2023届辽宁省丹东市高三总复习质量测试（一）数学试题（附答案）.pdf

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1、按秘密级事项管理丹东市2023届高三总复习质量测试（一）数 学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.本试卷共22题，共 150分，共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一 选 择 题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合/=xGN*|（x+l）（xa）W0,8=-3,-2,1 ,若 且/A 8 W 0,则

2、 a=A.-3 B.-2 C.0 D.12.下列函数中为偶函数的是A.y=lgx B.尸 孤c-片（各+&D.尸 官Y3.向量a=（2,1）,6=（-3,4）,则 a 在 6 方向上投影的数量为A.-乎 B.-|C.|D.平4.图 1 是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”500m 口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线C 的一部分，放入如图2 所示的平面直角坐标系x何 内，已知该抛物线上点尸到底部水平线（x 轴）距离为125m,则点P 到该抛物线

3、焦点尸的距离为C.300m D.350m数学试题第1页（共5页）5.W+s i n l O=A.-s i n 5-c o s 5 B.s i n 5-c o s 5 C.-s i n 5+c o s 5 D.s i n 5+c o s 56 .已知函数/(x)的定义域为。，若对任意的x G。，都存在殉。，使得x+/a)=l,则“/(X)存在零点”是“1 G D”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分且必要条件 D.既不充分也不必要条件7 .设G与 C分别为圆柱上下底面圆周上的点，且位于该圆柱轴截面4 8 与小同侧，下底面圆心。在 4 8 上，若俄：=2,泰 尸 2 可，co s Z

4、C,C O=1,则直线CG与所成角的余弦值为A.坐 B.|C.*D.平8.已知Q,6 满足4呼=夕，bnb=e4+bf则5 2 e4A.5V V e B.ab e4 C.b e2a D.e4ft 6 0）相交于4,8两点，过“垂直于 8的直线与C 交于点。，直线。8与夕轴相交于点E,若加成 F，则 C的离心率为.四、解答题：本题共6 小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 7.（1 0 分）A 4B C 内 角 内B,C 的对边分别为a,b,c,若s i n 2/s i n 2 B+s i n 2 c（1）证明；Z U B C 是钝角三角形；（2）在四个条件s i n B

5、=s i n C=（）6=2。=也 中，哪三个条件同时成立能使A 4 3 C 存在？请说明理由.数学试题第3页（共5页）1 8.(1 2 分)网民对一电商平台的某种特色农产品销售服务质量进行评价，每位参加购物网民在“好评、中评、差评”中选择一个进行评价，在参与评价的网民中抽取2万人，从年龄分 为“5 0岁以下”和“5 0岁以上(含5 0岁)”两类人群进行了统计，得到给予“好评、中评、差评”评价人数如下表所示.网民年龄好评人数中评人数差评人数5 0岁以下9 0003 0002 0005 0 岁以上(含5 0岁)1 0002 0003 000(1)根据这2万人的样本估计总体，从参与评价网民中每次随

6、机抽取1 人，如果抽取 到“好评”，则终止抽取，否则继续抽取，直到抽取到“好评”，但抽取次数最多不超过 5次，求抽取了 5次的概率；(2)从给予“中评”评价的网民中，用分层抽样的方法抽取1 0 人，再从这1 0 人中随机抽取3人，抽取的3人中年龄在5 0 岁以下的人数为X,求 X 的分布列和数学期望.1 9.(1 2 分)如图，P A,尸 8 是圆锥的母线，延长底面圆。直径Z 8 到 点 C,使得8 c=。8,直线CE与圆。切于点。，已知A B=2,二面角P-E C-A的大小为6 0 .(1)求该圆锥的侧面积；(2)若平面以 上平面R I C,求三棱锥P-/EC的体积.2 0.(1 2 分)S

7、”为数列 “的前n项和,已知5“=3“2.(1)证明：a=32n；(2)保持数列%中各项先后顺序不变，在外与做+1 之间插入数列(“+1 2 的前k项，使它们和原数列的项构成一个新的数列：q,2-21,a2,2-21,3-22,av 2-21,3-22,4-23,a4,.求这个新数列的前5 0 项和.数学试题第4页(共5页)2 1.（1 2 分）Y；2 i?2已知。为坐标原点，F,（-2,0）,F2（2,0）为双曲线C：/一 方=l（a 0,Q0）的左右焦点，。为 C的右支上一点，当 P 凡L x 轴时，OP=y3.（1）求 C的方程；（2）若尸异于C的右顶点4 点。在直线x=；上，AP/OQ

8、,M 为/尸的中点，直线 与 直 线。尸 2 的交点为M求 的 取 值 范 围.2 2.（1 2 分）X 1已知函数3（1）当时，讨论/（X）的单调性；（2）若/（X）有三个不同的零点X,工 2，工 3，求。的取值范围，并证明:3 3 一3 x 十 必+/s i n 2 8+s i n 2。，由正弦定理可知足，分+N.从+2由余弦定理可得c o s/=-Z7-9 0 .于是A 4 8 C 是钝角三角形.2.OC.（5 分）（2）由（1）知，若成立，则 8=4 5；若成立，则 C=6 0.因为4 5+6 0 9 0,所以与不能同时成立.将同时成立，由正弦定理可得应s i n 8=2 s i n

9、C.若同时成立，则 s i n C=；,由（1）可知C=3 0 .从而4 =1 0 5 ,A A B C 存在.若同时成立，则 s i n f i=l,A 4 8 c 不存在.综上，条件同时成立能使A 4 8 C 存在.（1 0 分）1 8.解:（1）从参与评价的网民中每次抽取1 人，抽 取 到“好评”的 概 率 为 nene=彳记 Z表示事件：“抽取了 5次”，则尸（力）=（34 （1）4 H i -.（6 分）（2）在 给 予“中评”评价的人中，年龄在5 0 岁以下及5 0岁以上人数之比为3:2.因此抽取的1 0人中，5 0 岁以下与5 0 岁以上的人数分别为6 人，4人.依题意X服从参数

10、为1 0,3,6 的超几何分布，所以P（X=k）=,k=0,1,2,3.j o于是X的分布列为X0123P13113 01 026X的数学期望6后（乃=3 十=1.8.（1 2 分）数学试题答案第1页（共5页）1 9.解 法1：(1)连结尸。，PD,0 D,因为C E与圆。的切于点。，所以ODLEC.因为尸。_ L平面Z E C,由三垂线定理可知尸O L E C,所以N P O O是P-E C/的平面角.因此/尸。=60.因为0 0=1,所以产。=/，故P 8=2.于是该圆锥的侧面积与=兀-1 2=2兀.(6分)(2)过O在平面R 1 C内 作 垂 足 为 尸.因 为 平 面 平 面 以C,交

11、线为我,所以O口L平面可得O凡L/E.X P O V A E,所以/从L平面R 4 C.从而/_ L 4 c.由题设及(1)得/。=3 0,/C=3,可 知/=/，Z E C面积为呼.因此三棱锥尸一Z E C的体积K=|小=|.(1 2 分)解法2：连结尸。，则尸。，平面/C,以。为坐标原点，均 为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一平，y轴在平面A E C内.因为C E与圆。切于点。，所以O O _ L O C,因为连结0D,因为 0 3=1,。=2,所以N O C=60.因此 C(一2,0,0),0(坐,0),C =(|,孚,0).设尸(0,0,h)也 0),则 币=(2,0,A)

12、.m D=0,设平面P E C的法向量股=3，乃，马)，贝 小m CP=0.2可取，”=(1,小，R.平面/E C的一个法向量=(0,0,1).由2可得/=小.(1)可知P O=小，因为0。=1,所以尸8=2.于是该圆锥的侧面积“=兀1 2=2兀.(6分)(2)因为题1,0,0),尸(0,0,5)，所以#=(-1,0,7 3).设 (如 力，0),则AE(X2 1,y2,0),CE(X2+2,y2,0).因为应)=(一;，坐,0),取平面R 1 C的一个法向量p=(0,1,0),则 夕=/+痴 目2,幺G R),又5 b a=0,可得，石=1，)2 =4所 1 =(0,小,0),iAE/p,所

13、以成_ L公.由 凝 尸 小，|花=3得/(7面 积 为 孚.于是三棱锥尸TEC的体积(1 2分数学试题答案第2页(共5页)20.解：(1)由S i=3 _ q _ 得q =l.由S“=3a”一层，可知S“+i=3&+(+1)2.相减得2%+i=a“一2一1,所以a+l+2nl2(a+2n-3).又 -1=0,故%+2-3=0,因此a=32”.(4 分)(2)设数列(+1)2的前项和为北，则T=2 214-3 22+-+(n+l)2.两边同乘以2得2T=2 22+3 23+4 24+-+(n+l)2+.以上两式相减得.=(+1)2+i4(22+23+,+2n)=n 2n+1.(6 分)设为+i

14、是新数列的第N项，则v 0,上、(什1)(什2)N=l+2+(&+1)=-2-当月=8时，N=4550.故这个新数列的前50项中包含 册的前9项，以及列(“+1)2的前2,3,8)项和前5项，由(1)知5.=(2)，所以这个新数列的前50项和为Sg+(1 22+2 2，+8 29)+(2 2*+3 224-4 23+5 24+6 25)=-63+22(1+2 2叶+8 27)+5 26=257+22(1+7 28)=261+7 21。=7429.(12 分)21.解：(1)因为外(2,0),所以加+4=4.因为当P&_Lx轴时，10Pl=回，可知P(2,3).点一到两个焦点尸1(-2,0),&

15、(2,0)的距离分别为3和5.由双曲线定义得。=宁=1,所以=3.因此C的方程为x2 9=l.(4 分)(2)由题设直线目的斜率 存在，且因小.由。为，及 在直线x=；上，可得2(；,T机数学试题答案第3页(共5页)设 RI:y=&(x.l),尸(X|,弘).由I、y2 得(3-NM2-2%2X-42-3=0.这个关产=1小+?6k于 x 的方程两根为X,1.因此修=应二?，1=%(国一1冈=正二三.因为/(I,0),所以“(高石，造 3),L2%k?设 MM，)，则 泛 刁 2 =乏二必，所以72=产26+,由1.得(不一 1+y=1.(丫 22)/=什 2-0)(52).(8 分)f 3y

16、2=Tx2 2 l i由J-得X 2=L，因为冏 小，所以楙 必 2.限 2-1)2+4=1 豆+1因此尸y(X 2+2)2+,=(X 2_2)2+_(X 2-1)2=16X2+42(6,4).即火工|的取值范围为(巾，4).(12 分)2 2.解：/(x)定义域为(0,+8),当。=|时,If(x)=、；x(；巴口当 0 x 0；当;x3 时，T(x)3 时，/0.所以/(x)在(0,；)单调递增，在(；，3)单调递减，在(3,+8)单调递增.(4 分)(2)因为/(1)=0,则 x=l是/(x)的一个零点，不妨设占=1./(x)定义域为(0,+-),fx)=一一,=4(1一2。).若则 0

17、 时，八 x)0,/(x)单调递增，/(x)有且只有一个零点$=1.若 a=；,则=(),当x 0 时，/(x)2 0,当且仅当x=l时，f(x)=0,/(x)单调递增，/(X)有且只有一个零点X1=l.若夫耳，则(),0,/(x)单调递增；当时，(x)x0时，(x)0,/(X)单调递增.因为/(1)=0,所以 0 J v i 0,/(Xo)VO.-I因为0e-l,/(e-a )-2C.,1,/(e )=1 T 0,所以存在唯一X3W(x。，e/)，使得/(均)=0.1 +e数学试题答案第4页(共5页)综上，若/（X）有三个不同零点看，X2,小，则。的取值范围为g,|）.（8 分）由/（3=一

18、/），可得巳=5，于是占+/+匕=1+己+为1+2寸=3.设 g（x）=lnx聋普，则当x l时，g，（x）=x匕i）20,g（x）单调递增，所以3（2 1）g（x）g（l）=O,可得当 xl 时，1 如 2 +.xjx 3a（x21）由/（向）=可得因为均1,所 以 立 r击彳p因为所以1+；+与|3/巧 sa 1m.3 3。因此 3 Vxi+&+334_ 1 ,.(12 分)【如何想到证明：x l时，lnx普易】ro d .1 ,匚 口、1 3一3。林/人因为汨+必+占=1+二+3，所 以 1+二+工32 等价于:“3 JQ-1+x3+2T-7.x3 3a1等价于(3a 1)(修+1)3 3a(x3+1)2.等价于1 3a(x3+l)汹+1 1 工；+4工 3+1等价于均一 3a(x；-1)x3+11 工；+4均+1由于/（匕）=0,所以X3+3从而巧+1/+&+1等价丁3（-1）有底T因此我们只需证明:当 x l 时，lnx3右一 1)x2+4 x+r数学试题答案第5页（共5页）