1”的否定是3xeR,x2 0且1）的图象恒过定点（2,1）C./（x）=ln（E）为奇函数D.函数函（力=。-2国+5的单调递增区间为-1,0,l,+oo）【答案】BCD【分析】根据全称量词命题的否定可判断A,利用对数函数的性质可判断B,根据奇函数的定义可判断C,根据二次函数的性质可判断D.【详解】因为命题“V x e R,/-1，的否定是“王!0 x2+2.r +5,x 1,0 二；11,-2 -0,4 +1 4 +1所以 x)=*4V-1 =l-不7匕 e(,T l)、，故 B错误；当=1 时，=忐*定义域为R,而/(t)=4-:晨=2、=一/，所以“X)是奇函数，故 C

6、正确；若 x)的定义域为R,则4 1-丈2，*0 恒成立，即aw娱，因 为 学=2 +最 22,当且仅当2 =杳，即x =0 时取等号-，所以。2,故 D正确.故选：A C D.1 2.已知函数/(x)=f+奴 a+b(a S e R),若非空集合 A =”(力 叫，B =x|/(/(x)+l)l ,所 以 函 数 的 单 调 递 增 区 间 为 故 D正确.故选：B C D.ii.关于函数/()=4X-14x+i-a-2x,下列结论中正确的是()A.当a =0 时，“X)是增函数B.当a =0 时，/的值域为(-1,加0)C.当a =l 时，X)是奇函数 D.若“X)的定义域为R,则。2【答

7、案】A C D【分析】根据复合函数的单调性可判断A,根据指数函数的性质及不等式的性质可得函数的值域可判 断 B,根据奇函数的定义可判断C,根据指数函数的性质及基本不等式可判断D.【详解】当。=0 时，/(x)=1-2 一,由 函 数 y =4，+l 单调递增，函数了 =1-2 在(0,+8)上单调递增，2所以f(x)=l-不、在 R上单调递增，故 A正确；A=B,则下列说法中正确的是()A.b 为常数 B.b 的取值与。有关C.0a/2 D.-4/2 a -4【答案】AC【分析】不妨设7(x)4 1的解集为 见 1，可得B=x|加由A=3/0,解得。2 0 或a -4,又加，(机 V)为方程/

8、(x)=l 的两个根，可得加=-1-。，进而求出的取值范围.【详解】不妨设f 0)4 1 的解集为 孙叽则有机4/(x)+14，B=xff(x)+11)=X|/W/(x)4-ln=x|m-l f(x)n-l,由 A=3 W 0,得九 1=0 且/(X)m in 2 1 ,由/()=/(l)=l得力=0,故 A 正 确,B 错误;f(x)=x2+ax-a,A=xf(x)0,解得 a 2 0 或 a V 4,又m,(布。)为方程/。)=1的两个根，/(X)min=T/-a-2,解得-2V2 Wa4 2 夜,：.aeQ,2y/2,故 C 正确，D 错误.故选：AC.三、填空题1 213.若2 =3

9、=k,且 上+*=1,则 实 数 的 值 为.m n【答案】18【分析】由指对数互化可得机=bg2&，n=O k,代入题设等式，结合换底公式及对数运算性质即可求 的值.【详解】由题设，m =log2k,n=log3k,2 1 2所以一+-=1 r +;-=logt2+logt9=log,18=l,则 =18.tn n log,k log3 k故答案为：18.14.已知函数 x)为R 上奇函数，当x 0 时，f(x)=x2+2 x-3,则x 0 时，/(%)=.【答案】-x2+2x+3【分析】根据奇函数定义即得.【详解】当x 0,则/(-x)=X 2-2 x-3 ,因为函数为奇函数，所以/(-x

10、)=-/(x)=x2-2%-3,g|J/(x)=-x2+2 x+3.所以当x 0 时，/(x)=-x2+2 x+3.故答案为：-x?+2 x +3.1 5 .方程/-(2-4)+5 +。=0 的一根大于1,一根小于1,则实数。的取值范围是.【答案】(F-2)【分析】利用一元二次方程的根的分布与系数的关系，结合二次函数的性质即得.【详解】方 程/一(2 a)x+5 +a =0 的一根大于1,另一根小于1,令/(x)=d(2-a)x+5+a,贝 l J/(l)=l _(2 _ a)+5+”0,解得a v-2.故答案为：(y0，-2).1 6 .不等式/一天一2 0 /、【详解】根据对数函数性质可知

11、x 0 =x e(0,+8)令 fW=l o g2(x+2)-l o g x =l o g2(x+2)-l o g,x2=l o g2=l o g2(/+i 2根据暴函数单调性可知在(o,+8)单调递减，所以/(X)在(0,”)单调递减且/(2)=0,当x w(O,2)时/(x)0 ,彳 2,+0 )时/(、)4 0令 g(x)=x 2-x-2,当x 0,2)时g(x)0因此当 x e(0,2)时，g(x)/(x)故答案为：(0,2)四、解答题1 7.已知集合 A=x|0 Mx 2 ,B=xa x 3-2a.若 他 A)U 8 =R,求实数。的取值范围；(2)若 A=求实数”的取值范围.【答案

12、】(F,0 唱+8)【分析】(1)求出4A,根据题意列出不等式组，求解即可；(2)由An8=B得8 =分8 =0,8=0两种情况讨论可求得。的取值范围.【详解】由集合A=x|0 W x 2 ,所以条A=X|X2,又 8=x|a M x M 3-2 a ,低 A)U 3 =R,3-2a a所以2所以实数。的取值范围是(,0 .(2)若 An8=8,则 B =当 8 =0时，3-2a 1；a0 1当5声0时，有要使8qA,则 ,解得3-2a 4 的解集.【答案】(1)图象见解析:7 小 .【分析】(1)利用零点分段法，得到分段函数f(x),再画出函数的图象;(2)根据分段函数，分段解不等式即得.【

13、详解】(1)当x 2 时，/(X)=2(X-2)+X+1=3JC-3；3x+3,x 1f(x)=-x+5,-lx 2(2)由题得，当4,解得工 一,则x 4,解得 2时，3x-34,解得则I；综上，(力 4的解集为 x|x：.19.设a 0且 1,函数/(司=魄(1 +力+1咆,(3-6的图象过点(1,2).求。的值及/(x)的定义域；-3-求 了(可在0；上的单调区间和最大值.【答案】(1)=2,(-1,3)3-单调增区间为 0/，单调减区间为h-;最大值为2【分析】(1)根据对数函数得性质和计算规则计算即可;(2)复合函数单调性根据内外函数同增异减，先判断内函数单调性，再判断外函数单调性即

14、可.【详解】,函数f(x)=log”(l+x)+log(3 T)的图象过点(1,2),log(1+1)+log(3-1)=2,log,4=2,即6=4,又。0 且 aw l,6/=2,要使/()=蜒2。+*)+1。82(3-力有意义,则l+x0=-lx0./(x)的定义域为(-1,3)；(2)/(x)=log2(l+x)(3-x),4/=(1+X)(3-X)=-(X-1)2+43 304x4：,(xlp+4 的最大值为4,此时x=l,且f 在 0 单调递增，单调 递 减 l,y-31 3-./(X)在 0,-上的单调增区间为 0,1,单 调 减 区 间 为,最大值为2.2 0.已 知 函 数=

15、为奇函数.(1)求实数。的值；判断/(x)在 R 上的单调性(不必证明)；解关于t的不等式/(/一2r)+/(21)0.【答案】”=1(2)单调递增 相川【分析】(1)根据/(0)=。求出a=1,再由奇函数的定义验证即得；(2)根据指数函数的单调性即得；(3)根 据 函 数 的 奇 偶 性 及 单 调 性 可 得 产/，解不等式即得.【详解】(1)因为“X)定义在R 上的奇函数，可得X/x e R,都有x)=-x),令x=0,可得/(。)=5-Y=-=0,解得a=l,所以”=哥，此时满足，(-)=/=哥=一/(力，所以函数/(X)是奇函数，所以a=1 ；(2)力在 R 上单调递增;理由如下：因

16、为-高，2函数y=3*+1单调递增，函数y=1 在(0,+8)上单调递增，2所以 x)=l-&在R 上单调递增；(3)因为f(x)为奇函数，可得/(/)=2/),又/(x)在 R上单调递增，所以一 2 0,求关于x 的不等式m 2-(%+l)x+l 0的解集;(2)若对任意xe l,2 ,/-(机+1)-1 4 0恒成立，求实数机的取值范围.【答案】(1)答案见解析；(2).【分析】(1)分0 加 1,机=1讨论，利用二次不等式的解法即得；r4.1(2)法一，利用参变分离可得加4丁、对任意x e(1,2 卜恒成立，然后利用对勾函数的性质及反比X+例函数的性质可得y =F一 的 最 值 即 得；

17、法二，利用二次函数的性质分类讨论即得.X-X【详解】(1)令/(力=如 2 _(2+卜+1 =(如:一 1)(%一 1),当0 m l 时，所以 力 1时,-1,所以/(x)0的解集为m tn当加=1时，=1,所以f(x)0的解集为0；综上,当 0?1 时,不等式，叫2-(加+l)x+l 0的解集为当 Z =1时，不等式痛2 _(加+1卜+1 1时,不等式的2一 (/n+l)x+l 0的解集为 卜,x(2)法一：当无=1时，-2 0,成立；r1 1当xe(l,2 时，由题可得?4对任意xe(1,2 卜恒成立,Y _1 _ 1令 y =F，则有m4 y m M，xe(l,2 ,X-xx+1 1y

18、=-=-(X+1)2-3(X+1)+2 x+l +二-3，x+1令r =x+l +,x+l e(2,3,根据对勾函数的性质可得小(3,2 ,x+1 1 3 1 3、所以y =e -,+o o ,一 3|_ 2 )3所以当X =2 时，=，故实数机的 取 值 范 围 为；法二：4*/(x)=m x2-(7?4-1)%-1,当机=0 时，/(x)=x-l,对任意/11,2 ,=2 0 时，函数”力 图象开口向上，若对任意XG 1,2 ,x)4 0恒成立，只需解得根 三3,2故当0(机时，对任意xe l,2 ,/(x)4 0恒成立；当?0,m r-l 0,)=(侬 _ 1)(1)_ 2 4 _ 2

19、0,/(x)0；/=1；对任意x 0,y 0,总有/(x)+/(y)4/(x+y).(1)写出一个符合上述条件的函数(写出即可，无需证明)；(2)证明：满足题干条件的函数/(X)在(0,+纥)上单调递增：f(2ks ,(3)证明：对任意的s 0,2 2 人，其中Z e N*;/(s)证明：对任意的x 2 i,2 )(&w N),者隋/3 7&)5 一:【答案】(D/(x)=x(a l)(答案不唯一)(2)证明见解析(3)证明见解析；证明见解析【分析】(1)根据条件设计一个函数即可；(2)根据条件，运用函数单调性的定义推导即可；(3)运用递推的方法先证明，在根据的结论，考虑的x 的区间即可证明.

20、【详解】(1 )f(x)=x,/(X)=X2,工)=丁 等./(力=%加9 1)均可；(2)任取X y 。，/(x)-/(y)=/(x-y+y)-/(y).因为x _ y 0,故/(x _ y+y /(x _ y)+/(y x _ y)().故/(x)-y)=/(x-y+y)-/(y)N/(x-y)().故“X)在(0,+8)上单调递增.(3)由题意可知：对任意正数S,都有 s)o,且f(s)+r)w s+f),在中令x=y=s,可得/(2 s)N 2/(s),即故对任意正整数”与正数/一(2S-)都/(有2S-)f.(2鬲k-s 2s)i由可知：对任意正整数&与正数S,都有“2。)2 2.“s),故对任意正整数上与正数3都有f(2Ts”2 (s),令s=2-*,贝 IJ /(2 i)2-*/(1)=2-*；对任意x e(2 i,2 )(A e N ),可得上 仁 口 一)，并且产-,2-*|/(2 i)2 2 =2T W所 以 小)-布 上 会.【点睛】对于第二问，如何巧妙运用 x)+y)w/(x+y)要学习，抽象函数中经常会用到这个方法；对于第三问，可以把2%看作F+S+S+s,再运用/a)+y)4 x+y)可以证明,2k再利用的结论推出.