高考数学复习-空间几何体的结构、表面积和体积.pdf

《高考数学复习-空间几何体的结构、表面积和体积.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习-空间几何体的结构、表面积和体积.pdf（23页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、 第八章 立体几何与空间向量8.1 空 间几何体的结构、表面积和体积”命 题 探 究 曾立体几何问题既是高考的必考点，也是考查的难点，其在高考中的命题形式较为稳定，保持“一小一大”或“两小一大 的格局.多以选择题或者填空题的形式考查空间内点线面的关系为主，空间几何体的体积或表面积的计算.汉真题归纳题型一.空间几何体的结构与直观图1 .（2 0 1 9 新课标H）中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图 1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2

2、是一个棱数为4 8 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有26个面,其 棱 长 为-1图1图2【解答】解：该半正多面体共有8+8+8+2=2 6 个面，设其棱长为x,则 x+冬 什 苧 x=l,解 得 尸&-1.故答案为：2 6 V 2 1.2 .（2 0 2 1 全国模拟）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）B.CH/BEC.DG1.BHD.BGLDE【解答】解：还原正方体直观图如图，可知AE与 CQ为异面直线，故选项A不正确;由 E 4|8 C,可得CHB ,故选项B 正确;正方形中易得OG_L平面B C H,所以有QG_L

3、8，故选项C 正确;因为8G4 7,K DE 1A H,所以BG_LOE,故选项。正确.故选：BCD.3.（2018新课标I）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，则 a 截此正方体所得截面面积的最大值为（）3V3 2 73 3V2 V3A.-B.-C.-D.4 3 4 2【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是3 组平行的棱，每条棱所在直线与平面a 所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，a 截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长匚，2a 截此正方体所得截面最大值为：6X亨 x（孝）2=攀4.（2020新课标I）埃及胡夫金字塔是古代世界

4、建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（）75-1A.-475-1B.-2V5+1c.-4V5+1D.-2【解答】解：设正四棱锥的高为爪 底面边长为m侧面三角形底边上的高为,则依题意有:h2=ahh2=h2-（犷e 3 一 a,i h,h h-/5+1 ,-V s+l,、因此有 h -)=5a=4(一)-2(-)-1 =0=-(负值-舍去)；2 z a a a 4 4故选：C.5.(2020山东)已知直四棱柱A B C D-4 BICI)I的棱长均为2,ZBAD=60.以 i

5、为球心，通为半径的S2TI球面与侧面BCC1B1的交线长为 .【解答】解：由题意直四棱柱ABC。-A1B1C1D的棱长均为2,ZBAD=60.可知：DiBi=2,上下底面是菱形，建立如图所示的平面直角坐标系，设尸(x,y)为半径近的球面上的点，过 P 作 PE 垂直的垂直，E 为垂足，则 DEL=DB1+xi-2Oi8i xcos60=7+4-2x.由题意可知。1P=V5.可得：5=7+4-2x+(2-y)2.即(x-1)2+(y-2)2=2,所以P 在侧面BCCB的轨迹是以BC的中点为圆心，半径为近的圆弧._ 1/-y/2.71以D为球心，遍 为半径的球面与侧面BCCB的交线长为：-x 2V

6、27T=.4 2题型二.空间几何体的表面积与体积I.(2018新课标I)已知圆柱的上、下底面的中心分别为Oi,0 2,过直线01。2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为()A.12V2T T B.12兀 C.8V2TI D.lOn【解答】解：设圆柱的底面直径为2 R,则高为2R,圆柱的上、下底面的中心分别为。1,02,过直线0 1 3 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，可得：4/?2=8,解得R=VL则该圆柱的表面积为：7 T -(V2)2 x 2 +2V27T x 2V2=12n.故 选:B.2.（2 0 2 1 新高考I ）已知圆锥的底面半径为 遮，

7、其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2 B.2 V 2 C.4 D.4 企【解答】解：由题意，设母线长为/,因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径,则有2 7 r-V 2 =n-l,解得2 =2 企，所以该圆锥的母线长为2 四.故选：B.73.（2 0 1 8 新课标H）已知圆锥的顶点为S,母线S A,S B 所成角的余弦值为1 S A 与圆锥底面所成角为4 5。，若A S A B 的面积为5 V 1 5,则该圆锥的侧面积为4 0&兀.【解答】解：圆锥的顶点为5,母线S A,S B 所成角的余弦值为高 可得si n/A S B=1-（彳2=

8、孚.S AB的面积为5 6，可得三5 屋si n/A S B=5 代，即工5 储 x =5 7 1 5,即&4=4 近.2 2 8S A 与圆锥底面所成角为4 5。，可得圆锥的底面半径为：y X 4 V 5 =2/1 0.则该圆锥的侧面积：j x 4 布 加 x 4 代=4 O V 2 7 t.故答案为：4 0 V 2;r.4.（2 0 1 8 新课标I ）在长方体A B C -4 B 1 C 1 O 1 中，AB=B C=2,A C 1 与平面B B 1 C 1 C 所成的角为3 0。，则该长方体的体积为（）A.8 B.6 V 2 C.8 V 2 D.8 7 3【解答】解：长方体A B C。

9、-4 8 1 cl 1 中，A B=BC=2,AC与平面8 B 1 C 1 C 所成的角为3 0 ,即/A C i B=3 0。，可得 黑 市=2 次.可得 B 8 i=J（2 V 3）2-22=2 企.所以该长方体的体积为：2X2X2V=8VL故选：C.B4.（2 0 2 1 新高考H）正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为（)A.2 0+1 2 遮 B.2 8 V 256C.328V2D.-3【解答】解：如图A B C。-4 3 1 C 1 Q 1 为正四棱台，A B=2,4劭=4,A 4 i=2.在 等 腰 梯 形 中，过 A作 A E _ L 4 i 5 i,可

10、得AiE=l,AE=JAAF-AtE2=V 4 1 =V 3.连接A C,Aid,AC=7 4+4 =2A/2,A i C i=71 6+1 6 =4 /2,过 A 作 A G _ L 4 C i,A 1 G=生与2g=/，A G=_ A i G2=7 4 2 =V 2,正四棱台的体积为：仁 立 彗 叵 迎 二 等5.（2 0 1 9 天津）已知四棱锥的底面是边长为迎的正方形，侧棱长均为花.若圆柱的一个底面的圆周经过四7 1棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为；【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2,且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的

11、高为2,由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1,即半径等于去由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1,则该圆柱的体积为：V=sh=7 t$2 xl=*71故答案为：一47.（2 0 1 9 新课标I I I）学生到工厂劳动实践，利 用 3。打印技术制作模型.如图，该模型为长方体A 8 C D-A i B i C i O i 挖去四棱锥O-E F G”后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A 4 i =4 c7.3。打印所用原料密度为0.9 g/cj 3.不考虑打印损耗，制作该模型所

12、需 原 料 的 质 量 为 1 1 8.8 g.【解答】解：该模型为长方体ABCO-4BICI）I,挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中。为长方体的中心，E,F,G,H,分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,A 4 i=4 ”，.该模型体积为：1 1匕 B C D-4 1 8 1 cl 5 -VO-E F G H=6X6X4-W x（4 x 6 4x x 3x 2）x3=1 4 4 -1 2=1 3 2 （cm3）,V 3）打印所用原料密度为0.9 g/。/,不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为：1 3 2 x0.9=1 1 8.8 （g）.故答案为：1 1 8.8.8.（2 0

13、 2 1 新高考I I）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为3 6 0 0 0 E?（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O,半径r 为 6 4 0 0 h 的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a，该卫星信号覆盖地球表面的表面积5=2 71a （1 -c o s a）（单位：km1）,则 S占地球表面积的百分比约为（）A.2 6%B.3 4%C.4 2%D.5 0%【解答】解：由题意，作出地球静止同步卫星

14、轨道的左右两端的竖直截面图,贝!OP=3 6 0 0 0+6 4 0 0 =4 2 4 0 0 0,那么 c o s a=2；卫星信号覆盖的地球表面面积5=2 兀/（1-c o s a）,那么，S占地球表面积的百分比为2兀（l q o s a）=7 4 2%.4 兀产 1 0 6故选：C.题型三.外接球与内切球1.（2 0 1 7 天津）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为1 8,则这个球的体积为-.2【解答】解：设正方体的棱长为“，:这 个正方体的表面积为1 8,A 6 a2=1 8,则 a2=3,即 a=/3,一个正方体的所有顶点在一个球面上，正方体的体对角线等于球

15、的直径，即 图=2 R,即 R=|,则球的体积V=裕（：）3=岑；3 2 297 r故答案为：.22.（2 0 1 7 新课标m）已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）3717r 7 TA.兀 B.C.D.一4 2 4【解答】解：.圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，该圆柱底面圆周半径/=J 1 2 _（#=字，.该圆柱的体积：y=s/?=兀x （坐/x 1 =苧.故 选:B.3.（2021甲卷）已知4,B,C 是半径为1的球。的球面上的三个点，S.ACLBC,A C=B C=1,则三棱锥0-ABC的体积为（）V2 V3

16、 V2A.B.C.12 12 4【解答】解：因为ACLBC,A C=B C=1,所以底面ABC为等腰直角三角形，所以AABC所在的截面圆的圆心0为斜边4 8 的中点，所以。0 平面A8C,在 RtABC 中，AB=JAC2+B C2=V 2,则力。i=孝在 RtAAOOi 中，。1 =J。/-4。/=孝，故三棱锥O-A B C的体积为U-S“8C,。1 T x 2 x 1 X 1 X 乎=噌.O 。乙 乙 J L 乙DY44.（2020新课标H）已知AABC是面积为二的等边三角形，且其顶点都在球。的球面 上.若 球。的表面4积 为 16n,则。到平面ABC的距离为（）l 3 V3A.V3 B.

17、-C.1 D.2 2【解答】解：由题意可知图形如图：AABC是面积为 厚 的 等边三角形，可得且4口 2=/，4 4 4：.AB=BC=AC=3,可得：AOi=x 坐 x 3=V3,球 O 的表面积为16K,外接球的半径为：R;所以4兀产=16兀，解得R=2,所以0到平面ABC的距离为：43 =1.故选：C.5.（2015新课标I I）已知A,8是球O的球面上两点，ZAOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-45C体积的最大值为3 6,则球。的表面积为（）A.36兀B.64兀C.144兀D.256兀【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AO 8的直径端点时，三棱锥O-A 8 C的体积最大

18、，设球。的半径为R,此 时VO-ABC=VC-AOB=|x|x/?2 x/?=i/?3=3 6,故R=6,贝ij球O的表面积为4/=D L O144 兀，故选：C.6.（2017新课标I）已知三棱锥S-A 8 C的所有顶点都在球。的球面上，SC是 球。的直径.若平面SC4，平面SC3,S A=A Cf S B=B C,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的 表 面 积 为36兀.【解答】解：三棱锥S-A B C的所有顶点都在球。的球面上,S C是球O的直径，若平面SC4_L平面SCB,SA=AC,S B=B C,三棱锥S-A B C的体积为9,可知三角形S B C与三角形S A C都是等腰直角三

19、角形，设球的半径为r,可得一x X2T X T X T=9,解得 r=3.3 2球O的表面积为：4兀J=3 6兀.故答案为：36兀.7.(2019新课标I)已知三棱锥P-A B C的四个顶点在球。的球面上，M=PB=PC,L A B C是边长为2的正三角形，E,F分别是B4,A 8的中点，/CEF=90。，则球。的体 积 为()A.8A/6T I B.4V6?t C.2 巫K D.V6n【解答】解：如图，由 朋=PB=PC,A48C是边长为2的正三角形，可知三棱锥P-4 B C为正三棱锥，则顶点尸在底面的射影01为底面三角形的中心，连接B O i并延长，交A C于G,则 AC_LBG,又尸Oi

20、_LAC,P O H B G O i,可得 AC_L平面尸8 G,则 P8_LAC,V E,尸分别是B4,A 8的中点，：.EF/PB,又 NCEF=90,B P EF LCE,：.P B 1 C E,得 PB_L平面以C,正三棱锥P-A B C的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，其直径为 D=J PA2+P B2+PC2=(PA2+PB2+PB2+PC2+PA2+PC2)=J(AB2+B C2+AC2)=J1(22+22+22)=V6.半径为手，则球O的体积为:兀X()3=V6TT.故选：D.8.(2020新课标H D已知圆锥的底面半径为1,母线长

21、为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为争【解答】解：因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球，如图，圆锥母线5s=3,底面半径BC=1,则其高 SC=ylBS2-B C2=2V2,不妨设该内切球与母线BS切于点。，A,OD BC令 O D=O C=r,由SOOs/S8C,则一=一,OS BS即 哥:=?解得=V 2故答案为：-y n.题型四.空间几何体中的最值问题1.（2 0 1 8新课标H I）设 A,B,C,。是同一个半径为4的球的球面上四点，A A B C 为等边三角形且面积为9 V 3,则三棱锥-A B C 体积的最大值为（）A.1 2 V 3 B.1 8V 3 C.2 4 V 3 D

22、.546【解答】解：4 A B C 为等边三角形且面积为9 g,可得JX4B2 =9 W，解得A B=6,4球心为。，三角形ABC 的外心为O,显然。在。的延长线与球的交点如图：O C=|x 空 x 6 =2 6，00=M 一 （2 b）2 =2,则三棱锥Q-ABC高的最大值为：6,则三棱锥。-A B C 体积的最大值为：-X x 63=1 87 3.3 4故选：B.D3 2 7 rD.一32.（2 0 1 6 新课标山）在封闭的直三棱柱A 3 C-A 1 B 1 C 1 内有一个体积为V的球，若 ABLBC,A B=6f B C=8,A 4 i=3,则 V的最大值是（）9 7 rA.4 兀

23、B.C.6 7 c2【解答】解：；A 3 _ L 8C,AB=6,BC=8,；.A C=1 0.故三角形A B C 的内切圆半径=殳与 型=2,3又由44=3,故直三棱柱ABC-ABC的内切球半径为3,4 3 9 7 r此 时 V的最大值兀 （-）3=,故选：B.3.（2 0 1 7 新课标I ）如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5 c m,该纸片上的等边三角形A 3 C 的中心为0.D、E、尸为圆。上的点，4DBC,AECA,胡B 分别是以8C,CA,A B 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以3C,CA,A 8 为折痕折起BC,ECA,X FAB,使得。、E、F 重合，得到三棱锥.当AA

24、BC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为4A/1 5C/7?【解答】解法一：由题意，连接0 力，交 B C 于点G,由题意得。0 G 建BC,即 0 G 的长度与B C的长度成正比,设 O G=x,贝 I 8 c=2僚，D G=5-x,三棱锥的高=VDG2-0 G2=V 25-10 x+x2-X2=0,即X4-2?4)，解得烂2,则/(x)f(2)=80,/.V,交 B C 于”，如图,D设 8 c=2%,则 02x5百，O H=声。=5-务T X枭（2犷x J（5二我尸一（含 2=枭/*加 一 詈4715,-X）邛%(1073 4%)纥3、工2尺 蚂5）5当x=2 6时，取

25、工体积最大值为4A/T5CM73.故答案为：4 V 1 5 c f f l3.1.（2 0 2 0云南模拟）已知正A A B C的顶点都在球。的球面上，正A A 8 C的边长为2次.若球心。到A A 8C所在平面的距离为遥，则球。的表面积为（）A.3 6兀 B.3 2兀 C.3 6 V 3 n D.3 2 h兀【解答】解；设正A A B C的外接圆半径r,2 3由正弦定理可得，一 三=2-，故r=2,sin60 由球的性质可知，R 2=J+/=4+5=9,所以球的表面积S=4兀x 9=3 6兀.故选：A.2.（2 0 2 0全国一模）如图，四边形A 8 C Q是边长为2的正方形，E C平面A

26、8C Q,F C L平面A 8C C,ED=2/T到平面A B F的距离d=蛆 典=,|n|V5四面体A-BEF的体积为：VA BEF=VE ABF=g x S“BF x d=r=2 2遮 石=可故选：B.3.（2015山东）在梯形 ABCQ 中，Z A B C=J,AD/BC,B C=2 A D=2 A B 2,将梯形 A8CD 绕 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A.271347rB.一357rC.D.2兀3【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1,高 为 2 的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥,凡何体的体积为：127T,2 WX 127r

27、 X 1=3.故选：C.4.（2021泗县校级模拟）将半径为3,圆心角为行 的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的体积为（）【解答】解：设圆锥的底面半径为r,高为h,贝!J 2 nr=-y-x 3r=,h V 32 1 =2A/2,R 1设内切球的半径为R，则=；,2 V 2-R 3.RD=F7 2 ，V=-4 TldR3 =4 7 1 （-）3=-45-271,2 3 3 2 3故选：A.5.我国古代名著 张丘建算经中记载：“今有方锥下方二丈，高三丈，欲斩末为方亭，令上方六尺，问：斩高几何？”大致意思是：有一个正四棱锥下底边长为二丈，高三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上

28、底边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？如果我们把求截去的正四棱锥的高改为求剩下的正四棱台的体积，则该正四棱台的体积是（）（注：1 丈=1 0 尺）A.1 9 4 6 立方尺 B.3 8 9 2 立方尺C.778 4 立方尺 D.1 1 6 76 立方尺【解答】解：如图所示，正四棱锥尸-A B C。的下底边长为二丈，即A B=2 0 尺，高三丈，即尸0=3 0 尺；截去一段后，得正四棱台4BCO-AEC。，且上底边长为4=6尺，一 P。，POf 6则有=,：.PO=9PO 3 0 2 0可得 0 0，=2 1,所以该正四棱台的体积是V=1 x2 1 x(202+20X6+62)=3 8 9

29、2 (立方尺).故 选:B.6.（2 0 1 9 濮阳一模）已知正A A B C 三个顶点都在半径为2的球面上，球 心。到平面A B C 的距离为1,点 E是线段A8的中点，过点E作球。的截面，则截面面积的最小值是（)7 9A.f B.27r C.f D.3兀4 4【解答】解：设正AABC的中心为。i,连结OA；01是正AABC的中心，A、B、C 三点都在球面上，；.010 1.平面ABC,I球的半径R=2,球 心 0 到平面A8C的距离为1,得 010=1,ARtAOi0 A 中，OiA=J o A2-00 x2=V3.又；E 为 A 8的中点，AABC是等边三角形，：.AEAOicos3

30、0=.过E 作球。的截面，当截面与0 E 垂直时，截面圆的半径最小，.当截面与0 E 垂直时，截面圆的面积有最小值.此时截面圆的半径r=可得截面面积为5=兀 a=瞿.故选：C.7.(2014陈仓区校级一模)如图，在四棱锥P-A 8 C Q 中，底 面 A8CZ)是边长为机的正方形，底面A B C D,且尸 =,*,P A=P C=y2 m,若在这个四棱锥内放一个球，则此球的最大半径是(1 孝)m.【解答】解：根据题意，球的最大半径是四棱锥P-A B C O 的内切球半径，设这个半径为r：P DL A B C D,且 )=?，底面A8CO是边长为根的正方形，：./PAD和 尸 CO都是直角边长为

31、m的等腰直角三角形，可得 SAPAD=S P C D=2为以8 中，PA=y2 m,AB=m,SLPAB=PA9A B=孝/，同理可得S 尸BC=多/X VS4BCD=/W2,.四棱锥 P-ABCD 的表面积为 S 表=5 附。+SAPCO+S 用B+SAPBC+SA8CD=(2+V2)/?2因此，四棱锥P-A B C D的体积V=|x S表 xr=1(2+V2)m2 r底面A 8C Q,且 PQ=?，底面ABCD是边长为?的正方形,11 o 四棱锥P-A B C D的体积V=1 XSABCDPD=卞R由此可得（2+/）加2/=：?3,解之得/-=机=a 一:）m因此，在四棱锥p-A B C。

32、内放一个球，该球的最大半径是（1 一 ）m.故答案为：（1 ）m8.（2 0 1 9秋中原区校级月考）在长方体A B C D-4 B i C i h中，A D=D D =,AB=V 3,E,F,G分别是AB,BC,C C i的中点，尸是底面4 B C D内一个动点，若直线AP与平面E F G平行，则A B B i P面积的最D.12【解答】解:如图,补全截面E F G为截面E F G H Q R,易知平面A C G 平面E F G H Q R,设BR1.AC于点R,直线O i P平面EF G,：.P&A C,且当尸与R重合时，B P=B R 最 短,此时P B 8 i的面积最小,1 1 /O由

33、等积法：-BRxAC=BAX BC 得 B R=耳,又 B B i J _ 平面 A B C。,2 2 2：.BBBP,A P M i为直角三角形，1F 5故 S ABB1 P=*I XB P=彳，故 选:A.二.多 选 题（共4小题）9.如图，正方体A B C D-4 8 1 C O 1的楼长为1,E、尸分别是棱44、C C i的中点，过点E、尸的平面分别与棱8Bi、交于点G、H,以下四个结论正确的是（)A.正方体外接球的表面积为3兀7 1B.平面EGFH与平面A8C。所成角的最大值:C.四棱锥Ci-E G F H的体积为定值V6D 点Bi到平面E G F H的距离的最大值为手【解答】解：对

34、于A,因为正方体ABC。-AIBICIOI的棱长为1,所以正方体的体对角线为VI+1+1=V3,故正方体外接球的直径2R=V3,所以正方体外接球的表面积为4兀片=3兀，故选项A 正确；对于8,设平面EGFH与平面A8C。所成的角为0,由面面平行的性质定理可得，EG/FH,EH/GF,则四边形EGFH为平行四边形，又直角梯形C8G尸和直角梯形A8GE全等，则 EG=FG,所以四边形E G F H为菱形，且GH1.EF,因为平面EGF”在底面上的射影为四边形ABC。，所以由面积射影公式可得cos0=等 匝=旦SEGFH X/2-GH GH因 为/SGH 士 百，V6所以一 cosO 1,3n则平面

35、E G F H与平面A B C D所成角的最大值不是二，4故选项B 错误;1111对于 C,四棱锥 Ci -EGF H 的体积为 V =2 VC1_EF G=2 VE_GF C1=2 x*x*x*=*故选项C正确;对于。，设 8G=x,JCO,1,1 1/i-E F G =VE-BJFG=*2*1*(1.-%)乂1,设点B到平面E G F H的距离为d,则-EFG=y d X X y2 X J l+x)2 -()2,故 d -,1-x,应 xJz+G-x)令 r=i-x,则 y0,i ,所以 d=-_=-1,夜xj t -t+z 72Xj号T+lV 6故当f=l,即x=0时，d取得最大值手，V

36、 6所以点Bi到平面E G F H的距离的最大值为手，故选项D正确.故选：ACD.10.棱长为2的正方体A BCQ-4 81C1OI中，E、尸分别为棱A D、Q Q 1 的中点，G为面对角线81c上一个动点，贝I（）A.三棱锥4-E F G的体积为定值B.线段8 C上存在点G,使平面EF G平面4 8clC.当CG=X cBi时，直线E G与8。所成角的余弦值为弁5D.当G为8i C的中点时，三棱锥A i-EF G的外接球半径为一4【解答】解：对于A，由于A 4 E尸的面积为定值，G到平面A OP A i,即点。到平面A i E尸的距离为定值，所以三棱锥A i -E F G的体积为定值,故选项

37、A正确;对于8,以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐系,则 Ai(2,0,2),B(2,2,0),Ci (0,2,2),C(0,2,0),E(1,0,0),F(0,0,1),B(2,2,2),所以4；B=(0,2,-2),4石=(-2,2,0),设平面418cl的法向量为1=(x,y,z),/T T,n-A1B=2y-2z=0故-T,n -A1C1=-2 x +2y=0令 x=1,则 y=z=L故 7 1 =(1，1，1),设E =tC%i=(2,0,2)=(2t,0,2 0,0 t 1,则 拓=儿 +辰=(0,2,0)+(23 0,2C)=(26 2,2力,所以d=(-1,0,1),E

38、G=(2 t-1,2,2t),设平面EFG的法向量为茄=(Q,b,c),则 尼.号=a+c=0,m-EG=(2t l)a+2b+2tc=0令 a=l,贝！J c=l,b=若平面EFG平面4 3。，l-4 t1-1则 一 -2-4f=-1,故/无解，111故选项B 错误；对于 C,当C G=/B 1 时，t=p2,分T 1 R T所以EG=G，2,p,BCy=(-2,0,2),设直线EG与BC所成的角为0,则 cos。=cosEG,i l EGBCi l =2 =1 曲 1 1吨|捺i,所以四边形A PQ G 是梯形，又 A P=。，所以四边形A PQ D 是等腰梯形，选 项 C 正确；对于。，

39、如图4 所示，图4设正方体的棱长 为 由 因为尸。口所以点M 到 P Q 的距离为下，尸 6驿点A 到平面M PQ的距离为a,所以三棱锥A-MPQ的体积为丫=品 恭 去 以 办 4=芸，是定值，选项。正确.故选：CD.1 2.如图，正方形ABC。与正方形。EFC边长均为1,平面ABCC与平面QEFC互相垂直，P 是 AE上的一个动点，贝 IJ ()A.C P的最小值为B.当 P 在直线4 E 上运动时，三棱锥。-BPF的体积不变C.P D+P F的最小值为52 企D.三棱锥A-DCE的外接球表面积为3兀【解答】解：对于A,连接3P,C P,易得CP=NDP2+C L =”p2+1 2 J|7 7 =坐，故A 错误;对 于B,P在直线A E上运动时，B F的面积不变，D到平面P B F的距离也不变，故三棱锥D -BPF的体积不变，故 3 正确；对 于C,如图，将AAOE翻折到与平面A B F E共面，则 当D、P、F三点共线时，P D+P F取得最小值对于D,将该几何体补成正方体，则外接球半径为弓，外接球表面积为3兀，故 正确.故选：BD.