2023届山西高三联考数学试卷答案.pdf

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1、中 昌 髭 静 尔 K熬 鼐 椽 2023届 山 西 高 三 数 学 试 题 考 生 注 意：1.本 试 卷 分 第 I 卷（选 择 题）和 第 fl卷（非 选 择 题）两 部 分，共 150分。考 试 时 间 120分 钟。2.请 将 各 题 答 案 填 写 在 答 题 卡 上：3.本 试 卷 主 要 考 试 内 容：集 合 与 常 用 逻 辑 用 语、不 等 式、函 数 与 导 数、三 角 函 数 与 解 三 角 形、平 面 向 量 与 复 数 占 7 0%,其 他 内 容 占 30%。第 I 卷 一、选 择 题:本 大 题 共 1 2小 题,每 小 题 5 分，共 6 0分.在 每 小

2、题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.已 知 集 合 A=x|2-x 3,B=川/一 9 0,则 A D B=A.x|-3 x l B.x-3 x-l C.x|-l x 3 D.x|l 3 2.已 知 复 数 之 满 足 z（2+i）=l+3 i,则 g=A.1+i B.|-r i C.1+序 D.一 音+小 3.青 花 瓷，又 称 白 地 青 花 瓷，常 简 称 青 花，是 中 国 瓷 器 的 主 流 品 种 之 一.如 图，这 是 景 德 镇 青 花 瓷，现 往 该 青 花 瓷 中 匀 速 注 水，则 水 的 高 度 y 与 时 间 力 的

3、 函 数 图 象 大 致 是 A,充 分 不 必 要 条 件 C.充 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 5.已 知 tan（a+）=3,则 处 但 二 土 二 心 二 cos（a+s in（-a）A.-y B y C.一 3 D.3【高 三 数 学 第 1 页（共 4 页）】2 3-2 8 C-6.已 知 0 V a V 2,则 工+小 一 的 最 小 值 是 a/aA.4 B.6 C.8 D.167.在 某 次 数 学 考 试 中，学 生 成 绩 X 服 从 正 态 分 布（1 0 0,）.若 X 在（8 5,115）内 的 概 率 是

4、0.5,则 从 参 加 这 次 考 试 的 学 生 中 任 意 选 取 3 名 学 生，恰 有 2 名 学 生 的 成 绩 不 低 于 8 5的 概 率 是 AA 2674 R B,_694 r0 _43 Dn _1968.圆 是 中 华 民 族 传 统 文 化 的 形 态 象 征，象 征 着“圆 满”和“饱 满”，是 自 古 以 和 为 贵 的 中 国 人 所 崇 尚 的 图 腾.如 图,A B是 圆。的 一 条 直 径，且|A B|=4.C D 是 圆 O 上 的 任 意 两 点 C D=2,点 P 在 线 段 C D上，则 前 或 的 取 值 范 围 是 A.5/3,2 B.E-1,0

5、C.3,4 D.1,2 9.九 章 算 术 中，将 四 个 面 都 是 直 角 三 角 形 的 四 面 体 称 为 鳖 脯.在 鳖 脯 P A B C中，P A J_平 面 A B C,A B=B C=2P A=4,则 鳖 月 需 P A B C外 接 球 的 表 面 积 是 A.367r B.727r C.1447r D.2887rf 2 H 0 V 1 V l10.已 知 函 数：7 若 关 于 z 的 方 程 了 一+2=0 有 4 个 不 同 的 实 lln（x）,x 0）在 区 间 _1,管 上 单 调,且 当 Xi-X 2=时，I/（XI）-/（X2）|4,则 3=A.2 B.4

6、C.6 D.81 2.已 知 a=581n 2Z=441n 3,c=e 4,贝!jA.b c a B.c b a C.b a c D.a b c第 n卷 二、填 空 题:本 大 题 共 4 小 题,每 小 题 5分，共 2 0分.把 答 案 填 在 答 题 卡 中 的 横 线 上.13.已 知 向 量。=G n,2）,b=（l,1）,若（a+b）J_ b,则 崔=.14.已 知 圆 C 的 圆 心 C 在 直 线）=工 上，且 与 直 线 y=2%+l相 切，则 圆 C 的 方 程 是.（写 出 一 个 即 可）15.设 等 差 数 列,怜,的 前?1项 和 分 别 是$”，。,且 祟=件，则

7、 安 马=.1 n in一 仇-【高 三 数 学 第 2 页（共 4 页）】23-2 8 C-16.在 A A B C 中，内 角 A,B,C所 对 的 边 分 别 是 a,&,c,且/tanA=aZtanB,点 D 是 线 段 B C 的 中 点，若 AD=5,则 回，面 积 的 最 大 值 是.三、解 答 题:本 大 题 共 6 小 题，共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17.（10 分）在 A A B C 中，内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 是 a,6,c,且 asin Bcos A+V36（cos2A _ 1）=0.（D 求

8、 角 A 的 大 小；（2）若 a=2,求 c 的 最 大 值.18.（12 分）如 图，在 四 棱 锥 P-A B C D 中，四 边 形 A B C D 是 菱 形,PA=PC.（1）证 明:平 面 PBDJ_平 面 ABCD.（2）若/ABC=60,PB=PD=AB,E是 棱 P D 的 中 点，求 平 面 P A B 与 平 面 A C E 夹 角 的 余 弦 值.20.（12 分）据 国 家 气 象 局 消 息，今 年 各 地 均 出 现 了 极 端 高 温 天 气.漫 漫 暑 期,空 调 成 了 很 好 的 降 温 工 具，而 物 体 的 降 温 遵 循 牛 顿 冷 却 定 律.如

9、 果 某 物 体 的 初 始 温 度 为 了。，那 么 经 过 t分 钟 后，温 度 T满 足=）,其 中 T.为 室 温 温 为 半 衰 期.为 模 拟 观 察 空 调 的 降 温 效 果，小 明 把 一 杯 75 t 的 茶 水 放 在 25 t 的 房 间，10分 钟 后 茶 水 降 温 至 50（参 考 数 据:lg X0.30,1g 3ao.48）（1）若 欲 将 这 杯 茶 水 继 续 降 温 至 35七,大 约 还 需 要 多 少 分 钟？（保 留 整 数）（2）为 适 应 市 场 需 求,2022年 某 企 业 扩 大 了 某 型 号 的 变 频 空 调 的 生 产，全 年 需

10、 投 入 固 定 成 本 200（4X2+6Qr 0Cr0,b0）的 离 心 率 是 后，点 F 是 双 曲 线 C 的 一 个 焦 点，且 点 F到 双 曲 线 C 的 一 条 渐 近 线 的 距 离 是 2.（1）求 双 曲 线 C 的 标 准 方 程.（2）设 点 M 在 直 线 工=/上，过 点 M 作 两 条 直 线 4 4,直 线 4 与 双 曲 线 C 交 于 A,B 两 点，直 线 4 与 双 曲 线 C 交 于 D,E两 点.若 直 线 A B 与 直 线 D E 的 倾 斜 角 互 补，证 明:皖 2-王 L M相 端 图 若 函 数 g（H）=f（H）-2f（工 一 点）

11、,对 任 意 的 工 6 一 佥,，8（工）一 a 0 恒 成 立，求 a 的 取 值 范 围.22.（12 分）已 知 函 数 fCr）=aei-ln x.（D 若 z=l 是 八 外 的 极 值 点，求 fCr）的 单 调 区 间；（2）若 关 于 x 的 方 程 八 幻=l+ln a 恰 有 一 个 解，求 a 的 取 值 范 围.【高 三 数 学 第 3 页（共 4 页）】2 3-2 8 C【高 三 数 学 第 4 页（共 4 页）】2 3-2 8 C 高 三 数 学 试 题 参 考 答 案 1.B 由 题 意 可 得 A=,B=/-3 工 3,则 Ap|B=工|一 3 了 一 1.2

12、 A 由 题 意 可 得 z=l+3i=（l+3i）（2 i）=5+5i=i+i 出 越 息“寻 z 2+i（2+i）（2i）53.C 由 图 可 知 该 青 花 瓷 上、下 细，中 间 粗.则 在 匀 速 注 水 的 过 程 中，水 的 高 度 先 一 直 增 高,且 开 始 时 水 的 高 度 增 高 的 速 度 越 来 越 慢.到 达 瓷 瓶 最 粗 处 之 后，水 的 高 度 增 高 的 速 度 越 来 越 快,直 到 注 满 水，结 合 选 项 所 给 图 象.C选 项 符 合.4.B由 方 程+4=1 表 示 椭 圆，得 心 0 且 诸 4,则 是“方 程+=1表 示 椭 圆”的

13、必 要 不 充 分 条 件.5.V)因 为 tan（a+宁)=3,所 以 tan 1 贝 1 J 5in(a+7T)+cos(7t-a)1 tan a cos(a-)+sin(竽-a)sin acos a_ tan a Hsin a-cos a 1-tan a 6.C 因 为 0 4 V 2,所 吗 0,上 0,所 吟+/=+&+(2-a)+/)=十(亍+旦 10）*X（6+10）=8,当 且 仅 当 宁=生，即 a=g 时，等 号 成 立.7.A 由 题 意 可 知 从 参 加 这 次 考 试 的 学 生 中 任 意 选 取 1名 学 生，其 成 绩 不 低 于 85的 概 率 是 等.则

14、从 参 加 这 次 考 试 的 学 生 中 任 意 选 取 3名 学 生，恰 有 2名 学 生 的 成 绩 不 低 于 85的 概 率 是 C|（4）2 X=.4 4 b48.B 如 图,O为 圆 心，连 接 OP,则 席 瓦=（五）+3）（而+次）=网 一/2=网 一 4.因 为 点 P 在 线 段 C D 上，所 以 内&|仍 IW2,所 以 3W?5方 4,则 一 1W和 一 4&0,即 席 林 的 取 值 范 围 是-1,0.9.A 由 题 意 可 知 AB BC.如 图.将 鳖 H需 P A 8 C 补 全 成 长 方 体，则 鳖 臊 P A B C 外 接 球 的 半 径 R 量=

15、3,故 鳖（I 需 PAB C 外 接 球 的 表 面 积 为 4班 并=367r.10.D 如 图，画 出 y=/（外 的 图 象.设/（=，,结 合 函 数/的 图 象 可 知，当 或，2时,八 了）=/有 且 仅【高 三 数 学 参 考 答 案 第 1 页（共 6 页）】23-28C-有 1个 实 根；当 时,/（外=，有 2 个 实 根.则 关 于 上 的 方 程/（上）了 一/（乃+2=0有 4个 不 同 的 实 解 得 2 4 a 3.11.A/(j-)=sin(aki-+-)I/3 COS(OJ+-)=2sin(oj,-)(0).因 为 I/(4)一)I 4,所 以 4 4=甘+

16、江 甘（&e z）,则 T=而 u e z）,从 而 k 4&+2 a e z）.因 为 必 惜,契 所 以 皿 若 e3弘 支 一！兀、沁 人“F冗 hi 6 Z,解 得 6瓦-3 67r 十 2 16瓦-2&3跖+2,A3囱+2（瓦 6 Z）.因 为 所 以 一 母 南&上 因 为 在 Z,所 以 3=0 或 刈=1,所 以-【3 十 2 0,，J2或 4W卬 4 5.因 为 0=4A+2（G Z）,所 以 3=2.12.A 设 函 数/（外=亡-4 1+1,则/=d 一 4.由/（7）0,得 彳 ln 4;由/（才）V 0,得 2 v In 4.则/（不）在（一 8,In 4）上 单 调

17、 递 减，在（In 4,+8）上 单 调 递 增.设 g（.r）=ln/i+l.则 g（i）=1=匕 由/G r）0,得 0 V/V 1;由/（1）0,得 1.所 以 g（i）在（0,1）上 单 调 递 增，在（1,+8）上 单 调 递 减，所 以 g（力 Q g（l）=O,即 In1 一 1,则 111|卷 一 1,故 In 3-|-C-j-.因 为 In 工&才 一 1,所 以 In 十 十 一 1,所 以 l n x A（当 且 仅 当 x=l 时,等 号 成 立），所 以 历?1-5，即 In 4 2方*因 为 a=/（In 4）,b=f（ln 3）,c=f+，所 以 b c a.41

18、3.-4 由 题 意 可 得 a+b=（2+l,3）,则?+1+3=0,解 得?=一 4.14.j2+;/=，（答 案 不 唯 一）设 圆 心 C（a,a）,则 半 径 r=上 空 U，故 圆 C 的 方 程 为（/a）?十（y 一 0尸=J J51 54 由 等 差 数 列 的 性 质 可 知 2a一 则*=贫=铃=爷 芋/【高 三 数 学 参 考 答 案 第 2 页（共 6 页）】2 3-2 8 C16.-v 因 为 tan A=a2tan B.所 以 sm-Bsi;A=sirr As.B.所 以 B c o s B=s i n A c o s 八，所 以 sin 2A=3 cos A c

19、os Dsin 2B,所 以 2A=2B 或 2A+2 B=g 即 A=B 或 A+B=勺.当 A+B=时,因 为 AD=5,所 以 C+A C2=25,所 以 CD A C&苧.则 ABC的 面 积 为 十 2CD A C&苧；当 A=B 时，则 A C=B C.设 C D=”,则 AC=2m.在 ACD中，由 余 弦 定 理 可 得 cos C=*霁-j;25,则$山 C=J l-(*)2=，_9,弋 鬻 病 工,故 A B C 的 面 积 S=十 sin C=1 X 4*X 4 川 谭 川 淳=1J一(34 一 号 产+吟 耍 当 且 仅 当 苏=号 时，等 号 成 立.综 上,ABC面

20、 积 的 最 大 值 是 挈 17.解：(1)因 为 asin Bcos A+-/3Z(cos?A 1)=0,所 以 加 in Acos A+736(cos?A-1)=0,所 以 sin Acos A+焉(cosZA-lXO,所 以 乐 沁 2 A+亨 cos 2 A-y=0,所 以 sin(2A+-)=.3 分 因 为 0 c A e，所 以 青 2 4+牛，所 以 2八+=学.解 得 A=等.5 分(2)因 为 4=2*=管,所 以 二 1=4.6 分 由 正 弦 定 理 可 得*5=1 4=4,则=4sinB,c=4sinC.7 分 sin D sin C sin A因 为 A+B+C=

21、7t.所 以 B+C=，所 以 C=-B,b b所 以 伍 6一 0=4总$五 B-4sin(誓 一 B)=2乃 sin B 2cos B=4sin(B 5-).9 分 o o当 8 一 寄=手，即 8=用 时,4sin(Bf)取 得 最 大 值 4,即 向 4一、的 最 大 值 为 4.10 分 18.(1)证 明：记 A C p|BD=O,则()为 A C,B D 的 中 点，连 接()P.因 为 四 边 形 A B C D 是 菱 形，所 以 ACI3D.1分 因 为 P A=P C,O 为 A C 的 中 点，所 以 OPAC.2 分 因 为 B D,O P U 平 面 PBD,且 B

22、 D n O P=O,所 以 AC_L平 面 PBD.3 分 因 为 A C U 平 面 ABCD,所 以 平 面 PBD_L平 面 ABCD.4 分(2)解：因 为 P B=P D,O 为 B D 的 中 点，所 以 OP_LBD因 为 A C,B D U 平 面 ABCD,所 以 OP_L平 面 ABCD,贝 ij以 O 为 原 点,分 别 以 求，曲./的 方 向 为 x,y,z轴 的 正 方 向，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O 一 设 A B=2.则 A(-l,0,0),B(0,一 宿,0),C(l,0,0),E(0,，+),P(0,0,l),【高 三 数

23、学 参 考 答 案 第 3 页(共 6 页)】23-28C-故 麓=（1,一 煦,0）.普=（1,0.1）,充=（2,0,0）,处=（1,亨,得）.6 分 设 平 面 P A B的 法 向 量=（力，v,0），|n A B=JT I 一 网=0,则 令 力=用,得=（乃，1,一 百）.8 分 I A P=JC I+之】=0,设 平 面 A C E的 法 向 量 加=（个，北，也）,nt,AC=2.z*2=，则 y 3 1 令 义=1，得 加=（0，1，一 店）.10分 m 渔=由+今 2+三 之 2=，设 平 面 P A B与 平 面 A C E的 夹 角 为 心 19.解：（1）由 图 可

24、知 丁=2（普 一 手）=久,则 3=2.1分 0 6因 为/（工）的 图 象 经 过 点 吟,0）,所 以 Asin（2X凑+6=0,所 以 与+*=4 n（A e z）,所 以 中=左 女 一 争（4e Z）.因 为 0 然 一.所 以 中=+.3分 因 为 的 图 象 经 过 点（0,点），所 以 A s in=V J，所 以 A=2.4分 故/(i)=2 sin(2 i+号).5 分(2)由(1)可 知 f(x-)=2sin 2xi贝 I g(r)=2sin(2.:r+号)-4sin 2N=-3sin 2+/3cos 2J?=25/3sin(2x.7 分 因 为 一 居，所 以 一 引

25、 21 所 以 一 W sin(2 z&1,.9分 1Z Z 3 o b Z b所 以 一 2点&2 6 s in（2、r 即 g（i）的 值 域 为 2伍,3.10分 因 为 对 任 意 的 我 一 金，号 _,g（%）一 恒 成 立，所 以 a&加 氏.12分【高 三 数 学 参 考 答 案 第 4 页（共 6 页）】2 3-2 8 C20.解:由 题 意 可 得 502 5=，)x(752 5),解 得 仁 10.2 分 设 经 过，分 钟，这 杯 茶 水 降 温 至 35七,则 352 5=(4 亦 X(5 0 25),.3 分 解 得，=1 0 1 o g z 5-1 0=1 0 X

26、 a o g z l0-2)=10X(表-2)*1 3(分 钟).5 分 故 欲 将 这 杯 茶 水 降 温 至 35,大 约 还 需 要 1 3分 钟.6 分(2)设 2022年 该 企 业 该 型 号 的 变 频 空 调 的 利 润 为 W(.r),当 0 2 J 丽=120,当 且 仅 当 了=60时，等 号 成 立，则 当 1=6 0时,W C r)取 得 最 大 值 3380万 元.1 1分 因 为 34003380,所 以 当 该 企 业 该 型 号 的 变 频 空 调 总 产 量 为 3 0千 台 时，获 利 最 大，最 大 利 润 为 3400万 元.1 2分 工=卮 a(a=

27、l,21.(1)解：由 题 意 可 得、/_9 解 得 4.3 分 I、U=2.故 双 曲 线 C 的 标 准 方 程 为 才 Z1=1.4 分 证 明：由 题 意 可 知 直 线 Z i的 斜 率 存 在，设,/),直 线:尸 鼠 才 一 十)十/,A 5 小)，8 5.3-2).卜=A(H 联 立 1 整 理 得(后 一 4)/+L+二)了+强 彦 kt+t2+4=0,M A，2kt a2，山+於+4则 力+彳 2=24，力 及=-.6 分 故|M A|M B|=(/+1)|力-1|j-2-1|=(公+1)|4 1 2-力+4)十 焉=(4 4 4 1b 4|-4 1.8 分 设 直 线

28、心 的 斜 率 为 丫,同 理 可 得|M D|M E|=上：5).1 0分 因 为 直 线 A B 与 直 线 D E 的 倾 斜 角 互 补.所 以 k=,所 以 k=k/2,则,钗 才=(小 工 厂 才，即|MA|MB=MD|M E|,4|4 4|4-4 1【高 三 数 学 参 考 答 案 第 5 页(共 6 页)】2 3-2 8 C-IMAI=1ME|M DM B12分 22.解：(l)/C r)=a e T-.1 分 因 为 了=1是/(H)的 极 值 点,所 以/(1)=。-1=0,即 a=l,.3 分 易 知/(.r)=e,-1-在(0,+8)上 单 调 递 增，且/(l)=0.

29、所 以 当(0,1)时,/(2)0,此 时/(才)单 调 递 增.所 以 户 外 的 单 调 递 增 区 间 是(1,+8),单 调 递 减 区 间 是(0).5分(2)易 知 a 0,H C(0,+8),。(了)=&尸 _=a#e；-1.令 g(jr)=axer 1,则 g(i)=a e L(才+1)。恒 成 立，所 以 g(i)在(0,+8)上 单 调 递 增，且 g(0)=1 0,.7 分 故 存 在()G(0,十 十 1),使 得 g 5)=0.当 7 0(0,zo)时,g(i)V 0；当 J 6(不),+8)时,g(/)0.所 以 当 时,/(7)0,/(2 单 调 递 增.所 以 当 时,/G)取 得 极 小 值.由 g(1()=0,得 ae，o f=，则 In 白+-1=-In 须，.10 分#0因 为 关 于 2 的 方 程 fC r)=l+l n a 恰 有 一 个 解，所 以/(x0)=2-*-I n x 2=0,当 工 0=1 时，等 号 成 立，由 可 得 a=L故 a 的 取 值 范 围 是 1.12分【高 三 数 学 参 考 答 案 第 6 页(共 6 页)】2 3-2 8 C-