2021-2022学年安徽省滁州市定远县高二（实验班）下学期开学摸底考试数学试题含答案.pdf

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1、2021-2022学 年 安 徽 省 滁 州 市 定 远 县 高 二（实 验 班）下 学 期 开 学 摸 底 考 试 数 学 试 题 一、单 选 题 1.在 棱 长 为 的 正 四 面 体 N8CZ）中，点 M 满 足=+点 N 满 足 丽=如+（1-4 W e R）,当/和 O N的 长 度 都 为 最 短 时，夜 丽 的 值 是（）1 2 _2A.3 B.3 C.3 D.3【答 案】A【分 析】根 据 给 定 条 件 确 定 点 M，N 的 位 置，再 借 助 空 间 向 量 数 量 积 计 算 作 答.=xAB+yAC+（-x-y）AD 贝 而 一 7 5=x（而 _ 7 5）+y（就

2、一 7 5）,即 D M=xDB+yDC而 x j e R,则。共 面，点 河 在 平 面 8 c o 内,又 D N=2D4+（D D C（2 w R）,即 函=2直，于 是 得 点 N 在 直 线 4 C 上,棱 长 为 1 的 正 四 面 体 4 8 8 中，当 4 W 长 最 短 时，点 用 是 点 Z 在 平 面 8 8 上 的 射 影，即 正 8。的 中 心,1 1 1 A M-AB+-A C+-AD因 此，3 3 3,当 C N长 最 短 时，点%是 点。在 直 线/C 上 的 射 影，即 正 边 Z C的 中 点，7N=-AC A B-AC=7D-IC=lxlxcos602,f

3、fjjZBAC=ZDAC=60 2,A M A N=-(AB+AC+AD)-AC=-(1 B A C+A C2+A D A C)=-所 以 3 2 6 3.故 选：A2.己 知 直 线/经 过 点（仇 4）,且 与 直 线 2 x-y-3=垂 直，则 直 线/的 方 程 是（）A x+2y8=0Q 2x+y-4=0B x+2 y+8=0D 2x-y+4=0【答 案】A【解 析】由 直 线 垂 直 可 得 直 线/的 斜 率，再 由 点 斜 式 方 程 即 可 得 解.【详 解】因 为 直 线 2X-N-3=（）的 斜 率 为 2,直 线/与 该 直 线 垂 直，ki=所 以 直 线/的 斜 率

4、 2,_4=x又 直 线/经 过 点 4),所 以 直 线/的 方 程 为 L-彳、即 x+2y-8=0故 选：A.3.等 差 数 列&的 公 差 为 d,前 项 和 S，则 是“数 列 图 为 单 调 递 增 数 列”的()A.充 分 必 要 条 件 B.必 要 不 充 分 条 件 C.充 分 不 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【答 案】AS,1,d,s.-=(2.-d H-H-【分 析】根 据 等 差 数 列 前 项 和 公 式 可 得 2 2,当 证 得 为 递 增 数 列，反 之 亦 可.c,n(n-l)S=na.+-a【详 解】因 为 2=a,-d+n所

5、以“2 2.=a-d+-n若 则 关 于 的 函 数 2 2 单 调 递 增,所 以 数 列*若 小 为 递 增 数 列；-S-.、-S-i-为 递 增 数 列，则-1,所 以“d0”是“，解 得 d0.(I4为 递 增 数 歹 的 充 分 必 要 条 件.d d.1、n(/7-1)即 2 2故 选：A4.已 知 圆 g x2+y2-2 x-2 y+l=0 直 线/：x+y-4=0,若 在 直 线/上 任 取 一 点 作 圆 C 的 切 线 M4,M B,切 点 分 别 为 A,B,则/ZC 8 最 小 时，原 点。到 直 线 4 5 的 距 离 为()逑 正 A.2 B.&C.2 D.2&【

6、答 案】A【分 析】将/C 8 最 小 转 化 为 M C L/,根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 可 求 得 结 果.【详 解】由/+_/-2“-2了+1=()得(x-l+(y-l)2=l,所 以 圆 心 C(l)，半 径 厂=1,在 RtLCAM 中,cos ZACM=MC1M C,当/C 8 最 小 时，4 1 c M 最 小，cos 4 C M 最 大，M C最 小，此 时 M C _U,火 的 最 小 值 为 圆 心 c 到 直 线/的 距 离：相=0 此 时 c o s 美,x/2因 为 所 以 4 B/,所 以 圆 心 C 到 直 线 的 距 离 为/2 _ y/2所

7、以 两 平 行 直 线/与 之 间 的 距 离 为 一 不 口，|0+0-4|-2.因 为 原 点 到 直 线/的 距 离 为 仙,叵 _ 3&所 以 原 点 到 直 线 4 8 的 距 离 为 P F-故 选：A【点 睛】关 键 点 点 睛：将/Z C B 最 小 转 化 为 M C _U是 解 题 关 健.5.己 知 正 方 形 的 边 长 为 2,E,尸 分 别 为 CO,C 8的 中 点，分 别 沿 NE,/尸 将 三 角 形 ADE,N 8 F折 起，使 得 点 B,。恰 好 重 合，记 为 点 尸，则/C 与 平 面 P C E所 成 角 等 于（）n 兀 兀 57tA.6 B.4

8、 C.3 D.12【答 案】A【分 析】如 图，以 PE,PF,分 别 为 x,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，利 用 空 间 向 量 求 解【详 解】由 题 意 得 尸,，尸 打，因 为 正 方 形 的 边 长 为 2,E,尸 分 别 为 CO,C 3的 中 点，所 以 PE=PF=CE=CF=1,所 以 E尸 2=CE2+CF2=2=PE1+P F2,所 以 P E J.P F所 以 尸 月，PE,P F三 线 互 相 垂 直，故 以 尸 E,PF,E 4分 别 为 x,y,z 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 尸（0,0,0）,（1,0,0）4（0,0,2）F（

9、0,1,0）设 C(x,y,z),贝 y C=(x,%z-2),E C=(x-l,y,z),F C=(x,y-l,z)由“。=2梃，EC=1,FC=1,得 x2+y2+(z-2)2=8,(x-l)2+y2+z2=,x2+(y-)2+z2=1解 得 信 高 贝 产（冷 泊 3）设 平 面 P C E的 法 向 量 为 3=（x,y,z）,则 _ _ 2 2 2n-PC=x+y z=0 _ 3 3 3n-PE=x=0因 为 13 3 3人 令 z=l,则=（。，1）,所 以 4 C 与 平 面 P C E所 成 角 的 正 弦 值 2因 为 4 c 与 平 面 P C E所 成 角 为 锐 角,7

10、1所 以/C 与 平 面 P C E所 成 角 为 6,故 选：Ani a=2,a+l=1-(/?e N)6.在 数 列 伊 中，a,则 出 0 2 2-()A.-1 B.2 C.2【答 案】AD.1【分 析】利 用 条 件 可 得 数 列 明 为 周 期 数 列，再 借 助 周 期 性 计 算 得 解.1,a 2,4+=1-(w N)【详 解】/,1 1,1a22=1 2=2,-a,=1-1=-1.,1 0a.=1-=22.4-1所 以 数 列 是 以 3 为 周 期 的 周 期 数 列,故 选：A.c：+7.已 知 椭 圆 a2b2=l（a 6 0）的 左 右 焦 点 分 别 为 r，c工

11、,过 C 上 的 P 作 y 轴 的 垂 线，垂 足 为。，若 四 边 形 片 用 0是 菱 形，则 C 的 离 心 率 为（）拒-1A.F6-IC.2石-1D.2【答 案】C【分 析】根 据 题 意 求 出 尸 点 坐 标，代 入 椭 圆 方 程 中，可 整 理 得 到 关 于 的 等 式，进 一 步 整 理 为 关 于 e 的 方 程，解 得 答 案.【详 解】如 图 示:由 题 意 可 知 耳（-C,。）,尸 2（-C，）,因 为 四 边 形 耳 尸。是 菱 形，所 以 I耳。1=31=2 c,则|。|=氐,所 以 P 点 坐 标 为（2c，6 c）,-2将 P 点 坐 标 为（2c，G

12、 c）代 入,./+瓦 一 隈）得:心 至 二 1a2 b2,整 理 得 4/+/=,_ 2-G故 4e4_8/+l=0,由 于 0e 0,/0）Q、8.已 知 双 曲 线/b-的 一 个 焦 点 关 于 其 中 一 条 渐 近 线 的 对 称 点 为 尸（4,-3）,若 点 P 恰 在 C 上，则 C 的 方 程 为（）-y-2-x-2-J-y-2-x-2=-y-2-x-2-y-2-x-2=A.5 20 B.20 5 C.10 15 D,15 10【答 案】A【分 析】可 根 据 已 知 条 件，利 用 P，耳 关 于 渐 近 线 对 称，先 求 解 出。的 值，然 后 利 用 双 曲 线

13、的 定 义 又 耳 到 渐 近 线 距 离 为/乌 所 以 故 咫=2b,PB=2 a,由 双 曲 线 定 义 知:PF-PF2=2a,所 以 6=2a.2-3=1 2 2又 靛 一 立 一，所 以/=5万=20.所 以 双 曲 线 的 方 程 为 5 20.故 选：A.9.已 知 抛 物 线 i=4 y 的 焦 点 为 R/为 抛 物 线 上 一 点，过 点 P 向 抛 物 线 的 准 线 作 垂 线，垂 足 为 N若 ZPNF=60。,则 尸 的 面 积 为（）A.&B.2石 C.46 D.8 G【答 案】C【分 析】根 据 抛 物 线 定 义 及/尸 所=60。得 到 为 等 边 三 角

14、 形，求 出 边 长 为 4,计 算 出 面 积.【详 解】如 图，根 据 抛 物 线 定 义，可 知 PF=PN,OF=AO=2,又 因 为 NPN尸=60。，所 以 三 角 形/W为 等 边 三 角 形，点、F 作 F M 1 P N 于 点、M,则/为 P N 的 中 点，且 A/N=/T=2,所 以 PN=4,由 勾 股/7T 7、rz PN-MF=4 百 定 理 得：尸=66-4=2）3,所 以 2%厂 的 面 积 为 2故 选：C10.设 S为 数 列 的 前“项 和，=2,且 满 足 4+=%+%（?，N+）,若 3&-10=52+$3贝 必=（）A.2 B.3 C.4 D.5【

15、答 案】B【分 析】由 已 知 条 件 可 得 数 列 J 为 首 项 为 2,公 差 为 2 的 等 差 数 列，然 后 根 据 3 1 一 1=邑+S,结 合 等 差 数 列 的 求 和 公 式 可 求 得 答 案 详 解 在 等 式%+=%+中，令 机=1,可 得 知+产/+=2+。”,所 以 数 列“”为 首 项 为 2,公 差 为 2 的 等 差 数 列，因 为 3S*T O=S?+54,32Ar+Z：（A-1）-2-10=2x2+x2+4x2+x2所 以 2 2 2,化 简 得 公+4-12=0,（*-3）（左+4）=0,解 得=3或 4=-4（舍 去），故 选：BI I.已 知

16、等 比 数 列“的 各 项 均 为 正 数，其 前 项 和 为 S,且 4=1,八 一 工 一 3,则%=()1 16 64 1A.27 B.9 C.27 D.9【答 案】A【分 析】由 己 知 条 件 列 方 程 求 出 公 比 夕，从 而 可 求 出 的【详 解/”心 力 小 七，整 理 得(%+4)(%一)=。因 为 等 比 数 列“”的 各 项 均 为 正 数，所 以 公 比 口,则 为+4 0,所 以%-1=0,即”3,3 1所 以 27.故 选：A.1 2.在 流 行 病 学 中，基 本 传 染 数 R。是 指 在 没 有 外 力 介 入，同 时 所 有 人 都 没 有 免 疫 力

17、 的 情 况 下，一 个 感 染 者 平 均 传 染 的 人 数.R。一 般 由 疾 病 的 感 染 周 期、感 染 者 与 其 他 人 的 接 触 频 率、每 次 接 触 过 程 中 传 染 的 概 率 决 定.对 于 人 1,而 且 死 亡 率 较 高 的 传 染 病，一 般 要 隔 离 感 染 者，以 控 制 传 染 源,切 断 传 播 途 径.假 设 某 种 传 染 病 的 基 本 传 染 数 R。=3,平 均 感 染 周 期 为 7 天(初 始 感 染 者 传 染 R。个 人 为 第 一 轮 传 染，经 过 一 个 周 期 后 这 凡 个 人 每 人 再 传 染 凡 个 人 为 第

18、二 轮 传 染)那 么 感 染 人 数 由 1个 初 始 感 染 者 增 加 到 1000人 大 约 需 要 的 天 数 为(参 考 数 据：36=729,4 5=1 0 2 4)()A.35 B.42 C.49 D.56【答 案】B【分 析】根 据 题 意 列 出 方 程，利 用 等 比 数 列 的 求 和 公 式 计 算 轮 传 染 后 感 染 的 总 人 数，得 到 指 数 方 程，求 得 近 似 解，然 后 可 得 需 要 的 天 数.【详 解】感 染 人 数 由 1个 初 始 感 染 者 增 加 到 1000人 大 约 需 要 轮 传 染，则 每 轮 新 增 感 染 人 数 为&”,

19、经 过”轮 传 染，总 共 感 染 人 数 为:1+&+&2+&=*1 一 居 D-=1000 R。-3,.当 感 染 人 数 增 加 到 1000人 时，1-3，化 简 得 3=667,由 3=243,3=7 2 9,故 得 之 6,又.平 均 感 染 周 期 为 7 天，所 以 感 染 人 数 由 1个 初 始 感 染 者 增 加 到 1000人 大 约 需 要 6x7=42天，故 选：B【点 睛】等 比 数 列 基 本 量 的 求 解 是 等 比 数 列 中 的 一 类 基 本 问 题，解 决 这 类 问 题 的 关 键 在 于 熟 练 掌 握 等 比 数 列 的 有 关 公 式 并 能

20、 灵 活 运 用，尤 其 需 要 注 意 的 是，在 使 用 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 时，应 该 要 分 类 讨 论，有 时 还 应 善 于 运 用 整 体 代 换 思 想 简 化 运 算 过 程.二、填 空 题 13.设 直 线 岛 的 方 向 向 量 分 别 为=(1，2，-2)3=(-2,3,机)，若,则 实 数 用 等 于.【答 案】2【分 析】根 据 向 量 垂 直 与 数 量 积 的 等 价 关 系，人 1/?。=。，计 算 即 可.【详 解】因 为 则 其 方 向 向 量 Q7=1X(-2)+2 X 3+(-2)?=0,解 得 切=2.故 答 案 为：2.14.若

21、 倾 斜 角 为 a 的 直 线，被 直 线 4：X+V-1与 x+y-3=0所 截 得 的 线 段 长 为 后，则 a=兀【答 案】7#45。【分 析】由 已 知 直 线 可 得 两 直 线 平 行，可 以 计 算 平 行 线 间 的 距 离，从 而 得 到 直 线 机 与 已 知 直 线 垂 直，再 计 算 斜 率 和 倾 斜 角.【详 解】设 直 线 与 直 线 4,%分 别 相 交 于 4 8 两 点，由 题 意 知，平 行 直 线 4与 直 线 42之 间 的 距 离=a-J2,所 以 直 线 机 与 直 线 4,2垂 直，所 以 直 线 团 的 斜 率 为 1,倾 斜 角 4.兀

22、故 答 案 为：715.已 知 双 曲 线 不 一 正-的 左 右 焦 点 分 别 为 耳 工，过 点 鸟 的 直 线 交 双 曲 线 右 支 于 4 B 两 点，若“8耳 是 等 腰 三 角 形，且 N/=120。，贝 产,8耳 的 面 积 为 16G【答 案】丁【分 析】根 据 题 意 可 知，闷 月”|，|%|=2a,|%|=4 a,再 结 合=120。,即 可 求 出 各 边，从 而求 出 片 的 面 积.详 解,.,/4=120。，所 以 I，耳 l=M M，忸 用=|附-|工 用=2。=4,忸 同=|明|+2a=4a=8,而=|/川=-i-“8瓦 是/=120。的 等 腰 三 角

23、形，所 以 6,故“8片 的 面 积 为 1 8 8.163-x-=-x-=x sin 120-2 73 73 316G故 答 案 为：丁.1-16.已 知 等 差 数 列 包 的 前 项 和 为 5，9=2,$5=1 5,则 数 列 SJ的 前 2022项 的 和 为 4044【答 案】2023【分 析】先 设 等 差 数 列%的 公 差 为 d,根 据 题 中 条 件，求 出 首 项 和 公 差，得 出 前 项 和，再 由 裂 项 相 消 的 方 法，即 可 求 出 结 果.【详 解】设 等 差 数 列%的 公 差 为 a,q+d=2 Jq=1因 为，=2,邑=5%=1 5,所 以=4+2

24、 d=3,解 得=1,s“=q+加 二 为=+也!）=包 因 业 2 2 2.=-=2所 以 s”（+i）1 _ _ Ln n+14044故 答 案 为：2023.三、解 答 题 17.已 知 圆 卜 _1）+（-2）2=25,直 线/：（2m+l）x+（m+l-7m-4=0（1）求 证：直 线/与 圆 C 相 交;（2）直 线/与 圆 C 交 于 4,B两 点,判 断 以 旧 何 时 最 长，何 时 最 短？当 目 最 短 时，求 用 的 值 以 及 最 短 长 度.【答 案】（1）证 明 见 解 析（2）答 案 见 解 析【分 析】（1）先 求 出 直 线/过 定 点 Q/），再 验 证

25、点 G O 在 圆 内，从 而 可 证 明.（2）由 题 意 当 直 线/过 圆 心 C 时，直 线 被 圆 截 得 的 弦 长 最 长，当 直 线/C P 时，直 线 被 圆 截 得 的 弦 长 最 短，从 而 可 得 答 案.【详 解】（1）证 明：直 线/的 方 程 可 化 为（2X+，-7）?+（X+，-4）=0,p x+y-7=0,Jx=3,联 立+尸 4=0,解 得 L=L所 以 直 线 恒 过 定 点（3/）.因 为（3一 A O 2）一=5 2 5,所 以 点（3,1）在 圆 C 内 部，所 以 直 线/与 圆 C 相 交.（2）令（3，1）,当 直 线/过 圆 心 C 时，直

26、 线 被 圆 截 得 的 弦 长 最 长，当 直 线 时，直 线 被 圆 截 得 的 弦 长 最 短.k 2m+1 卜 _ 1 _ 2 1直 线/的 斜 率 为 m+1,0P 3-1 2.2?+1.3由 m+i 句.解 得 机 _一 彳.此 时 直 线 I的 方 程 是 2x_y_5=0.cz1 2x,n 公 幻 泮 1=&圆 心 c V 到 直 线 2x-N-5=的 距 离 为 V5,11=阳=犷 彳=后 三=2佟 所 以 最 短 弦 长 是 阿=2|叫=4亚 18.如 图，在 四 面 体 Z3CZ）中，AB1AC y 4。J平 面 A B C,点 M 为 棱 Z 5 的 中 点，AB=AC

27、=2,AD=百.D（1）证 明：A C 1 B D.（2）求 平 面 B C D和 平 面 D C M夹 角 的 余 弦 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析 1375 190【分 析】（1）根 据 题 意，利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 明 4 C,平 面 即 可;（2）以，为 原 点，分 别 以 荏，就,通 的 方 向 为 x 轴，y 轴，z轴 的 正 方 向 的 空 间 直 角 坐 标 系,分 别 求 得 平 面 B C D 的 一 个 法 向 量 而=（*）和 平 面 C C W 的 一 个 法 向 量 方=（3）,然 后 由 COS 玩，万）=m n求 解.【详 解

28、】（1）证 明：上 平 面/8C,.A D V A C,又 AB J.A C,A D n A B=A,.-A C,平 面：.A C 1 B D _（2）如 图,以 4 为 原 点，分 别 以 方，就，而 的 方 向 为 X 轴，y 轴，Z轴 的 正 方 向 的 空 间 直 角 坐 标 系,则 Z（0,0,0）,M（1,0,0）；3（2,0,0）,C（0,2,0）,依 题 意，可 得 叫（T 2，。），砺=（T，0,6）.设 丽=（x/,z）为 平 面 8 8 的 一 个 法 向 量，J th BC=-2x+2y=0则 m-B D=-2x+V3z=0不 妨 令 z=2,可 得 加=（后 2）.设

29、=（x,y,z）为 平 面 D C M的 一 个 法 向 量，n-M C=-x+2y=0则 万.M D=x-VJz=0不 妨 令 z=2,可 得 方=（2收 也 2）,所 以 ihn：0$加,=厂 西 13719019013713所 以 平 面 8 8 和 平 面 0 c M 的 夹 角 的 余 弦 值 为 190江+片=1 VI19.已 知 椭 圆 C：/b（a。0）过 点（2，）,且 离 心 率 为 2.求 椭 圆。的 方 程；过 点 屈（肛）（加 2）的 直 线/（不 与 x 轴 重 合）与 椭 圆 C 交 于“，B 两 点，点 C 与 点 B 关 于 x1 _1_轴 对 称，直 线 Z

30、 C 与 x 轴 交 于 点 0,试 问 口 9 1 M q 是 否 为 定 值？若 是，请 求 出 该 定 值，若 不 是，请 说 明 理 由.X2 2+V=1【答 案】（1）4 1 _1_（2）口。为 定 值 万【分 析】（1）由 题 意 可 得（7=2,=也 1 T，a2=b2+c2,2.2解 方 程 组 求 出 4 力，从 而 可 得 椭 圆 方 程,（2）设 直 线/8：y=k（x-m 发 二,代 入 椭 圆 方 程，消 去 y,利 用 根 与 系 数 的 关 系，再 表 示 出 1 _ 1_直 线 Z C 的 方 程，从 而 可 求 出 点。的 坐 标，从 而 可 表 示 出 口

31、3,然 后 化 简 口 9.可 得 结 论=2,c _ V3/=4 a=T?=,a2=b2+c2,c2=3【详 解】(1)由 题 意 得 l 解 得 I X2 2-F y=1故 椭 圆 C 的 方 程 为 4；y=kx-m 设 直 线 ZB：y=k(x-m),k 片 0,联 立 V+4/=4,、星,+zE,(4k2+1)/_ Smk2x+4k2m2-4=0洎 去 y 4 导、,_ 8加 左 2 _ 4m2k2-4设 s(x2,y2)t 得 士+=瓦%，x%2=4k2+1,因 为 点 C 与 点 8 关 于 x 轴 对 称，所 以 0 3，f),kt-y+y-y-必=+）?-（.一 占）所 以

32、直 线 Z C 的 斜 率 为 直 线 4 c 的 方 程 x 七=-X+Xi%=(西 一 加),3+%(工 2-加)=2中 2-m包+.)令 y=0,解 得 凶+必 k(xi+x2-2m)X+x2-2mxo=-DQ=2-可 得 机，所 以 机，因 为 陷=时 2,I 1 m 1 1所 以 西 一 画 二 获 二 一 言=51 1所 以 口。1 即 为 定 值 5.【点 睛】关 键 点 点 睛：此 题 考 查 椭 圆 方 程 的 求 法，考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，解 题 的 关 键 是 将 直 线 的 方 程 代 入 椭 圆 方 程 中 化 简，利 用 根 与 系 数 关

33、 系，结 合 已 知 条 件 表 示 出 直 线 4C 的 方 程，从 而 可 求 出 点。的 坐 标，考 查 计 算 能 力，属 于 中 档 题2 0.已 知 S是 等 差 数 列 4 的 前 项 和，q=-5,%+%=0(1)求 数 列“的 通 项 公 式；若 邑 二 4 0,求 的 值【答 案】。=2-7 10【分 析】(1)根 据 等 差 数 列 回 到 基 本 量，解 出 首 项 和 公 差 即 可 求 解；(2)先 求 前 项 和，再 建 立 方 程 求 解 即 可.【详 解】(1)设 等 差 数 列 的 公 差 为“，因 为 可=-5,所 以 的+4=(q+2d)+(q+3d)=

34、2q+5d=-10+54=0解 得 d=2.所 以 为，+(1=2-7-5+(2-7).%-)7-0/7(2)2因 为 S”=4 0,所 以 2_6=4 0,解 得=10或=_勺 因 为 e N,所 以“=10.21.己 知 抛 物 线 0：/=2 川 3 0)的 焦 点 为 尸，点”(4,在 抛 物 线 C 上，且 CUF的 面 积 为 23 P(。为 坐 标 原 点).(1)求 抛 物 线 c 的 方 程；(2)直 线/=丘+1与 抛 物 线 C 交 于 两 点，若 以 N 为 直 径 的 圆 经 过 O 点，求 直 线/的 方 程.【答 案】y=-x+1.4【分 析】(1)根 据 点 在

35、 抛 物 线 上 和 三 角 形 面 积 公 式 建 立 等 式 直 接 求 解；(2)将 问 题 转 化 为。加，ON,利 用 韦 达 定 理 求 解 即 可.【详 解】因 为 点“(4，。在 抛 物 线 C 上,所 以 疗=8p,S,O A F=1|。尸|X Ml=；p 网=；p2 2 cm=8p-11=p2 C A所 以 14 2，解 得 p=2,m=4,所 以 抛 物 线 方 程 为 V=4 x.(2)设 的 玉，凹)，%(和 力)Jy=Ax+1联 立 1=4x,整 理 得%2+(2-4)x+l=0.由 直 线 抛 物 线 C交 于“，N 两 点 可 知 上 X0,且 A=（2左 一

36、4）2-4 左 2=-16 左+160,则 1,2k-4 1/+-一,中.依 题 意 以 历 N 为 直 径 的 圆 经 过 点，所 以 所 以 5 7 丽=中 2+%=0 xx2+(fct1+1)(A X2+1)=(k2+1)X|X2+&(X+x2)+l=0,出+i)4+h(-蚱 3+i=o,即 k2 k2k=-整 理 得 4 l=0,解 得 4,满 足 条 件，1 y=x+1.故 直 线 的 方 程 为 4x2-7=1(6 w 1)2 2.已 知 双 曲 线 b2 的 左 焦 点 为 尸，右 顶 点 为 A,过 点 尸 向 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 作 垂 线，垂 足 为 尸，直

37、 线/尸 与 双 曲 线 的 左 支 交 于 点 B.(1)设 0 为 坐 标 原 点，求 线 段 O P的 长 度；(2)求 证：PF平 分 NBF4.【答 案】(1)1;(2)证 明 见 解 析.【分 析】(1)不 妨 设 8在 第 二 象 限，可 得 P 和 尸 尸 方 程，联 立 可 求 得，由 两 点 间 距 离 公 式 可 化 简 求 得 也(2)设 直 线 尸 尸 的 倾 斜 角 为，可 得 tan。，由 二 倍 角 正 切 公 式 可 得 tan2。；将 直 线 力 尸 方 程 与 双 曲 线 方 程 联 立，利 用 韦 达 定 理 可 求 得 乙，代 入 直 线 方 程 可

38、得 几，由 两 点 连 线 斜 率 公 式 可 表 示 出 直 线8 F斜 率 为 tan26,由 此 可 得 结 论.【详 解】(1)不 妨 设 B 在 第 二 象 限，则 渐 近 线 0 P 的 方 程 为，=一 法,y=(x+c)则 直 线 p尸 的 方 程 为,6由 H x 得:tan 20=2 tan。_ 2b1 tan 0 b-bc=_)_1_1 C+又(1,0),.直 线 4 P 的 斜 率 为 c则 直 线 40 的 方 程 为 c+1,广 5(1),x _p=l z,(c2+2c)x2+2x-(c2+2c+2)=0C2+2C+2 h,2b(c+l)=-力=一 二 T&T)=FT,2b(c+l)ZB _ c2+2。_ 2,(c+1)=2bxB+c c2+2c+2 c3+c2-2c-2 c2-2又 F(-c,0),.直 线 5尸 的 斜 率 为 一 C2+2 C+C2bb2-1=tan 20故 P F 平 分【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 考 查 直 线 与 双 曲 线 综 合 应 用 问 题，证 明 直 线 平 分 角 的 关 键 是 能 够 将 问 题 转 化 为 两 直 线 斜 率 之 间 的 关 系，通 过 求 解 两 直 线 斜 率 可 确 定 结 论.