2023届湖南省益阳市高三年级上册学期期末数学试题含答案.pdf

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1、2023届湖南省益阳市高三上学期期末数学试题一、单选题1.已知全集U=-2，T，1，2,3,集 合 八 -,八 0,2,3,A-2,-1,0,1,2 B.T，2,3 c.【答案】C【分析】先计算出/=从而求出补集.【详解】因 为 =T 3，=0,2,3,所以 =-1,0,2,3,所以Q,（八8）=-2,1.故选：C.2.设复数zi=l+2 f i,贝 ijz=（）Q （U 3）为（）D.卜2A.l+3i B.1一后 C.i【答案】D【分析】设出复数，代入方程由复数相等列式可得结果.iD.3【详解】设Z +历（a力eR）,z=a-b,zi=1 +2zi,.(z 2R i=l,即：z-2，=；=-

2、i厂 Q +3bi=i,-a=036=-14=041D 二-31.z=iA 3故选：D.3.如图所示的矩形Z8CO中，瓦/满 足 而=配，C F =2F D,G 为E F的中点,若就+前,则%的 值 为（）【答 案】A3C.4D.2【分 析】将 石，而 作 为 基 底，根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 结 合 已 知 条 件 把 就 用 刀，而表 示，从而可求 出 久的值.【详 解】连接尸,AE AB+BE=AB+-BC AB+-AD,AF AD+DF=AD+-DC=-AB+AD由题可知 2 2 33就=；胸+而）又 因 为G为 防 的 中 点，所以所以前 T 抑+押上科+/2 3-,u

3、=3 4,所以初=5所以4.在一次劳动技术课上，某12人 的 小 组 中 的 同 学 们 利 用 图（一）的棱长为8cm的正方体胶泥作为原料，每 人 制 作 一 个 图（二）的 冰 激 淋 胶 泥 模 型（上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥），则 制 作 完 成 后 剩 下 的 胶 泥 约 为（）（忽略制作过程中的损耗，兀“3.14）图一 图二A.8.7cm3 B.9.6cm3C.10.6cm3D.12.4cm3【答 案】B【分析】根据正方体，球及圆锥的体积公式即得.【详解】由题可知正方体胶泥的体积为匕=8 =5 1 2 c m ,TZ 1 c 2 /1 4 c 3 。1

4、6 4 0 3匕=-7 Cx 2“x 6 +x 兀 x 2 =8兀 +兀=7 i c m每个冰激淋胶泥的体积为-3 2 3 3 34 0 ,匕=1 2 x i t =1 6 O 7 t c m所 以1 2个冰激淋胶泥的体积为 3 ,所以匕-%=5 1 2-1 6 0兀 合9.6 5 1?故 选:B.5.已知函数 l n(a r),x 0,若/(0)+/0)=0,则 必 的 值 为()2A.J B.e C.e D.e【答案】D【分析】由八)=1代入/()+/0)=可知。，根据/0)=l n()可得从而求出ab【详解】由 U n a x,x 0,得/()=1,又由/(。)+%)=。，得/0)=，可

5、知，所以/0)=l n(),所以 l +l n(a 6)=0,即 l n()=-l,解得故选：D.6.2 0 2 2年i o月1 2日“天宫课堂”首次在问天实验舱中授课，航天员老师们演示和讲解的多种实验,极大地激发了学生的学习兴趣.在一次模仿操作实验中，学生们从装有大小相同的标号分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的9种不同的种子中随机抽取2种种子进行操作实验，则抽到的两种不同的种子的标号之和恰为1 0的概率为()!J_ W 巴A.9 B.1 5 C.3 6 D.4 5【答案】A【分析】根据古典概型概率公式结合组合数公式即得.【详解】从标号分别为1，2,3,4,5,6,7,8,9的9种不同

6、的种子中随机抽取2种种子的所有结果有C；=3 6 种，而标号之和恰为1 0的结果有：0,9)，(Z 8),(3,7),(4,6),共4种,n 4 1P=所以所求的概率为 36 9故选：A.7.已知函数f (x)=sin(cox+夕)0 口 6,|同 =0,则f,若外。对应的值为()4 714GA.3B.年C.丐D.%【答案】C7兀x=一【分析】由题可知 12为函数对称轴,为对称中心,7 T llt T kT,)-=+,k G Z可 得12 3 4 2,结合条律=0件可得0=2,然 后 根 据13 J兀（P=一结合条件可得 3_ 7兀【详解】由题可知函数/（X）关于直线一石对称，又因为0所以函数

7、/（X）关于点7兀 71工 竺所 以12 3 4 2JGZ,即中心对称，E 71,keZ2兀 7 1所 以 24+1,k eZ所以=时，3 =,即得2符合，a)=4k+2,kwZ,又因为0G6,所以x)=sin(2x+s),又由JT0 2x +(p=k,k&Z，得3”2左+16 9 =71-G Z|6?|0,可得x O,e),/(X)单调递增,由/),可 得 x(e，+),/(x)单调递减，且 1)=。,/(x)/(e)=-所以 e,画出函数，=，(x)的大致图象，由r(A-)+(1-/W)/(A-)-加=0,可得(/(x)+0所以 x)=T 或/(x)K当/(x)=-l 时，方程有一个实数，

8、所以要使方程有3个不等的实根，则 方 程 有 两 个 不 等 的 实 根，0 /M 3 时，点4 8 均在双曲线的右支上有两条直线使得|AB|=4,又因为双曲线的实轴长2a=4,所以点4 8 分别在双曲线的左、右顶点时，也满足|AB|=4 有 一 条，综合可知当AB|=4 时，这样的直线有3 条，所以D 正确.故选：ABD.1 2.已知函数/（X）及其导函数/（X）的定义域均为R,记g（x）=/G）,若/（x）关于直线x=2对称，g（4+2x）为奇函数，则（）A./（2）=0 B.g（2024）=g（-2020）C.g（2）=g 0 8）D.g（4）=2【答案】ABC【分析】/（X）关于直线x

9、=2对称得/G+2）=/（T+2）,求出导数令X=O得/（2）=0 可判断人；由，（x+2）=/（-x+2）得到/（x）=/（-x+4）,求导，（x）=-/（r+4 福 得 g（x）=-g（-x+4）,令x=2 0 2 4,又g（4+2x）为奇函数，可得g（4-x）=-g（4+x）,可得函数g（x）的周期7=4 可判断c正确；由g（4-x）=-g（4+x）,得函数g G）的图象关于点（4，）对称，可判断BD.【详解】因为/（X）关于直线x=2对称，所以/（X+2）=/（-X+2）,所以/（X+2）=-/”（-X+2）,令*=,得/”）=0,所以人正确；由/（x+2）=/（-x+2）得到/（x）

10、=/（-x+4）,所以r（x）=-/，（-x+4）,所以g（x）=-g（-x+4）,令x=2 0 2 4,则g（2。24）=g（-2020）,又因为g（4+2x）为奇函数，所以g（4-2 x）=-g（4+2x）,即g（4-x）=-g（4+x）,即g（x）=-g（8-x）,所以g（8-x）=g（4-x）,即g（4+x）=g（x）,所以函数g（x）的周期为7=4,所以g（18）=g（16+2）=g（4x4+2）=g（2）,所以c 正确；由g（x）g（4+x）,得函数g 3 的图象关于点（4,。）对称，所以g（4）=0=g（2024）=g（-2020）,所以D错误，B正确.故选：A B C.三、填空

11、题1 3 .（x-y）（x +2 y）的 展 开 式 中 含 巧 尸 项 的 系 数 为 （用数字作答）.【答案】4 0【分析】先求出（x +2 y）展开的通项公式为&i=2，C 5 r y,再令厂=2或r =3,进一步求解可得.【详解】因为（x +2 v）5展开的通项公式为所以（x _ y）（x +2的 展 开 式 中 含 项 的 系 数 为2 3 c A 2 2 c =4 0故答案为：4 0.1 4 .已知长方体 8 C O-4 4 C Q中，/8 =4=2,。=3,点E为棱4 8的中点，则异面直线4瓦BC所 成 角 的 余 弦 值 为.【答案】476565#65【分析】延长 氏 C,构造

12、一个与”0 0-4 8 乌 全等的长方体8GC-8M G,取点尸为棱8 G的中点，可得NC 8/（或其补角）为异面直线4瓦4c所成角，在与6 中由余弦定理可得答案.【详解】如图所示，在长方体88-44GA中，延长/S OC,构造-个与Z88-44GA全等的长方体B G H C -B MN C i,且点尸为棱8 G的中点，所以4 8/，所以NC 8/（或其补角）为异面直线4瓦8c所成角,由题意得4 =屈，用尸=6,3=m，所以由余弦定理得C F2=BXF2+5,C2-2B、F -BtC cosC BFcos/C B F =小 画所以 654 屈故答案为：6 51 5 .已 知 圆 口 +/=1,

13、圆C的圆心在x 轴上，过点（“3）,若圆C与圆外切，则圆C的方程为.【答案】（X-3）2+=4【分析】根据两个圆相外切，和过点G）,列关于。/的方程组解决.【详解】依题可设圆C的方程为：（x-/+/=,且。0,因为圆C与圆外切，且过点（2-a）2+3 =r2,（2 6），所以1 r +l =，解得a =3,r =2,所以所求圆的方程为（X-3）2+V=4故答案为：-3）2+1=41 6 .已知抛物线C：）2=2 x 的焦点为/，圆0:/+/=3与C交 于 两 点，其中点用在第一象限，点P在直线x =-2 上运动，己 （）.S=3 当 丽 两 时，有 心 一 丁；./=-当 OPL ON 时，有

14、 2;AP A/N可能是等腰直角三角形；其 中 命 题 中 正 确 的 有.【答案】【分析】联立方程求得夜），结合。尸:如 M+“归 可 得。=G，&-.）,当 而 丽 时，点。，尸，”三点共线，求得力=一2&,即可求得S 市,判断；当 丽,丽 时，由 丽 丽=0,求得义的值，判断；分情况讨论APMN为等腰直角三角形情况，判断.详解由圆O：f+V =3 与y2=2 x,联立方程一+2丫_ 3=0,解得芭=1或=-3（舍），当%=1 时，y=&:.M Q,6）NQ 所 以 两=。，勾丽=G-夜），从而方=2 两+丽=4&,_ 四)=9+,1 _)即尸（+&-），因为点P在直线x=-2 上运动，所

15、以2+=-2,则 丽=（一 2,历-&）,当 丽/两 时，点。三点共线，由于OM=（L及）,所 以 丽=2而，所 以 外=_ 2、材=-2&,rhHH士fend。由 S,FMp=J1O尸|W-谒=1*共 3夜=由 题 意 知 12）,所以 2 2 2 4,故正确；当 而 _L而 时,即 旗 丽=0,所以a +，疝-&），-应）=0,即（2+）_ 2（义_）=0,221 解得2=3幺，又力+“=-2,得 I 2（所以正确；若APMN是等腰直角三角形，则NP M N或ZP NM 或/M P N为直角，、大、为 M Q,6）N Q,-6）pq2,五九一血）当 Z.PMN=90 时，则 6 入-=亚,

16、得 4 一 =1,此时lWl=2何 心|=3,M N不是等腰直角三角形，由对称性可知当N 尸=90,时，APMN也不是等腰直角三角形,；当 尸 N=90。时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点P在x 轴上,此时尸（一 2,0）,河=2聆 M=|N P 1=J（-2-；）2+（扬、孚阿2 +|N P2 M N,即/M P N H 90。，故“P M N不是等腰直角三角形，综上所述，4尸批不可能是等腰直角三角形，所以错误，故答案为：.点睛方法点睛：题目中涉及到向量的运算即0 尸=4 0 例+ON（X，eR）,因此要利用向量的坐标运算，表示出&义一以），则即可判断；判断APMN是否为等腰直

17、角三角形,要讨论直角顶点可能的位置，即分类讨论，结合抛物线的对称性进行解答.四、解答题1 7.已知数列 /的前项和为S”，且q=3,S“=a,+2-l（1）求%的通项公式；=J =4瓦 +贴3+b.b”,i若 a ，求几【答案（1 产=2+1T=-3（2+3）【分析】（1）利用公式2 2,。“=S,-S“T,即可求数列的通项公式；bb=!（2）根 据（1）的结果可知 2 +1 2 +3,再利用裂项相消法求和.【详解】（1）因为S-4+/T,所以当“22 时，S“_ =4 _ +（1）2,两式相减得：%=a，-a，i+2 T,即。“-产2-1,所以见=2+1,且 =3 符合，所以%的通项公式为%

18、=2 +1（2）由 可 知 an 2 +1 ,b也匚=-q所以 2/7 +1 2/1 +3 2（2 +1 2 +3 人所以0,=6 也+4 4 +b也U=卑_，=2(3 2n+3)3(2n+3)1 8.在 A/BC 中，角 4 3,C 的对边分别为a,6,c,且(2_sinJ)cos8-l=cosZsin8-2cos8sinC 求 8；(2)证明：a2+c2 2b【答案】3(2)证明见解析【分析】（1）根据两角和的正弦公式即可求解；（2）根据正弦定理和倍角公式，辅助角公式和余弦函数的单调性即可求解.【详解】(1)由(2-sinJ)c o s-1 =cssin-2cossinC得 2cos8-1

19、 =cosNsirtfi+sin4cos5-2cos5sinC,得 2cos8-1=sin(/+3)-2cos5sinC,g|j 2cosB-1=sinC-2cosBsinC,2cos5+2cosBsinC=1 +sinC,2(1+sinC)cosB=1 +sinC因为0 0,cosB=所以2cos8=1,即 2,B=-又因为0 8 万，所以 3（2）依题要证明a2+c22 2即 证 明匕sin2J +sin2C由(1)及正弦定理得：_ 4f 1-cos24+1 -cos2Cb2sin254 2 (cos2Z+cos2C),Z+sinc)322A+C=n-B =2C=-2 J又因为 3,所以

20、3cos2J+cos所以442J j=cos2 J -cos(y -2 J371.71=cos24-cos cos24-sin sn2A33=-cos24-sin2?4=cos 24 H2 2 I 3八 ，2乃0 A 乃 c ,1 5乃 2A+因为 3,所 以3 3 3,2A+=7i cos 2A+=-1所以当 3 时，I 3J-(cos2+cos2C)a-tC 1 0.8 2 8 ,根据小概率值。=也0 0 1 的独立性检验，推断“。不成立，即认为是否喜爱大课间运动程度与A类体操和B类体操有关;(2)由样本中的数据可知，抽 取 1 1 名学生中,其中喜爱/类体操有7 名学生，喜爱8类体操有4

21、名学生，C31X10X9 _165从 1 1 名学生抽取3名学生的所有情况有“3 x2 x1 ,而 3名发言的学生中既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的情况有C；C：+C；C；=7 x +x 4=1 2 62 2 x1 种,=些=竺所以 1 6 5 5 5 ,4 2所以参加发言的学生既有喜爱A类体操也有喜爱B类体操的概率为5 5 .2 0.如 图 所 示 的 正 方 体 44GA中，点 瓦 尸 分 别 是 棱 的 中 点.(1)证明：平面 EC,平面瓦比隹；(2)求平面A E F与平面AE C所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析7/1 74（2）1 74【分析】（1）根据线面垂直的判定

22、以及面面垂直的判定即可求解：（2）根据二面角余弦值的法向量求法即可求解.【详解】证明：因为88-44C Q为正方体，所以ZC工8 0,又 因 为，平面,所以 D D 1工 4 C,B D c D D =D,B O F面R u B D D、B、,所以/C_ L平 面 瓦 出，又ZC u平面NEC,所以平面/E C_ L平面（2）由条件可知 ，。口两两垂直，所以分别以0 4 O C,Z）A所在直线为xj,z轴建立空间直角坐标系（如图所示）,设正方体的棱长为2。，则 D（0,0,0）,J（2a,0,0）,C（0,2a,0）,（2 a,2a,a）F（0,a,2a）所以 A C=（-2 a,2 a,0）

23、,=（0,2 a,a）,/I F =（-2 a,a,2 a）设平面/E C的一个法向量为 i=（x，z）,nx-A E=0 J （x,y,z（O,2Q,）=0则 田,X=0（X,7,z）.（-2a,2a,0）=0（2y+z=0所以1x =N ,令x =l,得y =l，z =-2,所 以*=。，1，-2),又设平面/E尸的一个法向量为=(x,y,z),n2-AE=0(f ,J/,Z)(0,2Q M)=0则 近.万=0 z)(-2a,a,2a)=0J 2y+zr=0所以i-2x +y +2z =0,令，=2,得x=-3,z =-4,所以曜M T fCO S 伍 用=(1,1,_ 2)(_ 3,2,

24、-4)=7/F所以 M,76 x 729 174,所以平面A E F与平面AE C所成锐二面角的余弦值为174.V2 V2.C H-y =1(6 Z /?0)万 2 1.已知椭圆。b2 的左、右焦点分别为与与，条件离心率为2；点P在C 上运动，且归用十 户用=4；点在C 上.从任选两个条件作为已知，解决下列问题:(1)求椭圆C 的方程；己知过点工的直线/与椭圆C 交于M,N两点，点2(4,0),直线NQ的斜率分别记为“1G.试探讨3 十底。是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)条件选择见解析，4 3(2)是定值，定值为零【分析】(1)根据椭圆的定义，椭 圆 的 离 心

25、 率 和 即 可 求 解；(2)联立直线和椭圆方程，根据韦达定理和斜率定义即可求解.【详解】(1)选择，因 为 陷 1+陷 卜 2%a=22a=4联立方程组C-所以椭圆C 的方程为：4 3选择，因为|至|+|%|=2。1 9 t 7+7=1a 4tr2a=4=a2=b2+c2a=2,6=V3,c=1联立方程组+=所以椭圆C 的方程为：4 3选择，工+1i4/r a =2 b=5/3,a 2a2=b2+c2 C=1，仁=1所以椭圆C 的方程为：4 3 一二+=1 /（2）由 知椭圆C 的方程为：4 3 一，所以8（1，）,当直线/的斜率为0 时，易知“=kNQ=0,所以k+皿=0当直线斜率不为0

26、 时，设直线方程为x=+1,QJM%,%）,联立方程组整理得（+6夕-9=0,x2 y2,-1-=14 3x=W+1AO=/eR6/9所 以 必+必=一 百 如 2=一费7 7,+kN0=工 一+%所以 x 4 X2-4二 乂 当+为 为-4%(X,-4)(X2-4):M (优+1)-4%+为(%+4%(占-4)(%-4)9 6t一 2 3%-3(x+%)厂 s J+d+X s f Z+d(%-4)&-4)($-4)(*2-4)=0,综上可知1 3。+底。为定值0.2 2.已知函数f(x)=(x T)e +l-x.(1)求函数/(X)的单调区间；讨论函数尸(x)=/G)T1nx+1的零点个数【

27、答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】对 于 ，对x)求导后可得 d e 一 1，当x V O 时，/)0 时，令9(x)=x e(i)-l ,可得 W在(，+纥)上单调递增，结合/0)=0 可得/(X)的单调区间；/乙)=r e，v-i _ =x%i -左对 于(2),可得尸)二,-立7-x .分“4与%两种情况结合零点存在性定理可得零点个数.【详解】由 3)=(1/)+1,得/G)=xeS l,当 x 40 时，/(x)=x e(i)-l 0 时，记9(x)=x e(f-l,(x)=(x +l)e(T 则夕(x)在(。，+0 单调递增，又因为*0)=,所以当x 0,l)时，/(x)

28、Q,综上f(x)，(X)O /(x)的单调递增区间是0，*)（2）由题可知尸（x）=/（x）-1nx+xT=a_1）ex-A:l n r（x 0）x x-1 k X2ex-kF,F(1)=0 则 尸()=氏 -=；且,，贝I X x令x)=de-,则(x)=(?+2x,T 0,所以(x)在(，+8)单调递增，当左4 0时，(x)On F(x)0=尸(x)在(。，+8)单调递增，又F 0)=,即此时尸在(，+句上有唯一零点；当人 0时，令尸(x)=,即g)=-_%=0,则力(0)=-0i当 =1时，注意到又“在 包+单 调 递 增，。)，则x e(0,1),0；(x)Q n F (x)0 n 9

29、(x)0.得口(x)在(，1)上单调递减，在(Lx)上单调递增，故F(X)m m(l)=。，此时尸G)有唯一零点.i i 当0左1 时，因为()=一“0,又“(X)在(，+8)单调递增，所以加使得 6。)=.则x G(0,x0),0;(x)F (%)0 =尸(x)0故F(x)在(O,x 0 )上单调递减，在(与，+8)上单调递增，则尸(x)m i n =F(x(j),因为尸 0)=0,所以 F(x)m i n =/&)/。)=0.则 x)=G +l)e、，当T)时，)0，f(x)单调递增,(y _L/、/、,e-1-1 ee*-,+1 0所以 及，(-1)=-1+10,所以),又e,e(0,1

30、),E(x)在(O,x)上单调递减，x e(O,l),F（xo）1时，因为 0）=一 ,包 色）=（一 A ,又（X）在（，+00）单调递增，所 以 训 1,+“），使得“（/）=.则x e（0,x0）,o；（x）0 n?（x）0=F（x）0 则 F（x）在（”。）上单调递减，在（X。+8）上单调递增，故尸（口加=尸（）,因为尸（1）=,所以尸（濡=尸（%）0=x 0,p（x）x p（0）n fe-X-1 0 x X+1人 J故e 2 攵 +1 n e -1N匕 ek-k 所 以 吟=伫 一。4|一 片 2keel-k2 kek-k2=k（ek-k）k0又e e（l,+8）,F（x）在（x,+oo）上单调递增，xe（l,+8）,尸&。）,则e（%，+8）即F（x）在 G，e”）存在一个零点，此时厂（x）共有2 个零点.综上，当 4 或左=1时，尸6）有唯一零点.当0 左1时，（X）有 2 个零点.【点睛】关键点点睛：本题涉及利用导数求函数的单调区间和利用导数研究函数的零点，难度较大.本题（2）问，难点在于确定零点所在区间，即找到x,使/（x）（%）满足条件的x 一般与参数k,且往往需要构造函数判断尸（X）的正负性.