2023中考复习-三角形综合题.pdf

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1、三角形综合题1.,如 图，R tZ A B C 中，Z A C B=90 ,B C=8,c o tZ B A C=.5.,点 D 在边 B C 上(不与点 B、C 重合)，点 E 在边 B C4的延长线上，N D A E=N B A C,点 F 在线段A E 上，Z A C F=Z B.设 B D=x.(1)假设点F 恰好是A E 的中点，求线段B D 的长；1 2)假设y=迎，求 y 关于x的函数关系式，并写出它的定义域；E F(3)当a A D E 是以A D 为腰的等腰三角形时，求线段B D 的长.2.如图，A A B C 边 A B 上点 D、E (不与点 A、B 重合)，满足N D

2、C E=/A B C,Z A C B=90 ,A C=3,B C=4；(1)当 C 1 U A B 时，求线段B E 的长；(2)当4 C D E 是等腰三角形时，求线段A D 的长；(3)设 A D=x,B E=y,求 y关于x的函数解析式，并写出定义域.3 .如图，A A B C 中，A B=A C=3,B C=2,点 D是边A B 上的动点，过点D作 D E B C,交边A C 于点E,点 Q是线段D E 上的点，且 Q E=2D Q ,连 接 B Q 并 延 长，交 边 A C 于点P.设 B D=x ,(1)求 y关于x的函数解析式及定义域；(2)当4 P Q E 是等腰三角形时，求

3、 B D 的长；连接C Q,当N C Q B 和N C B D 互补时,求 x的值.4 .如图，在 R tZ A B C 中，N A C B=90 ,弛=皿，C D _ L A B 于点D,点 E是直线A C 上一动点，连接D E,过点D作AC nF D 1 E D,交直线B C 于点F.(1)探究发现：如 图 1,假设m=n,点 E 在线段A C 上，那 么 些=；DF数学思考:如图2,假设点E 在线段A C 上，那 么 些=(用含m,n的代数式表示)；DF当点E在直线A C 上运动时，中的结论是否任然成立？请仅就图3的情形给出证明；(3)拓展应用：假设A C=J W B C=2泥，D F=

4、4 j,请直接写出C E 的长.5 .如 图 1,在a A B C 中，A B=A C,射线B P 从 B A 所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为a (0 a 、线段B D、C D 与 A D 之间的数量关系是；_1 2)当N B A C=1 20 时，将 B P 旋转到图3 位置，点 D 在射线B P 上，假设N C D P=6 0 ,求证：B D -C D=J 6D；(3)将图3中的B P 继续旋转，当 3 0 a 1 8 0 时，点 D是直线B P 上 一 点(点 P 不在线段B D 上)，假设NC D P=1 20 ,请直接写出线段B D、C D 与 A D 之间的数量关系(不必证

5、明)6.,在A A B C 中，Z A C B=90 ,C A=C D,C G _ L A D 于点 H,交 A B 于点 G,E 为 A B 上一点，连接 C E 交 A D 于点 F.(1)如 图 1,假设C E L A B 于点E,H G=1,C H=5,求 C F 的长；如 图 2,假设 A C=A E,N G E H=N E C H,求 证:C E=2乃 H E；(3)如图3,假 设 E为 A B 的中点，作 A关于C E 的对称点A,连接C A ,E A ,D A ,请直接写出N C E H,ZA(C D,N E A D 之间的等量关系.7.1 1)问题发现如图 1,在 R tZ

6、X A B C 中，Z A=90 ,胆1,点 P是边B C 上一动点(不与点B重合)，Z P A D=90 ,Z A P D=Z B,AC连接C D.填空：上殳=；N A C D 的度数为.CD 拓 展 探 究1如图2,在 R ta A B C 中，Z A=90 ,修殳=匕 点 P是边B C 上一动点(不与点B重合)，Z P A D=90 ,Z A P D=Z B,A C连接C D,请判断N A C D 与NB的数量关系以及P B 与 C D 之间的数量关系，并说明理由.(3)解决问题 _如图 3,在A A B C 中，Z B=4 5 ,A B=4&,B C=1 2,P 是边 B C 上一动点

7、 1 不与点 B 重合)，N P A D=N B A C,Z A P D=ZB,连接C D.假设P A=5,请直接写出C D 的长.8 .R tZ A B C 与 R t4 D E F 的位置如下图，其中 A C=2j&B C=6,1 比=3 ,N D=3 0 ,其中，R ta D E F 沿射线 C B以每秒1 个单位长度的速度向右运动，射线D E、D F 与射线A B 分别交于N、M两点，运动时间为t,当点E运动到与点B重合时停止运动.(1)当 R tZ X D E F 在起始时，求N A M F 的度数；(2)设 B C 的中点的为P,当P B M 为等腰三角形时，求 t 的值；(3)假

8、设两个三角形重叠局部的面积为S,写出S 与 t 的函数关系式和相应的自变量的取值范围.9.如图，等腰A A B C 中，A C=B C,点 D、E、F分别是线段A C、B C、A D 的中点，连接F E、E D,B F 的延长线交E D的延长线于点G,连接G C.(1)求证：E F/7 C G；1 2)假设 A C=J，A B,求证：A C=C G；(3)如图2,假设C G=E G,那么空=.A B1 0 .在 R ta A B C 中，Z C A B=90 ,A C=A B=6,D,E 分别是A B,A C 的中点，假设等腰R tZ A D E 绕点A逆时针旋转，得到R tZ A D E,设

9、旋转角为a (0 9 0 )或图4(ZA B C 0 时，求 S 与 t的函数关系式.(4)假设点D 关于直线P Q 的对称点为点D,且 S 0,直接写出点D 落在a A B C 的边上时t的值.17 .在 R t A A O B 中，0 A=3,s i n B=l,P、M、分别是B A、B O 边上的两个动点.点M从点B出发，沿 B 0 以 1 单位5/秒的速度向点0运动；点 P从点B出发，沿 B A 以 a单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动.设运动的时间为t.(1)线段A P 的长度为(用含a、t 的代数式表示)：(2)如图，连结P O、P M

10、,假设a=l,P M O 的面积为S,试求S 的最大值；(3)如图，连结P M、A M,试探究：在点P、M运动的过程中，是否存在某个时刻，使得P M B 为直角三角形且A P M A 是等腰三角形？假设存在，求出此时a和 t的取值，假设不存在，请说明理由.18 .在直角A A B C 中，/A C B=9 0 ,点 E 在 A C 边上，连结B E,作N A C F=N C B E 交 A B 于点F,同时点D在 B E 上，且 C D _L A B.：如图，胆=1，区CE BC求证：A C F g a B C D.求空的值.DE(2)假 设 妪=2,=2 那么鸳的值是多少(直接写出结果)CE

11、 BC DE19.,A B=5,t a n N A B M=W,点 C、D、E为动点，其中点C、D在射线B M 上(点 C在点D的左侧)，点 E和点D分4别在射线 B A 的两侧，且 A C=A D,A B=A E,ZC A D=ZB A E.门)当 点 C与点B重 合 时(如 图 1),联结E D,求 E D 的长；(2)当 E A B M 时(如 图 2),求四边形A E B D 的面积；(3)联结C E,当4 A C E 是等腰三角形时，求点B、C间的距离.2 0 .在A A B C 中，D、E、F分别为B C、A B、A C 上的点.如 图 1,假设E F B C、D F A B,连

12、C E、A D 分别交D F、E F 于 N、M,且 E 为 A B 的中点，求证：E M=M F；(2)如图2,在(1)中，假设E不是A B 的中点，请写出与M N 平行的直线，并证明；(3)假设 B D=D C,N B=9 0 ,且 A E：A B：B C=1：3：2 7 3-A D 与 C E 相交于点 Q,直接写出 t a n/C Q D 的值.2 1.我们把两条中线互相垂直的三角形称为 中垂三角形.例如图1,图 2,图 3中，A F,B E 是A B C 的中线，A F B E,垂足为P.像A A B C 这样的三角形均为“中垂三角形.设 B C=a,A C=b,A B=c.特例探索

13、(1)如图 1,当N A B E=45,c=2 后 时，a=,b=；如图2,当N A B E=3 0 ,c=4时,求 a和 b的值归纳证明(2)请你观察(1)中的计算结果，猜测三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3 证明你发现的关系式.2 2 .如图，一个直角三角形纸片的锐角顶点A 在/M C N 的边0 M 上移动，移动过程中始终有AB J _ O N 于点B,ACL 0 M 于点A,N M 0 N 的平分线0 P 分别交AB,AC 于点D、E.门)点 A 在移动的过程中，线段AD 和 AE 有怎样的数量关系？(不必证明)1 2)点 A 在移动的过程中，假设射线0 N 上始终存在一点F

14、与点A 关于0 P 所在的直线对称，判断并证明以A、D、F、E为顶点的四边形是什么特殊四边形？(3)假设/M 0 N=4 5,猜测线段AC、AD、0 C 之间有怎样的数量关系？请证明你的猜测.2 3 .如图，在A A B C 中，Z AC B=9 0 ,AC=B C,/E AC=9 0 ,点 M为射线AE 上任意一点(不与点A 重合)，连接 C M,将线段C M 绕点C按顺时针方向旋转9 0 得到线段C N,直线N B 分别交直线C M,射线AE 于点F、D.(1)问题发现：直接写出/N D E=度；3(2)拓展探究：试判断，如图当/E A C 为钝角时，其他条件不变，N N D E 的大小有

15、无变化？请给出证明.1 3)如图，假设N E AC=1 5,B D=V2.直线C M 与 AB 交于点G,其他条件不变，请直接写出AC 的长.2 4 .在a A B C 中，Z AB C=2 Z AC B,延长AB 至点D,使 B D=B C,点 E是直线B C 上一点，点 F是直线AC 上一点，连接 D E.连接 E F,且/D E F=/D B C._(1)如图 1,假设N D=/E F C=1 5,AB=V3 求 AC 的长._(2)如图2,当N B AC=4 5,点 E为线段B C 的延长线上，点 F 在线段A C 的延长线上时，求证：C F=&B E.(3)如图3,当N B AC=9

16、 0 ,点 E为线段C B 的延长线上，点 F 在线段C A 的延长线上时，猜测线段C F 与线段B E 的数量关系，并证明猜测的结论.2 5.中点、平行线、等腰直角三角形、等边三角形都是常见的几何图形！(1)如 图 1,假设点D为等腰直角三角形AB C 斜边B C 的中点，点 E、F分别在AB、AC 边上，且/E D F=9 0 ,连接AD、E F,当 B C=5&,F C=2 时，求 E F 的长度；(2)如图2,假设点D为等边三角形AB C 边 B C 的中点，点 E、F分别在AB、AC 边上，且/E D F=9 0 ；M为 E F的中点，连接C M,当 D F AB 时，证明：3 E

17、D=2 M C；(3)如图3,假设点D为等边三角形AB C 边 B C 的中点，点 E、F分别在AB、AC 边上，且N E D F=9 0 ；当 B E=6,C F=0.8 时，直接写出E F 的长度.2 6.,Z X AB C 为直角三角形，/AC B=9 0 ,点 P 是射线C B 上 一 点(点 P不与点B、C重合)，线段AP 绕点A 顺时针旋转9 0 得到线段A Q,连接Q B 交射线AC 于点M.“)如图，当 AC=B C,点 P 在线段C B 上时，线段P B、C M 的数量关系是；(2)如图，当 AC=B C,点 P在线段C B 的延长线时，(1)中的结论是否成立？假设成立，写出

18、证明过程；假设不成立，请说明理由.(3 )如 图 ，假 设 柜 金，点P 在 线 段 CB的 延 长 线 上，C M=2 ,AP=1 3 ,求 A BP的面BC 22 7 .在 R t AB C 中，Z C=9 0 ,R t aAB C 绕点A 顺时针旋转到R t aAD E 的位置，点 E在斜边AB 上，连结B D,过点 D作 D F AC 于点F.(1)如 图 1,假设点F与点A 重合，求证：AC=B C；(2)假设N D AF=N D B A,如图2,当点F 在线段C A的延长线上时，判断线段AF 与线段B E 的数量关系，并说明理由；当点F在线段C A上时，设 B E=x,请用含x的代

19、数式表示线段AF.2 8 .如 图 1,点 0是正方形AB C D 两对角线的交点，分别延长O D 到点G,O C 到点E,使 0 G=2 0 D,0 E=2 0 C,然后以 O G、O E 为邻边作正方形O E F G,连接AG,D E.求 证：D E AG；(2)正方形AB C D 固定，将正方形0 E F G 绕点0逆时针旋转a 角(0。a 3 6 0 )得到正方形O E F G,如图2.在旋转过程中，当N O A G 是直角时，求 a 的度数；假设正方形AB C D 的边长为1,在旋转过程中，求 A F 长的最大值和此时a 的度数，直接写出结果不必说明理由.2 9 .在A A B C

20、中，AB=AC,/A=6 0 ,点 D是线段B C 的中点，Z E D F=1 2 0 ,D E 与线段AB 相交于点E.D F 与线段 AC (或A C 的延长线)相交于点F.(1)如 图 1,假设D F J _ AC,垂足为F,AB=4,求 B E 的长；(2)如图2,将(1)中的N E D F 绕点D顺时针旋转一定的角度，D F 仍与线段AC 相交于点F.求证：B E+C F=1AB；21 3)如图3,将(2)中的/E D F 继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使 D F 与线段A C 的延长线相交于点F,作D N L AC 于点 N,假设 D N L AC 于点 N,假设 D N=F N

21、,求证：B E+C F=(B E-C F).3 0 .如 图 1 所示，在菱形AB C D 和菱形AE F G 中，点 A,B,E在同一条直线上，P是线段C F 的中点，连接P D,P G.4(1)假设/B AD=/AE F=1 2 0 ,请直接写出/D P G 的度数及弛的值.P D(2)假设N B AD=/AE F=1 2 0 ,将菱形AB C D 绕点A 顺时针旋转，使菱形AB C D 的对角线AC 恰好与菱形AE F G 的边 AE 在同一直线上，如图2,此时，(1)中的两个结论是否发生改变？写出你的猜测并加以说明.(3)假设/B AD=/AE F=1 8 0 -2 a(0 a 9 0

22、 ),将菱形AB C D 绕点A 顺时针旋转到图3的位置，求 出 生P D的值.三角形综合题答案1.,如图，R t AB C 中，Z AC B=9 0 ,B C=8,c o t/B AC=W,点 D 在边 B C 上(不与点 B、C 重合)，点 E 在边 B C4的延长线上，/D AE=N B AC,点 F 在线段AE 上，Z A C F=Z B.设 B D=x.(1)假设点F 恰好是AE 的中点，求线段B D 的长；(2)假设y=3 E,求 y 关于x的函数关系式，并写出它的定义域；E F1 3)当AD E 是以AD 为腰的等腰三角形时，求线段B D 的长.解：(1)在 R t Z X AB

23、 C 中，Z AC B=9 0 ,B C=8,c o t Z B AC=,4；.AC=6,AB=1 0,Z D AE=Z B AC,Z F AC=Z D AB,?Z AC F=Z B,.AB D AAC F,AD B DAF=CF在 R t AB C 中，点 F恰好是AE 的中点，.-.C F=1AE=AF,2.AD=B D,在 R t Z AC D 中，AC=6,C D=B C -B D=B C -AD=8 -AD,根据勾股定理得，AC2+C D2=AD2,.36+8-AD)2=AD2,；.AD=空，4B D=AD=2,4(2)如 图 1,过点F作 F M _ L AC 于 M,由 知，AD

24、=BD=妪,AF C F ACC F=.，昕&X x=2x,AB I。5由(1)AAB D AAC F,Z B=Z AC F,t a n N AC F=t a n B=-1-=_!=!,c o t Z B AC 3 M C.M C=H x,255-1 26-x.y=AF=AM=-2 x.(0 xNANB=NDCE,ZCEDZB=ZDCE,唯有/CED=/CDE,又YNB=/DCE,ZCDE=ZBDC,ZBCD=ZCED=ZCDE=ZBDC,ABD=BC=4,AAD=5-4=1；(3)如下图，作 CHJ_AB于 H,6.LXBCXAC=LBXCH,2 2.C H=丝，5R t AAC H 中，A

25、H=JAC2 _ CH2=X5.在 R t Z C D H 中，C D2=C H2+D H2=(丝)、(旦-x)g?-丝 x+9,5 5 5又.,/C D E=N B D C,Z D C E=Z B,/.B D C AC D E,.C D2=D E D B,即 x2-A X+9=(5-x -y)(5-x),5解 得 厂 誓 整(0 x IJ 1,AP AB 2y 3.y=9-3 x,定义域为：o x D E j iD F m(3)由(2)有，ADEsCDF,.D E B C _ 1 一 ，-9D F-AC 2 .-A-D-AE DE.1,C D -C F -D F 2；.CF=2AE,在 Rt

26、DEF 中，DE=2&,DF=%/5，*EF=2,10,在 RtZCEF 中，CF=2AE=2(AC-CE)=2(5/5-CE),EF=2V10根据勾股定理得，CE+CFJEF?,9ACE2+2（V 5-CE）了=4 0，CE=2在，或 CE=-型 5 （舍）5 _ _在 RSCEF 中，CF=2AE=2（AC+CE）=2（5/5+CE）,EF=2/，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2,ACE2+2（遥+CE）了=4 0,/.CE=2V5,或 CE=-2、而（舍），5_即：CE=2泥 或 CE=2遍.55.如 图 1,在ABC中，AB=AC,射线BP从 BA所在位置开始绕点B 顺时针旋转，

27、旋转角为a 0 a 180）（1）当/BAC=60时，将 BP旋转到图2 位置，点 D 在射线BP上.假 设 NCDP=120,那么/ACD=/ABD（填线段BD、CD与 AD之间的数量关系是BD=CD+A1）；_12）当NBAC=120时，将 BP旋转到图3 位置，点 D在射线BP上，假设NCDP=60,求证：BD-CD=AD；13）将 图 3 中的BP继续旋转，当 30 a CD 二 BE/.DCAAEBA（SAS）,AD=AE,ZDAC=ZEAB,V ZCAB=ZCAE+ZEAB=60,A ZDAE=60,/.ADE是等边三角形，DE=AD.BD=BE+DE,BD=CD+AD.故答案为二

28、，BD=CD+AD；（2）如图3,设 AC与 BD相交于点0,在 BP上截取BE=CD,连接A E,过 A 作 AFJ_BD于 F.V ZCDP=60,.ZCDB=120.VZCAB=120,ZCDB=ZCAB,.*ZD0C=ZA0B,.DOCAAOB,NDCA二 NEBA.在ADCA与aEBA中，10 A C =A BMH=EHA ZMAF=ZECH,/.ZMAF+ZAFC=ZECH+ZAFC=180,ZCHD=1800-90,.AM1CE,；AC=AE,.,.ACE是等腰三角形，.CM=EM=V2HE,；.CE=2EM=2圾HE；为AD的中点，E我AB的中点，A EH是 ABD的中位线，；

29、.EHBC,A ZCEH=ZBCE,ZACE=ZACB-ZBCE=90-ZBCE=90-ZCEILVEC=AE,ZCAE=ZACE=90-ZCEH,NCAE=NACE=90-ZCEH,；A关于C E的对称点A ,/.Z C A,E=ZCAE=90-ZCEII,CA=CAZ,VCA=CD,.*.CA,=CD,.NCDA=NCA D=NCA E+ZEA,D=90-ZCEH+ZEA1 D,V Z Az CD+ZCDAz+NCA D=180,.N A CD+90-ZCEH+ZEA/D+900-ZCEH+ZEAZ D=180,化简得：N A CD+2NEA D=2ZCEH,7.门）问题发现如 图1,在R

30、 taA B C中，ZA=90,姻 二1，点P是边BC上一动点（不与点B重合），ZPAD=90,ZAPD=ZB,AC连接CD.填空：里 1 ；/A C D的 度 数 为4 5.CD（2）拓展探究如图2,在R tA B C中，ZA=90,迪=卜.点P是边BC上一动点（不与点B重合），ZPAD=90,ZAPD=ZB,AC连接C D,请判断NACD与/B的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由.（3）解决问题 _如图 3,在aABC 中，NB=4 5,AB=4 b，BC=12,P 是边 BC 上一动点 不与点 B 重合），ZPAD=ZBAC,ZAPD=Z B,连接C D.假设P A=5,请

31、直接写出CD的长.解：门）：/A=90,M=l,ACA AB-AC,ZB=4 5,/ZPAD=90,ZAPD=ZB=4 5,.AP=AD,/.ZBAP=ZCAD,12 A B=A C在A A B P 与4A C D 中，ZB A P=ZC A D A P=A D.A B P A A C D,.P B=C D,N A C D=N B=45 ,PB-TC D故答案为：1,45 ；(2)ZA C D-ZB,里至=k；C D A CZB A C=ZP A D=90,ZB=ZA P D,.A B C A A P D,A C A DZB A P+ZP A C=ZP A C+ZC A D=90,/.ZB A

32、 P=ZC A D,.,.A B P c-A C A D,A ZA C D=ZB,里=胆=上C D A C 过 A作 A H J _ B C 于 H,VZB=45 ,.1A B H 是等腰直角三角形，：A B=4止,；.A H=B H=4,VB C=12,；.C H=8,M C、A H 2+C 1=4/，PI1=VPA2-A H2=3).P B=1,N B A C=N P A D=,ZB=ZA P D,.A B C A A P D,A B _ A PAC=ADZB A P+ZP A C=ZP A C+ZC A D,ZB A P=ZC A D,.,.A B P A C A D,A B-P B 即

33、 4衣 1A C C D 475 C DACD=V TO28.Rt Zi A B C 与 Rt ZD E F 的位置如下图，其中 A C=2 b，B C=6,D E=3j,ZD=30,其中，Rt ZM)E F 沿射线 C B以每秒1 个单位长度的速度向右运动，射线D E、D F 与射线A B 分别交于N、M两点，运动时间为t,当点E 运动到与点B重合时停止运动.(1)当 Rt ZD E F 在起始时，求N A M F 的度数；(2)设 B C 的中点的为P,当P B M 为等腰三角形时，求 t 的值；(3)假设两个三角形重叠局部的面积为S,写出S 与 t的函数关系式和相应的自变量的取值范围.解

34、：(1)13在 Rt ZA B C 中，t a n N B=g=2 Z 5=K,BC 6 3ZB=30,在 Rt ZD E F 中，ZD=30 ,/.ZD F C=60,ZF M B=ZD F C -ZB=30,A ZA M F=1800-ZF M B=15 0；(2)；B C=6,点 P为线段B C 的中点,；.B P=3,(i )假设点M在线段A B 上，当 P B=P M 时，P B=P M=3,：D E=3/，ZD=30,.E F=D E t a n 30=3,此 时 t=0；如 右 图(1)所示当 B P=B M 时，B P=B M=3,V ZB=30,ZD F E=60,A ZF

35、M B=30,.B M F 为等腰三角形.过点F作 F H _ L M B 于 H,那么B H=1B M=W,2 2在 Rt ZB H F 中，ZB=30,/.BF=V3A t=3-A/3；如 右 图(2)所示，当 M P=M B 时，N M P B 二 N B 二 30V ZM F P=60,/.P M M F,ZB M F=30A F B=F M,设 F B=x,那么 F M=x,P F=2x./.3x=3,x=lt=2；(i i)假设点M在射线A B 上，如 右 图(3)所示，ZP B M=15 0当P B M 为等腰三角形时，有 B P=B M=3为等腰三角形，过点 F 作 FH1BM

36、 于 H,那么 BH=1BM=1,2 2在 Rt Z B H F 中，ZF B H=30.B F=V3t=3+V3综上所述，t的值为0,3-遮，2,3+V3.(3)当 0 c t W 3 时，B E=6-t,N E=2Z1 6-t),3SABEN伞-t)争6-t)噜(6-t)2,过点F作于H,如 右 图 所 示，VF B=3-t14.,.H F=1(3-t),HB=3 (3-t),M B=J 3(3-t),2 2 SA B M FF(3-t)得(3-t)=冷(3-t)2,.S=SA B ES-SAM=*(6 -t)2一 哼(3-t)2=_ 哼1：2-2 -t+23_,当 3 c t 6 时，B

37、 E=6-t,NE=(6-t),如 右 图(4)所示，3A S=SABEN4X(6-t)X与6-t)哗t2-个t+/由上可得，当 0 t W 3 时，$=-哼 2-哼 津卢，当 3 t W 6 时，S=2-t2-2 t+唔t2-冬 津 普0 t/3t+6V3 3 t4 6b9.如图，等腰A A B C 中，A C=B C,点 D、E、F分别是线段A C、B C、A D 的中点，连接F E、E D,B F 的延长线交E D的延长线于点G,连接G C.求 证：E F C G；(2)假设 A C=J，A B,求证：A C=C G；13)如图2,假设C G=E G,那么星=.A B-(1)证明：点D、

38、E分别是线段A C、B C 的中点，.D E 为A A B C 的中位线，；.D E A B,ZC D E=ZA.ZC D E=F D G,A ZF D G-ZA.,点F为线段A D 的中点,；.A F=D F.ZA=ZFDG在A A B F 和a D G F 中，,A F=D F ，NAFB=/DFG.A B F A D G F (A SA),；.B F=G F,；点 F为线段B G 的中点,点E为线段B C 的中点，；.E F 为4 B C G 的中位线，；.E F C G.(2)证明：在 图 1 中，过点C作 C M J _ A B 于点M.VA C=B C,.A M=B M=A B.2

39、；A C=&A B,=&AC V2AB V15,/A F=1A D=1.A C=2A B,2 4 4 A F-V2-A MA B 4 A C.B A F A C A M,/.ZA F B=ZA M C=90,.C F 1B G.点F为线段B G 的中点,.B C=C G,X VA C=B C,.*.A C=C G.(3)解：D E 为a A B C 的中位线，D EJA B,C EB C=LC,2 2 2VD G=A B,E G=D E+D G,;.E G=2A B.2；D E A B,ZG E C=ZC B A,VA C=B C,C G=E G,.G E C A C B A,上 A C A

40、B,-C-E-二-C-G-=-E-G-,矶w-2-二-2-,A B A C A C A B A C:.需A B故答案为：V3-10.在 Rt ZA B C 中，ZC A B=90,A C=A B=6,D,E 分别是A B,A C 的中点，假设等腰Rt a A D E 绕点A逆时针旋转,得到Rt ZA D E,设旋转角为a (0 a W180 ),记直线B。与 C E i 的交点为P.(1)如 图 1,当 a=9 0。时，线 段 的 长 等 于 近，线段C E i 的长等于 立；(2)如图2,当 a=1 3 5 时,设 直 线 B 与 C A的交点为F,求证：B DFC EI,且 B D C E

41、“(3)点 P到 AB 所在直线的距离的最大值是空通.2解：(1)V Z C AB=9 0,AC=AB=6,D,E 分别是边 AB,AC 的中点,；.AE=AD=3,.等腰R t Z SAD E 绕点A 逆时针旋转,得到等腰R t A D E,设旋转角为a(0 V a W 1 8 0。),当 a=9 0 时,AE i=3,N E AE=9 0,B D i=y 6 2+3E i C R 6 2+3 2=3 ；故答案为：3A/5；(2)证明：当 a=1 3 5 时，如图2,连接C E”VR t AAD.E 是由R t AAD E 绕点A 逆时针旋转1 3 5 得到,.AD i=AE,Z DIAB=

42、Z EIAC=1 3 5 ,SAD i AB 和aE i AC 中 AD 1=AE 1(N D AB=/E AC,AB二AC16.,.D.AB AE i AC (SAS),.B D i=C E i,且N D i B A=N E A,记直线B D i 与 AC 交于点F,N B FA=N C FP,Z C P F=Z FAB=9 0,AB D i X C E,；(3)解：如图3,作 P G L A B,交 AB 所在直线于点G,VDH EI在以A 为圆心，AD 为半径的圆上，当 B“所在直线与。A 相切时，直线B D.与 C E,的交点P到直线AB 的距离最大，此时四边形AD E E i 是正方

43、形，P D.=3,那么B D 产 后 二故 N AB P=3 0,那么 P B=3+3 ,故点P到 AB 所在直线的距离的最大值为：P G=3+S,2故答案为：3+M.21 1.如图，在 R t AAB C 中，N AC B=9 0,点 D为边B C 上任意一点，以直线AD 为对称轴，作 R t Z AB C 的轴对称图形R t Z AE F,点 M、点 N、点 P、点 Q 分别为AB、B C、E F、E A 的中点.求 证：M N=P Q；(2)如图2,当B D=1BC时，判 断 点 出 点 N、点 P、点 Q 围成的四边形的形状，并说明理由；31 3)假设B C=6,请你直接写出当B D=

44、3；B D=6 时，点 M、点 N、点 P、点 Q 围成图形的形状.解：1 AB C 与A A E F 关于直线AD 对 称,如 图 1,.AB C AAE F,.AC=AF,点 M、N、P、Q 分别是 AB、B C、E F、E A 的中点,A M N,P Q分别是a A B C 和a A E F 的中位线，；.M N 与C,P Q=XAF,2 2；.M N=P Q；(2)当B D=LBC时，点 M、点 N、点 P、点 Q 围成的四边形是矩形.3连结B E、M N、P Q,如图2,点M、点 Q 是 AB、AE 的中点.；.M QB E 且 M Q=LBE,2 ,点N是 B C 中点，.B N=

45、1B C,2又.B D=LB C,3/.D N=B N -B D=LBC-工B C=1 3 C,2 3 6 ,D N 1B D -2 点B与点E关于直线AD 对称，.B E AD,同理 P N _L AD,.*.B E/7 P N,17/.P D N AE D B,.，P N -D-N-1B E-B D-2，P N B E,PNJBE,2，M QP N 且 M Q=P N,四边形M QN P 是平行四边形，.M N=P Q,四边形M QN P 是矩形.1 3)当 B D=3 时，围成等腰三角形；当 B D=6 时，围成矩形.1 2.在 R t Z AB C 中，Z AC B=9 0,点 D在

46、AB 边上，AD=B D,过点D作射线D H,交 B C 边于点M.“)如 图 1,假设N B=3 0,求证：4 A C D 是等边三角形；(2)如图 2,假设 AC=1 0,AD=1 3,Z C D H=Z A.求线段D M 的长；点 P是射线D H上一点，连接AP 交 C D 于点N,当 同是等腰三角形时，求线段M P 的长.(1)证明：V Z B=3 0,Z AC B=9 0,/.Z A=6 0,由题意可得D是直角三角形斜边A 边上的中点，.C D=AD,/.Z AC D=Z A=6 0,Z AD C=6 0,.,.AC D 为等边三角形；(2)解：.点D 是直角三角形斜边AB 上的中点

47、，；.AC=C D=AD,Z AC D=Z A,Z C D H=Z A,Z AC D=Z C D H,；.D HAC,为A A B C 的中位线，.D M=1AC=5；2分三种情况考虑：当 M N=D N 时,如 图 1 所示，由得：AD=C D,N A=N AC D=N C D H,D M=5,VM N=D N,N C D N 二 N D M N 二 N A 二 N AC D,.AD C AD N M,D N=D M 即 D N=5AD AC 1 3 1 0解得：D N=4 L C D,2 2AC N=D N,.D H/7 AC,.AC N AP D N,AP D=AC=1 0,AM P=P

48、 D -D M=1 0-5=5；(i i)当 M N=D M=5 时，如图 2 所示，那么有N M N D=N M D N=N AC D=N A,.AD C AM D N,18 DN-DM gnDN-5AC AD 10 13解得：D N=毁，13.C N=1 3 -典=1 1 ,13 13,/AC N AP D N,50 PD,DN anPD=J 3AC CN 10 11113解得：P D=眄，119那么 M P=D M -P D=5 -驷1=g _；119 119(i i i)当 D N=D M 时,如图 2 所示，那么有 D N=5,C N=1 3 -5=8,.,AC N AP D N,P

49、D-DN 即 PD_5AC CN 10 8解得：P D=空，4那么 M P=P D -D M=-.41 3.等腰三角形AB C 中，AB=C B,B O _L AC,点 P为射线B C 上的动点(不与点B重合)，在射线C A上截取C D=C B,作 P F_L B D,分别交射线B O,B D 于点E,F.设/AB C=a.(1)令N AB C=9 0.如图1,当点P与点C重合时，求证：AB O D 丝4 P O E；如图2,当点P在点C的左边时，求 此 的 值；PE猜测：当点P 在点C的右边时，型的值又是多少？PE请直接写出.(2)设点P 在点C的右边，请在图3 (Z A B 0 9 00)

50、或图4 (Z AB C 9 0)中继续探究题的值(用含a 的式PE子表示)，并说明理由.解：门)如 图 1 中，VAB=B C,Z AB C=9 0,B O AC,/.O A=O C=O B,Z B 0C=9 0,VC F1 B D,A Z C FD=9 0,/Z C D F+Z D C F=9 0,Z D C F+Z C E 0=9 0,：.Z C E O=Z B D O,在A B O D 和a C O E 中，fZBDO=ZCEO ZBOD=ZEOD=90-BO=OC.,.B O D AC O E,(即AB O D 名P O E).如图2 中，作 P M O B 于 M,交 B D 于 N