代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（教师版）.pdf

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1、专题0 2 代数式的条件求值求最值及求字母取值范围的技巧（解析版）专题诠释代数式的求值、求最值及求范围是中考最常见的题型，七最重要的技巧就是代数式的恒等变形。恒等变形所用的核心知识是整式的乘除、因式分解、方程、函数、不等式等；运用到的主要方法是整体代入，配方法，作差比较法等。通过恒等变形可以求值，求最值，确定字母的范围，比较大小等。笫 一 都 分 爵 用 韶 析+变 武 圳类型一通过代数式的恒等变形求代数式的值2 2典 例 1（大城县校级四模）设/H2+H2=4/?I/?,则竺一巴的值等于（）m nA.2 V 3 B.V 3 C.V 6 D.3思路引领：由 2 =4 z得（7 -）2 =2 加

2、 小（2+）2 =6 加7,根据7%0、ft0可 得-=弋 2 m 7 1、tn+n=V16-m-n-,代八、入、到r l-m-2-n-2=-（m-+-n-）-（-m-n-）计,算可一得口.m n m n解：*/病+层=,tn2-4，+2=0,；（7 W -n）2=2mn,（m+n）2 =6？,，心 0,0,-n=yj2mn,tn+n=y/6mnm2-n2（7 n+n）（7 n-n）、6 m n 7 2 m n _则-=-=-=27 3,m n m n m n故选：A.总结提升:本题主要考查完全平方公式和分式的求值,依据完全平方公式灵活变形并依据条件判断出?+、tn-n的值是关键.变式训练1.

3、（达州中考）已知：n?-2m-1=0,-1=0 且加W1,则-的值为.n1 2 1思路引领：将2+2-1=0 变形为丁_ 一一1=0,据此可得加，一 是方程X2-2x 7=0的两根，由韦达定nz n n理可得小+-=2,代入=m+1 +工可得.n n n解：由/+2 -1=0 可知W O.o1又 nv-2m-1 =0,且 1,即 mH-.n一是方程x2-2x-1=0的两根.n 上?+1 =2c.nmn+n+1 i:.-=m+14-=2+1=3,nn故答案为:3.1总结提升：本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后得出?，一 是方程/-2 x-1=0n的两根及韦达定理.2.(2020

4、秋锦江区校级期末)已知2a-3 6+1=0,则代数式6 a-+I=.思路引领：首先由已知可得2a-3匕=-1,将 2a-3b=-1代入64-96+1=3(2a-3b)+1即可.解：；2“-36+1=0,2a-3b 1,.6-9b+l=3(2a-3b)+1=3X(-1)+1=-2,故答案为：-2.总结提升：本题主要考查了代数式求值，运用整体代入思想是解答此题的关键.3.(2022秋吉县期中)请阅读下面解题过程：已知实数a、6 满足“+6=8,=1 5,且 a b,求 a-6 的值.解：因为 a+b=8,ah=15,所以：(a-b)2a2-2ab+b2c+lab+b1-4ab=(a+b)2-4ab

5、=S2-4X 15=4 因为 a b,所以 a-b 0,所以 a-6=2.请利用上面的解法，解答下面的问题.已知实数x 满足 一 =孤，且 x V O,求 的 值.思路引领：直接利用完全平方公式将原式变形得出7+5=1 0,进而求出答案.解：.一=而，(x-L)2=8,X-2=8*JC H-9=10,(xd )-y+2=1 2,X X2.x+=2 V 3,V.r 0,-=-2A/3.X总结提升：此题主要考查了完全平方公式应用，得出了+3的值是解题关键.类型二通过代数式的恒等变形求代数式的值典例2(2 0 2 1 秋下城区期中)已知实数小,满足2-层=1,则代数式加2+2 几 2+4 m-2 的

6、最小值等于.思路引领：根据题意把原式变形，根据配方法把原式写成含有完全平方的形式，根据偶次方的非负性解答.解：？-2=1,.n2=ni-1,/九 21，则用2+2 次+4 加-2=m2+2m-2+4 加-2=/7 72+6/?-4=w2+6/?+9 -1 3=(?+3)2-1 3,，心 1,:.(巾+3)2-1 3 2 3,即代数式层+2”2+4 切-2的最小值等于3.总结提升：本题考查的是配方法的应用，配方法的理论依据是公式J 2a H 庐=(a+h)2.变式训练1.(20 22蓝山县校级开学)若小，是方程/-2 o r+l=0 且 的 两 个 实 数 根，则(加-1)?+(-1)2的 最

7、小 值 是.思路引领：根据根与系数的关系求出m+n与m n的值，然 后 把(w-1)2+(-1)之 整理成m+n与mn的形式，代入进行计算即可求解.解：由题意,寻 =2a f /Tin=1,则(L 1)2+(-1)2=n?+2-2(m+n)+2=(川+)2-2nin 2(tn+n)+2=4a2-4a f=4(。-今 2-LV a l,a=l时，(桁-1)?+(72-1)2的最小值为o.故答案为0.总结提升：本题考查了根与系数的关系：若打，X2是一元二次方程依2+6X+C=0(N0)的两根时，Xl+X2=Y，X I X 2 1也考查了二次函数的最值问题.2.(2022秋海淀区校级月考)阅读下列材

8、料，并解答问题：工2 x+3材料：将分式-拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式.X+1解：由分母x+1,可设/-x+3=(x+1)(x+)+b；贝lj/-x+3=(x+1)(x+)+b=x2+ajc+x+b=x2+(Q+1)x+a+b.对于任意上述等式成立，丁：厂U解得：(Q+b=3 3 =5.%2 x+3(x+1)(%2)+5 5/.-=-=x-2dx+1 X+1 工+1这样，分式 f 就拆分成一个整式x-2与一个分式一二的和的形式.x+1x+1入2+5%4(1)将分式-拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式；X-12X2-X-1 2(2)已知整数使分式-的值为整数，直

9、接写出满足条件的整数的值.x-3思路引领：(1)利用题干中的方法进行变形即可得出结论；2x2 X 12(2)利用题干中的方法将分式-拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式，利用x-3整除性质即可得出结论.解：(1)由分母x-1,可设/+5 x-4=(x-1)(x+a)+b,贝IJ /+5尤-4,2.=x-ax-x-a+。，=/+(a-I)x-a+b.:对于任意X上述等式成立,a 1 =5a+/?=-4解得：a =6b=2 X2+5X-4X-1(x-l)(x+6)+2-x=4 2=x+6+z r.x-1故答案为：6+(2)由分母 x -3,可设 Z r2-x-1 2=(x -3)(2x

10、+)+,则2?-x -=2 x +a x -6 x -3a+bf=2+(a-6)x-3。+/?,对于任意x 上述等式成立,.(Q -6 =-1*t 3 a +b =1 2解得;:上.2X2-X-12 ,%3_ (x-3)(2x+a)+b=x 3 (x-3)(2x+5)+3x 3 ，=2 x+5+刍2X2X12为 整 数,分 式 的 值 为 整 数，3 二为整数,Ax=4或6或0或2.总结提升：本题考查了分式的加减法，整式的加减，分式的值，掌握题干中的方法并熟练应用是关键.类型三通过代数式的恒等变形求代数式的字母的取值范围典例 3(20 21 杭州三模)已知 2a-3 x+l=0,3 b-2x-

11、1 6=0（I）用含x的代数式分别表示a,b；（2）当 a W 4 V 人时，求 x的取值范围.思路引领：（1）直接利用已知将原式变形求出答案:（2）利用“W 4 得出关于x的不等式求出答案.解：（1）由 2a-3 x+l=0,得。=苦 匚，由 m-2 x76=0,得 b=2鸯 16；(2)：a4h,3 x-l x,2x+1 6.a=2 4,解得：-2 0）,且满足/=2 b+m ,及=2 a+m a b,X求 k的取值范围。答案：0 k 2.（1）求证：B-A 0,并指出A与 B的大小关系：（2）指出A与 C哪个大？说明理由.思路引领：（1）根据完全平方公式把原式变形，根据非负数的性质解答；

12、（2）把 C-A的结果进行因式分解，根据有理数的乘法法则解答.(1)证明：B-A=(J-3 a+7)-(。+2)a1-3a+7 -a-2=a 7 -4A+5C=(/-4+4)+1=(a-2)2+l,.*(a-2)2 0,(a-2)2+i 2 i,：.B-A0,：.BA；(2)解：C-A=(/+2-18)-(n+2)=d+2 -18-2=a1+a-20=(a+5)(a-4)Vd2,.a+50,当 2V V4 时，-4V 0,：.C-A4 时，a-40,：.C-A 0,即 A VC当 a=4 时，C-A=0,即4=。.总结提升：本题考查的是配方法的应用、因式分解的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非

13、负性是解题的关键.针对训练1.(2021秋福清市期末)阅读以下材料：利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题，如 次+2 -4=/+2a+12 一 12-4=(a+1)2-5(a+1)220,：.a2+2a-4=(a+1)2-5,因此，代数式J+2 a-4 有最小值-5.根据以上材料，解决下列问题：(1)代 数 式/-2a+2的最小值为；(2)试 比 较/+扶+八 与 6 a-2 b 的大小关系,并说明理由；(3)已知：a-b2,ab+c2,-4c+5=0 求代数式 a+b+c 的值.思路引领：(1)将代数式/-2a+2配方可得最值；(2)作差并配方，可进行大小比较；(3)变

14、形后得：a=b+2,代入M+c2-4c+5=0中，再利用配方法即可解决问题.解：(I)a2-2a+2=(ci2-2a+)+1=(a-I)2+l,?(a-I)2 0,(a-1)2+1 2 ,即代数式a2-2 a+2的最小值为1；故答案为：1；(2)/+/+6。-2 b,理由如下:2+/72+1 1 -(6a-2b)=/+/+-6a+2b=(。2-6。+9)+(62+2ZJ+1)+1=(a -3)2+(6+1)?+l,；(a -3)2 2 o,31)22o,：.a2+b2+U6a-2b；(3)：a-b=2,，a=6+2,:ab+c2-4 c+5=0,：.b(b+2)+c2-4 c+5=0,(万+1

15、)2+(c-2)2=0,.+l=0,c-2=0,:.b=-1,c=2,.a=-1+2=1,.a+b+c=l -1+2=2.总结提升：本题考查非负数的性质、配方法的应用，解题的关键是熟练掌握配方法，利用配方法可以确定最值问题，属于中考常考题型.第 二 部 分 专 典 理 优 训 练1.(2 0 2 2秋遵义月考)设力,是方程，+x-2 0 2 2=0的两个实数根，则?2+2 +的 值 为()A.2 0 2 0 B.2 0 2 1 C.2 0 2 2 D.2 0 2 3思路引领：利用一元二次方程根的定义得到，层=-优+2 0 2 2,则切2+2加+=?+”+2 0 2 2,再根据根与系数的关系得到

16、，+=-1,然后利用整体代入的方法计算.解：机是方程/+x -2 0 2 2=0的实数根，-2 0 2 2=0,.加 2=-m+2 0 2 2,廿+2 m+=-加+2 0 2 2+2 团+=团+2 0 2 2,：，n是方程?+%-2 0 2 2=0 的两个实数根，m+n=1,.，+2 团+=-1+2 0 2 2=2 0 2 1.故选：B.总结提升：本题考查了根与系数的关系：若 x i,x 2 是一元二次方程“/+f e c+c=0(a#0)的两根时，x i+m=b c,X 9X2=C L C l2.(2 0 2 1 春鼓楼区校级期中)若直线y=k(x -1)+3 经 过 点(a,b+2)和(a

17、+1,3-1),则代数式M-4kb+4b2 的值为.思路引领：由直线y=A (x -1)+3 经 过 点(a,6+2)和(a+1,3 6-1),利用一次函数图象上点的坐标特征可得出=2 6-3,进而可得出2 匕-%=3,再将其代入必-4 妨+4 射=(2 3-%)2 中即可求出结论.解：,直线 y=Z(j t -1)+3 经 过 点(a,b+2)和(a+1,3 f e-1),.(k(a l)+3 =b +2(f c(Q+1 -1)+3 =3b-11:k=2b-3,：.2b-k=3f：必-4 3 4层=(2b-k)2=3 2=9.故答案为：9.总结提升：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及完

18、全平方公式，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键.3.(2 0 2 2 春定远县期中)已知=1,因 为(+b)2=a2+2ah+h2=a2+b2+2(a -b)2=a2-2ab+b2=a2+b2-2(5)所以由得。2+庐=(。+。)2-2.由得。2+从=2+2.试根据上面公式的变形解答下列问题：(1)已知-/?=2,a h=,则 下 列 等 式 成 立 的 是.2+3 2 =6;4+庐=3 8；(。+力)2=8.(2)已知“+6=2,ab=I.求代数式/+廿 的值；求代数式/+/的值；猜想代数式/+y(为正整数)的值，直接写出答案，不必说明理由.思路引领：(1)根据

19、完全平方公式分别计算即可；(2)根据完全平方公式得到的值都是2,猜想的值也是2.解：(1)/+/=(a-b)2+2ab=22+2X 1 =6,故该选项正确；a4+b4=(a2+b2)2-2 a2/?2=62-2 (ab)2=3 6 -2 X 12=3 4,故该选项错误；(3)(a+b)-(a-b)2+4 a/=22+4 X 1 =8 故该选项正确.故答案为：；(2)/+必=(a+b)2-2=2 2-2 Xl=2；/+/=(/+)2 _ 2 a2z 2=22-2 (而)2=22-2 Xl2=2；.的答案都是2,猜想：a+a=2.总结提升：本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解

20、题的关键.4.(2 0 2 2襄城区模拟)已知实数 b 满足 3 X3 2=2 7,求代数式(2a-b)2-3 (a-b)(+/)+8 Cab-I)的值.思路引领：根据整式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案.解：V 3MX32 h=2 7,.3 4+2 6 =3 3,*+2。=3,原式=4 c-4ab+b2-3 (a2-/?2)+8ab-8=4a2-Aab+b2-3a2+3b2+8ab-8=a2+4ab+4b2-8=(a+2 b)2-8,当 a+2/?=3 时，原式=3 2 -8=9-8总结提升：本题考查整式的化简求值，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算

21、，本题属于基础题型.5.（2 0 2 1 秋忠县期末）解答下面各题:（1）当x取何值时，代数式，-4/6 有最小值;a-2 1（2）化简：-（a -a2-l a+1（3）当。为（1）中所求x的值时，算 出（2）的结果.思路引领：（1）仿照阅读材料中的方法把代数式配方后，利用非负数的性质确定出最小值时对应的x的值;（2）先计算括号里的，通分后将除法化为乘法，再将分子分母分解因式约分后可得结论;（3）将。=2代入计算即可.解：(1)x2-4.r+6=(x-2)2+2 2 2；，当x=2时，/-4 x+6 有最小值;(2)a-2a2-l2 a 1)n 7 a 2 i 2 a 1.+(-)Q2-I a

22、 4-1 a+ia 2 .a2 1 2 a+l(a-l)(a+l)a+1a-2 _ a+1(a-l)(a+l)a(a-2)a(a 1)(3)当 a=2 时,1 1a(a-l)2总结提升：此题考查了配方法的应用和分式的混合运算，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式和分解因式是解本题的关键.6.（2 0 2 2 秋北京期末）已知：P=x+2,。=箫.（1）当x=l时，计算P-Q 的值；（2）当x0时，判断P 与。的大小关系，并说明理由;（3）设）=%卷 若 x、y均为非零整数，求 孙 的值.思路引领：（1）将 x=l 代入计算P-Q 的值即可;(2)先求差，再比较差与0的大小关系.(3)先表示y

23、,再求x,y的整数值，进而可以解决问题.时nXK)/(XW:Q-P-X+28-31.3，(2)当x 0 时，P 2 Q,理由如下:尸-2=/2 _ 墨_ 0+2)2-8 工x+2_ (%-2)2一 式+2 V x 0,.(x-2)2*x+20或(%-2)2%+2=0,.当 x 0 且 x#2 时，P Q；当 x=2 时，P=Q；(3)告，P=x+2,Q=器,.4 Q-y=P 1 24 8x x+2 1 2(x+2)_ 1 2-2%3(x+2)_-2(x+2)+1 6=-3(x+2)-2.1 6一 十 3(x+2)，：x、y 均为非零整数，；.x=-3 时，y=-6,xy=1 8；x=-6 时，

24、y=-2,xy=1 2；综上所述：冲的值为1 8 或 1 2.总结提升：本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键.7.(20 22春西乡塘区校级期末)阅读材料并解决下列问题:材料 1 若一元二次方程 a/+bx+C=O (4W O)的两根为 XI、X 2,则 Xl+X2=-，X1X2=71 771材料2 已知实数机，满足机2-1=0,2_一=0,且加力，求一+一的值.m n解：由题知机，几是方程-1=0 的两个不相等的实数根，根据材料1,得加十几=1,-1,.n m m2+n2(m+ri)2-2mn 1+2+-=-=-=-=-3.m n mn mn-1根据上述材料解决

25、下面的问题：(I)一元二次方程 57+10X-1=0 的两根为 XI,X2f 则 Xl+A2=-2，XX2=-F .(2)已知实数2,满足3m2-3 2 -1 =0,3 2-3-1=0,且2，求 m2+加，的值.(3)已知实数P，4 满足p2=7p-2,2/=7 q-1,且 p W%,求 p?+4/的值.思路引领：(1)5f+i0 x-I=0 中，。=5,b=10,c=-1,则 Xl+X2=-=-2,X1X2=(2)由题意/n,可以看作3x2-3 x-1=0 的两个不等的实数根，由此可得结论；(3)由题意知p 与加即为方程，-7x+2=0的两个不等的实数根，由此可得结论.解：(1)在 57+1

26、0 x-1=0 中，a=5f b=l。,c=-I,.b、c 1.X+X2=-a-=2,XX2=-a =-r5*故答案为：2,春；(2)V/n,满足 3加 2-1 =0,32-3n-1 =0,m#n,：.m,可以看作3/-3x-1=0 的两个不等的实数根，.7%+=1,?=一可1,2 2 /1.1.mn+mn=mn(m+n)=x l=(3)由题意知p与2q即为方程?-7x+2=0的两个不等的实数根,:p+2q=7,2Pq=2,；.p2+4q2=(p+2q)2-4/?=72-2X2=45.总结提升：本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题.8.(2022吴中

27、区模拟)张老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用字母A 代替了原代数式的一部分：S-/1)一 系=罟（1）求代数式A,并将其化筒;（2）当A=5时，求x的值;（3）当 犬=迷+1时，求A的值.思路引领：（1）根据被除式=商乂除式，被减式=差+减式，然后根据分式的乘法和加法运算法则进行计算即可解答;2%4-1利 用 的 结 论 可 得 肯=5,然后按照解分式方程的步骤进行计算即可解答;（3）把x的值，代入4=碧 进行计算即可解答.解：（1）由题意得:A%+1 XA=-7*-+x-1 X+1x2-lX2-2X+1%(x+l)(%1)I(x-1)2=-X-4,-x-+-1X 1 +X 1

28、x+x+lx-12x+lx1t,2x+l 当4=5时，0=52x+l =5 (x-1解得：x=2,检验：当x=2时，x-I W O,；.x=2是原方程的根;当 户 西+1时，代嚼罟27 5+2+1底=2+挈总结提升：本题考查了解分式方程，分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.9.（20 22秋东城区校级期中）阅读下列材料:利用完全平方公式，可以把多项式f+f e x+c变 形 为（x+加）2+的形式.例如，x2-4X+3X2-4 x+4 -4+3=(x -2)2-1.观察上式可以发现，当X-2取任意一对互为相反数的值时，多项式/-4X+3的值是相等的.例如，当x-2=1,即x=3或1

29、时，/-4x+3的值均为0；当x-2=2,即x=4或0时，%2-4%+3的值均为3.我们给出如下定义：对于关于x的多项式，若当x+z取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于x=-?对称，称苫=-团是它的对称轴.例如，-4x+3关于x=2对称，x=2是它的对称轴.请根据上述材料解决下列问题：(1)将多项式/-6 x+5变 形 为(x+根)2+的形式，并求出它的对称轴；(2)若关于x的多项式/+2 a r -1关于x=-5对称，求a；(3)求代数式(/+2 x+l)(/-8 x+1 6)的对称轴.思路引领：(1)利用配方法进行变形计算，即可解答；(2)利用配方法将/+2以-1

30、变形为：(x+a)2-l-a2,然后进行计算即可解答;(3)先把原式变形为(x+1)2(x-4)2,然后再利用配方法把(x+1)(x-4)变 形 为(x+m)?+的形式，即可解答.解：(1)x2-6 x+5=/-6 x+9 -9+5=(x-3)2-4,该多项式的对称轴为：尤=3；(2)x2+2ax-1x2+2ax+a2-a2-1=(x+a)2-a2-1,.该多项式的对称轴为：x=-a,:关 于x的多项式x1+2ax-1关于X-5对称，二=5；(3)(/+2 x+l)(x2-8 x+1 6)=(x+l)2(x-4)2=(x+l)(x-4)J2=(A*2-3 x-4)2-94249-4=2一争2对称轴为：x=2-总结提升：本题考查了配方法的应用，轴对称的性质，熟练掌握配方法是解题的关键