2021年北京市东城区中考数学二模试卷.pdf

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1、2021年北京市东城区中考数学二模试卷、选 择 题（本题共16分,每 小 题2分）第1-8题均有四个选项,符合题意的选项只有一个.1.（2 分）下列各数中,小于血 的正整数是（）A.-1 B.0 C.1 D.22.（2 分）在下列不等式中,解集为-1的是（）A.2x 2 B.-2 x -2 C.2 x -2 D.-2x=-,求 班的长.32 5.（6分）中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了 1 8 次,对我国国民阅读总体情况进行了综合分析.2 0 2 1 年 4 月 2 3 日，第十八次全国国民阅读调查结果发布.下面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息;a.本次调查有效

2、样本容量为46 0 8 3,成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1.b.2 0 2 0 年,成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70 本,人均电子书阅读量约为3.2 9 本;2 0 1 9 年,成年人的人均纸质图书阅读量约为4.6 5 本,人均电子书阅读量约为2.8 4本.2 0 1 2 年至2 0 2 0 年,未成年人的年人均图书阅读量如图2.图 1 图 2根据以上信息,回答问题:(1)第十八次全国国民阅读调查中,未成年人样本容量占有效样本容量的；(2)2 0 2 0 年,成年人的人均图书阅读量约为一本,比 2 0 1 9 年多 本;(3)在 2 0 1 2 年至2 0 2 0 年中后一年与

3、前一年相比，年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大;(4)2 0 2 0 年,未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高%(结果保留整数).2 6.(6 分)在 平 面 直 角 坐 标 系 中,抛 物 线 y =o？-3 a r+l与 y 轴交于点A.(1)求抛物线的对称轴；(2)点 8是点A 关于对称轴的对称点,求点8的坐标;(3)已知点P(0,2),Q(a +l,l).若线段P Q 与抛物线与恰有一个公共点,结合函数图象,求。的取值范围.2 7.(7分)已知豆花和A/W C 都是等腰直角三角形,ZADE=ZBAC=90,P 为AE t的中点,连 接 小.EAA(1)如图1,点A,

4、B,。在同一条直线上,直接写出P 与 的 位 置 关 系;(2)将图1 中的 叱绕点A 逆时 针旋转,当 4)落在图2 所示的位置时,点。,D,P恰好在同一条直线上.在图2 中,按要求补全图形,并证明 4 E =NACP；连接 亜,交 A E 于点F.判断线段 5与的数量关系,并证明.28.(7 分)对于平面直角坐标系。)，中的图形 W,给出如下定义:点 P 是图形W 上任意一点,若存在点Q,使得/O Q 尸是 直 角,则称点。是图形 W 的“直角点”.斗7-6-5-4-3-2-1 -5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x-1-(1)已知点6,8),在点2(0,8),Q 2

5、),Q(8,4)中,是点A 的“直角点”;(2)已知点8(-3,4),C(4,4),若点。是线段 8 C 的“直角点”,求 点 Q 的横坐标的取值范围;(3)在(2)的条件下,已知点。,),(/+1,0),以线段 )为 边在 x轴上方作正方形D E F G.若正方形。E尸 G 上的所有点均为 线段 8 C 的 直角点”，直接写出f 的取值范围.2021年北京市东城区中考数学二模试卷参考答案与试题解析、选 择 题（本题共16分,每 小 题2分）第1-8题均有四个选项,符 合 题意的选项只有一个.1.（2 分）下列各数中,小于虚的正整数是（）A.-1 B.0 C.1 D.2【解答】解:1 /2 -

6、1 的是（）A.2x 2 B.-2x-2 C.2x-2 D.-2x 2,不等式的两边同时除以2 得:x l,即该不等式的解集不合题意,故本选项不合题意;B.-2A-2,不等式的两边同时除以-2 得:x l 即该不等式的解集不合题意,故本选项不合题意;C.2 x -2,不等式的两边同时除 以 2 得：x -l,即该不等式的解集不合题意，故本选项不合题意;D.-2 x -l,即该不等式的解集符合题意,故本选项符合题意;故选:D.3.（2 分）在平面直角坐标系xOy中，。0 的半径为 2,点 A（l,百）与。的位置关系是（）A.在 上 B.在。0 内 C.在。外 D.不能确定【解答】解:.点A（l,

7、），,1.。=+（同=2,.的半径为 2,.,.点A 在 0 0 上,故选:A.4.(2 分)下列式子中,运算正确的是()A.(1+x)2=1 +x2 B.a2 aA a8 C.(xy)x y D +2=3。2【解答】解:A.（1 +X）2=1+2X+X2,故本选项不合题意;B.a2-a4=a6,故本选项不合题意;C .一 （x-y）=-x+y,故本选项不合题意;D .a1+2a2=3 a2,故本选项符合题意；故选;D.5.（2 分）如图,是正五边形/的外接圆.若 的半径为 5,则半径。4,O B与围成的扇形的面积是（）C.257T6D.104【解答】解;.AfiCDE是正五边形,:.ZAOB

8、=3 6-0=1 2 ,5,_72-52 _3 扇 形。3 60 兀 故选:B.6.（2 分）在平面直角坐标系xO中,点 A,3是直线 y=x 与双曲线 =的交点，点3在X第一象限,点C 的坐标为（6,-2）.若直线 BC交x 轴于 点 ,则点的横坐标为（）A.2 B.3 C.4 D.5【解答】解:.点4,3是直线 y=x 与双曲线 =&的交点,X.联立方程得:4，=一x解得:或 ;，y=2 y=-2.点8在第一象限,8(2,2),.点C的坐标 为(6,-2 ),设直线的解析式为:y=kx+b,把 8(2,2),C(6,2)代入得:J2=2+。2=6 左 +解得:k=-1=4.直线的解析式为:

9、y=x+4,.直线B C交x轴于点D ,.,.令 y=0,即+4=0,解 得:x=4,.点。横坐标是4,故选:C.7.(2分)多年来,北京市以强有力的措施和力度治理大气污染,空气质量持续改善,主要污染物的年平均浓度值全面下降.如图是1998年至2019年二氧化硫(502)和二氧化氮(NQ)A.1 9 9 8 年至2 0 1 9 年,SO 的年平均浓度值的平均数小于N O 的年平均浓度值的平均数B.1 9 9 8 年至2 0 1 9 年,SO1的年平均浓度值的中位数小于NO的年平均浓度值的中位数C.1 9 9 8 年至2 0 1 9 年,S 的年平均浓度值的方差小于 2 的年平均浓度值的方差D.

10、1 998 年至2 01 9年，SO2的年平均浓度值比N O2的年平均浓度值下降得更快【解答】解:由图可得:A、1 998 年至2 01 9年,S。的年平均浓度值的平均数值都在S。的N O 的年平均浓度值的平均数以下,由此可得S O 的年平均浓度值的平均数小于 N 0Z的年平均浓度值的平均数,此选项正确，不合题意;3、1 998 年至2 01 9年，S O 的年平均浓度值的平均数值都在5 02 的 。的年平均浓度值的平均数以下,由此可得S O 的年平均浓度值的中位数小于 N 0Z的年平均浓度值的中位数，此选项正确,不合题意;C、根据图中两折线中点的离散程度可得SO2的年平均浓度值的方差大于N

11、的年平均浓度值的方差，此选项错误,符合题意;0、1 998 年至2 01 9年，根据图中两折线的起止点可得S O 的年平均浓度值比N 的年平均浓度值下降得更快,此选项正确,不合题意.故 选;C.8.（2分）四位同学在研究函数=+扇+c（b,c 是常数）时，甲同学发现当x=l 时，函数有最大值；乙同学发现函数=+法+。的图象与轴的交点为（0,-3）;丙同学发现函数的最大值为4;丁同学发现当x=3 时，函数的值为.若这四位同学中只有一位同学的结论是错误的,则该同学是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【解答】解;由甲的结论可知;对称轴是直线x=l 时，即 纟=1 时Z?=2；2a 2由乙的结 论可知

12、:函数y=-V +c 的图象与y轴的交点为(0,-3)时,c=一 3；若甲、乙正确,贝iJy=-d+2 x-3,当x=1时,y 有最大值=-1+2-3=-2,当 x=3 时，y=-9+6-3=-6,所以甲、乙、丁中有一个错 误,若丙正确，可知:函数的最大值 为4时,.。,=4,即-一 :一 ;4a若甲正确，则=2,此时 T c 3=1 6,得 c，=3,则 y=-x2+2x+1 i,当x=3时,y=-9+6+3=0；所以丁正确,所以甲、丙、丁正确，乙错 误.故选：B.二、填空题(本题共 16分,每小题2 分)9.(2 分)若分式有意义，则x 的取值范围是X*1 .x-1 【解答】解：由题意得：

13、X-1H0,解得：x w l,故答案为：XH1.10.(2 分)分解因式：nvc-9m=_ m(x+3)(x-3)_.【解答】解:原式=m，-9)=m(x+3)(x-3).故答案为：机(x+3)(x 3).11.(2 分)用个的值推断命题 一次函数y=+1(%X)中，y 随着 x 的增大而增大”.是错 误的，这个值可以是=-1 (答 案 不 唯 一).【解答解:当 =-1 时.,一次函数为y =-x+l,y随着x 的增大而减小,.命 题 一次函数y =辰+1 伏*0）中,），随着x 的增大而增大”.是错误的,故答案为:-1 （答案不唯一）.1 2 .（2分）某校九年级（1）班计划开展“讲中国好

14、故事”主题活 动.第一小组的同学推荐了 “北大红楼、脱贫攻坚、全面小康、南湖红船、抗疫精神、致敬英雄”六个主题，并将这六个主题分别写在六张完全相同的卡片上,然后将卡片放入不透明的口袋中.组长小东从口袋中随机抽取张卡片,抽到含“红”字的主题卡片的概率是-【解答】解:含“红”字的主题卡片有“北大红楼”和“南湖红船”共 2张，所以抽到含“红”字的主题卡片的概率是 =丄.6 3故答案为：-.1 3 .（2分）如图,点A ,D,B,E在同一条直线上,AD=BE,A C =,要使A/W C=尸,只需添加一个条件,这个条件可以是 BC=D F（答案不唯一）.:AD=BE,:.AD+DB=BE+BD,AB=E

15、D，在 A A B C 和 AEDF中，AB=ED AC=EF,BC=DF:.MBCEDF（SSS）,故答案为：BC=DF（答案不唯一）.1 4.（2分）在平面直角坐标系x O y 中，已知点A（2,0）,8（5,4）.若四边形。4 8 c 是平行四边形，则4 B C 的 周 长 等 于!4.【解答】解:过 点 8作物0丄x 轴交于点M,如图,8=+42=5,.四边形4BC是平行四边形,:.OA=BC=2,CO=AB=5,二O W C的周长等于2x2+5x2=14,故答案为:14.15.(2分)若 点 尸在函数y 尤 x,)的图象上,且到x轴的距离等于1,则点尸的坐标是-x,x 0(-1,1)

16、或(1,1)一【解答】解:.点P在函数y=F x,的图象上,且到x轴的距离等于1,I-x,x 0.点/3的纵坐标y=l.点P的坐标 为(-1,1)或(1,1).故答案为:(-1,1)或(1,1).16.(2分)数学课上，李老师提出如下问 题:已知:如图,J是 的直径，射线A C交 于C.求 作:弧 3 c 的中点.同学们分享了四种方案:如图1,连接 B C,作 8 c 的垂直平分线,交。于点.如图2,过点O 作 AC的平行线,交 于点。.如图3,作 N&4C的平分线,交 于点。.图1图2图3图4上述四种方案中,正确的方案的序号是 .【解答】解：由.0。丄8C,BD=DC.图2.AB是直径,/.

17、ZACB=90,:.A C rB C,-,-OD/AC,:.O D V B C,BD=DC.AT平分/BA。,.ZBAD=ZDAC,.BD=DC.图4AB是直径,.ZADB=90,.AD BE9-.AB=AE,.AD平分Nft4C,.BD=DC.故答案为:.三、解答题（本题共68分,第17.22每小题5分,第23.26题,每 小题5分,第27.28题,每小题5分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.（5 分）计算:（一5）+用+27-tan60。.【解答】解:原 式=1 +3+丄百2=+2/3 .218.（5分）先化简代 数 式 3+1_,再求当。满足 2=0时,此代数式的值.a-【

18、解答】解:原 式=（a-1）a-_/+1 伍一Ipa-i a-1_/+1 a2-2 a+1a-1 a-12a=-,a-当a 2=0,即 a=2时,原式=汕=419.（5 分）如图,在等腰 AABC中,AB=A C,直线，过点A.点8 与点。关于直线/对称,连接 AD,C D,求证:Z A C D =Z A D C .【解答】证明:设直线/交 于点石,点B与点。关于直线/对称,:.ZAEB=Z A E D =90 ,BE=DE,在 AABE1 和 AAD石中,B E=D E 1,m/.0 m l,.当胆=丄时,该方程的个实数根大于1,此时方程的解为=丄=2,=1 2m2 2.(5 分)如 图,在

19、 菱 形 A 8 c中,点 E是 C。的中点,连接AE,交 班)于点.(1)求 3:的值;(2)若 A 3 =2,A E =G，求 的长.【解答】解:(1)在菱形A B C D 中,AB/CD.:.ZBAF=Z D E F ,Z A B F Z E D F .A A B F 0 A E )F,.BF ABD F D E .点E是 C D的中点.-.D E =-AB.2.3:=2:1.(2)连接A C.D A B =2,:.AD=2,D E =-A B =.2,:A E =6 ,/.A E2+D E2=A D2.厶4 Z)E是直角三角形,:.AEVDC,ZADC=60.AW是等边三角形./.A

20、C=2 .利用菱形的面积等于对角线乘积的一半,也可底乘高,可 得:-A C B D D C AE.2:.BD=2 .2 3.(6分)在平面直角坐标系x 0 y中,直 线/与 双 曲 线y=(k w O)的两个交点分别为XA(-3,-1),伙 1,加).(1)求 和 的值;(2)点P为直线，上的动点,过点尸作平行于x轴的直线,交双曲线=(。)于点。.当X点。位于点P的右侧时，求点P的纵坐标的取值范围.【解答】解:(1).双曲线 =伏片0)过点A(-3,-l),X:.k=3x(1)=3,.反比例函数解析式为y=3,X在反比例函数y=士的图象上，X31(2).直线/与双曲线=(心0)的两个交点分别为

21、A-3,-1),3(1,3),且点。位于点Px的右侧,.3 或 -1.24.(6 分)如 图,0 0 是A4BC的外接圆,圆心。在 AC上.过 点 B 作直线交AC的延长线于 点 ,使 得 NC8D=N C 4 8.过点A 作 AE丄a)于点,交。于点.(1)求 证:3。是 0。的切线:(2)若/4尸=4,sin)=,求 E 的长.3【解答】证明:（1）连接。,.圆心在 AC上.二.AC是直径,.-.ZABC=90,OA=OB,ZCAB=ZOBA,ZCBD二 ZCAB,ZCBD=ZOBA,ZOBC+ZCBD=ZOBC+ZOBA=90,.,0 B BD,OB为半径,.3。是 的切线;E(2)连接

22、 Cr,AC是直径,.NA。=90。，AE丄3。,厶 ED=90。,:.ZAFC=ZAED.:.CFI IDE,.ZD=ZAC尸，在 RtAACF中,AF=4,/.sin ZAC,AC 3AC 二 6,由勾股定理可得:CT二#2-4?=26,。厶EB=NEFC=NOBE=琳,.四边形 及 是 矩 形,:.BE=FH,-O H IIA F,0 4 二OC,.H为C F 的中点,:.FH=BE=-CF=y/5 .225.(6分)中国新闻出版研究院组织实施的全国国民阅读调查已持续开展了 18次,对我国国民阅读总体情况进行了综合分析.202j年 4 月 2 3 日,第十八次全国国民阅读调查结果发布.下

23、面是关于样本及国民图书阅读量的部分统计信息:.本次调查有效样本容量为46083,成年人和未成年人样本容量的占比情况如图1.b.2020年，成年人的人均纸质图书阅读量约为4.70本，人均电子书阅读量约为3.29本;2019年,成年人的人均纸质图书阅读量约为4.65本,人均电子书阅读量约为2.84本.c.2012年至2020年,未成年人的年人均图书阅读量如图2.图 1图 2根据以上信息,回答问题:(1)第十八次全国国民阅读调查中，未成年人样本容量占有效样本容量的25.2%_；(2)2020年,成年人的人均图书阅读量约为 本，比 2019年多 本;(3)在 2012年至2020年中后一年与前一年相比

24、，年未成年人的年人均图书阅读量的增长率最大；(4)2020年,未成年人的人均图书阅读量比成年人的人均图书阅读量高%(结果保留整数).【解答】(1)1-74.8%=25.2%,故 答 案 为;25.2%；(2)2020年，成年人的人均图书阅读量;4.70+3.29=7.99(本)，2019年，成年人的人均图书阅读量;4.65+2.84=7.49(本)，7.9 9 -7.4 9 =0.5 （本）,故答案为:7.9 9,0.5；(3)2 0 1 2 年至 2 0 1 3 年的增长率为:(6.9 7-5.4 9)5.4 9 2 2 7%,2 0 1 3 年至 2 0 1 4 年的增长率为:(8.4 5

25、-6.9 7)+6.9 7 =2 1%,2 0 1 4 年至 2 0 1 5 年的增长率为:(7.1 9 8.4 5)+8.4 5 1 8%,2 0 1 5 年至 2 0 1 6 年的增长率为:(8.34-7.1 9)+7.1 9。1 6%,2 0 1 6 年至 2 0 1 7 年的增长率为:(8.8 1-8.34)+8.34 2 6%,2 0 1 7 年至 2 0 1 8 年的增长率为:(8.9 1-8.8 1)4-8.8 1 =1%,2 0 1 8 年至 2 0 1 9 年的增长率为:(1 0,36-8.9 1)4-8.9 1 1 6%,2 0 1 9 年至 2 0 2 0 年的增长率为:

26、(1 0.7 1 -1 0.36)!0.36 x 3%,.2 0 1 2 年至2 0 1 3年的增长率最大,故答案为:2 0 1 2 年至2 0 1 3；(4)(1 0.7 1-7,9 9)4-7.9 9 34%,故答案为:34.2 6.(6 分)在平面直角坐标系 O y 中,抛 物 线 y=浸-3o r+l 与 y 轴交于点A .(1)求抛物线的对称轴;(2)点 3 是点A关于对称轴的对称点,求点3 的坐标；(3)已知点0,2),。(“+1,1).若线段P Q 与抛物线与恰有一个公共点,结合函数图象,求。的取值范围.【解答】解:(1);y=加-3o r+1 =(-3x)+1 =。(-+土/,

27、：.抛物线r=ax2-3ax+!的对称轴为直线x=士.2(2)令 x=0,则 y=l.-.A(0,l).点B是点A关于对称轴的对称点,，A与 3 的纵坐标相同.对称轴为直线x=3,2.点A与 8到直线x=-的距离均为-，2 2.点B的横坐标 为x2=3.2，8(3,1).(3)由题意:awO.尸(0,2),.从图上可以看到:当点。在点A的左侧(包括点A)或在点8的右侧(包括点B)时,线段PQ与抛物线只有一个公共点.(0,1),5(3,1),r.a+L,(不合题意,舍 去)或a+1.3.,.a.2.P(0,2),.从图上可以看到:当。在点A与点5之间(包括点A,不包括点8)时,线段PQ与抛物线只

28、有一个公共点.A(O,1),8(3,1),.,.,a+1 3.7 2.又-1,a 0.综上,若线段 与 抛 物线与恰有一个公共点,a的取值范围 为:-L,a =90。，;.AD=ED,P为A E的中点,.。丄 AE；(2)补全图形如图2所示;证明:4。:和AA3C都是等腰直角三角形,Z A D E =Z B A C=90,.ZDAE=45,A D=E D,P为A E的中点,二 /A D P =/E D P =45。,.Z BAE+Z.CAD=A B A C -A D A E =45,A C A D +A A C P =A A D P=45,:.ZBAE=ZACP;BF=DF.证明:如图3,延长

29、C至G,使QG=P连接 G,BG,AAD是等腰直角三角形,ZADE=90,:.AD=DE,ZZME=45,P为AE的中点,.ZAPD=ZAPG=90 f AP=DP=PG,ZADP=45,:.APGMPD(SAS),:.AG=AD,ZPAG=ZDAE=ZAGP=45,/.ZG4D=ZJR4C=90,.ZBAG+/BAD=Z.CAD+ZBAD=90,/.ZBAG=ZCAD,AG=AD,AB=ACf:.ABAG=ACAD(SAS)fZAGB=ZADC=180-ZADP=13 5,.ZBGC=ZAGB-ZAGP=90,:.ZBGC=ZAPG,:.PF/BG,DF DP.-1 ,BF PGBF=DF.

30、图3A图2图128.(7分)对于平面直角坐标系x 中的图形W,给出如下定义:点 尸是图形W 上任意一点,若存在点Q,使得/。尸是 直 角,则称点。是图形 W 的“直角点”.斗7-6-5-4-3-2-1-5-4-3-2-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x-1-4(1)已知点 6,8),在点 2(0,8),。2(-4,2),0(8,4)中,。1 和。3_ 是点 A 的“直角点”;(2)已知点8(-3,4),C(4,4),若点。是线段 3c 的“直角点”,求 点。的横坐标”的取值范围;(3)在(2)的条件下,已知点。(0),Ea+1,0),以线段 E为 边在 x轴上方作正方形D E F G.

31、若正方形 EFG上的所有点均为 线段 BC的“直角点”，直接写出f 的取值范围.【解答】解:(1).点 Q(0,8),Q(T，2),乌(8,4),点 6,8),.,.0。I=+8?=8,0。2=&-4 f+2 2 =而,。3=符+4 2 =7 6 4 +1 6 =5 0,O A =7 62+82=1 0 ,A Q=6?+(8-8=6,4 0=4(6 +4)2+(8 2 尸=6 0 0 +36 =而 6,AQ =,(8-6)2+(8 4)2 =+i 6 =庖,O Q；+A Q；=OA2,O Q；+A Q；=OA2,O Q；+A Q;。庁,NOQi A =9 0 ,NOQ A =9 0 ,Qi和Q

32、y是点A的直角点:故答案为:。和。3；(2)如 图 1 所示，连接0 3,O C ,取 3 0的中点 ，OC 的中点N,分别以M,N为圆心，OB ,OC 为直径作圆，由图可知，。为两个临界点，则=XM-Q2M =-=-4,同理，XQ=2 +2 /2 ,-4!h 2+2 忘:(3)如图2,分别以0 8,OC 为直径作圆，当(+lvO,即，一 1 时,正方形。E P G 位于正方形位置时,可得，=-3,正方形 E 尸 G位于正方形位置时,Z 6(，+1,1),。+CF；=O C2,/.(/+1)2+俨 +(，-3)2+(1 -4)2=42+42,解 得:t=或t=i+y i （舍去）,3 對)1-出.当r 0时,正方形。T 7位于正方形位置时,.G3(r,l),OG；+BG；=OB：.-.t2+l2+(t+3 尸 +(1-4)2=32+42,解 得:r=&U或/=二型0(舍去),2 2正方形FG位于正方形位置时,/E4(/+l,0),.,+1=4,解 得:，=3,叵 3,2综上 所 述,-3 剥1 近 或 回 三 馴 3.2