2023年上海市浦东新区中考数学一模试卷.pdf

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1、2023年上海市浦东新区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，总分值2 4分）【以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】L（4分）如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）A.扩大为原来的两倍B.缩小为原来的工2C.不变 D.不能确定2.14分）以下函数中，二次函数是（）A.y=-4x+5 B.y=x（2x-3）C.y=（x+4）2-x2 D.y=-X3.（4分）在RtAABC中，ZC=90,AB=7,BC=5,那么以下式子中正确的是（）A.sinA=B.cosA=C.tanA=$D.cotA=7

2、7 7 74.（4分）非零向量W，K 3,以下条件中，不能判定向量W 与向量E平行的是（）A.a M c，b II c B.a:=3 1 b C.a=c，b=2 c D.a+b=05.（4分）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方，那么以下判断中正确的是（）A.a 0,b 0,b 0 C.a 0 D.a 0,c n,那么a0（用 或 V连 接）.18.（4 分）如图，在 RtZABC 中，ZACB=90,cosB=-l,BC=8,点 D 在边 BC 上,5将aA BC沿着过点D 的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E 处，联结CE、D E,当NBDE=NAEC时，那么BE的长

3、是.三、解答题：（本大题共7 题，总分值78分）19.（10分）将抛物线y=x2-4x+5向左平移4 个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴.20.（10分）如图，4A B C 中，点 D、E 分别在边AB和 AC上，DEB C,且 DE经过A B C的重心，设前工.（1）DE=（用向量W 表示）；（2）设标=正 在图中求作E 亭.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量21.（10分）如图，G、H 分别是DABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和 DC的延长线于点E、F.（1）当.s包里一=工时,求q i 的值；S四边形CDGH 8 DG 联结BD交 EF于点M,求

4、证：MGME=MFMH.22.（10分）如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3 米处的点C 出发，沿坡度为i=l：遮的斜坡CD前进2 T 米到达点D,在点D 处放置测角仪，测得旗杆顶部A 的仰角为37。，量得测角仪DE的高为1.5米.A、B、C、D、E 在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直.（1）求点D 的铅垂高度（结果保存根号）；求旗杆AB的高度（精确到0.1）.（参考数据：sin370.60,cos37。心0.80,tan37-0.75,我 Q1.73.）23.（12分）如图，在锐角A A BC中，CELA B 于点E,点 D 在边AC上，联结BD交 CE于点F,且 EFF

5、C=FBDF.求 证：BD1AC；（2）联结A F,求证:AFBE=BCEF.24.（12分）抛物线y=ax2+bx+5与x 轴交于点A（1,0）和点B（5,0）,顶点为M.点 C 在x 轴的负半轴上，且 AC=AB,点 D 的坐标为（0,3）,直线I 经过点C、D.（1）求抛物线的表达式；（2）点 P 是直线I 在第三象限上的点，联结A P,且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求 tanZCPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、BM,在直线PM上是否存在点E,使得NAEM=ZAM B?假设存在，求出点E 的坐标；假设不存在，请说明理由.25.（14 分）如图，在ZkABC 中,ZAC

6、B=90,BC=2,AC=4,点 D 在射线 BC 上,以点D 为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E,过点E 作 EF1AB交边AC于点F,射线ED交射线AC于点G.（1）求证：E F GS/X AE G；（2）设 FG=x,4EFG 的面积为y,求y 关于x 的函数解析式并写出定义域；（3）联结D F,当AEFD是等腰三角形时，请直接写出FG的长度.2023年上海市浦东新区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，总分值2 4分）【以下各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.（4分）如果把一个锐角三角形三边的长

7、都扩大为原来的两倍，那么锐角A的余切值（）A.扩大为原来的两倍B.缩小为原来的工2C.不变 D.不能确定【分析】根据A B C三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，得到锐角A的大小没改变，从而得出答案.【解答】解：因为aA B C三边的长度都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变.应选C.【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中，一个锐角的余切等于它的邻边与对边的比值是解题的关键.2.（4分）以下函数中，二次函数是（）A.y=-4x+5 B.y=x（2x-3）C.y=（x+4）2-x2 D.y=-A_X【分

8、析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论.【解答】解：A、y=-4 x+5为一次函数；B、y=x（2x-3）=2x2-3x 为二次函数;C y=（x+4）2-x2=8x+16为一次函数；D、y=，不是二次函数.X应选B.【点评】此题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键.3.14分）在R S A B C中，NC=9（T,AB=7,BC=5,那么以下式子中正确的是）A.sinA=A B.cosA=&C.tanA=A D.cotA=A7 7 7 7【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用三角函数的定义求解.【解答】解：AC=7AB2-BC2=71 32-52=12,

9、A、sinA=.故本选项正确；A B 7B、cosA=,故本选项错误；A B 1 2C、ta n A=-L,故本选项错误；A C 1 2D cotA=&=丝，故本选项错误；B C 5应选：A.【点评】此题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边.4.（4 分）非零向量W，总 3,以下条件中，不能判定向量W 与向量E平行的是（）A.a R C，b/c B.a=3 b C.a=c b=2 c D.a+b=0【分析】根据向量的性质进行逐一判定即可.【解答】解:A、由r联，E 武 推 知 非 零 向 量 E、3 的方向相同，那 么 之 相

10、，故本选项错误；B、由|Z|=3|E|I不能确定非零向量之、E的方向，故不能判定其位置关系，故本选项正确.C、由Z 二、推 知 非 零 向 量 as bs 3 的方向相同，那 么 Z/E，故本选项错误；D、由Z+E=o推知非零向量之、E的方向相同，那 么 a/h故本选项错误；应 选 B.【点评】此题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a、b 叫做平行向量.5.14分）如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x 轴的下方，那么以下判断中正 确 的 是（）A.a0,b0,b0 C.a0 D.a0,c0【分析】由抛物线在X轴的下方，即可得出抛物线与x 轴无交点且a V 0,进

11、而即可得出a0、c 0,此题得解.【解答】解：二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x 轴的下方，.a vo,4 a c-b2 0）4 a.a0,c n,那 么a?0 （用“或 V 连 接）.【分析】二次函数的性质即可判定.【解答】解：.二次函数的解析式为y=ax2-2ax-1,该抛物线对称轴为x=l,*?|-1-1 1 12-1 1,且 m n,/.a 0.故答案为：.【点评】此题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键.1 8.（4 分）如图，在 RtABC 中，ZACB=90,cosB=&,B

12、C=8,点 D 在边 BC 上，5将A B C沿着过点D的一条直线翻折，使 点B落 在A B边上的点E处，联 结CE、D E,当NBDE=NAEC时，那 么BE的长是圣.5【分析】如图作C H A B于H.由题意EF=BF,设EF=BF=a,那 么B D=C a,只要4证明E C D s B C E,可 得EC2=CDC B,延长构建方程即可解决问题；【解答】解：如图作C H LA B于H.在 RtzACB 中，V BC=8,COSB=A,5.AB=10,AC=8,CH=ACB C=j,BH=驾，A B 5 5由题意 EF=BF,设 EF=BF=a,那么 BD=亘a,4VZBDE=ZAEC,N

13、CED+NECB=NECB+NB,，N C E D=/B,VZECD=ZBCE,/.E C D AB C E,/.E C2=C DC B,（24）2+（2a-3 2）2=（8-l a）X8,5 5 4解 得a=遛 或0（舍弃）,10BE=2a=箜，5故答案为四.5【点评】此题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型.三、解答题：（本大题共7题，总分值78分）19.（10分）将抛物线y=x2-4x+5向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标和对称轴.【分析】先将抛物线y=x2-4x+5化为顶点坐

14、标式，再按照 左加右减，上加下减的规律平移那么可.【解答】解：*.,y=x2-4x+4-4+5=（x-2）2+1,.平移后的函数解析式是y=（x+2）2+L顶 点 坐 标 是（-2,1）.对称轴是直线x=-2.【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.20.10分）如图，4A B C中，点D、E分别在边AB和AC上，DE/BC,且DE经过AABC的重心，设前=1.（1）DE=-a（用向量W 表示）；（2

15、）设 族 元，在图中求作石上.（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量.）【分析】（1）由 DEBC 推出 AD：AB=AG：AF=DE：BC=2：3,推出 D E=2BC,由3BC=a，推出血=2W；312）作AABC的中线A F,结论：菽就是所要求作的向量;【解答】解：（1）如图设G 是重心，作中线AF.,DEBC,AAD：AB=AG：AF=DE：BC=2：3,，DE=2BC,3V B C=a，故答案为2W3 作aA B C 的中线AF,结论：标就是所要求作的向量.【点评】此题考查三角形的重心、平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.21

16、.（10分）如图，G、H 分别是DABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和 DC的延长线于点E、F.（1）当 SM FH=工时,求生的值；S四边形C D G H 8 D G（2）联结BD交 EF于点M,求证：MGME=MFMH.【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；（2）根据平行四边形的性质和相似三角形的相似比解答即可.【解答】（1）解：.一$竺胆=S四边形C D G H 8 SA C F H 12 A D F G 9:ABCD 中，ADBC,/.CFHADFG.S C F H z C H、1 -二 ）=A D F G D G 9 C H i 1D G-3 .A B C

17、D 中，A D B C,二 M B 二 M H,而.:A B C D 中，A B C D,；iM E _ M B,而下 M E _ M HMF=M G【点评】此题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目比拟典型，难度适中.2 2.（1 0分）如图，为测量学校旗杆AB的高度，小明从旗杆正前方3米处的点C出发，沿坡度为i=l：的斜坡CD前进2T米到达点D,在点D处放置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为3 7。，量得测角仪D E的高为1.5米.A、B、C、D、E在同一平面内，且旗杆和测角仪都与地面垂直.（1）求点D的铅垂高度（结果保存根号）；（2）求旗杆A B的

18、高度1精确到0.1）.（参考数据：s i n 3 7 0.6 0,c os 3 7 心0.8 0,t an 3 7-0.7 5,=1.7 3.）【分析】（1）延 长E D交BC延长线于点H,那么NC HD=9 0。，R t A C D H中求得C H=C Dc os Z DC H=2 J3 D H J CD=C；2 2（2）作 EFJ_ A B,可得 EH=B F=1.5+遂、EF=B H=B C+C H=6,根据 A F=EFt an/A EF=4 5、A B=A F+B F可得答案.【解答】解：（1）延长E D交射线B C于点H.由题意得DHB C.在 Rt A C DH 中，Z DHC=

19、9 0 ,t an Z DC H=i=l：炳./.Z DC H=3 0.；.C D=2 DH.C D=2心/.DH=A/3 CH=3.答：点D的铅垂高度是 米.（2）过点E作E F 1A B于F.由题意得，/A E F即为点E观察点A时的仰角，/.ZAEF=37O.V EFAB,ABBC,EDBC,/.ZBFE=ZB=ZBHE=90.四边形FBHE为矩形.，EF=BH=BC+CH=6.FB=EH=ED+DH=1.5+V3.在 Rt/XAEF 中，ZAFE=90,AF=EFtanZAEF6X0.754.5.,.AB=AF+FB=6+V36+1,737.7.答：旗杆A B的高度约为7.7米.【点评

20、】此题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和坡度坡比问题，掌握仰角俯角和坡度坡比的定义，并根据题意构建适宜的直角三角形是解题的关键.23.（1 2分）如图，在锐角A A B C中，CE_LAB于点E,点D在边A C上，联结BD交CE于点F,且EFFC=FBDF.（1）求证：BDAC；（2）联结A F,求证:AFBE=BCEF.【分析】（1）根据相似三角形的判定得出EFB SDFC,再根据相似三角形的性质解答即可；（2）由E F B saD F C得出N A B D=N A C E,进而判断A ECS A F EB,再利用相似三角形的性质解答即可.【解答】证 明:（1）：EFFC=FBDF,

21、EF FBVZEFB=ZDFC,/.EFBADFC.A ZFEB=ZFDC.VCEAB,.,.ZFEB=90./.ZFDC=90.Z.BD1AC.VAEFBADFC,/.ZABD=ZACE.CE1AB,A ZFEB=ZAEC=90./.AECAFEB.A E 一 ECFE-EB A E FE EC=EB VZAEC=ZFEB=90,/.AEFACEB.A F EF,亩 元，AFBE=BCEF.【点评】考查了相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的对应边比值相等的性质解答，24.（12分）抛物线y=ax?+bx+5与x轴交于点A（1,0）和 点B（5,0）,顶点为M.点C在x轴的负半轴上，

22、且AC=AB,点D的坐标为（0,3）,直 线I经过点C、D.（1）求抛物线的表达式；（2）点P是直线I在第三象限上的点，联 结A P,且线段CP是线段CA、CB的比例中项，求tanZCPA的值；（3）在（2）的条件下，联结AM、B M,在直线PM上是否存在点E,使得NAEM=Z A M B?假设存在，求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由.【分析】（1）将 点（1,0）,B（5,0）代入抛物线的解析式可得到a、b的值，从而可得到抛物线的解析式；（2）先求得AC和BC的长，然后依据比例中项的定义可求得CP的长，接下来,再证明C PAs/xC BP,依据相似三角形的性质可得到NCPA=NCBP,然

23、后过P作PH，x轴于H,接下来，由aP C H为等腰直角三角形可得到CH和PH的长，从而可得到点P的坐标，然后由tanNCPA=tanNCBP=_求解即可；B H(3)过点A作AN_LPM于点N,那么N(1,-4).当点E在M左侧，那么NBAM=N A M E.然后证明A E M s B M A,依据相似三角形的性质可求得M E的长，从而可得到点E的坐标；当点E在M右侧时，记为点E 然后由点E，与E关于直线A N对称求解即可.【解答】解：(1).抛物线丫=2*2+6*+5与x轴交于点A(1,0),B(5,0),.Ja+b+5=0 ,解 得 产.|2 5 a+5 b+5=0 l b=-6，抛物线

24、的解析式为y=x2-6x+5.(2)VA(1,0),B(5,0),/.OA=1,AB=4.VAC=AB且点C在点A的左侧，AC=4.，CB=CA+AB=8.线段CP是线段CA、CB的比例中项，.C A.C P.C P C B/.CP=4后又./P C B是公共角，/.CPA ACBP.,.ZCPA=ZCBP.过P作P H x轴于H.V OC=OD=3,ZDOC=90,/.ZDCO=45./.ZPCH=45O.PH=CH=CP=4,2AH(-7,0),BH=12.：.P(-7,-4).,.tan N C B P=L tanNCPA.BH 3 3(3).抛物线的顶点是M(3,-4),X V P (

25、-7,-4),；.PMx 轴.当点E在M左侧，那么NBAM=NAME.过点A作AN_LPM于点N,那么N(1,-4).VZAEM=ZAM B,.,.AEM ABMA.ME=AMA M AB ME.2 7 52遍4，ME=5,AE(-2,-4).当点E在M右侧时，记为点匕V Z A EZN=ZAEN,.点E，与E关于直线A N对称，那么E，(4,-4).综上所述，E的坐标为(-2,-4)或(4,-4).【点评】此题主要考查的是二次函数的综合应用，解答此题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，证得A E M s B M A是解题的

26、关键.25.(14 分)如图，在 ABC 中，ZACB=90,BC=2,A C=4,点 D 在射线 BC 上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E,过点E作EFAB交边AC于点F,射线ED交射线AC于点G.(1)求证：EFGsAEG；(2)设FG=x,4E FG的面积为y,求y关于x的函数解析式并写出定义域；(3)联结D F,当4E F D是等腰三角形时，请直接写出FG的长度.【分析】(1)先证明N A=N 2,然后利用相似三角形的判定方法即可得到结论；(2)作EHJ_AF于点H,如图1,利用勾股定理计算出AB=2遥，利用E F G s4A E G得至【j里=四=空，再 证 明R tA

27、A E F R tA A C B得 到 空=岖=_,所 以AE EG AG 2 4 2V5匹!=旦=或，那么 EG=2x,AG=4x,AF=3x,EF=2区，A E=Z lx,接着利用A E 2 E G A G 5 5相似比表示出E H=lx,AH=12X,然后根据三角形面积公式表示出y与x的关系,5 5最后利用CF=4-3 x可确定x的范围；(3)先表示CG=4x-4,G H=lx,讨论：当ED=EF=K x时，如 图1,那么5 5BD=DE=1后X,所以D C=2-&Z；当DE=DF时，如图2,作DM_LEF于M,那5 5么E M=LEF=2区X,证明D E M s a B A C,利用相

28、似比表示DE=3X,那么2 1 0 4BD=DE=2X,所以 CD=2-A x；当 FE=FD 时，如图 3,作 FN1EG 于 N,那么 EN=DN,4 4证明N E F s a C A B,利用相似比表示出EN=2X,那 么D E=2 E N=l x,所以5 5BD=DE=llx,CD=2-丝x,然后利用G C D s a G H E,根据相似比得到关于x的5 5方程，再分别解方程求出定义的x的值即可.【解答】(1)证 明:VED=BD,/.Z B=Z 2,/ZACB=90,.,.ZB+ZA=90.VEFAB,A ZBEF=90,A Z l+Z 2=9 0,.,.Z A=Z 2,VZEGF

29、=ZAG E,.E F G AA E G；(2)解：作EH_LAF于点H,如图1,在R tA B C中，AB=正=2代，V A E F G A A E G,E F _F G _E G,A E E G A GVZEAF=ZC AB,，RtAAEFR tAACB,E F_ A E_ A F ,H n E F_ A E_ A F ,B C A C A B 2 4 2 7 5 -.E.F_ 1_ .,x _.E.G ,A E 2 E G A GE G=2 x,A G=4 x,A A F=A G -F G=3 x,A E=5 x,5 5V E H/7 B C,E H-A E-一 A H ,pnE H _

30、 5 -A H一,B C A B A C 2 2 V 5 4.,.E H=l x,A H=H x,5 5y=_ F G E H=x*AX=-2.X2（0 XA）,2 2 5 5 3 解：C G=A G -A C=4 x -4,G H=A G -A H=4 x -丝 x=B x,5 5当 E D=E F=2 属 时，如图1,那么B D=D E=W x,5 5/.D C=2 -区 l x,5.C D E H,/.G C D A G H E,.史=竺，即（2-孑后 x）：l x=（4 x-4）：l x,解得 x=2 5-5 遍;E H G H 5 5 5 1 2当 D E=D F 时，如图2,作 D

31、 M J _ E F 于 M,那么E M E F=2 区 x,2 1 0/ZD E M=ZA,DEM ABAC,里 迪，即A B A CBD=DE=2X,4C D=2 -l x,4D E .1 0XQ解得 D E=x,2V5-44C D E H,.GCD AGHE,.C D-G C,即 g-当）:l x=（4 x-4）：0,解得x=&；E H G H 4 5 5 3当FE=FD时，如 图3,作FNLEG于N,那 么EN=DN,VZN EF=ZA,.NEFACAB,AEN=EF,即 驷 5 x,解得 EN=0X,A C A B 4 2 V 5 5.,.DE=2EN=12.X,5A BD=DE=llx,5.*.CD=2-丝x,5.CDEH,/.GCDAGHE,，即(2-1？x)：AX=(4X-4)：x,解得 x=空；E H G H 5 5 5 2 7综上所述，F G的长为&或至或2 5七遍.3 2 7 1 2【点评】此题考查了相似形综合题：熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质；灵活利用相似比用x表示其它线段是解决问题的关键；会利用分类讨论的思想解决数学问题.