2022-2023学年河南省创新联盟高二上学期第一次联考数学试卷（A卷）.pdf

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1、20222023年度创新联盟高二年级第一次联考数学一、选择题1（3-2i）（3+旬=（）A.l+6i B.17+6i C.l-6i D.17-6i答案：B解析：【分析】利用复数乘法法则计算即可.【详解】（3-2i）（3+4i）=9+12i-6i-8i2=17+6i.故选：B.2.下列关于空间向量的说法中错误的是（）A.平行于同一个平面的向量叫做共面向量B.直线可以由其上一点和它的方向向量确定C.空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底D.任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量答案：C解析：【分析】根据空间向量、基底的性质，以及共面向量、直线方向向量性质和概念判断各选项的正误.【详

2、解】A：平行于平面机的向量，均可平移至一个平行于的平面，故它们为共面向量，正确；B：直线的方向向量是直线任取一点，向其两个方向的任意方向作出一个向量即可得，故一点和方向向量确定直线，正确；C：空间任意三个向量都共面时，则不能构成空间的基底，错误；D：由向量的位置的任意性，将空间两个向量某一端点移至重合位置，它们即可构成一个平面，即可为同一平面的向量，正确.故选：C.3 .已知空间三点A（3,2,0）,3（3,2,2）,C（3,0,l）,则C到直线A 8的距离为（）A.1B.2C.3D.75答案：B解析：【分析】首先求出A C、A 8,再根据夹角公式求出cos（AC,A3），从而求出sin（4C

3、,再根据距离公式计算可得.【详解】UUU因为 A（3,2,0）,8（3,2,2）,C（3,0,l）,所以 AC=（0,2,1）,AB=（0,0,2）,则=石，网=2,AB AC=2所以 cos（AC,AB）=启尚=乎，则 sin（4C,AB）=-cos?（AC,AB）=,所以C到直线A B的距离为|ACjsin（AC,A g =&巫 =2.故选：B.4 .如图，在正方体ABCO-ABCQ中，E,F分别为A B,8c的中点，则（）A.平面 B.平面 gE FC.4 G 7平面片EFD.AXD平面片EF答案:C解析:【分析】以点。为原点，0 4,。6,。2所在直线为尤y/轴，建立空间直角坐标系，求

4、出平面耳E F的法向量，结合法向量对选项逐一判断即可.【详解】以点。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设4 5 =2,则4（2,2,2）,E（2,1,0）,尸（1,2,0）,6（2,2,0）,4（2,0,2）,百（0,2,2）,（0,0,2）,EF=（-1,1,0）,EBI=（0,1,2）,叫=（-2,-2,2）,DB=（2,2,0）,A,Ct=（-2,2,0）,ZM,=（2,0,2）.-八，、m-EF=-x+y =Q设平面g E F的一个法向量为m=（x,y,z）,则 -八取加=（2,2,-1）,U E 4=y +2z=0因为B R与加不平行，所 以 与 平 面BEF不 垂 直,A错误；

5、因为OB与加不平行，所以BO与平面片七尸不垂直，B错误；因为A G?=（）,且线在面外，所以4 G 平面BEF,C正确；因为。A 加=2#0,所以A Q与平面片芯尸不平行，D错误5.某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品按质量标准分为一等品、二等品、不合格品.从这批产品中随机抽取一个进行检测，设抽到一等品或二等品的概率为0.9 5,抽到二等品或不合格品的概率为（）.2 5,则抽到二等品的概率为（）A.0.05 B.0.1 C.0.15 D.0.2答案：D解析：【分析】利用对立事件的概率公式求出事件抽到不合格品，抽到一等品的概率，由此可求抽到二等品的概率.【详解】因 为 抽 到 一 等 品 或 二

6、等 品 概 率 为0.9 5,所以抽到不合格品的概率为1 0.9 5 =0.0 5,因为抽到二等品或不合格品的概率为0.2 5,所以抽到一等品的概率为1-0.2 5 =0.7 5,故抽到二等品的概率为1 一 0.0 5 -0.7 5 =0.2,故选：D.6 .已知点M（3,0）、N（l,4）,点P在y轴上，且N M P N =90，则P的 坐 标 为（）A.（0,1）B.（0,2）C.（0,3）D.（0,1）或（0,3）答 案：D解 析：【分 析】设尸（0,a）,由题意可知MRNP=0,利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数。的方程，解之即可.【详 解】设尸（0,。），因为=，所 以MP,N

7、P,且心=（3,a）,N P =（l,a 4）,所 以，M P-N P=3+a（a-4）=a2-4 a+3 =Q,解 得a =l或3,故P的坐标为（0,1）或（0,3）.故选：D.7 .如 图，在正 四棱 柱A 8 C O-A 8 C Q中，4 3 =4,4 4）=6,/是棱乌G的中点，点E在 棱B片 上，且 D G8避=1 6 f.若 过 点4F的 平面与直线。2交 于 点6,则5方=（）解 析：【分 析】建立空间直角坐标系，表示出点的坐标，设G=（O,O,a）,由面面平行的性质得到EE平面A。4,再由线面平行的性质得到E F/A G，根据向量共线的坐标表示计算可得.【详解】以。为坐标原点，

8、以OA，D C ，的方向分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,则 A（4,0,0）,E（4,4,4）,尸（2,4,6）,=（-2,0,2）,设G=（0,0,a）,则 AG=（Y,0,a）.因为平面BCC,4平面ADD,4 ,u平面BCC,Bt,所以E f7/平面A O 4 4，因为平面A E F 平面ADD.A,=A G ,u平面A E F，所以EF/AG,则 EF=/14G，即（一2,0,2）=2（-4,0,。），即.，解得。=4,故右 二 不.2=3故选：A.8.已知直线/经过4（2&%-2）,8（0,炉）（2 0）两点，则直线/的倾斜角的取值范围为（）r7t 3%r 不 3%

9、，71、-3 万 、A.一,B.（一,C.，）D.，万）2 4 2 4 2 4答案：A解析：【分析】分x=0和x 0两种情况，分别求出直线/倾斜角范围，即可得到答案【详解】当x=0时，A（0,-2）,B（0,0）,所以此时直线/的倾斜角为；当x o时，设直线/的倾斜角为e(o w e 万)，-2-X1 2*4 1 2 1 r-123A.B.-C.1 D.232答案：B解析：【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法可得.【详解】以B为坐标原点，分别以5ABe,8瓦所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则4 2B(O,O,O),E(-,-,O).所以直线/的斜率怎8=弃=一一j=(+x

10、)/2 x 2 V 2 x 2 A/2当且仅当x=0时，等号成立，7 F 3乃所以t a n6 1,所 以 一 ，所以BF-ED=+2 =0,解得=,即。尸=一.3 3 3故选：B.1 0.甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击2 0次，两人测试成绩的条形图如图所示，则（）A.甲运动员测试成绩的极差大于乙运动员测试成绩的极差B.甲运动员测试成绩的众数大于乙运动员测试成绩的众数C.甲运动员测试成绩的平均数大于乙运动员测试成绩的平均数D.甲运动员测试成绩的标准差小于乙运动员测试成绩的标准差答案：D解析：【分析】由图可得甲、乙运动员测试成绩的极差、众数，计算平均数和标准差，比较即可【详解】由图可得甲

11、运动员测试成绩的极差为3,众数为8,平均数为3 x7+8 x8+5 x9+4 x1 02 0=8.5滋 力 I(7-8.5)2 x3 +(8-8.5)2 x 8 +(9 -8.5)2 x 5 +(1 0-8.5)2 x4 屏怀住岑刃J-=-V 2 0 1 0乙运动员测试成绩的极差为3众数为8,平均数为4 x7+7x8+4 x9+5 x1 0-=0.5 ,2 0标准差为(7-8.5)2 x4 +(8-8.5)2 x7+(9-8.5)2 x4+(1 0-8 4)2 x5 _小 V 2 0 1 0甲运动员测试成绩的极差等于乙运动员测试成绩的极差，A错误；甲运动员测试成绩的众数等于乙运动员测试成绩的众

12、数，B错误；甲运动员测试成绩的平均数等于乙运动员测试成绩的平均数，C错误；甲运动员测试成绩的标准差小于乙运动员测试成绩的标准差，D正确.故选：D.1 1.己知函数/(x)=I n三就，给出下列结论：/(x)的最小正周期为兀；/(x)的图象关于原点对称；/(同 在(?,?)上单调递增；“X)的值域为(0,+/).其中所有正确结论的序号为()A.B.C.D.答案：D解析：【分析】1 _ i _ A n Y TT对y=变形得到y=t a n(x+),得到其最小正周期，得到A选项正确；1 -t a nx 4先求解定义域，再利用函数奇偶性判断函数为奇函数，B选项正确；根据复合函数单调性，整体法求解函数单

13、调区间，判断C选项；1 _i_ f 为 n Y先求解y =一 二 的 值 域，进而求出/(x)的值域为R,D正确.1-ta a x【详解】I f p m 丫 -jr因为函数y =-=ta n(x +-)的最小正周期为兀,1 -ta n x 4/(%+71)=/(%),所以/(X)的最小正周期为兀，正确;人1 +tanx/兀、八 71,兀,令-ton(x H)0,解得：-F kit x,E与 直 线 所 成 角 的 余 弦 值 的 取 值 范 围 为 ；,等.故 选：C.二、填空题1 3.已知点M（l,2,0）,N（2,2,l）在 直 线/上，写出直线/一个方向向量。=答 案：。，4，1）解析：

14、【分 析】由方向向量的定义求解即可【详 解】因 为 点M（l,2,0）,N（2,2,l）在直线/上，所 以MN=（l,4,l）,/MN（/e R,且，工0）都是直线/的方向向量.故答案为：（1,4,1）14.设向量a=（3,2,l）,匕=（l,x,l）,c=（y,4,2）,且a_LO,ac,则1+,=.答 案：V62解析：【分 析】根据空间向量的垂直及平行的坐标表示求出x，y,再由向量的坐标运算及模的坐标表示求解.【详 解】因 为a_L6,所 以3+2x+l=0,解 得x=2,则=（1,一2,1）.v4 2因 为a c，所 以 方=/=1，解 得 了 =6,则。=（6,4,2）.b+c=（7,

15、2,3）,1+c卜 病.故答案为：62.15.若等边三角形的一条中线所在直线的斜率为1，则该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为答 案：3解析：【分 析】根据题意得到该等边三角形的三边所在直线的倾斜角，进而求出三边所在直线的斜率，求出和即可.【详 解】因为一条中线所在直线的斜率为1，所以此中线所在直线的倾斜角为4 5，可得该等边三角形的三边所在直线的倾斜角分别为75,15,135,14-q rz因为tanl350=1,tan750=tan(45+30)=-，=叶 片=2+百，7 3 3 7 31-3I g1-Atan 15。=tan(45-30。)=1 +V3 3+V3y即该等边三角形的三边所

16、在直线的斜率分别为2+52-5-1,所以该等边三角形的三边所在直线的斜率之和为3.故答案为：3.1 6.已知正四面体A5CD的棱长为1 2,球。内切于正四面体ABC。,反 尸是球。上关于球心。对称的两个点，则A2 8尸的最大值为.答案:1276-24解析:【分 析】先根据等体积法求出内切球的半径，再根据A E B F =(AE+F F)=AE-BF+E E-F F,结合基本不等式即可求得结果.【详解】设点E在平面A 8C内的射影为E ,点F在平面ABC内的射影为尸，点。在平面ABC内的射影为0 ,如图1.因为正四面体ABC。的棱长为1 2,所以AO=A B =4 D O =yjAD2-A O

17、2=4跖 S AR(.=AB2=36石.34设球。的半径为A.因为 VABC D =O-ABC+O-ABD +O-BCD +O-ACD,所以 3 s ABC DO 4 X S ABC，R,则R=-DO =46.4AE BE=(AE+EEBF+F，F)=AE-BF+EE FFEE-FF=|r|-IF (|HFFI)2 =6,当 且 仅 当 忸 回=他 时，等号成立.过点作垂足为 ，过点f 作E N L A 5,垂足为N,过点0 作O PJ_A 5,垂足为P,如图2.圆。的半径为R E,尸是关于点。对称的两个点，且。E,R.AE BF=(AM+M EBN +NF)=AM-BN+ME-NF.AM-B

18、N=-AMBN-(|AB-/?)(|AB-R)=-(6-76)2,当且仅当直线 NF,腔 与 圆 相 切时，等号成立.ME,-NF=|A/r|2VF|/6-24.三、解答题17.如图，在四棱柱中，四边形A8Q9是正方形，A4,=6,48=4,且7 1NCiCB=NC】CD=3,设CD=a,CB=b,CC=c.(1)试用a,z?,e表示4。：(2)已知。是与。的中点，求。的长.答案:见解析解析：【分析】(1)根据已知条件，结合向量的加减法运算法则，即可求解.(2)。为耳。的中点，求的长，只需求出耳。的长，利 用(1)中所求的结果，求 与。的模即可.【详解】(1)B Q =BiC+CD=C CCB

19、+C D =a b c.(2)由题意知,=4,愀=4,卜卜6。=(),71a-c =Z 7-c =4 x 6 c o s=1 2.3|_|2-2-2-2By Z)(Q h c)c i +b+c 2 ,h 2 c+2b c-6 8，D O =；BD=&i1 8.已知坐标平面内三点A(2,T),B(2,0),C(l,l).(1)求直线AB的斜率和倾斜角；(2)若A,B,C,O可以构成平行四边形，且点。在第一象限，求点。的坐标；(3)若 石(明)是线段AC上一动点，求/万的取值范围.答案：见解析解析：【分析】(D根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角；(2)设)(x,y),根据原B=D，心c =%

20、即求解即可；n(3)因为-表示直线3 E的斜率，求出E与点C重合时，直线8c的斜率；E与点A重合时，直线B Em-2的斜率即可得答案.【详解】(1)因为直线A8的 斜 率 为 上 一=1.-2-27 1所以直线A3的倾斜角为了；(2)如图，当点。在第一象限时，kAB=kC D,kA C=kB D.x=3y=5设0(x,y),则j ；1 +4，解得/-2 1 +2故点O的坐标为(3,5)；A7(3)由题意得一为直线班:的斜率.m-2当点E与点C重合时，直线踮的斜率最小，原0=7二=一；-1-2 3当点E与点A重合时，直线3 E的斜率最大，kA B=.故直线B E的 斜 率 的 取 值 范 围 为

21、,3n I即 一 的 取 值 范 围 为-2 .m-2 31 9.如图，已知圆锥的顶点为P,点C是圆0上一点，NBOC=4 5 ,A B =2 O P =4,点。是劣弧人。上的一点，平面P C。平面Q 4 B =/,且/A B.(1)证明：OCLO。(2)求点。到平面P C。的距离.答案：见解析解析：【分析】(1)由线面平行的判定和性质，推得A 8C D,再由N3OC=45和圆的对称性，求出相关的角的大小，即可得证；(2)建立空间直角坐标系，求出平面PCO的法向量，利用点到平面的距离公式计算可得所求值.【详解】(1)证明：因为/A B,/u 平面平面P。，所以AB 平面PCD.因为A B i平

22、面ABC。，且平面ABC。】平面PC=C）,所以 A 8C.因为 Z B O C=4 5 .所以 N B O C =Z O C D =N O D C =4 5，所以NOOC=9 0,即 O C LO D.(2)如图，以。为坐标原点，以OZ),OC,OP的方向分别为x,y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O-x y z,如图所示:则 C（0,2,0）,D（2,0,0）,P（0,0,2）,PC=（0,2,2）,Pr=（2,0,2）,OC=（0,2,0）.设平面PCO的法向量为=(x,y,z),n-PC=2y-2z=Q,iv P D =2x-2z=0,令 x=1,得=（1,1,1）.因为 cos（

23、OC,）=O C n 2|oc|/?|-2x733，所以点O 到平面P C D的 距 离 为 cos(o c,)=2 叵.2 0.在“acos(C 2)=2土 ,b+c-a =-4 6S(其中s为二.。的 面 积)”这两个条件中任3 2 a+b+c选一个补充在下列横线上，并加以解答(注意：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分)上己 知ABC的内角4 8,C的对边分别为a,4c,(1)求角A；(2)若.=26，求ABC面积的最大值.答案：见解析解析：【分析】(1)选择，由两角差的余弦公式、两角和的正弦公式和正弦定理将化简为6sinA =cosA+l，再1 1由辅助角公式即可得出sin(A-

24、7)=，即可求出角A；选择，由余弦定理化简可得6 2jr 1cosA+l=&sinA，再由辅助角公式即可得出sin(A-7)=：,即可求出角A；6 2(2)由余弦定理结合均值不等式即可求出bew 1 2,再由三角函数的面积公式即可求出,ABC面积的最大值.【详解】(1)选择：因为acos(C-f)=：，,所以L cosC+，asinC=十0.3 2 2 2 2由正弦定理可得 sinAcosC+/3sinAsinC=sinB+sinC=sin(A+C)+sinC,即 sinAcosC+sinAsinC=sinAcosC+cosAsinC+sinC 由 sinC w。，化简得#sinA=cosA+

25、1，即 sin(A-g)=:.o 2因为一工vA 至 至，所以A J =即4=工.6 6 6 6 6 3选择:mu.4 6s 2 6 0 c s irL A因为/?+c-a=-=-，Q+Z?+C所以（+c）2 -/=2cbesinA,即 b2+c2-a2+2hc=23bcsinA.由余弦定理知 b1+c2-a1=2/?c c o s A 所以 2bccosA+2bc=2百c s inA.由人c w O,化简得c o s A+1 =J s inA,即s in（A 二）二二 ,6 2,7 1,7 1 5 万 ,7 t 7 t .7 1因为 A c-%=/?c，当且仅当匕=c时，等号成立，所以 b

26、c 5 2,S=B b c 3 64故 _ A B C面积的最大值为3 g.2 1.如图，在几何体A3 C OE尸中，平面。尸_1平面4 8。,/胡。=6 0.四边形。：尸为矩形.在四边形 A 8 C D中，A D/B C,A D A B,A B =B C =2AD.(1)点G在线段BE上，且 B G =BE,是否存在实数，使得AG/。尸？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.(2)若P为线段。尸的中点，求直线3 P与平面4 3 E所成角的正弦值.答案：见解析解析：【分析】(1)先由面面垂直得到D E，平面A B C。，再建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量平行求出的值；(2)求出

27、平面A5 E的法向量，从而利用空间向量求解线面角.【详解】(1)因为四边形8 为矩形，所以C O_ L D E.因为平面C 石尸_ L平面A B C。，平面C UE尸 平面A B C D =C ),D E u平面C D E F ,所以。，平面488.不妨设 A B =B C =2 A D=2 ,则。E =ADtanZEAD=.取。为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴，建立如图所示的空则 （0,0,0）,4（1,0,0）,3（1,2,0）,后（0,0,6）,尸（一1,2,后卜哈（-1,-2,A B =（O 2O）=卜 1,2,，A G =AB+B G =AB+/uBE=（-,2-2 ,

28、因为 AG/Z）/，所以一1 x（2 2）=2/7,解得=万，故存在实数，使得A G。下，且 的值为g.、一/AB m =0,（2）设平面4 5石的法向量加二（九,y,z）,贝、“7 BE-m=O,2y=0即 广，解得：y =o,一x 2 y +j3 z=0不妨取z=l，则阳=（G,O,1）.D P =*F=HT，2,）=（-；/,务则 尸（一 亚 斗,BP =，亭.经验证符合要求.设直线B P与平面43石所成的角为6,则 sin 0=|cos(BP,机，=.故直线5尸与平面ABE所成角的正弦值为且.42 2.如图，在四棱锥P ABC。中，底面A8CD为菱形，D C B =60,A B 1 P

29、 B.(1)证明：POC为等腰三角形.(2)若平面PDC_L平面A8CD,AB=2,求二面角A-P B-C的余弦值的取值范围.答案：见解析解析：【分析】(1)取。的中点E，连接P E,B E,B D,由题意可得BE，DC,C D V P B,根据线面垂直的判定定理可得。C_L平面P E 3,再由线面垂直的性质定理可得答案；(2)设PE=*，O),以点E为坐标原点，分别以E8,EC,EP所在直线为x,)，,z轴建立空间直角坐标系，求出平面R W、平面P8C的法向量，由二面角的向量求法和x的范围可得答案.【详解】(1)如图，取。C的中点E，连接PE,BE,BD,因为四边形ABCD为菱形，Z D C

30、 B =60，所以BCD为等边三角形，则BEJ.OC,因为ABCD,AB，P B,所以C_LPB，因为PB B E =B,P B、B E u平面P 3，所以。C_L平面叨？，P E u平面P E B,所以。C_LPE,故PDC为等腰三角形；(2)设PE=f(f 0),以点E为坐标原点，分别以砧,EC,“所在直线为x,)，,z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 P（0,0,f）,4（G,2,0）,B（,0,0）,C（O,1,O）,AB=(0,2,0),BP=卜 百,0,BC=(-73,1,0),设平面QAi5的法向量为根=（x,y,z,m B P =0则Jm-AB=0-yfix+=02y=0令x=G则 加=（后。9,设平面PBC的法向量为=n-BP=0 B C =G（x，V，z，），则,-/3x+tz=0-G%+y=0令x=G，则=（g，3,；），cos(m,n令 尤=,0,则cos(m,)=S =因为(0,-),所以c o s(w)=J3,、-G（7），4+x 2二面角A-P B-C的大小等于二面角AP 6 E与二面角。一E的大小之和,因为二面角A依 一E为直角，所以二面角AP 3 C为钝角,故二面角A P 8 C的余弦值的取值范围为（一1,一,）.2