2022-2023学年江苏省南通市如东县高二年级上册学期12月段考数学试题含答案.pdf

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1、2022-2023学年江苏省南通市如东县高二上学期12月段考数学试题一、单选题1.已知直线八夕=丘上有点(c s 2，s in 2),贝 的倾斜角a为()2 -2A.兀 B.2 C.2 D.2【答案】D【分析】根据斜率与倾斜角的关系求得正确答案.详解】因为直线/：V=丘上有点(c s 2，金2),=s in 2=ta n2所以s in 2 =kc o s 2 ,解得 c o s 2 ,n-2 =72因为5 +，%+1%+l ak d,A=1，4+A/%+1所以 d d d,所以 29a,。,，=2022 xd=2022 x-=9099所 以 一 2故选：D.6.几何学中，把满足某些特定条件的曲

2、线组成的集合叫做曲线族.点。是椭圆族7 上任意一点，如图所示，椭圆族7 的元素满足以下条件：长轴长为4：一个焦点为原点；过定点尸（3）,则|尸|+|。|的最大值是（）【答案】A【分析】根据已知条件及椭圆的定义，结合两点间的距离的公式即可求解.设点所在椭圆的另一焦点为尸，则|0P|+|0O|=|2P|+4-|2F|0）与抛物线有四个不同的交点，记了轴同侧的两个交点为4 8,则I 尸川”用|的取值范围是（）A.（0,4）B,（5,9）C.。9）D.【答案】B【分析】联立抛物线与圆的方程，消元后得到关于N 的一元二次方程，由于有四个交点，结合韦达定理得/的取值范围，再根据抛物线定义得尸川”尸 团关于

3、产的关系式，即可得取值范围.【详解】解：由 题 可 得 如 图：不妨设4 8在V轴右侧将。方程与抛物线方程联立：x2=4yf+（y-4）-=，得/+=o（*）,设力（声,乂,）8（当力），4 8在歹轴同侧，不妨设%0,2 0则由。知与抛物线有四个不同的交点可得（*）有两个不等的正根，得：A =1 6-4（1 6-）=4尸-4 8 0%+%=4凹力=1 6 /0,即产 e（1 2,1 6）,由抛物线定义可得H尸81=（乂 +1）（月 +1）=y,y2+（yl+y1）+l=21-r2 e（5,9）,故选：B.二、多选题9.过点尸（-2 1）的直线与函数x）=V+l的图象相切于点Q（x。，）,则%的

4、值可以是（）A.0 B.2 C.3 D.-3【答案】A D【分析】根据过函数图象上一点处的切线与导数之间的关系求解.【详解】因为x）=x、l,所以/（X）=3X2,k=r（x（）=%由题意得直线尸。的斜率%+2,3片:-即 与+2 ,解得%=0或x0=-3.故选:A D.1 0.已知函数/（x）=lnx,g（x）=C-l.下列说法正确的是（）A.当=1时，8（、）的图象为函数/G）图象的切线B.函数尸G）=x）g（x）,贝/（）用门C.时方程/（x）=gG）只有一个解D.当上2 1时，对任意的x L+8）,/（x）g（x）2 0恒成立【答案】A C D【分析】根据切线、导数运算、图象、最值等知

5、识确定正确答案.【详解】对于A,%=1时，g（x）=l,令（x）-=l得x =,切点为（1，）,切线为T,即gG）=x-l,故A对;MbF（x）=（履-l）lnx 尸（x）=-n x+一 t t,a对于B,v 7 v 7 x ,故B错陕；对于C,当4 时，画出/（X）与8卜）的图象，显然只有一个交点，故C正确；/g（x）=A x-l对于D,x e L+8）时，/。）2 0恒成立，2 1时，g（x）=H T单调递增，且在必+）上最小值为g =1 2 0故 心1时，对任意的x e L+）,/（x）g（x）2 恒成立，故D正确.故选：A C D.1 1.以下为正奇数从小到大依次排成的数阵：13 57

6、 9 1 1第行有个数，则（）A.该数阵第月行第一个数为Y-n +lB.该数阵第行最后一个数为/+1C.该数阵第”行所有数的和为/D.若数阵前行总和不大于2 0 2 3,则的最大值为9【答案】A C【分析】正奇数从小到大为等差数列%=2 加-1,数阵第“行第一个数对应机依次为：1,2,4,7,1 1,，则 22 +1 -1对 A,第行第一个数为（2 ）；对 B,第八行最后一个数为第+1 行第一个数减2；对 C,第行所有数的和为首项为该行第一个数，公差为2的等差数列的前项和：对 D,数阵前行总和为前 行每行所有数的和相加.【详解】正奇数从小到大为等差数列盘=2?-1,数阵第行第一个数对应m依次为

7、：（一 1）1,2,4,7,1 1,一，则 22 +1 -=n2-n+对 A,第行第一个数为I 2 ；,A对；（+）22-F 1 1 2 =7 7*4-7 7 -1对 B,第”行最后一个数为第+1 行第一个数减2,即（2 ）,B错；对 C,第行所有数的和为首项为n-n+l,公差为2的等差数列的前项和，即1 7 2 ,C对；对 D,由第行所有数的和为/,则数阵前行总和S=+2 3+.+/,则有当=8 时，5 =1 2 9 6 2 0 2 3,故数阵前“行总和不大于2 0 2 3 时的最大值为8,D 错.故选：A CC x l（b 0）1 2.如图，过双曲线 右支上一点尸作双曲线的切线/分别交两渐

8、近线于/、B两点，交X轴于点。，耳用分别为双曲线的左、右焦点，。为坐标原点，则下列结论正确的是()C.SAAOB=bD.若存在点P,使且片。=2 6，则双曲线c的离心率e =2【答案】B C D【分析】联立切线方程与渐近线方程，求出48的坐标，即 可 得=+l）x；-1,由的取值 范 围 即 可 得 京=2 6,从而可判断A,由中点坐标公式可判断尸是48的中点，由此可判断B C,由 余 弦 定 理 结 合=2。8可判断口.X?_ J1【详解】先求双曲线 吩上一点”与，打）的切线方程：不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）.2 y2 _,=b2X由X _炉_1,得L,所以)

9、W-b1,y，_ b o _ b/则在R x。/。）的切线斜率 扬X0 2一 y-yn=2-（x-x0）所以在点尸（/J。）处的切线方程为：必X0 2-与=1 X0X-=又有，化简即可得切线方程为：b2不失一般性，设P（x ，处）是双曲线在第一象限的一点，”（网，必）是切线与渐近线在第一象限的交点,8（X2，%）是切线与渐近线在第四象限的交点,双曲线的渐近线方程是）=云，V X-=lb2/、A(-,-)联立：U=,解得：bxQ-y0 bx0-y0,Y X-L=b2 mb-/、t (T，7 )联立：l尸一反，解得：bx0+y0+J o,1阳=Q-J)?+工Z7=则 V bx0-y0 bx0+y0

10、 bx0-y0 bx0+y0 2yl(Jr+l)x0-1又因为八 2 1,所 以 网*2河+1)-1 =2 6,即|/8京=2 6,人错误;b b b2-h2-+-+-bx0-y0 bxQ+y0 _ bx0-y0 bx0+y0 _由 2=%,2=，。，可知是4 8的中点，所以SA M=S gj B正确；（一,0）易知点。的坐标为X。DAOB则-c.C一 0ADO 十 ABDOf囱 小 切=9白3+悬）=当点P（x（）/o）在顶点（1,0）时，仍然满足%。尸6,c正确;1 一 1 16(-c,0)，8(c,0),D(一,0)他=(一 +。,0)DF2=(C一一,0)因为 与，所以%，%因为月。二

11、之6+c=2(c -)则X。X。，解得3X。X。即3代入v2 y02与 下%;所以 P F f=+c)2+与_*斗+八6+半 十C C C=+6 +c9(c2-l)-(c2-1)=1 6,得AI n r,1 2 /3 2 9b2 ,2 9 2 N 9/72,2P F =(c)+-b=r +c -6 +c c c-c=-+c2-6 +9(1)2-(C2-1)=4cos NF PF 一 弥M叫2一 闺 闾 16+4-4人 5-2所以 2 2x|P冈尸图 2x4x2 4 4,e=-2所以c?=4,C=2,所以离心率 a,D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用导数几何意义求得在双曲线上一点 a。

12、，为）的切线方程，并联立渐近线方程，求得4 8 的坐标，判断出P 是 中 点.三、填空题13.在中，三边长是公差为2 的等差数列，若 春 2 c 是钝角三角形，则其最短边长可以为.（写出一个满足条件的值即可）【答案】3（答案不唯一）【分析】设三角形的三边长为“，+2，.+4,求出最短边的取值范围为（2忑）即得解.详解解：设三角形的三边长为生 +2，+4,所以a+2 a+4,.a 2/+3 +2）2.+4）2.因为三角形是钝角三角形，所以 2a伍+2）,所以-2 6.综合得最短边的取值范围为（2 4）.故答案为：3（答案不唯一）14.函数/G）=x Jn x 的 单 调 递 减 区 间 为.【答

13、案】。匕#（0 1【分析】利用导数求得/G）的单调递减区间.【详解】函数的定义域为（+e）,./（I n x +l,0 3)(1)若 尸(5)+尸(6)=尸()，则=；(2)若尸(20 22)=9 则 F +/(2)+尸(20 20)=【答案】1 1 -l#-l+a【分析】(I)利用已知和F()=F(-D +F(-2)的性质计算可得答案：(2)利用已知和尸()=尸(-1)+尸(-2)的性质计算可得答案.【详解】七5)+尸+&=8 9=“，.=u ；(2)/+尸(2)+F(2 0 2 0)=F(3)-F(2)+F(4)-产(3)+尸(2 0 2 2)-尸(2 0 2 1)=F(2 0 2 2)-

14、F(2)=a-l故答案为：1 1；五、填空题2 21 6.星形线又称为四尖瓣线，是数学中的瑰宝，在生产和生活中有很大应用，/+/=|便是它的一种表达式，星形线关于夕=对称星形线图像围成的面积小于2_星形线上的点到X 轴，歹轴距离乘积的最大值为a星形线上的点到原点距离的最小值为2上 述 说 法 正 确 的 是 有.【答案】【分析】把已知方程中的x 与了互换方程不变，判断；由星形线图像围成的区域在曲线N+3=i所围成的内部区域判断；利用基本不等式求最值判断.2 2【详解】对于，把 方 程,+俨=1 中的X与y互换，方程不变，可得星形线关于y =x 对称，故正确；2 2 2 2对于,曲线凶+3=1

15、所围成的区域面积为2,而 国+例 仲+阱=炉+匕即星形线图像围成的区域在曲线W+3=i所围成的区域内部，所以星形线图像围成的面积小于2,故正确;由-+小 席+席 2 2 后=2 网;，得 4，当且仅当N3时等号成立,即星形线上的点到X轴，歹轴距离乘积的最大值为故错误；x2+y2=户+6=/+3 /+/因为 J 人）（2 2 2（2 2 山 2 2 丫 J 2 3+户 1=炉+/炉+/3 3）3 =1-3（A）3 1-3-=即星形线上的点到原点距离的最小值为y/x2+y2=-2，故正确故答案为:.六、解答题1 7.已知函数/（x）=e-4 x,R.71（1）若/（X）在x =0 处的切线倾斜角为

16、彳，求。的值;（2）求函数/（X）的单调区间.【答案】（1）。=5（2）答案见解析【分析】（1）由广（）=1 求得a的值.（2）求 得/（X）,对。进行分类讨论，由此求得函数,G）的单调区|H j.详解（1）/（x）=a e、-4/z（0）=a-4 =t a n =1令4 ,解得。=5 .（2）因 为/（x）=e -4,x w R,时，/（x）恒成立，故/（X）是（0，）上的减函数;,4。时，令/（x）=得a,.4 ,4由/。得叱，*.）（）得 x 叱,故/（X）的单调减区间为,单调增区间为综上，。0 时，/（*）是（-，+0 0）上的减函数；f（f-o o,l n-1 f l n-,+。时，

17、J l 町的单调减区间为I a）,单调增区间为I a1 8.已知数列 J 满足4 =2,且（-3 （%+1）+4 =0,eN（1）求证：数列I 一 是等差数列；b=乙（2）若数列色 满 足%T,求 也 的前项和.【答案】（1）证明见解析7；=【分析】（1）根据题意化简可得a T 勺-1 2证明即可;（2）由（1）可得4一 1 2,进而得到=（+l）x 2 ,再根据错位相减法求也，的前项和即可.【详解】（1）由（%-3 （%+1）+4=0,得%+1,1111JT%T f3_ 4 _ an-所以 I%+U_ _ l_ _ _ _ _ _ _1_ _ a“+l _ 2 _ 。“_ 1 _ _=2 4

18、-7 T=2(a-l)-2(-l)=2(-l)=2%+l ,又j I I I，所以数列1“TJ 是 以 1 为首项，E 为公差的等差数列.!-=l +(n-l)x=-(2)由(I)可知，a1 2 2,2+,2n+lx(+l)/、b=-=-2=(+I)X2 ,、所以 4-1 2.记出，的前项和为3则 7；=2x 2i+3x 22+4x 23+.-+x 2T+(+l)x 2(j)27；,=2x 22+3x 23+4x 24+-+nx 2+(n+l)x 2,+1()由-得 V=4 +22+2、24+.+2”-(+I)x*4(1一 2吟=4+-2 ”(+l)x 2”=x 2i所以k x 2”L【点睛】

19、等差数列的判定与证明的方法定义法对 于 数 列 ，一%（心 2,e N*）为同一常数0也 为等差数列等差中项法2%_|=+。_ 2 (3,e N*)0%为等差数列通项公式法an=P+q（p,q为常数）对任意的正整数n都成立=%为等差数列前项和公式法S,=M+8 （48为常数）对任意的正整数都成立=”为等差数列=31 9.已知数列“J满足6%5,+2=a“+2 x 3 e N ),且%N*).求数列也 的通项公式；“C 二 出”+1)(2)若3(42-1)(GN*),求数列匕 的前项和.【答案】=3,e N,.1 1(2)3-3n+,(2n+l)【分析】(1)根据递推关系结合条件求得 m-2=2

20、 x3 ,然后利用累加法可得”的通项公式;11C -(2)由题可得3(2-1)3一(2+1),然后利用裂项相消法即得.3【详解】因 为“一七一5,2=a +2 x 3 (e N ),“=%+%,可得仇=+曲=3,an+2-an=2 x3,又 4+1-hn=an+%+2 一 (%+用)=%+2 一%=2 X 3,则当2 2 时，hn=+(*2-61)+(*3-f e2)+-，+(-i)=3+2 x 3+2X32+-+2X3,_,上式对=1也成立,所以2 =3,e N*.bR(2)由4(/7+1)3(42-1)?N)_ 4+4 _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 可得 C _

21、3n+,(2n-l)(2n+l)-3(2-1)-3向(2 +1)1 _ _ _ _ _ _i _ _ j _ _ _ _ _ _ _ i _ +_ _ _ _；_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 则数列匕 的前项和为 3,x l 32X3+32X3 33 X5+3(2-1)3,+l(2n+l)11一3一3川(2 +1)2 0.已知各项均为整数的数列H”满足4=T,%=4,前6项依次成等差数列，从第5项起依次成等比数列.(1)求数列”的通项公式;(2)求出所有的正整数m,使得人+勺+】+4+2=。,+2.【答案】122，小 ：(2)加=1,或加=3.【分析】(1)首先根据条件前6 项

22、成等差数列可以将。，二用公差d 的代数式表示，再由条件从第 5 项起依次成等比数列可以得到关于公差的方程：(3dT)2 =4(2 4-1),从而解得=1 或9(舍去)，即 可 得 数 列 的 通 项 公 式 为“2-,(*5).(2)考 虑 到(1)中求得数列的分段性，因此首先可验证：一】或，时符合题意，”一二 或 时 不 合 题 意，接下来只需说明当”上 ,条件给出的方程无解即可：%+%+册+2=2T-1)=7X2：”限=2.若J=“川 限，则7x2吁5 =23M-2,.22M-7=7,而这是不可能成立的，从而得证.【详解】(1)设数列前6 项的公差为d,则%=T +2%=-l+3 d a

23、为整数)2d又.6,%,%成等比数列，.(3-1)=4(2 4-1),即9d2 144+5=0,得d=l 或 9(舍去)，当6 时，/=-4,6 分6=2,数列从第S项起构成的等比数列的公比为，&_-4,(5,.-.22m-7 8,从而方程2*7=7 无解，.%+%+,+*2 x。1A M M .故所求”：=1或加=3.2 1.已知/(3,0),5(-3,0),C 是动点，满 足%死=几(义为常数)，过 C 作 x 轴的垂线，垂足为H,记 C 中点”的轨迹为（1）若是桶圆，求此椭圆的离心率；若（2，D在 上，过点G（O,m）作直线/与交于尸、。两点，如果加值变化时，直线M P、M Q的倾斜角总

24、保持互补，求AMP。面积的最大值.【答案】（1）22【分析】（1）根据条件，列方程即可；（2）根据条件设直线/的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出归0和 M 点到直线/的距离,再 计 算 三 角 形 的 面 积，利用基本不等式即可求解.【详解】设 M Xy）,则C（x,2y）,/C8C=（x-3,2y）-（x+3,2y）=x2-9+4 =4,方程为/+4/=彳+9,上+尤=1仅当4 -9 时此方程表示椭圆7+9 A+9,此时，V 4 2色.e=2.（2）把尸（2，1）代入-+4/=+9,得2=-1,方程为4+4/=8,设尸（，山），。（如竺），直线/方程为y=kx+m,代入方程可得（1+4

25、/）/+8 碗x+4/H2-8=0,8km 4m2-8一由庄=由，直 线 心、M Q的倾斜角互补，.kMP=kMQ,（g+加）-1_（仇+7）-1X）-2 X2-2 ,化简得+（加一 2左 一 1）（玉+%2）+4-4加=0 ，把代入，整理得（2 1 加+（4/-4%+1）=0,.2 1 =0,4左 2_必+1 =0,=2,1此时，%+,=-2 ,见 平2=T2 52 -4A,直线/方程为yJ =x+m2,IPQ1=J l+7 I-2|=75V 4-W2；.N 4,尸到直线/距离 V5MPQS=-d P Q|=|/n|）,联立X2 2 +V=12x=ty-2可得（r+2）/-4 a +2=0,

26、A=（4/）2 -8（?+2）0,经 2,，=g X 2X（%一必）=必+%）2-4乂%=_ 26m _ 2y2 272 _ VI_ _ _ _ 3加。+8 4?2 +47 4 A -2 A -r令加=J/一 2 0,则 m,4m=当且仅当 m,即加=2 时等号成立，唱所以三角形/O 8 面积的取值范围为I 2 .2友-2t2+2（3）设直线/方程为了=6 一步）（斜率必存在）,则64=（玉+1，乂）,可=&T，必）,.品 啊.（再+1%=&-1）凶，（X+1）女&一?）=（工 2 一 1）%（西一利）化简得匕+西+川（迎一再）_ 2机=0,y=k（x-m 联立得2 =2 ,.（1 +2k2）

27、x2-4mk2x+2k2m2-2 =0 A=8 0 x+x2中 2=_ 4mk?-1+2公2k2 m?-21 +2公代入得，1 +2/+mV(x2-x，A7-lm=021 +2/,Z 2/、2，1 6 左 2-8 E 2?2+8U -x J =区+)-4xtx2=-s-(1 +2k-)代入得：2-2*W+l=0,故12m2-4,而点48在x 轴上方，所以对于任意一个加 一五,存 在 唯 一 的 2 相2 _ 4使得与/我避,故直线/有且只有一条使得打 他.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(3)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.