2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高二年级上册学期12月月考数学试题含答案.pdf

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1、2022-2023学年辽宁省大连市庄河市高级中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题I.若双曲线2+即2 尺）的焦距为%则该双曲线的渐近线方程为A.尸 土 瓜 B.任 c.yl5X D.一 一 丁【答案】D【详解】双曲线的方程为X。+叼2 =优（机C R）2 Y -y-1 双曲线的标准方程为 一 机.双曲线的焦距为43 +（一 加）=2,即机=_ 32y2 .厂.-一 11 双曲线的标准方程为 3一百y=X 双曲线的渐近线的方程为.3故选D.2.已知圆G：x2+V+8x-20 =和圆。2：/+/-6 =0,则两圆的位置关系为（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切【答案】C【分析】分别求得

2、圆G，G的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】由圆G：x f+8 x-2 0 =0,即（x+4）?+y2=3 6,圆心为G（-4,0）,半径16,圆。2：/+/-6夕=0,即/+3-3）2=9,圆心6（0,3）,半径=3；可得C C|=J1 6+9=5,则有房-1=3 1 2|。0,则下列不等式恒成立的是（）A.b2C.2“2&log,a 0 0,所 以/6、故/错误;0 f lT 0对于8,因为a 。0,所以，而当0 6 1 时,log j 6 0 。，所以2 2 ,故 C 错误；l o g,a b 0,2 5 ,故。正确.故选：D.【点睛】解题关键：本题的解题

3、关键是合理根据指对嘉函数的单调性进行比较大小.6.已 知 函 数 小）=，2/（2）+2/（3）+.”（2。必代）+心+盖）+初2）+初3）+募。1 8）=（A.20 1 7 B.2 0 1 7 2 C.4 0 3 4 D.20 1 7【答案】C【分析】推导出/（X）4/（1）+2/（3）+4-2/（20 1 8）+/（+*/（2）+（3）+壶X2【详解】解：,=112)/(x)+J(x)=x 1-JX1-(z3f(20 1 8)的值.由此利用分组求和法能求出2/（2）1x2 P-x2 1=-+-=-H-=j _ 1 +X2 1 +J_ I f/X2+1：.f (x)+f (X)x2 1,1

4、_J_：.2f(2)+2/,(3)+.+2f(20 1 8)+f()+(3 )+4/(20 1 8)+7 f(2)+】f(3)4-1.r22 V 7 3 2 八 J 20 1 87(20 1 8)=|/(2)4/(51)4/(2)+J2_2/(2)+/(3)4/(3j_ )(3)+32 f(V3+-+f(20 1 8)+/-(20 1 8)+/(20 1 8)20 1 82 r=20 1 7X 2=4 0 3 4.故选c.【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7.已知数列 J 满足q=2 4+C（a,+b）-b（c N）若 也 有无穷多个项，则（）A

5、.620 B,b2 T C.D.b2-2【答案】B【分析】先考虑“-I时，显然成立，当6 T时，利用l n x4 x-l放缩变形，得到4+1-%0,累加可知定会存在某项“+b 0 时，In x +lVx,所以当 I时，K ln g+lVC,所以当6 2-1 时，q=q+b 2 I,易得 14 4 c1“4 4 c2 ,B pl-/,-a -a2 a,=2；此时%有无穷多个项,故人-1合题;当6 -1 时，则/=ln(2+b)-6 +l b +l 6 +1 =2,设4 2,则4+b 2-l=l,则 -4 =In (4 +6)-Q+6)+1 2 出%，即 1 2+b%+6%+6 令 x)=ln x

6、-x +l,，3 =r 1,当 0 x 0,即/(x)在(/)上单调递增，因为%+b 2 +b l,所以4+4 =ln Q+6)-Q+6)+l ln(2+6)-(2+6)+l ,不妨令ln(2+6)-(2+b)+l =d,显然d ln l-l+l =O,即d 0,即4+1-4 累加可得外，-%(T)d,即见 1-7 r x故当 d时，见+。，此时“用不存在，不是无穷多个项，故6T不合题；综上：b l.故选：B.【点睛】本题难点在于，T时，应该怎么处理，先证明 J是递减数列，然后通过变形得到。*+厂4 =卜3+6)-(4+%)+1 d 0,累加可得a,2+(-l)d,当“足够大时，显然存在an+

7、b-1=0,(x-1)2+G-1)2=-.则需圆 4与直线x+y-i =o有交点，由于X,(0,1),画出图像如下图所示，由图可知无交点，故A不正确:万,AB=y-z =0n-AyDX=-x =0 r i=（0,1,1）又 E77=（1一。/一 1）又 祠=（0,1,-1）,语=（-1,0,0）,所以万EF=6-“，若使M平面43C%则需札E F =b-a=0,则需圆,4与直线V=x有交点,图像有交点，故B正确;对于C，七一 F=%-可，因为=因为E分别为线段/圈上的动点，故三棱柱E-8避尸的高是变化的，故三棱锥及-3E F的体积为不是定值，故c不正确:对于D,由正方体的结构特征可知力3与E尸

8、不平行，故A到E广的距离和8到E尸的距离不相等,故”尸的面积与8所的面积不相等，故D不正确.二、多选题9.已知正方体SC。-4 8 c ,E,尸分别为4 ,CG的中点，则（）A.直线BE与37 所成角为90B.直线8 c 与G。所成角为60C.直线 4 与平面/8 G R 所成角为45显D.直线 4 与平面8RD所成角的正弦值为3【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，求出正方体各顶点坐标，求出相关向量以及相关平面法向量的坐标,则 0(0,0 0)必0,0 2)必(20 0),3(2 2,0),C(0 2 0)E(l,0 2)F(0 2 I),4 2,0 2)5,(2 2,2),C,(0 2

9、 2)根据数量积的计算以及空间角的向量求法，即可判断答案.【详解】以。为坐标原点，以射线.，。，。鼻 为 J 轴正方向,体棱长为2,ZA7_X建立空间直角坐标系，设正方则 屁=(_1,-2 2),丽=(-2 01)故 砺 行=2 -2 =0,则 诟J _,故直线B E与男尸所成角为9 0。，A正确；_cos 麻，场 =垩,更=:_1S,C=(-2,0,-2),(Cl =(0-2 -2)1 8 cliCQ|2 V2 x2 V2 2，又5。0,可，故 但 。一,即直线用C与G。所 成 角 为B正确;方=(0,2,。西=(-2,0,-0),麴=(0,2)设平面5C Q的法向量为7 =(x/,z),n

10、-AB=2y=0则 I万 YR =-2X-2Z=0 ,令 x=l ,则 G =(l,0,-l),C O S&慈 =二-=-正 0 3故V 2X2 2，因为直线与平面所 成 角 范 围 为5 2 ,交故直线4与平面AB C Q i所成角的正弦值为一，所以直线“4与平面 8 G A所成角为4 5。，c正确；D F=(0,21),DJ 3=(2 2 0),设平面B F D的法向量为机=(。也。),m D B=2。+2 b=0 1*则 W，O E =2 b+c=0 ,令 =,则m=(1,一1,2),/-T 7 m -AAX 4 V6cos 加,AA.)=_ -L=r=故 Im|AA,|7 6 x2 3

11、 ,如故直线4与平面BED所成角的正弦值为3 ,D错误.故选：AB C.2 2C:-3=l(/n0)c1 0.已知双曲线 m m-m +4,若C的离心率最小，则止匕时()A.加=2 B.双曲线的渐近线方程为6 xV=C.双曲线的一个焦点坐标为6历 )D.双曲线的焦点到渐近线的距离为由【答案】A B【分析】首先求得双曲线离心率的表达式，利用基本不等式求得加为何值时离心率取得最小值.进而求得双曲线的渐近线、焦点以及焦点到渐近线的距离.【详解】因为用 0,所以双曲线C的焦点在X轴上，所 以/=加，b2=m2-m +4,所以C 2 c2 加 2 +4 4e Q =-=-|。2=机？+4.又双曲线的离心

12、率。，则 2 m m.因为所以 4 I T 4e2=m-2.1m=4 m =一m、m ,当且仅当 机，即加=2时，等号成立，则双曲线C的离心率最小时，/=2,b2=6,C2=8,则双曲线的渐近线方程为G x y=,故 人，B正确：双曲线的焦点坐标恒业|=亚=指为（士2也，0）,故C错误；焦点J 2，。）到 渐 近 线 显+y=的 距 离 为7 1 7 3 2 ,故D错误.故选：AB.【点睛】本题考查双曲线的几何性质及利用基本不等式求最值，解答本题的关键是用机表示出双曲线的离心率，利用基本不等式求e最小时打的值.1 1.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名

13、的函数乙、l,x为有理数10,为无理数称为狄利克雷函数，则关于/（X）下列说法正确的是（）A.函数/的值域是【，IB.V x e/?,/（/（x）=lC./（x +2）=/（x）对任意xeA恒成立D.存在三个点“（演，/&）,甄,/小），C（x3,/（x3）；使得8C为等腰直角三角形【答案】BC【解析】根据新定义函数得函数的值域为 0 1；无论x为有理数还是无理数，八0均为有理数，故V x e/?,./-（/（%）=1,由于x与x +2均属于有理数或均属于无理数，故/*+2）=/（幻对任意xwR恒成立；假设存在，则根据函数推出矛盾即可否定结论.【详解】解：对于A选项，函数的值域为 0，1,故A

14、选项错误.对于B选项，.当x为有理数时，x）=l,/（x）=/（x）=l当 x 为无理数时，x）=,/（/*）=/（）=1所以V w R,./V（x）=l,故B选项正确.对于C选项，x为有理数时，x +2为有理数，/（x +2）=/（x）=l当x为无理数时，x+2为无理数，/（x +2）=/（x）=0所以/（x +2）=/（x）恒成立，故c选项正确.对 于D选项，若“8C为等腰直角三角形，不妨设角B为直角，则/（演），/（七）/6 3）的值得可能性只能为70，小2）=1，/。3）=或/（占）=1，/5）=0，/6）=1,由等腰直角三角形的性质得k 2 T b 1,所以/（再）=/（w）,这 与

15、/（演）”/（匕）矛盾，故D选项错误.故选：BC.【点睛】本题考查函数新定义问题，考查数学知识的迁移与应用能力，是中档题.本题解题的关键在于根据函数的定义，把握函数的值只有两种取值 ,再结合题意讨论各选项即可得答案.三、填空题12.数列/中，如果存在使得“该 ”1,且 见”成 立（其中 22,k=N ,则4称为-2n2-tn,n 3a 0递减0递增,分别讨论/=-6/-6,-6 f 0是否存在“谷值”，注意运用单调性即可.【详解】解：当 0递 减/，=%=%=，则不存在“谷值”；若，0时,4 ，则不存在“谷直，；若，0时，f=-6,4 =%见 则不存在 谷值，.生%4则不存在 谷值；一6 Z

16、a2%,S2-S.=-x a -h.Hn n-I A n w I n-l nL n n-L i I A L 即 一 ，S=4数 列 包 是以3为公比的等比数列，数列 a 是以4为公比的等比数列，故 也2也T 是以5为公比的等比数列，旦 2=2=述 a2=当 第1个图中的三角形的面积为1时，5=1,即 彳 -,此时“一 亍，一 万，有4 =3条边,n-=-X-Q S=-X-所以 5 I I T人所以5 5(9 j【点睛】关键点睛：本题考查数列的应用，解题的关键是通过找到图形之间的关系，得到等比数列,求数列通项公式常用的方法：（1）由“”与邑的关系求通项公式；（2）累加法：（3）累乘法；（4）两边

17、取到数，构造新数列法.五、解答题17.已知数列应 的首项为2,前项和为邑，且“向=2，+2.（1）求数列“的通项公式；（2）在勺与m之间插入个数，使这+2个数组成一个公差为力的等差数列，若 数 列 满 足c 2-）3一 丁 ”，求数列 0 的前项和.【答案】（1）%=2-3 T仁（+1 ）【分析】（1）由0”与邑的关系化简得a，“=3 a”，再由等比数列通项公式求解,（2）由题意求力，再由裂项相消法求解，【详解】(1)当 22 时，%=2 S“+2,”“=2S“T+2,.,+1-4=2 4,=3%且“=1时，=2%+2=6,.%=3也满足上式4 齐(2)“+1 +1 +12-1 4.3 T _

18、4(2 1 3 in n+(+1)18.已知曲线G：P =x 3和G：y =o x+x-2,(a e R).(1)若曲线C C?在x =l处的切线互相垂直，求。的值；(2)若与曲线G、G在x 二/处都相切的直线的斜率大于3,求”的取值范围._ _ 2【答案】”一 弓(2)。1 或 T【分析】(D根据切线垂直可得在=1处导数值的乘积为-1求解;(2)利用导数计算切线斜率，再由斜率大于3求解即可.【详解】(1)由了=/可得了=3/,由 y =a x 2+x-2,(a R)可 得=2a x +l,因为曲线G、G在工=1处的切线互相垂直，_ _ 2所以占4 2 =(3 x l 2)x(2a +l)=-

19、l,解得“-3.(2)由题意，切线的斜率=3 4=2哄+1 3,可得3片-1 =2。%,且%1或x 0 ,令(x)-3 x X,则函数在(1,+8)和(_ o o,T)上是增函数,所以/?(x)人=2 或 h x)2 或2”-2,解得或a ；当x l 时，h(x)2 j e .e 7 =2,当且仅当x =0 时，等号成立，g G)取得最小值2.因为4 ”2,所以/(占)=g&)=2,得 再=也=0A即,5(0,0)-0 y 0=-(x-0)y x所以直线4 8 的方程为 1-0 即 3.2 0.如图，在四棱锥尸一/8C D 中，底面4 8 8,A D BC,A D L C D,A B 1 A

20、C,C D =2AD=2(1)证明：P B L A C.（2）当P B的长为何值时，直线A B与平面P C D所成角的正弦值为5?【答案】（1）证明见解析3 P B =2 而【分析】（1）由线面垂直的判断定理证明C J平面p/8,再由线面垂直的性质定理即可证明PBA.AC.（2）以/为 原点，AB,AC,/尸分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 一 个，设4P（0,0）,求出平面尸s 的法向量前的坐标，根据直线4 8 与平面PC。所成角的正弦值为，利用向量法可求得产=4,从而可求解PB的长.【详解】（1）证明：因 为 底 面 Z8C。，又“C u 平面/BC D所以尸/L/C,又A

21、BJ.AC,ABPA=At A B P/lu 平面产/所以NC_1.平面p/8,又P B u平面p/B,所以 P 8 J./C；（2）解：因为口，底面Z8C,A B 1 A C ,所以以4 为原点，AB,AC,NP分别为x 轴，F 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系4-X广，因为 4)8C,A D VC D AB 1 A C 9所以 R t 力 B（?s RM。，则/。=方，AB=2小,所以4(0,0,0)8g后,0,0)c(o,V5,o)f 2 V5 4亚 _设尸（，。，则 一【可 了而=e底。,。），P C =仅 6-。设平面pCD的法向量为切=（x,y,z）,而灰=吗+吗）=05=_

22、则 I 沅,P C =J 5 y_ f z =0 ,令x =2,则y=T,一 /一 t Im=2,-1,-所以I t A所以I c o s|=布m AB2 V 54J后5 Z J _ 45丫 t,解得，=4,则PB“阴+4=2几4所以当P 8 =2 卡 时，直线48与平面尸 8 所成角正弦值为2 1.已知数列SC是 等 差 数 列,且*=6 +q,a4+as+a6+a7+as=85（1）求 4 J 的通项公式;（2）设（+1）,求数列也 的前项和几n（3n+1）n【答案】（1）%=3-1；（2）2+1【分析】（1）利用等差数列通项公式将已知条件用即，d 来表示，求出田=2,d=3,由此能求出数

23、列“的通项=3rZ 7 -I d-1 -1-（2）由加 +1 ,利用分组求和及裂项求和法能求出数列 加 的前项和.【详解】设。的首项为由,公差为d.电 +1=6 +%,.%=+6,又 如+。5+4+%+4 8=5。6=8 5,2d=6,a,+5(/=17,解得q=2,d=3,.a”=2+3(-1)=3-11 1“一为（2）：bn=3-1+-n7 7 4-1,1n+1 ,(2 4-3/7-1)/7 1 1 1-+-1-1 1+-22 2 3n”+1(3+1)1-r I-(3+1)n2+12 7 7 +1【点睛】本题考查数列的通项公式和前项和公式的求法，解题时要认真审题，注意分组求和及裂项求和法的

24、合理运用.2 2.已 知 椭 圆 吟.方 过 点 诋 孝）且 离 心 率 居*（1）求椭圆C 的方程;（2）己知4 8 是椭圆C 的左右顶点，动点 满足连接交椭圆于点P,在 x 轴上是否存在异于“、B 的定点。，使得直线BP和直线MQ垂直.2 4-y2=1【答案】（1）4，；（2）存在，（1，0）(V2,)C:+=l【分析】(1)把点 2 代入椭圆 b2 中，结合出A，的等量关系求解即可；(2)设P(x。，为),表达直线4 P 的方程可得%+2 ,设定点03 0),由直线加。与直线PB斜率之积为-1,列式化筒，结合椭圆的方程可得2 伍，).c _ a2-b2 _ 3 2 1 1 t 2 1 1 t【详解】(1)由题意得：。一 2 ,故/一工，即/=4，又/+而 一,故 斤 土 5记 一，X2 2 _ 1、y=1解得=1,故。一=4,所以椭圆方程为4-y=-(x+2)(2)设P&。)，则直线 P 的方程 与+2 ,可得%+2 ,设定点Q(a,O),4%一+5 .：,/MQ PB；-kPB=-1 即 2-a-v0-2 ,乌=-1.亡+y2=g-=y=-L =%-4 2-a 又因为 4,所以 x -4 x0-4 4 故 4 2-a,解得 a=l,故定点为。0 )