2022-2023学年人教A版选择性必修第三册第六章6.2.1排列讲义.pdf

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1、6.2排列与组合6.2.1排 歹（6.2.2排 歹（数新课程标准通过实例现解排列的概念,能利用计数原理推导排列数公式.必备知识自主学习学业水平要求1.理解排列的概念,能正确写出一些简单问题的所有排列.（数学抽象）2.理解排列数公式的推导并应用.（逻辑推理）3.掌握排列数公式并会运用.（数学运算）导思L排列的含义是什么？两个排列相同的充要条件是什么？2排歹擞及排歹擞公式是什么?排列定义：一般地，从n个不同元素中取出加（加9）个元素，并按照二定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.两个排列相同的充要条件：两个排列的元素完全相同，目元素的排列顺序也相同.思 考？排列中的元素有哪

2、些特性？提 示：（1）无重复性：从n个不同元素中取出加彷）个不同的元素，否则不是排列问题.有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列.检验它是否有顺序的依据是变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.2.排列数 定 义：从个不同元素中取出团（/足 ）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数用符号型_ 表示.本 质：简捷地表示“从n个不同元素中取出加（加刍）个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题.作 用：建立特殊的计数模型；推导排列数公式.思 考？排列与排列数有何不同？提 示：排列与排列数是两个不同的概念，“排

3、列”是指从n个不同元素中取出小个元素按照一定J II页序排成一列，是 一 种 排 法 排 列 数”是指从n个不同元素中取出m个元素的所有不同排列的个数，是一个数,用A：表ZF.3.排列数公式全排列的定义n个不同兀素全部取出的一个排列阶乘的定义把 愉-l）x-2x叫做n的 阶 乘，用n!表示排列数公式A；=n(n-1)但-加+1)(n,mGN,mn)R!阶乘式A；-（n,（一加）！,mn）特殊情况，A；=n !,0 !=1,基础小测1.辨析记忆（对的打y，错的打“X”）.从 1,2,3 三个数字中，任选两个做加法，计数其结果数，是排列问题.（X ）提 示：不存在W页序问题，不属于排列问题.在排列

4、的问题中，总体中的元素可以有重复.（X ）提 示：在排列问题中总体内元素不能重复.用 1,2,3 这三个数字组成无重复数字的三位数.1 2 3 与 3 2 1 是不相同的排列.（）提 示：根据排列的定义可以判断1 2 3 与 3 2 1 是不同的排列.（4）在 A；=（-1 尸（-1）中右边是-机+1 项的乘积.（x）提 示：从，（-1）,-加+1）以上m个数相乘，可得共m项.2 .计 算：A j+A?=.【解析】A：+A?=5 x4 +7 x6 =6 2.答 案:6 23 .（教材例题改编）一张餐桌上有6 盘不同的菜，甲、乙、丙 3 名同学每人从中各取1 盘菜，共有_ _ _ _ _ _ _

5、 种不同的取法.【解析】按分步乘法计数原理，不同的取法种数为6 x5 x4 =1 2 0.答 案：1 2 0关键能力合作学习类型一简单的排列问题（数学抽象）题组训练1 .某班上午要上语文、数学、体育和外语4 门课，而体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是（）A.24 B.22 C.20 D.12【解析】选 D.分两步排课：体育可以排第二节或第三节两种排法；其他科目有语文、数学、外语语文、外语、数学数学、语文、外语数学、外语、语文外语、语文、数学外语、数学、语文共 6 种排法，所以根据分步乘法计数原理可知共有2x6=12（种）排课方案.2.北京、广州、南京、天津4 个城市相互通

6、航，应该有_ 种机 票.【解析】列出每一个起点和终点情况，如图所示./广州南京北京南京广州:天津 天津 北京/天津北京南京北京天津广州,广州南足故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京一天津，广州南京，广州天津,广州一北乐,南乐天 津，南乐北 乐,南尔广 州，天津一北乐,天津一广州，天津一南京，共12种.答 案：123.在编号为1,2,3M的四块土地上分别试种编号为1 ,2,3,4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号 小 麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号 小 麦，写出所有不同的试种方案.【解析】画出树状图，如图所示：4221由树状图可知，共 有11种不同的试种方案.:解涯略利

7、用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略适用 范 围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.策 略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进 行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列.【加练固】若直线Ax+By=O的系数A,3可以从2,3,5 ,7中取不同的数值,教师专用可以构成的不同直线的条数是（）A.12 条 B.9 条C.8 条 D.4 条【解析】选 A.画树状图如图：A 2 3 5 7B 3 5 7 2 5 7 2 3 7 2 3 5故共有12条.类型二排

8、列数公式及应用(数学运算、逻辑推理)【典例】证 明：A：+1-A：二 梯 丁1 .【思路导引】观察等式左、右两边的排列数上标、下标均为字母n用排列数公式的阶乘式展开、化简n由左边推右边.【证明】因为A -A：(n+1 )!n!(H+1-m)!(n-m)!n!(n+1 =-1n-m)!n+-m)！m(n-m)!n+1 -mn!=m-；-=-1,(n+1 -m)!所以 A；*-A；=mA：-.;解 题 策 略排列数的计算方法排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的

9、逆用.(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公 因 式，然后计算，这样往往会减少运算量.跟踪训练1 .若A;：,=2AM,则m的值为()A.5 B.3 C.6 D.7【解 析】选A.根 据 题 意，若A;：=2 S ,则有 tn(m-l)(m-2)(m-3)(m-4)=2xm(m-l)(m-2),即(加-3)(m-4)=2,解 可 得：m=5或m=2(舍去).A9-A。2.计算.【解 析】A?=7x6x5x4x3x2,A3=6x5x4x3x2,A5=5x4x3x2,A”A)所以=7x6-6=36.答 案:36【拓展延伸】A：中的三个隐含条件(l)m,nGN1.(T)m

10、6A9,其中x3,xGN*.9!6x9!【解析】由原不等式得不一C T 77kF，(9-%)!(9-%+2)!其中3W 烂9,xN*,即(11-%(10-%)6,整理得好-21%+104 0,解得 13.又 3s,xN*,所以 x=3,4,5 ,6,7.故原不等式的解集为3,4,5,6,7.类型三排列与排列数公式的简单应用(数学建模、数学运算)塞 度/分类问题【典例】在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5 人报名参加了 A,B,C三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者，目甲不能参加A,8项 目，乙不能参加8,C项目，那么共有_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _种不同的志愿者分

11、配方案.(用数字作答)【思路导引】由题意可以分四类，根据分类加法计数原理可得.【解析】若甲，乙都参加，则甲只能参加。项目，乙只能参加A项目，3 项目有3 种方法，(2)若甲参力口，乙不参加，则甲只能参加。项目，A,B项 目，有A；=6种 方 法，若 甲 不 参 加，乙 参 加，则 乙 只 能 参 加A项 目，B ,。项 目，有A：=6种 方 法，(4)若 甲 不 参 加，乙 不 参 加，有A1=6种 方 法，根据分类加法计数原理,共 有3+6+6+6=21种.答 案：21教师专用将本例条件 甲不能参加A,B项 目，乙 不 能 参 加B，。项目”改为“甲不 能 参 加A项 目，乙 不 能 参 加

12、B项目”，其 他 条 件 不 变，试求有多少种 分 配 方 案.【解 析】分 四 种 情 况：甲，乙 都 参 加.若 甲 参 加B项 目，则 有2x3=6种 方 法，若 甲 参 加。项 目，有3种 方 法，共 有9种 方 法；(2)若 甲 参 加,乙 不 参 加，则 有2A孑=2x6=12种 方 法；若 甲 不 参 加，乙 参 加，则 有2A：=2x6=12种 方 法；(4)若 甲 不 参 加，乙 不 参 加，有A1=6种 方 法,根 据 分 类 加 法 计 数 原 理，共 有9+12+12+6=39种.崖度2 分 步 问 题【典 例】中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”

13、,主 要 指 德 育；“乐”，主 要 指 美 育；“射”和“御”，就 是 体 育 和 劳 动；“书”,指 各 种 历 史 文 化 知 识；“数”，指 数 学.某校国学社团开展“六艺”课程讲 座 活 动，每 艺 安 排 一 节，连 排 六 节，一天课程讲座排课有如下要求:“数”必 须 排 在 第 三 节,且“射”和“御”两 门 课 程 相 邻 排 课,则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有()A.12 种 B.24 种 C.36 种 D.48 种【思路导引】“数”的 位 置 已 经 确 定，可先安排“射”和“御、再安排其他 三 艺.【解 析】选C.由题意，“数”排 在 第 三 节,则“射”和“御”

14、两 门 课 程 相 邻 时,可 排 在 第1节 和 第2节 或 第4节 和 第5节 或 第5节 和 第6节，有3种，再 考 虑 两 者 的 顺 序，有A；=2种，剩 余 的3门 全 排 列，安 排 在 剩 下 的3个 位 置，有 用=6种,所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有3x2x6=36种 不 同 的 排 法.解 涯 略解简单排列应用题的思路(1)认 真 分 析 题 意，看 能 否 把 问题归结为排列问题，即 是 否 有 顺 序.如 果 是 的 话，再 进 一 步 分 析，这 里n个 不 同 的 元 素 指 的 是 什 么，以 及 从n个不同的元素中任取加(加刍)个元素的每一种排列对应的

15、是什 么 事 件.(3)运 用 排 列 数 公 式 求 解.提 醒：解答相关的应用题时不要忽视n为正整数这一条件.题组训练、1 现将爱国福、和谐福、友善福、富强福、敬业福排成一排，爱国福与敬业福相邻,则不同排法有 种.()A.72 B.24 C.36 D.48【解析】选 D.将爱国福与敬业福捆绑在一起，再与和谐福、友善福、富强福进行全排列，所以排法有：A”A：=2x4x3x2=48 种.2 .小五、小一、小节、小快、小乐五位同学站成一排，若小一不出现在首位和末位，小五、小节、小乐中有且仅有两人相邻，求能满足条件的不同排法共有多少种.【解析】按小一的位置分三类：当小一出现在第2 位时，则第1位必

16、为小五、小节、小乐中的T 立同学，所以满足条件的不同排法有3M A=12种；当小一出现在第3 位 时，则第1位、第 2 位为小五、小节、小乐中的两位同学或第4 位、第 5 位为小五、小节、小乐中的两位同学，所以满足条件的不同排法有2眉 A：=24种；当小一出现在第4 位时，则第5 位必为小五、小节、小乐中的一位同学，所以满足条件的不同排法有3H%=12种.综上，共有12+24+12=48种.课堂检测素养达标1.下列问题中：10本不同的书分给10名同学，每人一本；10位同学互通一次电话；10位同学互通一封信；10个没有任何三点共线的点构成的线段.属于排列的有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个

17、 D.4 个【解析】选 B.由排列的定义可知是排列，不是排列.2.已知 A7=132,则=（）A.11 B.12 C.13 D.14【解析】选 B.因为A：=132,所以 n（n-1）=132,整理，得/-132=0,解得鹿=12,或八=-11（不合题意，舍去），所以n的值为12.3.（教材例题改编）用数字2,3,4,5,6 组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为（）A.120 B.72 C.60 D.48【解析】选 B.由于五位数为偶数，因此个位数必为偶数，可在2,4,6 中任选一个数，有 3 种选择，其他数位任意排列，由分步乘法计数原理可知，所求偶数的个数为3A：=3x24=72.4.若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有_ _ _ _ _ _ _ _ 种.【解析】因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现错误的种数为A：-1=23.答 案：235 .两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？【解析】由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生.设两名学生分别为A.B,两名老师分别为M,N ,此问题可分两类：M NBNMM NAA、M一 NM由此可知所有可能的站法为AMNB,ANMB,ABMN,ABNM,BMNA,BNMA,BAMN,B A N M，共 8 种.关 闭Word文档返回原板块