《高等应用数学》重点—第5单元定积分及其应用.pdf

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1、第五单元 定积分及其应用一、概念与性质1、定义：段 f /)=fxdxn=2、几何意义：平面图形的面积fbpap b pc fib3、性质：fxdx=-f(x)dx,I f(x)cbc=f(x)cbc4-1 fxdxJa Jb Ja Ja Jc kf(x)dx=%f(x)dxJa Ja fV W i g(x)，氏=f f(x)dxhg(x)dxJaJa Jaf(x)dx=O C fx)dx=fxdx+b f(x)cbcJa Ja Jc 若 aWxWb,f(x)O,则 J f(x)dx 0fb rb若 aWxWb,f(x)Wg(x),则/(x)公 g(x)公 fx)dx x 3r x=asinu

2、du dyJ。S 常数)，求 上乂dxI y=a sintdy4 dx.dy dy 出 a cost解：=a sin t,=c i cost,=；=-=c o t tdt dt dx ax a sinfIt例 1 1 证明3 x1 g y n O在区间(0,1)内有惟一的实根。证：令/(x)=3 xl,则 f(x)在区间(0,1)内为连续函数，且f (0)=-1 0,J I +产 1 4所以f(O)f 0,在区间(0,1)内至少存在一点g,使 f(g)=0由于r(x)=3-一 二=2+3 0,在区间(0,1)内 f/(x)0,即 f(x)在在区间(0,1)内单调增加，因1 +x 1 +x此，f

3、(x)在区间(0,1)内最多存在一个零点，综上所述，3 x1 -上 =0在区间(0,1)内有惟一J。1 +产的实根。例 1 2 求函数/(x)=j.l n tdt的极值点及极值。2解：法一：(x)=l nx,令 f (x)=O,解得x=l,/(x)=L =1 0X所以X=1 为极小值点，极小值为J：I n tdt=tnt j-J,dt=(I n 2-1)2 2 2法二：先求出f(x),再讨论极值值(略)例 1 3若 f(x)有连续导数，(坊=5，()=3,求/(不)公解：h f(x)dx=f 4(x)=/(x*=/S)-/=5 3 =2例 1 4 设/(x)=sin/力，求/(/4)解：f(x

4、)=sin tdt=-c o s o =1 -c o s x,f()=l-c o s =l冗/(/(-)=/(I)=l-c O h例 1 5 设/(x)=3/一f 公，求 f(x)J o解：设/(x)办:=A,则/(x)=31Ax,在 0,1 上取定积分得：心=(3/_ 加 m，即 4 =(/_/2)卜1_*解 如 132所以/(x)=3 x2-xL 1 +x2解：虫=(sinl d )=sinJdt J。例1 6 已知xe,为f(x)的一个原函数，求解：xf(x)dx=xdf(x)=xf(x)o -f(x)dx因 f(x)=(xexy=ex+xer,且 /(x)d r=xe；=e所以 I：x

5、(x)dx=xex(1+x)|J；-e =e例17 计算fj x 2 4x +4办(开方时要加绝对号)解：原式=j而苍热=x)x =(2x g/*=2例1 8 设 f(x)=x+1,xWl(x)dx解:i L-x2,f J(x)公=j：(x +1)2；x 1一(2)f(x)dx=f(x)dx+J f(x)dx=(%+V)dx+(gx2 dxg(x +l)+署3|2 3 7k =+一11 2 683例1c 4 P 7Z X+1,9 求 -dx(0 5、9)（利用奇、偶性质）解：原式例 2 0 计算 ar ct an xdx:占 J,i 1l u 1 +%2-dx-2 ar c t ani _兀

6、2(0 5、16)（分部积分）5 E 3 1 1 f1 J%P 1,九 1 1解：原式=九ar ct anRn-xdar ct anx=-ax=-：1 J。4 J ol +x2 4 2J ol +x5 d(1+号71 1 i 八=-I n 242rb X例 21 f ff()d x=(J a 3)(05 B,9)解：原式=3 0呜吗=3.吗）e例2 2设函数y=y（x）是由参数方程x=f sin i J duJ o2y=cost4=(cos J)=-2/s inr,dt一一的一4d r一心-6区2fs in 产s in/2=-2 t(05 B、15)例2 3计算七 仙 公（05 B、17）解：

7、原式=2I n xd4x=2A/X I n 4；-2/6，公=2&-4闷；=4-2&例2 4设f（x）在 0,1上有连续的导数，且f=2,，八 工）公=3,则（矿。心=（06、9）解：原式=xdfx）=V（）|o-f M d x=2-3=-1)例2 5计 算.x2 cosxdx(06、“乃2解：原式=x2 s inx I-2f2=-2(-x cos x)兀202TC 八.-2 s in x4 22=_ _20 4例 26 设/(尤)=s in力，则 f(x)=(p _ )(07、5)JOA s in x4 B.2x s in x2 C.2x cos x2 D.2x s in x4例 27 定积

8、分 J 尤(1+x c o s3 x)d x 的 值 为()(07、9)解：原式=一.x cos 3x d r =2s inf 2 p4cos2r J r产1 -=42(1+cos 2 t)dt=4(r +s in 2 t)与=2兀I 2例2 8计 算 应 生 二dx（07、16）T x冗 O 乃解：令 x二 sint,dx=costdt,x=l 时 =,x=-时J =一2 2 4n 2,原 式 士 安4 s in tdt=|J(cs c24t-l)dt=(-cot r-r)|44例 29 设函数，产 s inf力，则 f (x)=(D)(08、03)5A.4x2 s in 2 x B.8 x

9、2 s in 2 x C.-4x2 s in 2x D.-8 x2 s in 2 x例 3 0 f2+s m x 仆(乃)(08、11)解：原式=(r +宿之 心-dx-2 ar c t an JJ1,=2&=万L 1 +x2 1 +x2 J-l +x2 1-1 2例3 1求定积分(e&d r (08、16)解：原式令 C =t 2 te dt=2 te|；-J e dt=2 e-e()=21(y+ty dt Q例3 2计 算l im -G)io+2 x 0解：原式=l im(l +x)、=刍 (分子分母同时求导)2 2例3 3已知。(x)=x j：s in力，求 黑解：?=(*)=J：s i

10、n力+2/s in/例3 4设/。)=。1 1(1 +/)山，g(无当x-0时，f(x)是g(x)的什么无穷小？解：l im/=皿1 +r)力=而也(1 +r)g(x)1。ex-x-io e _il im.v-02 x1 +x2l imX TO2 xex(l+x2)0所 以,当x-0时，f(x)是g(x)的高阶无穷小。例3 5设9(x)E岛+J X(M其中f(t)在 a,b 上连续且f(t)WO,试证：方程(px=0在(a,b)内有且仅有一个实根。证：因夕(尤)在 a,b 上连续，且例.)=r 2/2(/)力(),所以，由闭区间上连续“叮函数的零值定理知方程级x)=0在(a,b)内至少有一个实

11、根。1 .又夕，(%)=+2/2(X)0,所以(x)在 a,b 区间上单调增加，因此，方程夕(=0在(a,b)f(x)内最多有一个实根，综上所述，方程(x)=0在(a,b)内有且仅有一个实根。例3 6设f(x)可导，月.满足/(x)+2./力=/,求/(X)。解：/(x)+2/(x)=2x6f(x)=e(c +j 2xe l dx)=e2(c+2xe2dx)=e2x(c+xe2-j e2xdx)-e2x(c+xe2x-g e2 v)由h0)=0得。=21 ,1所以/(x)=；2，+一；例37证明/(x)公=(+f(2 a-xS d x,并 利 用 此 结 果 计 算 手公的值。证:p2a ea

12、 p2a.ca fO f(x)dx=fxdx+J，(x)dr(令x=2a-t)=f(x)cbc-J f(2a-t)dt=:fx)dx+f(2a-x)dx=:(%)+fQ a-xydxy xsinx,c-r xsmx(乃一x)sin(万一x)_,，0-1 +-C O-S 5 X =J。-1 +-co-s+X-1-+-C-O-S；-(兀-一-X-)心5xsinx1 +cos2 x+(乃一x)sinx 乃sinx,z-djc=2-Jar=-7i arctan(cos x)14-C O S X l+C O S XI04例38连续函数f(x)满足/(；)力=e/一求公。2 i-解：等式两端同时求导得：f

13、(x2)4x=-e x1即/(x)=Kf /(x)公=f*J&=一 g e刁；例39设f(x)为定义在(-8,+8)上的周期为T的连续周期函数，证明：7/5)公=工/(x)公为任意实数)ra+T fO M ea+T证：I/(x)公=J/(%)公+)/(%)公+J f(x)dxea+T而对于L fM dx令尤=+7 则 办=du,当 x=r 时,=0,当 x=Q+T时,=apa+TfO所以 Jr f(x)公=)/(+T)du=f(u)du=-f(x)cbcra+T 1()fT f0 fT故 J f(x)dx=fxdx+fxdx-f(x)dx=f(x)dx例40设f(x)在 0,1上有二阶连续导数

14、，证明:7*(x)公=；(0)+f m-ox(l-x)f(dx证：工 x(-x)f(x)dx=x(l -x)或 (x)=x(l-x)/,(x)|o-j (l-2 x)f(x)dx=(1-2x)#(x)=-(1-2x)/(x)|Q-2 f(x)dx=/(0)+/(l)-2j /(x Z x移项，两端同时除以2 即得：四、广义积分1、无穷区间：f(x)d x=F(x)|蓝=F(+oo)-F(a)f(x)dx=F(x)|t =F(b)-尸(一 8)j M d x=F(x)|U =R+8)-FS)说明：F (c o)为极限值，F (-8)和F(+8)只要有一个不存在，称该积分发散；存在，称该积分收敛。

15、2,无界函数：，/(外 小=/(到：=尸(份一尸(。)说明：a、b中至少有一个是使被积函数无意义的点，F (b)或 F (a)为极限值，F (b)和 F (a)只要有一个不存在，称该积分发散；存在，称该积分收敛。尸 dx-。0(工 2 +2)(1 +X)解：原式=(一-J-)公=J-K 1 +x x+2=e-(-芸-e 一，例 2 求 j xl nxd x解：原式=g x 2 n x 卜一公=0-1(l i mx2 l nx=l i m =l i mX TO A-0 1 .r-0 /X X五、应用(一)平面图形的面积1、直角坐标系：设 f (x),f i(x),i(y)/1(a rc ta n

16、 x 产 a rc ta nV29=(1-+沈1 j-2 1 _ 14 4x2-=hm(-2)=0ri=l、2,为连续函数8(1)由 y=f(x),x=a,x=b(a b)及 x 轴所围成的封闭平面图形的面积S=f|/。)性(2)由 y=fl(x),y=f2(x),x=a,x=b(a b)所围成的封闭平面图形的面积S=f优。)一/依(上一下)(3)由 x=(y),y=c,y=d(c d)及 y 轴所围成的封闭平面图形的面积S=j (y)如(4)由 x=h(y),x=2(y),y=c,y=d(c d)所围成的封闭平面图形的面积5=J J/。)一夕 i(y)|4 y(右一左)(5)由y=(x)与

17、y=f 2(x)所围成的封闭平面图形的面积解联立方程组，求出两曲线的交点坐标，得有x产 a、x2=b,(a,0a =,为极小值点，即为最小值，A 最小=,4J 4例 8 已知曲线c为y=2 x,直线L 为 y=4 x,求(1)曲线c与直线L 所围成的平面图形的面积S(2)曲线c 上平行于直线L 的切线方程。解：(1)由 y=2 x?与 y=4 x 解得 x=0,x=2面积 S =f(4 x 2/)公=(2 _=|(2)直线L 的斜率k=4,设切点为(xo y0)，则y|=(2/)x=4%=4，x=l,y=2,切 点 为(1,2)切线方程为：y-2=4(xT),即 y=4 x-2例 9 曲线y=

18、e ,o x轴，。y 轴及x=4 围成平面区域，试 在(0,4)内找一点x。，使直线x=x。平分所给平面区域的面积。解：由定积分的几何意义及所给条件，应有 e dx=exdx,e ；。=：,eXa-1 =e4-ex,2 eXa=l+e4X。=l n(l +e4)-l n 2例 1 0 求位于曲线y=e 下方，该曲线过原点的切线的左方，以及x 轴上方之间的图形的面积。解：设 切 点 坐标为(X o，e),y =e*,y(X o)=e”过 原 点 的 切线方程 为:y=ex x,代入切点坐标得e=e .解得=1,切点为(1,e),切 线 方 程 为.y=e x,故面积 s =J e dx+(ev-

19、ex)dx-ex1 2 +e|-21 o-:线y、2 x及直线x=O,y=l 所围成，求：(1)曲边三角形的面积(0 5、2 3)(2)该曲边三角形绕x 轴旋转一周所生成的旋转体体积。解：由 y、2 x及 y=l 解得x=工，所以2 面 积 5 手 办=卜卜1(2)体 积 匕=可 1 一 (声 尸 心:机 一 切 纭 工例 1 2 在曲线y=(x-l)2 上 点 桃(2,1)处引该曲线的法线，由法线、x 轴及该曲线所围成的区域为D,求 D绕 x 轴旋转一周所生成的旋转体体积的表达式(不必计算)(05B、23)解：左=y E =2(x 1 晨 2 =2,匕=g,所以法线方程为：1 =g(x 2)

20、,即 y=-g x +2,它与 x 轴的交点为(4,0)所 以 匕=万：(为一)4 公+乃 1(2-；)2 公=5 -1)5 ；+万冗 2 乃 1 3 万=I-=-5 3 1 5例 13已知一平面图形由抛物线y=x2 及 y=-x、8围成，(1)求此平面图形的面积(0 6、2 3)(2)求此平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体体积。解：由 y=x2 及 y=-x2+8 解得 x=-2,x=2,y=4,所以(1)平面图形的面积 5 =2 1(8-%2 一1 2)公=2(8%-x3)|2 =Jo3 1 3(2)旋转体体积Vy=乃 :x2dy+x2dy=ydy+万(8-y)dy(8 y)24 =16兀

21、例 1 4 设平面图形由曲线yG-xl x。)及两坐标轴围成，求(1)该平面图形绕x 轴旋转所形成的旋转体体积(2)求常数a的值，使直线y=a 将该平面图形分成面积相等的两部分。解：令 y=0,解得 x=-l,x=l(1)旋转体体积匕=万：(1 /)2 公=万 (1 2/+/)公(0 7、2 1)(2)由题意得：,(1 丁 办，=f(l y”办，即Q3Q 3 3 3(l-a)2-1 =-(l-a)2解得a =例 1 5 平面图形由曲线y=x2,y=2 x2和 x=l 所围成，求(1)该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积(2)求常数a的值，使直线x=a 将该平面图形分成面积相等的两部分。解：(1)旋转体体积 匕=乃 1(4 x，一 一)公=3 玄 =(2)由题意得：5(2-/)公=1(2%2%2 加 即:可；=；刃；(0 8、2 2)12所以，aZl-a解得=213