2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）-含解析.pdf

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1、2022年普通高等学校招生全国统一考试（乙卷）数学（文科）题号二三总分得分一、单项选择题（本大题共12小题，共 60.0分）1.集合M=2,4,6,8,10,N =x|-l x 6 ,则M f!N =（）A.2,4 B.2,4,6 C.2,4,6,8 D.2,4,6,8,10【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.【解答】解：M=2,4,6,8,10 ,/V=x|-1 x 8 f16甲同学周课外体育运动时长大于8 的 有 6 周，故甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值为白=0.375 0.6,故C是错误的.X+y 2,5.若x,y满足约束条件x+2yS4,则z=

2、2x-y的最大值是（）.y o,A.-2 B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】本题考查了线性规划问题，属于基础题.【解答】解：画出不等式组所表示的平面区域，如图所示：将 z=2 x-y ,变形为y=2x z,这是斜率为2、随 z 变化的一族平行直线I ,-z是 直 线I在 y 轴上的截距，当-z 取最小值时，z 的值最大.作出直线l0：y=2%,将 直 线I从 直 线/0位置平移至直线k 的位置时，截 距-z 最小，对 应 z 最大，即直线I经过如图所示的点C时，z 取最大值，由上/=4 得=3即 点 C 坐 标 为(4,0),因 止 匕，Zmax=2X 4 0=8.6.设尸为抛

3、物线C:y2=4x的焦点，点4 在C上，点B(3,0),若|AF|=|B F|,则=()A.2 B.2A/2 C.3 D.3V2【答案】B【解析】【分析】本题考查抛物线的定义、方程和性质，属基础题.【解答】解：易知抛物线C:y2=4 x的焦点为F(l,0),于 是 有BF=2,故AF=2,注意到抛物线通径2P=4,通径为抛物线最短的焦点弦，分析知A F必为半焦点弦，于是有AF l x轴，于是有 AB=V22+22=2/2.第4页，共17页7.执行右边的程序框图，输出的n=()A.3B.4C.5D.6【答 案】B【解 析】【分 析】本题考查程序框图，属于基础题.【解 答】解：第一次循环：b=l+

4、lx 2 =3,a=3 1=2,n=1+1=2,|2|=|(|)2-2|=10.01第二次循环：b=3+2x2=7,a=7-2 =5,n=2+1=3,|提一2|=-2|屋 0.0 1第三次循环，6=7+2x5=17,a=17 5=12,n=3 4-1=4,|-2|=位A 2|=+0.01故 输 出 几=48.右图是下列四个函数中的某个函数在区间-3,3的大致图像，则该函数是（）A-X3+3X-3 力。1 3 XJ x2+iv y Bx3-Xz x2+l-2XCOSXC.y=2,J x2+lc 2sinxD.y=J x2+l【答案】A【解析】【分析】本题主要考查函数图象的识别，属于中档题.【解答

5、】解：对 于8,当x=1时，y=0,与图象不符，故B不正确.对 于C,当#=K时，y=0,与图象不符，故C不正确.对 于D,当x=3时，y=等 0,与图象不符，故。不正确.故综合分析A选项符合题意.9.在正方体48:。一 公/6。中，E,F分别为4B,BC的中点，则（）A.平面为EF 1平面8叫 B.平面1平面4BDC.平面&EF平面4AC D.平面&EF平面4G D【答案】A【解析】【分析】本题考查了面面垂直的判断，面面垂直的性质，属于中档题.【解答】解：对 于A选项：在正方体ABCD A i B GD i中，因 为E F分 别 为AB,BC的中点，易知第6页，共17页EF L B D,从

6、而EF 1平 面B D D、，又 因 为EF u 平 面B D DX,所以平面BXEF 1平面 B D D1,所 以A选项正确；对 于B选项：因为平面A.BD n平 面BDD=BD,由上述过程易知平面B】EF 1平面&B。不成立；对 于C选项的直线力&与 直 线B E必相交，故 平 面BEF面AXA C有公共点，从 而C的错误；对 于D选项：连 接AC,A B】，B iC ,易知平面AB、C”平 面A D ,又因为平面ABrC与 平 面B i E F有公共点B ,故平面A B i C与 平 面BXEF不平行，所 以。选项错误.1 0.已知等比数列%的前3项和为1 6 8,a2-a5=4 2,则

7、。6 =()A.1 4 B.1 2 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】本题主要考查等比数列前n项和中的基本量计算，属于基础题.根据题干列出等式求得由 与q ,进而求出a6.【解答】解：设等比数列 an首 项 的,公 比q .由题意，伊+与+驾=1 6 8 ,+二 1 6 8 ,-=4 2 (1式1 -q 3)=4 2 4(1 +q +q2)=1 6 8Q q(l -q)(l +q +q 2)=4 2解得，4 =；，%=9 6 ,所以 a6 arqs=3 .1 1.函数/(x)=c os x +(x +l)s in x +1 在区间 0,2 兀 的最小值，最大值分别为()【答案】D【解析】

8、【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，考查了运算求解能力，属于基础题.【解答】解：/(x)=c os x +(x +l)s in x +1 ,则 f(x)=-s in x +s in x +(x +l)c os x =(x +l)c os x ,当；当#C(品 券)，f(x)0 ；当则/(x)在 位 信)上单调递增，在 )上单调递减，在(等,2司 上单调递增,-*-/何 畦 值=f e 1+2，1(y)y，又 f(0)=2，/(2r)=2,1 在 区 间 0,2 扪 上,f(对最大值=1+2 ,最小值=一 春 1 2.已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为。，底面的四个顶点均在球。的球

9、面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A.B.；C.立 D.立3232【答案】C【解析】【分析】本题考查圆锥体积，最值计算.【解答】解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是边 长 为 a的正方形，底面所在圆面的半径为r ,则 r =叱a，2第8页，共17页所以该四棱锥的高五=,所以体积V=|a2J i-y ,设=t（0 t 2）,展 卜 _授,（/一），=2 一/，当 o t o ,单调递增，当 g t 2,（/一），r=+?=V，所以圆的方程为。一？+(4)若 圆 过B、C、D三点，则 线 段B D的中垂线方程为y =1,线 段B C中垂线方程为y=5 x-7 ,联立得J(

10、|-4)2+l =y,所以圆的方程(x g)+(y l)2=詈.第10页，共17页16.若/。)=l n|a +乙|+b 是奇函数，则。=,b=【答案】12l n 2【解析】【分析】本题主要考查利用函数的奇偶性求参，属于较难题.【解答】解：/(x)=l n i|+b =lnp|+b ,”一 厘+人f (x)+/(-%)=In +In +2 b =0，|胃善斗2 b =o ,故 巴=(Q+1)=2 a +l =0=a =,1 1 2 2 b =l n 三=-2 1n 2 =b =l n 2 ,4故 a =|,b =l n 2 .三、解答题(本大题共7小题，共 80.0分)17.记 48C的内角A

11、,B,C的对边分另I 为a,b,c,已知s i n Cs i n(4 B)=s i n 8s i n(C 4).(1)若4=2 8,求C:(2)证明：2 a2=b2+c2.【答案】解：4=2 8,知s i n Cs i n Q4 B)=s i n Bs i n(C-A),s i n Cs i n B=s i n Bs i n(C 2 B),又s i n B*0,:.s i n C=s i n(C 2 B),可得C+C-2 B =180,又；4=2 B,A+B+C=180,可解得C=112.5。；(2)证明：由s i n Cs i n(4-B)=s i n Bs i n(C-4)可化简为：sin

12、CsinAcosB 一 sinCcosAsinB=sinBsinCcosA-sinBcosCsin/,由正弦定理可得QCCOSB-bccosA=bccosA-abcosC,即QCCOSB=2bccosA-abcosC,由余弦定理可得ac x Q c2-坟=2bc x-a b x贮当d,即证得2a2 =h2 4-c22ac 2bc 2ab【解析】本题主要考查了正余弦定理的综合应用，以及两角和与差的正弦公式，考查了运算求解能力，属于中档题.1 8.如图，四面体ABCD中，AD 1 CD,AD=CD,AADB=BDC,E为AC的中点.(1)证明：平面BED I平面AC。；(2)设4B=BD=2,4A

13、CB=60。，点尸在8。上，当 AFC的面积最小时，求三棱锥产一 ABC的体积.【答案】(1)证明：因为=AD=CD,BD=BD,所以AAOB三A C D B,所以AB=BC,又因为E是AC的中点，所以BE LAC,又因为4D=D C,所以DE _L AC,又因为BEDDE=E,且BE、DE u 平面BED,所以4c 1平面BED,因为4c u 平面4CD,所以平面BED 1平面4CD;(2)解：因为AB=BD=2,Z.ACB=60,所以结合(1)可知AB=BC=AC=2,又E为AC的中点,则BE=V3，连接EF,第12页，共17页DF因为A A D B 三 C D B,所以AF=CF,所以

14、E F J.4 C,所以在ABED中，当E F l 8。时，SM FC最小，因为AD IC C,AD=DC,AC=2,E为4 c的中点，所以DE=1,又 DE?+BE2=B D 2,所以 BE I E。，若 E F l B O,在 BE。中 EF=及%=血，BD 2得BF=y/BE2-EF2=|,则“的、BF EF=2叵=运,/2 2 2 2 8因此，Vp-ABC=A-BEF+C-BEF=ABEF-1 X 手 X 2=【解析】本题考查了面面垂直的判定、线面垂直的判定、棱锥的体积等知识，属中档题.1 9.某地经过多年的环填治理，已将就山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了

15、 10 棵这种村木，测量每棵村的根部横截而积(心位：m2)和材积量(6 3),得到如下数据：样本数号i12345678910 总和根部横截面积勺0.0 4 0.0 6 0.0 4 0.0 8 0.0 8 0.0 5 0.0 50.0 70.0 70.0 60.6材积量yi0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.360.460.420.403.9并计算得，?/2=0 0 38,=1.6158,鹉/%=0.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.0 1);(3)现测量了

16、该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186nl2.己知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附：相关系数一下京荒K嬴，1.3 7 7.【答案】解：(1)设这种树木平均一课的根部横截面积为a 平均一个的材积量为区则亢=0.0 6,y=0.3 9.i o J i o_ 2JL1Xjyi-nx y _ 0.2474-10 x0.06x0.39 _ 0.0134 _I 1-J(严 声7 1力 一V0.038-10X0.062X/1.6158-10X039)2-V0.002x0.0948-0.0134 _ 0.013

17、4 _ 0 9 70.01X/T896 0.01377-；(3)设从根部面积总和为X,总材积量为y,则9 =三，故y=餐、1 8 6 =1 20 9(租3).Y y u.o【解析】本题考查了用样本估计总体，样本的相关系数，属于中档题.2 0.已知函数f(x)=a x-：(a +l)ln x.(1)当Q =。时，求/(%)的最大值；(2)若/(%)恰有一个零点，求a 的取值范围.【答案】解：(1)当a =0 时，f(x)=-：ln x,定义域为(0,+8).当X e (0,1)4 广(%)0 J O)单调递增，当X e (1,+8)时 (x)O j(x)单调递减,故/C O m a x =f =

18、-1 -0 =-1.(2)/(%)=a x -3 -(a +l)ln x,定义域为(0,+0,f(x)0,故f(x)单调递增，且f(l)=0,符合题意.当Q H 1 时，g(x)=0 有两个不等的实根，%1 =1,%2=I，若Q V 0,/(%)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)单调递减，此时/(%)&/=a -1 0,此时无零点.第 1 4 页，共 1 7 页若0 V Q V 1,/(%)在(0,1)上单调递增，在(1,单调递减，在(1+8)单调递增,又/(I)=a 1 0,f (，)=1 a+(a+l)/na 0,符合题定、，若a l,/Xx)在(0,上单调递增，在弓,1)单调递减，在

19、(1,+8)单调递增，又f(l)=a-l 0,/(i)0,当X T 0时，/(x)0,符合题意.综上，a 的取值范围为(0,+8).【解析】本题主要考查利用导数研究函数的最值及利用导数研究函数的零点，属于难题.2 1.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴，y轴，且过4(0,-2),8(|,-1)两点(1)求E的方程；(2)设过点尸(1,-2)的直线交E于M,N两点，过M且平行于x的直线与线段AB交于点7，点H满 足 祈=前，证明：直线HN过定点.【答案】2 2 o解：(1)设E的方程为9+白=1,将4(0,-2),两点代入得=12 21,解得a2=3,62=4,故 E 的 方 程 为 土+

20、匕=1.2+上=1 3 414az 丁 乒(2)由力(0,-2),可得直线AB:y=|x -2若过P(l,2)的直线的斜率不存在，直线为x=l.代入?+3=1,可得M(l,乎),N(l,_ 平)，将旷=当代入4B:y=|x _ 2,可得了(乃+3,苧)，由 而=而，得”(2通+5,乎).易求得此时直线HN:y=(2-平)久-2.过点(0,-2)；若过P(l,-2)的直线的斜率存在,设k x-y (k+2)=0,M g%),N(x2,y2).(kx y (A+2)=0联立，百 y2 _ 1,得(3/+4)x2-6fc(2+k)x+3k(k+4)=0,(3 4,y=6k(2+k)f,=-8(2+k

21、)的有11 2 3k2+4 y i%3k2+4 _ -24k(.故侣 _ 3k(4+k)“4(4+4 k-2/)旦1、2+%2丫1-3k2+4()r1 X2 _ HT(乃丫2=3 k2+4y yxv =2-2 可得7(等+3,为)，H(3yi+6-X i，%),y 3可求得此时“N:y-丫2=为 一，23y1+6-x1-x2(尤-x2)将(0,-2)代入整理得2(无 1+x2)-6(7 1+y2)+xty2+x2yx-3 y l y 2 -12 =0将(*)式代入，得2 4k+12 k2+9 6 +4 8/c -2 4/c -4 8-4 8/c +2 4k2-3 6/c2-4 8 =0,显然成

22、立.综上，可得直线H N 过定点(0,-2).【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题.(1)根据点在椭圆上，坐标满足椭圆方程，求出椭圆的标准方程；(2)分类讨论过点P 的直线斜率是否存在，再根据题干依次表示出7,N 坐标，表示出直线H N 方程，判断直线过定点即可.2 2.在直角坐标系x Oy 中，曲线C 的 方 程 为 为 参 数)以 坐 标 原 点 为 极 点,X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为p s i n(9 +9+加=0.(1)写出/的直角坐标方程：(2)若/与C 有公共点，求的取值范围.【答案】解：由 p s i n(。+g)+m=0

23、可得，p(s i n Oc o s g +c o s%呜)+m=0,即。(封皿+/c o s。)+m=0,+乎 +m=0,故 的方程为：V3 x +y +2 m=0.(2)由4 =V5 c o s 2 t,得 =V5(l 2 s i n 2 t)=b 1-2 Qj =V3 yy2,联立卜一8 2 y ,3 y2-2 y -4 m-6 =0,(V3 x +y +2 m=0即3 y 2 -2 y -6 =4 m(-2 y 2),-3 6,口n19 .y 八 19 ”5即一 3 S 4msi0,故m的范围是I I n i|.【解析】本题考查极坐标，极坐标的直线方程，求解参数，属于中档题.(1)根据题

24、意，求出直线方程；(1)求出C 的方程，联立求解参数范围.第16页，共17页2 3.已知a.b.c为正数，且 渥+点+2=1，证明:(l)a b c 3 31/原3成3c3W =3!_a_b_c_，当且仅当a =b=c=3吾时取等号，所以於4 1,B|J a h c 得证.(2)要 证 言+卷+泉S 高成 立，只 需 证 囱 远+向 至+苣 叵W b+c a+c a+b-2乂因为b +c Z 2、be，Q+c N 2、ac,a +b N 2 7 ab,l且仅当Q=b=c=3一&时，向时取等,3 3 3所 以淳 痴 +cG V H Fb+c a+c a+b 更 远+更 叵+%匣=工，得证.、2ybc 2Vac 2ab 2【解 析】本题考查了不等式的证明，掌握均值不等式是关键，属于中档题.(1)由均值不等式即可证；(2)先对不等式进行转化，再由均值不等式进行放缩可证.