2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编：函数的概念及其表示章节综合.pdf

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1、2017-2021北京重点校高一（上）期末数学汇编函数的概念及其表示章节综合一、单选题1.（2 01 9 北京师大附中高一期末）已知函数y=/（x）是定义域为R的偶函数，当x N O 时,|s i n|xj(O xl)，若关于X的方程（x）F+4（x）+6=0（a，6 e R）,有且仅有6 个不同实数根，则实数。的取值范围是（）2.（2 02 1 北京二中高一期末）如图，动点尸在正方体的对角线上，过点尸作垂直于平面B 8 Q Q 的直线，与正方体表面相交于M,N.设 8 P=x,M N =y,则函数y=/（幻 的图象大致是（）3.（2。2 北京二中高一期末）已 知 函 数 小）=2C g（x）

2、=3 2，w（f,若对任意打”，+00），总存在X 2 G R,使f （力）=g（X 2）,则实数。的取值范围是A，B-|,+0)C-D.1,|U：,24.(2 01 9 北 京 中央民族大学附属中学高一期末)已知函数 x)=H+3)x 3，定义函数g(x)=f(x)-k ,若函数g(x)无零点，3则实数k的 取 值 范 围 为.8.(2 01 9 北 京 师 大 附 中 高 一 期 末)函 数；：，则/(J)=.9.(2 02 0.北京.首都师范大学附属中学高一期末)函数”=咋,(；_3)的定义域为.三、解答题1 0.(2 01 8 北京,1 01 中学高一期末)已知函数f(x)的图象在 a

3、,b 上连续不断，定义：f i (x)=m i n f (t)|a t x(xG a,b ),h(x)=m a x f (t)|a t x(x(a,b ).其中，m i n f (x)|xGD表示函数f (x)在 D 上的最小值，m a x f (x)|xD表示函数f (x)在 D 上的最大值.若存在最小正整数k,使得f 2 (x)-f i (x)k (x-a)对任意的xd a,b 成立，则称函数f (x)为 a,b 上的“k阶收缩函数(1)若 f (x)=s i n x,x G -y ,y ,请直接写出 f|(X),h(X)的表达式；(2)已知函数f (x)=(x-1)2,x6-l,4 ,试

4、判断f (x)是否为-1,4 上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出对应的 k；如果不是，请说明理由.1 1.(2 02 0.北京.清华附中高一期末)若函数/(X)定义域为R,且存在非零实数T,使得对于任意的x w R J(x+T)=斤(x)恒成立，称函数“X)满足性质尸(T)分别判断下列函数是否满足性质P(T)并说明理由 f(x)-s i n 2/rx g (x)=c o s 2G 若函数.f(x)既满足性质p(2),又满足性质P(3),求函数”X)的解析式若函数f(x)满足性质尸(L 01),求证：存在x e R,使得了 小)0.00112.(2019北京J01中学高一期末)正四棱锥S-48

5、CD的底面边长为2,侧棱长为x.(1)求出其表面积S(x)和体积V(x)；(2)设/()=渭，求出函数Ax)的定义域，并判断其单 调 性(无需证明).V(x)13.(2021.北京.101中学高一期末)已知函数 x)=l+k 3(_ 2 x 4 2).(1)求函数f(x)的值域：(2)若函数g(x)=log x的图像与函数/(x)的图像有交点，请直接写出实数。的取值范围.14.(2021北京 清华附中高一期末)已知函数f(x)=ox+,a,b e R,且该函数的图象经过点(-1,0),(2 1)(I)求a,b的值；(I I)已知直线y=+*N l)与x轴交于点T,且与函数“X)的图像只有一个公

6、共点.求|。7|的最大值.(其中。为坐标原点)参考答案1.c且关于x的方程(x)r +，(%)+b=O,a,b R有且仅有6个不同实数根,*x2+ax+b=0 的两根分别为 =w1 *2 v a 或。%1 v Z ；由韦达定理可得芭十/=-。，若=5 ,1为 一5，则9=一。5=,即5 9J；4 4 4 2 2 45 9 9若 0 X 41,1 Xj v,则 1 a ,即 a 1 ；44 4 5 9 9从而可知 a 或 a 0讨论，a 0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a的取值范围.【详解】当 =0时，函数/(x)=2/，的值域为 1,+8),函数g(x)的值域为 0,+8

7、),满足题意.当。=/+2“。0,所以 a+22a,所以此时函数g(x)的值域为(2用+8),由题得2 4 V 1,即4 V 即 V0.当。0时，二 工2+2。(为0)的值域为(2凡+8)，尸ac o s x+2(x N0)的值域为-。+2,+2 ,2 a+2 V 1当 生:时，-a+2 W 2 a,由题得 ,.l a2a当 0“2 a,由题得 2 a l,所以“V!.所以 0a?.322综合得“的范围为a g或1 9 W 2,故选C.【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.A【分析】根据自变量满足的范围

8、代入对应表达式求解即可.【详解】/(-1 0)=/(-7)=/H)=/(-l)=/(2)=l o g22 =l.故选：A【点睛】本题主要考查了分段函数的求值.属于基础题型.5.B【分析】根据二次函数的图象和性质，结合定义域与值域的概念可以得到实数m的取值范围.【详解】函数X)=X2-4X在 0,2 上单调递减，在 2,+0 0)上单调递增，0)=1,2)=4 时尤)0,0 犬4 )0,即可求出函数的定义域.【详解】解：要使函数有意义，则加(x+l)*0,且x+l 0,即 x-l 且X HO,故函数的定义域为“|x-1 且X KO,故选：B7 .-1,1)【分析】由分段函数的解析式得函数在 3,

9、+8)上 *)=陛,递 减，可得f(x)l,即f(x)的值域为(e,1)5 1，+8),由y =f(x)的图象与y =k 无交点，即可得结果.【详解】-x+4,x 3函数f(x)=3，、3可得x 3 时，x)=b g d递减，3可得 f(x)-l；当x 3 时，f(x)=-x+4 递减，可得f(x)2 1,即有f(x)的值域为(匕 1)3 1，+8),由函数g(x)=f(x)-k,若函数g(x)无零点，y =f(x)的 图 象 与y =k无交点，则f(x)k =O无 解，即f(x)=k无 解，所 以k的范围是卜1,1).故答案为-1,1).【点睛】函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点

10、，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函 数y =/(x)-g(x)的零点=函数y =/(x)-g(x)在X轴 的 交 点 O 方 程，(x)-g(x)=o的根O 函 数y =/(x)与y =g(x)的交点.8 .-9【分析】先 求/(；)的值，再 求/的值.【详解】由题得/(；)=l o g 2；=-2,所 以/G)=/(-2)=3-2=1,故 答 案 为/【点睛】本题主要考查指数对数运算和分段函数求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9.(3,4)5 4,+0)【分析】根据对数真数大于零，分式分

11、母不为零列不等式组，解不等式组求得函数/(力 的定义域.【详解】依题意有_3片1，解 得x 4 3,4)5 4,”).故答案为(3,4)口(4,.)【点睛】本小题主要考查具体函数定义域的求法，考查对数的性质，属于基础题.TT TT TT TT1 0.(1)f i (x)=-l,x e -y,-f2(x)=s i n x,x e -y,小 存 在 k=4【详解】77 y r试题分析：(1 )由题息可得：f l (x)=-1,x -y,y ;fl(X)=s i n x,X -y,y ；(2)由函数 f(X)=(X-1 )2,Xe -1,4 ,写出f l (x)和 f 2 (x)的解析式，根据f 2

12、 (x)-f l (x)k (x-a)对任意的Xd a,b 成立，分段列出不等式，求出函数最值代入，可得k的取值范围,即存在k=4,使得f (x)是-1,4 上的4 阶收缩函数.试题解析：JT TT TT TT(1)由题意可得：f i (x)=-1,x -y,f 2 (x)=s i n x,x e -y,(2)f i (x)=0,x e l,4 .f 2 (x)4,X G-1,3),C,X G 3,4 .3 +2 x -x,x E 1,1)h(x)-f i (x)=4,x e 1,3),(X G 3,4 ,当 x -l,1)时，3+2 x-x2k (x+l),所以 k N 3-x,所以 k%；

13、4当 x l,3)时，4 k (x+l),所以 Q-所以 k N 2；x+l(r-1)2 Q当 x 3,4 时，(x-1)2 4,即存在k=4,使得f(x)是-1,4上的4 阶收缩函数.1 1.(1)满足性质尸(1),理由见解析 小)=0(3)证明见解析【分析】(1)计算 x+l)=/(x),g(x+l)=g(x),得到答案.(2)根据函数性质变换得到2/(x+l)=3/(x),3/(x-l)=2/(x),/(x+l)=2/(x-1),解得答案.(3)根据函数性质得到/(-x l.0 1)=丁 焉./(1.0 1),.0,1 0 0 0 1/(1.0 1)1，当N 时满足条件，得到答案.(1)

14、/(x+l)=s i n 2 7i(x+l)=s i n(2 7i x+2 7r)=s i n 2 7t r =/(X),故/(x)满足 P(l)；g(x+l)=C O S2TT(X+1)=C O S(2TU+2JI)=C O S2nx=g(x),故 g(x)满足尸.(2)f(x+2)=2 x)且 x+3)=3/(x),故 x+3)=/(x+l +2)=2/(x+l)=3/(x),f(x+2)=f(x-l+3)=3f(x-l)=2f(x),/(x+l)=2/(x-l),解得/(x)=0.(3)/(x+1.0 1)=1.0 1/(x),Sj/(x+1.0 1)=1.0 12/(-l-0 1)=1

15、.0 13/(-2 x l.0 1)=-=1.0 1n+7(x-n x l.0 1),取x =0 得到“L0 1)=L0 1 (fx l.0 1),即取 N =l o gLo JO O O(1.0 1)|,当N 时，7 r 41.0 1)0.0 0 1,故存在 =-x l .0 1 满足./(%)42./(x)是减函数.【分析】(1)画出图形，分别求出四棱锥的高，及侧面的高的表达式，即可求出表面积与体积的表达式；(2)式，可求出x的范围，即定义域，然后判断其为减函数.【详解】(1)过点S 作平面A 3 C 的垂线，垂足为O,取 A8的中点E,连结O E,SE,因为S-A B 8 为正四棱锥，所

16、以成?=34。=1,A E =1,SE=yJSA-AE2=Vx2-1 -SO=SE2-E O2=&-1-1=SJX2-2 -所以四棱锥的表面积为S(x)=4x gx A B-SE+A 8-BC =4 G T +4,_ S(x)_ 4&-1+4 _ 3 J-1+3 x 0 J X V(x)4 r JX2-2，卜2-1 2 0 解得*0，U X2-2 0“x)是减函数.结合表达【点睛】本题考查了四棱锥的结构特征，考查了表面积与体积的计算，考查了学生的空间想象能力与计算能力,1 3.(1)1,3)；(2)0 。1 或 1 。42【解析】(1)分段讨论去绝对值得出/(X)解析式，即可求出值域；(2)分

17、0 “1 两种情况讨论可求出.【详解】属于中档题.(1)可得 f(x)=1 xy 2 x 0l,0 x2当 2x0,/(x)=l-xe(l,3),当04X2,/(X)=1,所以函数/(x)的值域为1,3)；(2).g(x)=logX的定义域为(0,+8),当0 4 x 4 2时，/(%)=1,则当。“1时，g(x)单调递减，此时g(x)的 图 像 与 的 图 像 有 交 点，满足题意，当时，要使函数图像有交点，需满足bg“2 N l,解得1。42,综上，或【点睛】本题考查分段函数的值域以及对数图象的应用，解题的关键是正确理解对数函数的图象.a=114.(I)(II)1.【分析】(I)根据己知点

18、的坐标，利用函数的解析式，得到关于。，人 的方程组，求解即得；(I I)设7&0),则直线卜=依+机化工1)方程可以写成y=Mx f),与函数y=f(x)=x-g联立，消去九 利用判别式 求 得 利 用 二 次 函 数 的 性 质 求 得 产 取 得 最 大 值1,进而得到|O7|的最大值.【详解】-a-h=0(I)由 已 知 得 c b 3,解 得，,；2。+=一|b=-1I 2 2 1(I I)设7&0),则直线卜=依+机(女*1)方程可以写成y=Mx r),与函数y=/(x)=x-J联立，消去,并整理得(Z:-l)x2-ktx+=0由已知得判别式-2 4(%-1)=0,产=4(一),当=；时，产取得最大值1,所以10T L寸L=LK 乙