2023届湖南省岳阳市高三年级上册学期第四次月考数学试题含答案.pdf

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1、2023届湖南省岳阳市第五中学高三上学期第四次月考数学试题一、单选题1.设 集 合 =小 一”+2 叫，集合 8=X12X-3 4 0 ,则/口8=（）【答案】D【分析】解出集合4 8,利用交集的概念，将结果用区间表示即可选出结果.【详解】解:由题知=3x+2 W 0=x|l 4x42,B=x|2x-3 2-=-因为 a cos 5-cosB-a cosB-sin J-cosB-3cosZ V cosB 3 cos J 3,acosZ+bcosB 2 G所 以 acosB 一 的 最 小 值 为 亍，故选D.【点睛】本题考查了三角函数的相关性质，主要考查了三角恒等变换以及基本不等式的使用，考查

2、了推理能力，体现了基础性与综合性，提高了学生对于三角函数公式的使用熟练度，是中档题.小）=产 户 0,8.已知函数 1-2X2+4X+1,X 0 x 2.X H-F 4,X 0,x f O 时，（x）-+8；x f+8 时，”x）f+）；且 0）=e；又当x 0 时，。）一 2一 7 ,故在S O）单调递减，当 x+3 0；故在同一坐标系下，=（），=一上的图象如下所示：x）=9=.又当x 0 时，卜（x）数形结合可得，当-%e,即“2 1+1 a2+l所以数列%+1不是等比数列.故选项C错误.综上，故选：A D12.如图，棱长为2的正方体 8 C。-4 4 GA中，尸为线段5a上 动 点（包

3、括端点）.则下列结论A.当点尸在线段8Q上运动时，三棱锥尸-4 8 0的体积为定值B.记过点P平行于平面“严。的平面为a,。截 正 方 体 截 得 多 边 形 的 周 长 为3&兀C.当点P为5Q中点时，异面直线4尸与5。所成角为5D.当点尸为42中点时，三棱锥P-4 8 O的外接球表面积为1 E【答案】A C D【分析】对A,显然42平面4 8 ,所以尸在任何位置时到平面4 8。的距离相等，即可得解:对B,由尸在8Q上且8。”80,故截面为 与C,算出周长即可;对C,当点P为84中点时，由于44G A为正方形，所以4尸,与与，即可得到垂直;对D,是线面垂直型的外接球问题，当点尸为8a中点时，

4、4 P，B R,设D 8尸。外接圆直径2r,所以三棱锥P-4 8 O的外接球的直径2A =/2+月尸，即可得解【详解】对A,由于44吗 显 然8 Q 平面1加，又e 4，所以在任何位置时到平面AB D的距离相等，所以三棱锥尸-4 8。的体积为定值，故A正确；对B,由P在8a上且8a2,故截面为AS C,所以截面周长为6上,故B错误：对C,当点尸为用乌中点时，由于4AG R为正方形,所以4尸，耳0,又BD B、D,所以4尸，叫 故c正确;对D,当点尸为A中点时，/,用口,所以在正方体中4 P1平面B D P,由 5。=2 及，BP=D P =底,c P D=B P 2+D*B*&a SM B P

5、 D =所以 2-BP-D P 1 2 3 ,327 22r=32V 2所以D B P ）外接圆直径 3所以三棱锥P-田。的外接球的直径2A =J(2-+4尸=反=而,所以三棱锥P-潜。的外接球表面积为4万 可)故D正确;故选：A C D三、填空题1 3.已知“是等差数列，色 是等比数列，*是数列 的前项和，S“=l l,姑7 =3,则【答案】-1【分析】根据等差数列的求和公式以及等差中项，求第六项，再根据等比数列的等比中项，解得第六项的平方，结合对数运算可得答案.S 1 1(。+。“)【详解】因为 是等差数列，且S，是数列%的前项和，所 以 一2 一 4一 ，解得&=L因为也 是等比数列，所

6、 以 她=3,l o g3 r =l o g31 =-l则包 3 .故答案为：7./()|x +a,-l x 01 4.定义在R上的函数/(x)满足f (x+1)=f (x 1),且|2-x|,0 x 2:.0yf 1Tt(0,1,6ZG0,-，6Z e0,4t a n a e4故答案为:吟四、解答题17.在公差不为0的等差数列 中，与3M9成公比为生的等比数列，又数列也，满足,T,a=2k-bn=(4 +8+12+.+4)j _ 4+22(4-1).、=3 +2 (+1)si n C =V J c si n 阳 1 8.已 知 的 内 角4,B,C的对边分别为内儿c,且 2.(1)求角4的大

7、小；7 1/BAD=-(2)若点。在边8 c上，且=38。=3,6 ,求 1BC的面积.力 一 2兀【答案】(1)-3；2 4 G19 .si n A=G co s【分析】(1)由正弦定理的边角关系、三角形内角的性质可得 2,再应用二倍角正弦公式化简可得0=正2-T,即可求4的大小.Z_L)A C=-.=(2)由题设可得 2,法一：由正弦定理及N/O B +N 4 O C =兀可得C O b,再由余弦定2 16m=理得到 1 9,最后根据三角形面积公式求A/B C 面积；法二：根据三角形面积公式有S GAD _C _ 1S c 2b,由氏4。的边8。与的边。C 上的高相等及已知条件可得记一,再

8、由余弦定理得到 1 9,最后根据三角形面积公式求48C 面积;sinZsinC=6sinCsin【详解】（1）由已知及正弦定理得：2B+C A.2 2 2,又sinC。0,又 B+C=it-4,./匚 A,.A A rr A A 7 1sin/=，3cos 2sin-cos=V3 cos 0 2,则 2 2 2,而 2 2,c o s-02.A 6 A _ nsin_ =则2 2,故 2 3得 327t IT 7TZBAC=NBAD=ZDAC=-由 3,6,则 2.BD csin ABDA法一：在48。中，6,CD 二 bZ i J =s i n Z J D C在力。c 中，2,./ADB+/

9、AD C=TI,.sin ABDA=sin Z.ADC,2BD _ c由得：CD 6,又CD=3BD=3,得BD=1,c _ 2:1 3,不妨设 c=2 z,b=3m,42=（2w）2+（3w）2-2x2/wx3wcos m2在中，由余弦定理可得，3,得1619,S所 以=fexcsin ZB AC=-x 2？x 36 x =-2 2 2 19I兀弋 cA D sm /.BAD csin）B A D _ 2=6 _Soc b-AD sin ACAD 6 sin 71 2 b法二：2 2 BAD的边BD 与4 的边DC上的高相等,-S-B-A-D-_ BD _ 1 _c_l _ _c _ 2.s

10、应 DC 3,由此得：2b 3,即 6 3,不妨设 c=2%,b=3m,在4BC中，由余弦定理可得,42=（2w）+（3?-2 x 2z x 3w cos2兀丁，得m21619.s所 以=bxcsin ZBA C=-x2？x36 x 2 2 224G191 9.如图，三棱锥尸一1 8 C 中，P C,平面ABC,PC=3,Z A C B 2.R E 分别为线段 上的点，且 CD=DE=6,C E =2EB=2（1）证明：。后工平面产。；（2）求二面角Z-P O-C 的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）6【详解】试题分析：（1）要证线面垂直，就是要证线线垂直，题中由PC，平面 B C,可知PC

11、上DE,再分析己知由OC=OE=应,CE=2 得 S I DE,这样与D E垂直的两条直线都已找到,从而可得线面垂直；（2）求二面角的大小，可心根据定义作出二面角的平面角，求出这个平面角Z_ACB=的大小，本题中，由于 2,P C,平面/2 C,因此C 4 c 8,C P两两垂直，可以他们为 J 轴建立空间直角坐标系，写出图中各点的坐标，求出 平 面 和 平 面 CP。的法向量4，2,向量八内 的夹角与二面角相等或互补，由此可得结论.试题解析：（1）证明：由 PC，平面ABC,DE=平面A B C,故 PC，DE由C E=2,C D=D E=&得/C D E 为等腰直角三角形，故 CDDE由P

12、CACD=C,DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故 DE，平 面 PCD71（2）解：由（1）知，/C D E 为等腰直角三角形，N D C E=4,如（1 9）图，过点D作 DF垂直 C E于 F,易知DF=FC=EF=1,又已知EB=1,故 FB=2.DF F B 2 3 3由 N ACB=2,得 D F A C,A C B C 3 ,故 AC=3DF=5.以C为坐标原点，分别以0 4c 8,CP的方程为*轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则3C (0,0,0,),P (0,0,3),A(2,0,0),E (0,2,0),D (1,1,0),皿=(1，-1，)，1OP =(-l,

13、-I,3 W =(-,-l,0)设 平 面 的 法 向 量 方 尸 5,必,4),山 万 ,DP=0 I D A 0-x f+3Z|=0 1 故可取 =（2,1,1）得2由（1）可知D E J平面P CD,故平面P CD的法向量/可取为 丽，即 巧=（1，-1，）._ _ cos（n、,n2）-巴 2 =从而法向量”I%的夹角的余弦值为 6,旦故所求二面角A-P D-C的余弦值为6.【解析】考查线面垂直，二面角.考查空间想象能力和推理能力.20.追求人类与生存环境的和谐发展是中国特色社会主义生态文明的价值取向.为了改善空气质量,某城市环保局随机抽取了一年内1 0 0天的空气质量指数（AQ I）

14、的检测数据，结果统计如下：A QI0,5(5 0,(1 0 0,1 5 0(1 5 0,2 0 0(2 0 0,2 5 0(2 5 0,3 0 0 空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数61 41 82 72 51 0（1）从空气质量指数属于 ，5 L（5 ，1 0 0 的天数中任取3天，求这3天中空气质量至少有2天为优的概率.（2）己知某企业每天因空气质量造成的经济损失了（单位：元）与空气质量指数x 的关系式为0,0 1 0 0,y=2 2 0,1 0 0 x2 5 0,1 4 80,2 5 0 xW 3 0 0.假设该企业所在地7 月与8 月每天空气质量为优、良、轻度污染、中度污

15、染、_L 1 _L _1重度污染、严重污染的概率分别为,3,6,1 2 ,1 2,%,9月每天的空气质量对应的概率以表中1 0 0 天的空气质量的频率代替.（i）记该企业9 月每天因空气质量造成的经济损失为X元，求X的分布列；（i i）试问该企业7 月、8 月、9 月这三个月因空气质量造成的经济损失总额的数学期望是否会超过2.8 8 万元？说明你的理由.2 3【答案】（1）U 4 （2）（i）分布列见解析（i i）这 3个月经济损失总额的数学期望会超过2.8 8 万元，理由见详解.【解析】（1）根据古典概型的概率计算公式即可容易求得；（2）（i）求得X的取值，再根据题意，求得对应取值的概率，则

16、分布列得解；（i i）根 据（i）中所求，结合题意，求得3 个月因空气质量造成经济损失的总额，即可容易判断.【详解】（1）设4 为选取的3天中空气质量为优的天数，则尸(42)=。信=2)+尸(=3)=_ 2 3-1-4 以 114(2)(i)X的可能取值为0,2 2 0,1 4 8 0,(=0)=晔网0 0)端=；7 0 7P(X=2 2 0)=尸(1 0 0 我 2 5 0)=1 0 0 1 0,P(X =1 4 8 0)=尸(2 5 0 2.8 8 万，所以这3个月经济损失总额的数学期望会超过2.8 8 万元.【点睛】本题考查古典概型的概率求解，涉及离散型随机变量分布列的求解，涉及数学期望

17、的计算,属综合中档题.2 1.已知椭圆C：cr b2（a /0）的离心率为2 ,短轴长为2.（I ）求椭圆了的标准方程;n）若直线/=丘+机/）与椭圆C交于不同的两点，N,且 线 段 的 垂 直 平 分 线 过 定 点（L）,求实数t 的取值范围.+/=1【答案】（I）4 （n）/75.,.V5.(-8,)U(,+)【解析】（I）根据题意建立关于“力，0 的方程组，解之可得椭圆的方程;（口）联立直线的方程和椭圆的方程，得到关于交点坐标的关系，并且由根的判别式得出关于立，机的不等式，从而得到线段儿处的中点，和 线 段 的 垂 直 平 分 线 的 方 程，由点0，）在其垂直平分线上得出关于左，机的

18、方程，可得到关于人的不等式，解之可得上的范围.2b=2【详解】(I )由题意可知:=x/3a 2a2=b2+c2a=2丫 -4(1 +止)(4/-4)0,即源 -k 所以 5,即 5或 5 ,所以实数人的取值范围是【点睛】本题考查椭圆的简单的几何性质，椭圆的标准方程的求解，以及直线与椭圆的位置关系的综合运用，在求解此类综合题目时，常常采用联立方程，得到关于交点坐标的韦达定理的表示式,将所需求的目标条件转化到与交点有关的表达式上，属于中档题.2 2.已知函数/(x)=el n x-ax(aG R).(1)讨论/的单调性；/,(%)-+2 e o）八 八【分析】（1）求导得.x，进 而 分 和。两

19、种情况讨论求解即可;f（x）0）（2）根据题意证明 ，进而令 x ，再结 合（1）得X）m ax=l）=-e,研究函数g（D 的性质得g G）m in=gO）=-e,进而得X 0 时,/(x)在（，+“）上恒成立，故函数/G）在区间（，+8）上单调递增；当。0 时，由/（力 得 匕，由/3 0 时，/G）在区间1 0 I 上单调递增，在 上 单 调 递 减；/（%）-+2 e 0 /（%）时，证明 x,只需证明 x,由（1）知，当a=e时，函数/（X）在区间（）上单调递增，在（L+8）上单调递减；所 以/由=/W=-e.g（x）=-2 e,（x 0）g（x）=（x-?e令 x ，则 x ,所以当x 0,l）时，g1（x）0t函数g（x）单调递增，所以 g 8L=g（l）=Yf（x）。时，x,/（X）-+2 e 0.所以当a=e时，x