2022-2023学年辽宁省沈阳市五校协作体高三（上）联考数学试卷（12月份）（附答案详解）.pdf

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1、2022-2023学年辽宁省沈阳市五校协作体高三(上)联考数学试卷(12月份)1.已知集合4=久|3 M-4 x-15 W 0,B=口忱 b c B.b a c C.c b a D.a c b5.攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式，多见于亭阁式建筑、园林建筑.如图所示的带有攒尖的建筑屋顶可近似看作一个圆锥，其底面积为9兀，侧面展开图是圆心角为茎的扇形，则该屋顶的体积约为()A.12V27TB.167rC.187rD.18V27T6.已知双曲线/+3=1的渐近线方程为y=遍x,则根=()A.5B.5C-iD.-257.已知直线/：%+my+九=0既是曲线y=In%的切线，又是曲线、=靖一2的

2、切线，则血+n=()A.0B.2C.0 或 eD.-2或一e8.已知f(x)=一a%4 +2/一 3,尸(一1)=一/(1),g(%)=|f (x)刈 一 1,若函数9(%)有且只有两个零点，则实数2的取值范围为()A.(一8,一第 U(S+8)B.(一 8,一号)U(5+8)C.(-抬)D.(一 果 第9.数列%3的首项为1,且册+1 =2即+1，Sn是数列 an的前 项和，则下列结论正确的是()A.。3 =7B.数列 斯+1 是等比数列C.an=2n 1D.Sn=2n+1-n-11 0.已知抛物线/=2 p y(p 0)的焦点为凡A,8是抛物线上两动点，且|A F|的最小值为1.M是线段A

3、 8的中点，P(2,3)是平面内一定点，贝4()A.p =2B.若|A F|+|BF|=8,则M到x轴距离为3C.若 希=2而，则|布|=3D.|4 P|+|4用的最小值为41 1.设函数f(x)=2 c o s 2(3 x*)-l(3 0),则下列结论正确的是()A.若 1/(X 1)f(x2)|=2,%-X2l m i n =兀，则3 =1B.存在3 6(0,1),使得打工)的图象向左平移g个单位长度后得到的图象关于原点对称C.若 在 0,兀 上有且仅有4个零点，则3的取值范围为葭刍D.V 3 6(0,1),f(%)在 一看,勺上单调递增1 2.如 图，在棱长为2的正方体4BCD中，M,N

4、,P分别是G.0 1，CXC,&力的中点，贝1()A.5M,N,B,)i四点共面B.异面直线POi与M N所成角的余弦值为噂C.平面8 M N截正方体所得截面为等腰梯形D.三棱锥P-M N B的体积为1 3 .若向量诡方的夹角为全a=2,b=6,则|24一 E|=.1 4 .已知函数/(%)=x l n x +m x +1的零点恰好是/(%)的极值点，则血=.1 5 .在平面直角坐标系 x Oy 中，点M(3,0),0),直线/：(2m+l)x -(4m-l)y+m -1 =0(m 0),动 点P满足|PM|=2|PN|,则动点P的轨迹 的方程为,若 的对称中心为C,/与r交于A,B两点，则

5、ABC面 积 的 最 大 值 为.1 6.已知函数/(x)=:二：a)，若存在实数m,使得关于x的方程=小恰有三个不同的实数根，则 的 取 值 范 围 是.1 7 .已知数列 6 的前项和为无，n N*,现有如下三个条件分别为：条件。5 =5；条件册+i-即=2;条件S 2=-4：请从上述三个条件中选择能够确定一个数列的两个条件，并完成解答.您选择的条件是 和(1)求数列 a j的通项公式；(2)设数列 b满足垢=一，求数列出“的前n项和7；.1 8.设AABC的内角A,B,C的对边分别为a ,c,已知 ABC的面积为 挈，且 岑=兽-.2 c o s c 2a-c 求B；(2)若 前=2就，

6、求 的 最 小 值，并判断此时 ABC的形状.1 9 .据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中达到笔试优秀才能进入面试环节.已知甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否达到优秀相互独立.若某考生报考甲大学，每门科目达到优秀的概率均为全若该考生报考乙大学，每门科目达到优秀的概率依次为士 1，其中0 n 6 0)的离心率为:，且点(1,-|)在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，椭圆C的左、右顶点分别为4,B,点、M,N是椭圆上异于A,B的不同两点，直线BN的斜率为k(k*0),直线AM的斜率为3A,求证：直 线 过 定 点.22.已知函数/(%)=e e*-1

7、+1,g(x)=+2.(团)求函数g(x)的极值；(团)当x 0时，证明：/(x)g(x).答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A=x|3x2-4x-15 W 0=x|-4 x 3,B-XTIX 0,A r B=x|0 x 1）,故选：B.先求出集合A,B,再利用集合的交集和并集的定义即可求出结果.本题主要考查了集合的基本运算，是基础题.2.【答案】Bt e?a+i _ （a+i）（l+i）_ a-1 ,a+1 .【解机】解：口 一（i-o（i+t）复 数 岩（其中，为虚数单位）在复平面内对应的点（等，岑）位于实轴上,则 竽=0,解得。=一 1.故选：B.根据已知条件，结合复数的四则运算，

8、以及复数的几何意义，即可求解.本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.3.【答案】D【解析】解：sin。=7131sin(20 5)-cos20=2sin 9-1=2 x 123-2 5 1故选：D.由已知结合三角函数的诱导公式及倍角公式求解.本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及倍角公式的应用，是基础题.4.【答案】D【解析】解：log23 1,0 2-0 1 1,logi2 c b,3故选：D.运用指、对数函数的性质直接求解.本题考查了指对数函数的性质，是基础题.5.【答案】D【解析】解：底面圆的面积为9兀，即兀 户=9兀,解得底面圆的半径为r=3,所以底面圆周长为

9、2兀X 3=6兀，即圆锥侧面展开图的弧长为1 =6兀，又因为圆锥侧面展开图是圆心角为写的扇形，所以扇形半径为/?=祭=9,如图所示：所以圆锥的高为h=V/?2-r2=V72=6或，圆锥的体积为 V=|x 7 r x 32x6/2=18V27T.故选：D.根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，再求出扇形半径，根据勾股定理求圆锥的高，即可求出圆锥的体积.本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题.6.【答案】B【解析】解：在双曲线M-工=1 中，m 0 得 2 x 2,0 得x 2,故九(%)在(一 8,-2),(2,+8)上单调递减，在(2,2)上单调递增，故

10、九(X)的极大值八=y-fc,极小值以-2)=-y-f c,要使原函数只有两个零点，只需一学一 kl或学一/-1解得k 第故选：A.先利用导数，结合(-1)=-尸(1)求出a 的值，然后研究g(x)的单调性，极值情况，利用g(x)只有两个零点，确定上 的范围.本题考查利用利用导数研究函数的单调性、极值情况，讨论函数的零点个数问题，属于中档题.9.【答案】AB【解析】解：因为出1+1 =2 an+1，设an+i+x =2(5+x)，可得a.+i=2 an+x,可得x =1,所以 即+1 是等比数列，公比为2,所以B正确；又因为的.=1,%+1 =2,所以an+1 =(ax+l)2n-1=2n,所

11、以册=2-1,所以C不正确；所以。3 =2 3 1 =7,所以A正确；D中，sn=零 U-n =2 n+i-2-n,所以。不正确；故选：AB.由数列的递推公式，整理可得 0+1 是等比数列，公比为2,求出 an-l 的通项公式，进而求出 即 的通项公式，及前项和sn的表达式，可判断A,B,C,。的真假.本题考查由递推公式求通项公式及前项和的代数式，属于中档题.1 0.【答案】ABD【解析】解：抛物线/=2py(p 0)上的点A到抛物线焦点F距离的最小值为1,=PJ2故 A正确,抛物线的方程为/=4 y,焦点F(O,1),准线/：y=-1,设B(x2,y2),对于B,点M(皿/，号)，由抛物线的

12、定义知，|A F|+|B F|=y 1+1 +丫 2 +1 =8,解 得%+y2=6,故 到 x 轴距离”鱼=3,故 B正确，对于 C,AF=(-%!，1 -y,FB=(x2,y2-1).由#=2而，解得 1 y 1=2(丫 2 1)，即月+2 y 2 =3,又|万j=2|而 I，即y 1+1 =2(72 +1)，则丫 1-2 y 2 =1，联立,解得%=2,y?=PQ故|4 B|=AF+BF=%+1 +%+1 =/故 C错误，对于。，抛物线产=4 y 中，当x =2 时，y =1 PA PP=|P Q|+QP=PQ+QF,当且仅当点 A 与。重合时取等号，故(|4 P|+|A F|)min=

13、PP=4,。正确.故选：ABD.根据给定的条件，求出抛物线的方程，结合抛物线定义，即可依次求解.本题主要考查抛物线的性质，考查转化能力，属于中档题.11.【答案】B C D【解析】解：丫 f(x)=2c os 2(3%2)1=C0S(2a X-y),f (x)的最小正周期为T =寻=9对于 A,；l/Q i)一/(工2)1=2,|Xi-X2l min =/(%)的最小正周期T =2几，-=27 T,得3 故 A 错误，0)2对于B,图象变换后得到函数y =c os 23(x +号)-y =C0S(2i0X+y O)-y),若其图象关于原点对称，则与一冬君+血/cEZ,解得3=|/C,/C E

14、Z,当k=-l时，c o=6 (04),故 8 正确，对于 C 当 W 0,7 r 时,2o)X-6 27 T O)-,/(%)在。扪上有且仅有4个零点，/4 ：%、对于8,连接C DC P,易得M N/CD 1，1 尸 铲】所以4 P D】C为异面直线P D i与 MN所成角,设=2,则C/=2近D、P=V 5 P C=3,所以 COSNPDJC=(20)2+(75)2-32=逗-2x2V2xV5_ 而所以异面直线PA 与 MN所成角的余弦值为 岩，故 B 正确;对于C,连接&B,&M,易得A$M N,所以平面8MN截正方体所得截面为梯形MN84,故 C 正确;对于D,易得D/B N,因为

15、平面M NB,M N u 平面M NB,所 以 平 面 M M B,所以U p-M N B=%i-M N B=%-M N D i=*万 X 1 X 1 X 2=,故 Z)正确.故选：BCD.根据直线与直线的位置关系判定A;由异面直线所成角求解判定B；作出截面判定C；由体积公式判定D.本题主要考查异面直线所成的角，立体几何中的截面问题，锥体体积的计算等知识，属于中等题.13 .【答案】2V 7【解析】解：已知向量区片的夹角为宗a=2,b=6,则苍 =|a|b|c os 2 x 6 x 1=6,则|2五 一=j 4 a2-4 a-K +b2=2巾,故答案为：2夕.由平面向量数量积的运算，结合平面向

16、量的模的运算求解即可.本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了平面向量的模的运算，属基础题.14.【答案】-1【解析】解：对函数求导：f(x)=I n x +1+?n,令/(%)=0,解得：x=又由已知有：y(e-i)=o,带入可得：m 1)+m -e-m-1+1=0,解得：m =-1,故答案为TH=-1.对函数求导，先求出函数极值点，再代入函数解出未知数即可.本题主要考查利用导函数研究函数极值，属于基础题.15 .【答案】(x l)2+y2=i；【解析】解：设P(x,y),由题意得=2,J(X-2+y2化简可得动点Q的轨迹方程为。-I)2+y2=1,圆心为C(1,O),半径为r =l,又由

17、(2?n +1)%(4m l)y+m -1=0,可得(+y 1)+m(2x-4y+1)=0,则由lo,解得f ；，所以直线/过定点Q ,，因为弓一 1)2+0)2 a),(x 2(%a)1 当a Q时，/(%)=x2 2%3=(%l)2 4,/(x)在a,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增，则/(x)e -4,+8),x a时，/(x)=x 2,f(x)在(-8,a)上单调递增，则 1时，x a 时，/(%)=x2 2%3=(x -I)2-4,二/(x)在a,+8)上单调递增,则/(x)e a2 2a -3,+o o),x a 时，/(x)=x 2,f(x)在(-8,a)上单调递增，则-

18、4,此时方程/(x)=m 最多有2 个实数根，不符合题意；3。当一2 a a 时，/(%)=%2 2%3=(x I)2 4,二f(x)在a,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增,则f(x)e -4,+8),x a时，/(x)=x 2,/(%)在(-8,a)上单调递增,则x)(8,a 2),又一4 a-2 -L a2-2 a-3G(-4,5),此时存在实数?，使得方程/(x)=m 恰有三个不同的实数根，综上所述，实数”的取值范围是(一 2,1),故答案为：(-2,1).题意转化为函数/(x)的图象与y=小恰有三个不同的交点，根据分段函数的性质，分类讨论a 1,-2 a 1,即可得出答案.本题

19、考查函数的零点与方程的根的关系和分段函数的性质，考查转化思想和分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.17.【答案】解：(1)若选时：解 法 1:由Cl n+l =2可知数列 a 是以公差d =2的等差数列，乂=5,*a】+(5 1)x d,解得=-3,故c i n =-3+2(n 1),即a”=2n-S(n G N*)；解法2：即+i -即=2,.数列 6 是以公差d =2的等差数列，又=5,an=a5+(n 5)X d,an=5 +(n 5)x 2.即 a n =2n-5(7 i e N*)；若选时：a n+1-a n =2,.数列 册 是以公差d =2的等差数列，又5 2=

20、4,a 1+Q，2 4,2a l +2=-4,a 1 3,故斯=-3+2(n -1),即册=2 n-5(n G N*)；若选这两个条件时，无法确定数列；(2)bn=.%+1 =(2 n-5)(2 n-3)=2(2 n-5 -2 n-3)，1 1 1 11 11 1 1 Tn=2 -Z i)+(Z i-i)+(T-3)+-+(2 r 5-2 3)2、3 2n-3J 6 4 n-6%=6+9-【解析】(1)若选时，由的+i -an=2 可得数列m 九 是以公差d =2 的等差数列，再由a s=5 求出的,从而可求出通项公式，或由%=a5+(n-5)x d 可求出通项公式，若时，由%+i -册=2

21、可得数列 a.是以公差d =2 的等差数列，再由5 2 =-4。5 =5 求出的,从而可求出通项公式，若选无法确定数列；(2)由(1)可 得 与=不 =1=；(/_ 占),然 后 利 用 裂 项 相 消 求 和 法 可 求 得+1 1/九 一 -O )L 71 Z r l-O本题考查等差数列定义及通项公式，方程思想，裂项法求和，属中档题.1 8.【答案】解：(1)由条件得：(2a-c)c osB =bcosC,由正弦定理，得(2 si n4 si nC)c osB =si nB c osC,即2 si r i i 4 c os8 =c osF si nC+si n c osC,所以2 si n

22、A c os8 =si n(B +C),因为4 +B +C=ns 所以si n(B +C)=si nA,即2 si nA c osB =si nA,因为A为三角形内角，故si n/l H O,所以co s B=*因为0 8 -(2,4 a 2 c 2 +2 a c)=-(4 a c +2 a c)=-ac=4,当且仅当 =2。即。=g 4=28时，|丽|取得最小值2,此时si nC=2 si nA,又因为C=竽-4,所以si n(与-4)=2 si nA,整理得ta r M =苧,因为0 4亭，所以所以C=J,所以 A B C是直角三角形.5oZ【解析】(1)利用正弦定理、两角和的正弦可得c

23、osB =今 从而可求B =*(2)根据面积可得a c =6,根据向量关系结合数量积、基本等式可求|的|取得最小值2,此时si nC=2 s i n 4 从而可求A,故可判断三角形形状.本题考查三角恒等变换，平面向量以及解三角形的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题.1 9.【答案】解：(团)设该考生报考甲大学恰好有一门笔试科目优秀为事件4,则P(A)=Cl.(i)2 =i.该考生报考乙大学恰好有一门笔试科目优秀为事件B,1-o4-9=1-3X3-5X5-6+2-3X2-5X5-6+23-X35-X1-6（团）该考生报考甲大学达到优秀科目的个数设为X,依题意，X 5（3,1）,则E（X）=3

24、 xg=l,该同学报考乙大学达到优秀科目的个数设为匕随机变量y的可能取值为：0,1,2,3.P(y =0)=|x|(l-n)=,n八/1、1 3“、，5 2”、，5 3 1 3+2九P(r =l)=-x-(l-n)+-x-(l-n)+-x-n=-n zP(,Kz =2c、)=-5x2-n,+1-x3-n1+1-x2-“(l-n、)=2+l lrn，n_152n_=30n-2-5X16-3)y-p(随机变量y的分布列:Y0123P1 n13+2n2+U nn15,23030F(八y八)=o八 x 1-n+,l.x 1 3+2 n+.n2 x 2+l l n+,o3 x-n =-1 7+3 0,n

25、因为该考生更希望进入甲大学的面试，则E（y）E（x）,即 嗡 叫 1,解得on!|,所以的范围为：n|O n给.【解析】（团）利用独立重复试验的概率公式，互斥事件、相互独立事件分别计算报考甲、乙大学恰好有一门笔试科目优秀的概率.（回）分别计算报考甲、乙大学达到优秀科目个数的期望，再列出不等式并求解作答.本题主要考查离散型随机变量及其分布列，独立重复试验及其应用等知识，属于中等题.2 0.【答案】(/)证明：四边形尸A B C为矩形，PC=3 V 3,PA=遥且C D =2D P,BD2=B C2+CD2=PA2+PC2=1 8,即B D =3&；AD2=PA2+PD2=PA2+PC2=9,即A

26、 D =3；又A B =P C =3 g，:B D?+=ABZ,.1A o,又PD 1 BD,P D A D =D,PD,AD u 平面 PAD,:.BD 平面 PAD,PA u 平面 PAD,：.PA 1 BD；v PA 1 PD,P D Q B D =D,PD,B D u 平面尸B O,J 平面P B D.()解：过尸作P E _ L A D,交 A O于 E,v PD =V 3,PA=V 6,PE=V 2,D EyJPD2-PE2=1,由(/)知BD _L 平面PAD,BD u 平面A B D,二 平面ABC _L 平面PAD,又PE 1 4。，PE PAD,PE ABD,故以。为坐标原

27、点，建立如图所示的空间直角坐标系，/.D(0,0,0),4(030),B(3V2,0,0),P(0,l,V2),AB=(3V2,-3,0),AP=(0,-2,V2),由(/)平面AB。的一个法向量为记=(0,0,1).设平面PAB的一个法向量为元=(x,y,z),E I 保 4B=3或尤-3y=0 人 .c 不、则 _.，令x=1,y-y/2,z=2,：.n =(1,V2,2),1n-AP=-2 y +v2z=0,一 一、2 2 匹 cos =-=.二面角P-A B-。为锐二面角，二二面角P-A B-。的余弦值为竽.【解析】(/)由 长 度 关 系 可 求 得+=A B2,知B D 1 A D

28、,结合PD 1 BD可证得BD J 平 面P A D,由线面垂直性质可得PA 1 BD；结合P4 1 P D,由线面垂直的判定可得结论；()过 P 作P E L 力。，交 A。于 E,可证PE_L平面A B C,以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角P-A B-。的余弦值.本题考查线面垂直的证明，以及二面角的余弦值的求法，属中档题.21.【答案】解：因为椭圆的离心率为:，即 沁,所以t=14=一(界 美又点(1,5)在该椭圆上，所以2+/l=l,所以M=4,b2=3,所以椭圆C 的标准方程为4 +4=1.4 3(2)由于8N 的斜率为,则 BN：y=k(x-2),

29、y=k(x 2)联立卜2 y2,得：(4/C2+3)x2-16/c2x+16/c2-1 2 =0,(4 T-3-1所以冲 功=1%；,所以XN=F，从而YN=-二”即N(监 3 七)，4 公+3 4/+3 相+3 4/+3同理，由于AM的斜率为北，则 AM：y =3 k(%+2),y=3 k(x+2)联 立 x2 y2-+-U 3_ 得：（3 6 1 +3）x2+1 4 4 k2%+1 4 4/c2-1 2 =0,1 4即（1 2 e +1）X2+4 8 fc2%+48k2-4 =0,所以肛所以=_ 4 8 必-4-1 2 必+T-24k2+21 2 k2 4-1 ,11-T-；1 2k R|

30、i.2 4 必+2 1 2 k、从 而 坊 二 两，即M%再 丁 而 再?),当%M =%N时即k=f寸，MN：X=-1,过点P（-1,0）,孚-04 d+3lk 工 土 时，kpM =012k,+l1 2 k4k-2 4/+2（i）-i2k2+3 -4k2+l12k2+l-1 2k 4k2=21 2-3 4 k+l急5B P kp M =kpN，所以直线 MN过点P（1,0）,综上，直线MN过点P(-L O).【解析】(1)求出 =T，结 合 点 在 该 椭 圆 上，求出。2 =4,人 2 =3,即可得到椭圆方程.(2)由于BN的斜率为鼠 则 B N：y=k(x-2),联立 0,g(x)在(

31、0,e)上单调递增，则x e(e,+8)时，gXx)g(x)等 价 证 明-2 I n x +x,即证 e T I n x%2 0,令九(%)=xex+1 I n x%2,(%0),九 (%)=(%+l)e*+i-=(x +l)(ex+1：),1 1 ii令卬(%)=靖+1-7则0。)在(0,+8)上单调递增，而0(兀)=?而一 1 0?2 -1 0 0,故a(x)在(0,+8)上存在唯一零点 且比 G (扁,1),%W(O,%o)时,(p(x)0,h!(x)0,(%)0,h(x)在%(&,+8)上单调递增，故九(%)m in -九(a)=Xoex+1-l n x0-x0-2,又因为9(%o)=0,即e +i=xo,九(&)=-l n x0-x0-1 =(x0+1)-x0-1 =0,从而九(x)九(%。)=0,即/(%)g.【解析】(/)首先确定g(x)的定义域为(0,+8),求导可得“。)=臂，根据导数的应用，分x e(0,6)时 乂 e (e,+8),两种情况即可得解；(”)要证/(x)2 g(x)即证x e*+i I n x x 2 2 0,令h(x)=x e*+i I n x x 2,求导利用隐零点问题的解决方法求得/l(X)m in 0即可，本题考查了导数的应用，导函数(X)0则原函数/(X)为增函数，/(X)0则原函数/(X)为减函数，同时考查了极值的概念，属难题.