2021-2022学年八年级数学下册训练07数形结合之（特殊）平行四边形的动点问题专练（解析版）（苏科版）.pdf

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1、专 题 0 7 数 形 结 合 之（特 殊）平 行 四 边 形 的 动 点 问 题 专 练（解 析 版）错 误 率：易 错 题 号：一、单 选 题 1.（2020江 苏 秦 淮 八 年 级 期 中）如 图，在 矩 形 A BCD中，A B=4cm,A D=1 2 c m,点 P 在 A D边 上 以 每 秒 1cm的 速 度 从 点 A 向 点 D 运 动，点 Q 在 B C边 上，以 每 秒 4 cm的 速 度 从 点 C 出 发，在 C B间 往 返 运 动，两 个 点 同 时 出 发，当 点 P 到 达 点 D 时 停 止（同 时 点 Q 也 停 止），在 这 段 时 间 内，线 段 P

2、 Q平 行 于 AB的 次 数 是（）-4?POJ-A.2 B.3 C.4 D.5【标 准 答 案】C【思 路 指 引】当 QP A B时，由 AP B Q可 得 到 ABQP为 平 行 四 边 形，然 后 依 据 矩 形 的 性 质 可 得 到 A P=B Q,然 后 求 得 A P=B Q的 次 数 即 可.【详 解 详 析】解：当 QP A B时，,在 在 矩 形 ABCD,AD BC,二 四 边 形 ABQP为 平 行 四 边 形，AP=BQ,点 P 运 动 的 时 间=12+1=12 秒,二 点 Q 运 动 的 路 程=4xl2=48cm.点 Q 可 在 B C间 往 返 4 次.二

3、 在 这 段 时 间 内 P Q与 A B有 4 次 平 行.故 选：C.【名 师 指 路】本 题 考 查 了 平 行 四 边 形 的 判 定.注 意 能 求 出 符 合 条 件 的 所 有 情 况 是 解 此 题 的 关 键，注 意 掌 握 分 类 讨 论 思 想 的 应 用.2.（2020江 苏 滨 湖 八 年 级 期 中）如 图，在 菱 形 ABC。中，ZD=135,A。=3 0,C E=2,点 P 是 线 段 A C上 一 动 点，点 F 是 线 段 A 8上 一 动 点，则 P E+P尸 的 最 小 值（）A.2&B.3 C.2A/5 D.A/10【标 准 答 案】D【思 路 指 引

4、】先 作 点 E 关 于 A C的 对 称 点 点 G,再 连 接 B G,过 点 B 作 BH_LCD于 H,运 用 勾 股 定 理 求 得 B H和 G H的 长，最 后 在 RtABHG中，运 用 勾 股 定 理 求 得 B G的 长，即 为 PE+PF的 最 小 值.【详 解 详 析】解：作 点 E 关 于 A C的 对 称 点 点 G,连 接 PG、P E,则 PE=PG,CE=CG=2,连 接 B G,过 点 B 作 BHJ_CD 于 H,则/BCH=NCBH=45。，:.BC=AD=3/2,.,.RtABHC 中，BH=CH=BC-sinZBCH=BC-sinZ45=x=3,2；

5、.HG=HC-GC=3-2=1,.RtABHG 中，BG=2+G，=律 7 7=厢，,/当 点 F 与 点 B 重 合 时，PE+PF=PG+PB=BG（最 短），.PE+PF的 最 小 值 是 J证.故 选：D.【名 师 指 路】本 题 以 最 短 距 离 问 题 为 背 景，主 要 考 查 了 菱 形 的 性 质 与 轴 对 称 的 性 质，凡 是 涉 及 最 短 距 离 的 问 题，一 般要 考 虑 线 段 的 性 质 定 理，一 般 情 况 要 作 点 关 于 某 直 线 的 对 称 点.注 意：如 果 两 个 图 形 关 于 某 直 线 对 称，那 么 对 称 轴 是 任 何 一 对

6、 对 应 点 所 连 线 段 的 垂 直 平 分 线.3.(2021.江 苏 常 州 实 验 初 中 八 年 级 期 中)如 图，在 A BCD中，NABC=45。，B C=4,点 F 是 C D上 一 个 动 点，以 FA、F B为 邻 边 作 另 一 个 A E B F,当 F 点 由 D 点 向 C 点 运 动 时，下 列 说 法 正 确 的 选 项 是()，A EBF的 面 积 先 由 小 变 大，再 由 大 变 小；，A EBF的 面 积 始 终 不 变；线 段 E F最 小 值 为 4起 A.B.C.D.【标 准 答 案】D【思 路 指 引】根 据 题 意，过 点 B 作 B G

7、L C D,交 D C延 长 线 于 点 G,利 用 解 直 角 三 角 形 求 出 B G的 长 度，则 S AEBF=2 S M B F=2 A B,即 可 判 断；由 菱 形 和 矩 形 的 性 质，即 可 求 出 E F的 最 小 值，可 判 断.【详 解 详 析】解：过 点 B 作 B G L C D,交 D C延 长 线 于 点 G,在 rA B C D 中，则 AB CD,.,.ZBCG=ZABC=45,在 R tB C G 中，BC=4,A BG=BCsin45=4 x也=2 0,2,/S A人 r卜.nBrF=2 sixgA nwr=2x?x A B BG=22AB,：A B

8、为 定 值，贝 h A EBF的 面 积 始 终 不 变；故 正 确，错 误;当 EF_LAB时，线 段 E F的 长 度 最 小，二 四 边 形 BGFH是 矩 形，四 边 形 A EBF是 菱 形，二 EH=HF=BG=2/2，*.EF=4 正，线 段 E F最 小 值 为 4&;故 正 确；故 选：D.【名 师 指 路】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形，平 行 四 边 形 的 性 质，菱 形 的 性 质，矩 形 的 性 质，解 题 的 关 键 是 熟 练 掌 握 所 学 的 知 识，正 确 确 定 点 F 的 位 置 进 行 求 E F的 最 小 值.4.（2020 江 苏 江

9、 阴 初 级 中 学 八 年 级 期 中）如 图，在 菱 形 ABCD中，AB=5cm,ZADC=1 2 0,点 E、尸 同 时 由 A、C两 点 出 发，分 别 沿 AB.CB方 向 向 点 B匀 速 移 动（到 点 8 为 止），点 E 的 速 度 为 lc m/s,点 尸 的 速 度 为 2 c m/s,经 过/秒 A O E F为 等 边 三 角 形，则/的 值 为（）A,_【标 准 答 案】D【思 路 指 引】由 题 意 知 道 AE=t,C F=2 t,连 接 B D,证 明 A D EB丝 D F C,得 至 lj E B=FC=2t,进 而 AB=AE+EB=3t=5,进 而

10、求 出 t 的 值.【详 解 详 析】解：连 接 D B,如 下 图 所 示，四 边 形 ABCD为 菱 形，且/A D C=120。,ZCDB=60.C D B为 等 边 三 角 形，；.DB=DC又.DEF 为 等 边 三 角 形，./E D F=60。，DE=DF/.NCDB=NEDFZCD B-ZBD F=ZED F-ZBD F.NCDF=NBDE在 小 ED B和 A FD C中：DE=DF,NEDB=NFDC,：.ZEDB四 FDC(SAS)DB=DC：.FC=BE=2tAB=AE+EB=t+2t=3t=5故 答 案 为：D.【名 师 指 路】本 题 考 查 了 三 角 形 全 等

11、、菱 形 的 性 质 等 相 关 知 识，关 键 是 能 想 到 连 接 B D后 证 明 三 角 形 全 等，本 题 是 动 点 问 题，将 线 段 长 用 I 的 代 数 式 表 示，化 动 为 静.二、填 空 题 5.（2020 江 苏 相 城 八 年 级 期 中）如 图，菱 形 A BCD的 对 角 线 AC、B D相 交 于 点 O,点 H 是 线 段 B C的 动 点，连 接 O H.若 OB=4,S 菱 彩 ABCD=24,则 O H的 最 小 值 是.【标 准 答 案】2.4【思 路 指 引】根 据 菱 形 面 积 等 于 对 角 线 乘 积 的 一 半 可 求 A C,再 根

12、 据 动 点 H 的 运 动 特 点 知 O H最 小 即 O H L B C时，再 根 据 直 角 三 角 形 面 积 公 式 可 求 出 O H的 最 小 值.【详 解 详 析】ABCD是 菱 形，.B 0=DO=4,AO=CO,A C.B D 菱 形 2-4，；.AO=CO=3,.,.BC=7OC2+OB2=5,/当 OH 最 小 时 O H 1B C,S 0 fir=|o B x O C=y B C x O H,.OBxOC，OH=-=2.4BC即 O H最 小 值 为 2.4.故 答 案 为：2.4【名 师 指 路】本 题 考 查 菱 形 的 性 质、菱 形 的 面 积 公 式、直

13、角 三 角 形 面 积 公 式，难 度 一 般.6.（2020 江 苏 灌 云 县 云 湖 实 验 小 学 八 年 级 月 考）如 图，在 四 边 形 A8CD中，AD BC,AD=9m,BC=6 c m,点 P、。分 别 从 点 4 C 同 时 出 发，点 尸 以 勿 m/s 的 速 度 由 点 A 向 点。运 动，点。以 lc m/s的 速 度 由 点 C 向 点 B运 动 设 运 动 时 间 为 r s.当，=.时，PQ为 平 行 四 边 形 的 一 边.【标 准 答 案】2 或 3【思 路 指 引】当 AP=BQ时，四 边 形 APQB是 平 行 四 边 形，当 PD=CQ时，四 边

14、形 PDCQ是 平 行 四 边 形，分 别 求 出 t 即 可.【详 解 详 析】解：根 据 题 意 有 AP=2t,CQ=t,PD=9-2t,BQ=6-t,；AD BC,，当 AP=BQ时，四 边 形 APQB是 平 行 四 边 形，/.2 t=6-t,解 得 t=2,运 动 2 s时 四 边 形 APQB是 平 行 四 边 形，；AD BC,，当 PD=CQ时，四 边 形 PDCQ是 平 行 四 边 形,，9-2 t=t,解 得 t=3,运 动 3s时，四 边 形 PDCQ是 平 行 四 边 形，故 答 案 为：2 或 3.【名 师 指 路】此 题 考 查 了 平 行 四 边 形 的 判

15、定 方 法，熟 练 运 用 方 程 的 思 想 方 法 是 解 题 的 关 键.7.(2021江 苏 苏 州 市 吴 江 区 同 里 中 学 八 年 级 月 考)如 图，菱 形 ABCQ的 边 在 x 轴 上，顶 点 C坐 标 为(-3,0),顶 点)坐 标 为(0,4),点 E 在 轴 上，线 段 E F/X轴，且 点 尸 坐 标 为(8,6),若 菱 形 ABC。沿 x轴 左 右 运 动，连 接 A E、D F,则 运 动 过 程 中，四 边 形 4 3庄 周 长 的 最 小 值 是.【标 准 答 案】1 8【思 路 指 引】由 题 意 可 知 AD、E F是 定 值，要 使 四 边 形

16、ADFE周 长 的 最 小，A E+D F的 和 应 是 最 小 的，运 用“将 军 饮 马”模 型 作 点 E 关 于 A D 的 对 称 点 E i,同 时 作 DF A F i,此 时 A E+D F的 和 即 为 E iF i,再 求 四 边 形 ADFE周 长 的 最 小 值.【详 解 详 析】在 RtACOD 中，OC=3,OD=4,CD=JOCC+QD?=5,：4 3 8 是 菱 形，A D=C D=5,:尸 坐 标 为(8,6),点 E 在 1 轴 上,，EF=8,图 1作 点 E 关 于 A D的 对 称 点 E i,同 时 作 DF A B,则 Ei(0,2),Fi(3,6

17、),则 E iF,即 为 所 求 线 段 和 的 最 小 值，在 RtA AE,Fi 中，EIFI=JEE：+E印=J(6-2y+(8-5)?=5,.四 边 形 49FE 周 长 的 最 小 值=A D+E F+A E+D F=AD+EF+EIFI=5+8+5=18.本 题 考 查 菱 形 的 性 质、“将 军 饮 马”作 对 称 点 求 线 段 和 的 最 小 值，比 较 综 合，难 度 较 大.8.(2020江 苏 常 州 市 教 科 院 附 属 中 学 八 年 级 期 中)如 图，在 矩 形 ABCD中，AB=12,A D=1 0.点 Q 从 点 D 出 发 沿 D A以 每 秒 1个

18、单 位 长 度 的 速 度 向 点 A 匀 速 运 动；点 P从 点 A 出 发 沿 A B 以 每 秒 2 个 单 位 长 度 的 速 度 向 点 B 匀 速 运 动.伴 随 P、Q 的 运 动，直 线 EF保 持 垂 直 平 分 PQ于 点 F,交 射 线 D C于 点 E,点 P、Q 同 时 出 发，当 点 P到 达 B 点 时 停 止 运 动，点 Q 也 随 之 停 止.设 点 P运 动 时 间 为 t 秒(0t6),t=时，E F能 平 分 矩 形 ABCD的 面 积.AP R14【标 准 答 案】y【思 路 指 引】连 接 AC、B D交 点 0,当 直 线 E F经 过 点 O

19、时，E F平 分 矩 形 A BCD的 面 积.作 0 G L A B于 G,OHJ_AD于 H,则 四 边 形 A G 0H是 矩 形，0G=5,O H=6,由 线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 得 出 0 Q=0 P,最 后 由 勾 股 定 理 得 出 方 程 并 解 答 即 可.【详 解 详 析】解：能.理 由 如 下：如 图 所 示，连 接 AC、B D交 点 0,当 直 线 E F经 过 点 0 时，E F平 分 矩 形 A BCD的 面 积.作 OG_LAB 于 G,0H_LAD 于 H,.二 四 边 形 AG0H 是 矩 形，0G=A D=5,0H=1AB=6,/直 线 E

20、 F保 持 垂 直 平 分 P Q于 点 F,/.OQ=OP,14/.52+(2/-6)2=62+(5-/)2,解 得 t=或 t=0(舍 去)，当 t=1?4时，E F平 分 矩 形 ABCD的 面 积.14故 答 案 为：.【名 师 指 路】本 题 考 查 了 矩 形 的 性 质、线 段 的 垂 直 平 分 线 的 性 质、勾 股 定 理 的 运 用 等 知 识，灵 活 运 用 所 学 知 识 和 运 用 方 程 思 想 是 解 答 本 题 的 关 键.9.(2020 江 苏 海 安 八 年 级 期 中)如 图，口 A BCD中，Z DAB=30,A B=6,B C=2,P 为 边 C D

21、上 的 一 动 点，则 2PB+P D的 最 小 值 等 于.【标 准 答 案】6【思 路 指 引】过 点 P 作 PE X A D交 A D的 延 长 线 于 点 E,根 据 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形，得 到 AB C D,推 出 PE=y P D,由 此 得 到 当 PB+PE最 小 时 2PB+PD有 最 小 值，此 时 P、B、E 三 点 在 同 一 条 直 线 上，利 用 NDAB=3 0。，NAEP=90。，AB=6求 出,PB+PE的 最 小 值=3 A B=3,得 到 2PB+P D的 最 小 值 等 于 6.【详 解 详 析】过 点 P 作 P E 1 A

22、D交 A D的 延 长 线 于 点 E,四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形，AB CD,.N ED C=N D A B=30。，/.P E=P D,V2PB+PD=2(P B+yPD)=2(PB+PE),.当 PB+PE最 小 时 2PB+PD有.最 小 值，此 时 P、B、E 三 点 在 同 一 条 直 线 上，V Z D A B=30,ZAEP=90,AB=6,A PB+PE的 最 小 值=，人 8=3,A2PB+P D的 最 小 值 等 于 6,故 答 案 为：6.【名 师 指 路】此 题 考 查 平 行 四 边 形 的 性 质，直 角 三 角 形 含 30。角 的 问 题，动

23、点 问 题，将 线 段 2PB+PD转 化 为 三 点 共 线 的 形 式 是 解 题 的 关 键.10.(2020江 苏 锡 山 八 年 级 期 中)E、F 是 线 段 AB上 的 两 点，且 AB=16,A E=,B F=3,点 G 是 线 段 E F上 的 一 动 点，分 别 以 AG、B G为 斜 边 在 AB同 侧 作 两 个 等 腰 直 角 三 角 形，直 角 顶 点 分 别 为 D、C,如 图 所 示，连 接 并 取 中 点 P,连 结 P G,点 G从 E 点 出 发 运 动 到 F 点，则 线 段 P G扫 过 的 图 形 面 积 为【标 准 答 案】36【思 路 指 引】分

24、 别 延 长 A。、8 c 相 交 于 点 儿 连 接 PH,EH,F H,易 证 四 边 形。GC”为 矩 形，且 尸 为 矩 形。GC”的 对 角 线 交 点，即 P 为 G 中 点，过?作 MN A 8分 别 交 E”、F H 与 M、N,所 以 M N为 的 中 位 线，即 点 P 的 运 动 轨 迹 即 为 MM 所 以 G P扫 过 的 图 形 即 为 梯 形 M E F N,再 根 据 己 知 线 段 求 出 梯 形 MEFN的 面 积 即 可.【详 解 详 析】解：分 别 延 长 A。、B C 交 于 点 H,连 接 P”，EH,FH,：/ADG,G C B为 等 腰 直 角

25、三 角 形，ZDGA=ZCGB=45,ZDGC=90,：.AH/GC,X V Z/C G=90,NHCG=/DGC=90。,：.DG/HB,四 边 形 OGC”为 矩 形，,:点 P 未 D C 中 点,.点 G、P、三 点 共 线，且 P 为 G 的 中 点，过 P 作 MN 于 A 8分 别 交 EH、F H 与 M、N,.MN为”：下 的 中 位 线，旦 M N即 为 点。的 运 动 轨 迹,.GP扫 过 的 图 形 即 为 梯 形 MEFN,V A B=16,AE=,BF=3,/.EF=16-1-3=12,/.MN=EF=6,2过 点，作 垂 直 48 于 0,H O A8=8,2.梯

26、 形 的 高 为：；x8=4,二 S於 MEFN=；X 4 X（6+12）=36.即 线 段 PG 扫 过 的 图 形 面 积 为 36,故 答 案 为：36.【名 师 指 路】本 题 为 动 点 问 题，考 查 了 等 腰 直 角 三 角 形 的 性 质，三 角 形 中 位 线 定 理，平 行 四 边 形 的 判 定 和 性 质 等 知 识 点.解 题 的 关 键 是 寻 找 点 P 的 运 动 轨 迹.三、解 答 题 11.（2021江 苏 常 州 实 验 初 中 八 年 级 月 考）如 图，在 矩 形 A8C。中，ZB=ZC=90,AB=DC=20cm,8c=15cm,点 E 为 AB

27、的 中 点.如 果 点 P 在 线 段 BC 上 以 5cm/秒 的 速 度 由 点 8 向 点 C 运 动，同 时，点。在 线 段 C D 上 由 点 C 向 点。运 动.（1）若 点。的 运 动 速 度 与 点 尸 的 运 动 速 度 相 等，经 过 1秒 后，ABPE与 CQP是 否 全 等，请 说 明 理 由.（2）若 点。的 运 动 速 度 与 点 P 的 运 动 速 度 不 相 等，且 P、。两 点 仍 然 同 时 出 发，当 点。的 运 动 速 度 为 多 少 时，BPE与 CQP全 等？A D【标 准 答 案】（1）全 等，理 由 见 解 析；（2）?厘 米/秒【思 路 指 引

28、】（1）速 度 相 等，运 动 的 时 间 相 等，所 以 距 离 相 等，根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 定 理 可 证 明.（2）因 为 运 动 时 间 一 样，运 动 速 度 不 相 等，所 以 8PWC。，只 有 8P=CP时 才 全 等，根 据 此 可 求 解.【详 解 详 析】解：（1）全 等；Vr=l 秒，：.BP=CQ=5X1=5 厘 米，.矩 形 ABC。中,AB=DC=20cm,BC=15cm,点 E 为 48 的 中 点.PC=BE=10 厘 米，又:./BPE 经 4 C Q P(2).点 0 的 运 动 速 度 与 点 尸 的 运 动 速 度 不 相 等，：.

29、BPCQ,又,：ABPE 会 ACPQ,N B=N C,贝 U 8P=PC,QC=BE=O,而 BP=5f,CP=15-5f,：.5t=l5-5t.,.点 P,点。运 动 的 时 间 秒，10 20/.T=T(厘 米/秒).220点。的 运 动 速 度 为 万 厘 米/秒 时，8PE与 CQP全 等.【名 师 指 路】本 题 考 查 矩 形 的 动 点 问 题，解 题 关 键 是 利 用 速 度 和 运 动 时 间 表 示 线 段 长，关 键 全 等 三 角 形 的 条 件 列 方 程.12.(2021江 苏 滨 湖 八 年 级 期 中)已 知，如 图，在 矩 形 ABCD中，AB=1,8c=

30、2,点 P 是 直 线 8c上 一 个 动 点，连 接 AP,作 于 点 Q.(I)A P-D Q=；(2)以 AP、A Q 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 APMC,当 平 行 四 边 形 APMO 是 菱 形 时，求 P。的 长；(3)连 接。P,以 AP、P为 邻 边 作 平 行 四 边 形 APON,当 对 角 线 PN取 得 最 小 值 时，求 O Q 的 长.备 用 图 B C【标 准 答 案】(1)2；(2)2-g；(3)&【思 路 指 引】(1)利 用 面 积 法 求 解 即 可.(2)利 用(1)中 结 论 求 出 O Q,再 利 用 勾 股 定 理 求 出 A。，可 得

31、 结 论.(3)根 据 四 边 形 A P O N 是 平 行 四 边 形，推 出 P M=M N,可 得 P N=2 P M,根 据 垂 线 段 最 短 可 知，当 PM_L4Z)时，P N 的 值 最 小.【详 解 详 析】解：(1)如 图 1中，连 接。P.图 1；SAPD=S A B C D=g xl x2=1,DQLAP,*.-A P-D Q=,：.APDQ2.故 答 案 为：2.(2)如 图 2 中，四 边 形 是 菱 形,.A P=A D=B C 2,：APDQ=2,在/?/ADQ 中，A Q=A D r-D Q1=衣 二 F=6,：.P Q=A P-A Q=2-6(3)如 图

32、3 中，设 F N 交 4。于 例.图 3四 边 形 A P D N 是 平 行 四 边 形，.AM=OM,PM=MN,：.PN=2PM,根 据 垂 线 段 最 短 可 知，当 时，PN的 值 最 小，此 时 P B=P C=1,*-PA=4 AB?+BP。=0,：DQAP=2,2 厂 加=正=&【名 师 指 路】本 题 属 于 四 边 形 综 合 题，考 查 了 矩 形 的 性 质，平 行 四 边 形 的 判 定 和 性 质，勾 股 定 理，垂 线 段 最 短 等 知 识，解 题 的 关 键 是 学 会 用 面 积 法 解 决 问 题 和 利 用 垂 线 段 最 短 解 决 问 题.13.(

33、2021江 苏 常 熟 市 第 一 中 学 八 年 级 月 考)在 四 边 形 A3CO中，AD/BC,BC1CD,A D=6cm,3 c=1 0 c m,点 E从 A 出 发 以 lcm/s的 速 度 向。运 动，点 尸 从 点 B出 发，以 2cm/s的 速 度 向 点 C运 动,当 其 中 一 点 到 达 终 点，而 另 一 点 也 随 之 停 止，设 运 动 时 间 为 L(1)/取 何 值 时，四 边 形 ER第 为 矩 形？(2)M 是 BC上 一 点，且 B M=4,，取 何 值 时，以 A、M、E、F 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形？4【标 准 答 案】(1

34、)f=4(2)，=4 或【思 路 指 引】(1)当 时，四 边 形 EFCO为 矩 形，列 出 方 程 即 可 解 决 问 题；(2)分 两 种 情 形 列 出 方 程 即 可 解 决 问 题；【详 解 详 析】解：(1)当 OE=C尸 时，四 边 形 EFCD为 矩 形，则 有 6-t 10-2/,解 得 t4,答：t=4s时，四 边 形 为 矩 形.(2)当 点/在 线 段 上，A E=F M 时，以 A、M、E、产 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形，4则 有 t=4-2t,解 得 t=-,当 尸 在 线 段 C M 上，时，以 A、例、E、尸 为 顶 点 的 四 边 形

35、 是 平 行 四 边 形，则 有 解 得 t4,综 上 所 述，f=4或 时，以 A、M、E、F 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形.【名 师 指 路】本 题 考 查 矩 形 判 定 和 性 质、平 行 四 边 形 的 判 定 和 性 质 等 知 识，解 题 的 关 键 是 学 会 构 建 方 程 解 决 问 题，学 会 用 分 类 讨 论 的 思 想 思 考 问 题.14.(2021江 苏 东 海 八 年 级 期 中)如 图 所 示，AD/BC,ZBAD=90,以 B 为 圆 心，BC 长 为 半 径 画 弧,与 射 线 A。相 交 于 点 E,连 接 2E,过 C 作 CF

36、_L8E于 点 F.(1)线 段 BF与 图 中 哪 条 线 段 相 等？写 出 来 并 加 以 证 明：(2)若 AB=8,BC=10,P 从 E 沿 直 线 E D 方 向 运 动,。从 C 出 发 沿 直 线 CB方 向 运 动，两 点 同 时 出 发 且 速 度 均 为 每 秒 1个 单 位.求 出 当，为 何 值 时，四 边 形 EPCQ是 矩 形：求 出 当，为 何 值 时，四 边 形 EPCQ是 菱 形.【标 准 答 案】(1)BF=EA(2)f=4 f=10【思 路 指 引】(1)通 过 证 明 ABC尸 丝 E84可 判 断 8尸=班：(2)EP=t,CQ=t,先 求 出 A

37、E=6,再 判 断 四 边 形 EPC。为 平 行 四 边 形，当 CPLAQ可 判 断 平 行 四 边形 EPCQ为 矩 形，从 而 得 到 6+t=1 0；作 于 H,如 图，当 C O=C Q=E O=/可 判 断 平 行 四 边 形 EPC。为 菱 形，则 利 用 勾 股 定 理 得 到 82+（广 4）凡 然 后 分 别 解 关 于，的 方 程 即 可.【详 解 详 析】解：（1）BF=AE.理 由 如 下：:AD/BC,：.ZC BF=NAEB,在 BCF 和/B F C=4A BE2-A B2=7102-82=6.：EP=CQ,EP/CQ,二 四 边 形 EPC。为 平 行 四

38、边 形，当 CPLA。时，NCPE=90。,则 平 行 四 边 形 EPCQ为 矩 形，此 时 A尸=B C=1 0,即 6+f=1 0,解 得，=4,即 当 f=4 时，四 边 形 EPCQ是 矩 形；作 C”_LA）于“，如 图，当 C P=C Q=E P=/时，平 行 四 边 形 EPCQ为 菱 形,而，P=f+6 T 0=t-4,在 ROHPC 中，82+（?-4）2=凡 解 得=（）,即 当 r=10,四 边 形 EPCQ是 菱 形.【名 师 指 路】本 题 考 查 了 基 本 作 图：熟 练 掌 握 基 本 作 图(作 一 条 线 段 等 于 已 知 线 段；作 一 个 角 等 于

39、 已 知 角；作 已 知 线 段 的 垂 直 平 分 线；作 已 知 角 的 角 平 分 线；过 一 点 作 己 知 直 线 的 垂 线).也 考 查 了 矩 形 和 菱 形 的 判 定.15.(2021江 苏 苏 州 八 年 级 月 考)如 图 1,。是 平 行 四 边 形 A8C。对 角 线 的 交 点，过 点。作 C HO M 1 B C,垂 足 分 别 为“，M,若 O H 2 O M,我 们 称 2=二 二 是 平 行 四 边 形 ABCD的 心 距 比.O M(1)如 图 2,四 边 形 A8C。是 菱 形，则 四 边 形 A8C。的 心 距 比 兀=.(2)如 图 3,四 边 形

40、 A8C。是 矩 形，/4。8=60。，求 四 边 形 ABCQ的 心 距 比 2.（图 4）(3)如 图 4,在 中，ZC=90,AC=BC=3,动 点 尸 从 点 3 出 发，沿 线 段 B C 向 终 点 C 运 动，动 点。自 C 出 发，沿 线 段 CA 向 终 点 4 运 动，P、。两 点 同 时 出 发，运 动 速 度 均 为 每 秒 1个 单 位，连 结 P。以 PQ、A Q 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 AQPE,若 四 边 形 AQPE的 心 距 比；1=后，则 点 P 运 动 时 间 为 秒.【标 准 答 案】(1)1(2)Q(3)2【思 路 指 引】(1)根 据

41、菱 形 的 性 质 可 知 3。平 分 NA5C,根 据 角 平 分 线 的 性 质 可 得=，则 可 得 结 论；(2)根 据 矩 形 性 质 以 及 4 0 5=60。可 得 AAQB为 等 边 三 角 形，设=分 别 求 出 此 时 OH、的 长 度，即 可 求 得 结 果；(3)四 边 形 AQPE对 角 线 交 点 为。，过 点。作 O H L A Q于，O M 1 Q P T M，设 运 动 时 间 为，秒，山 题 意 得：CQ=r,AQ=3T,BP=/,CP=3-r,根 据 勾 股 定 理 可 得 PQ=+，,根 据 平 行 四 边 形 面 积 可 得 AQ.O H=PQ.OM,

42、.2=器=华 且 义=石，代 入 计 算 即 可.2 2 O M AQ【详 解 详 析】解：(1)四 边 形 A8CO是 菱 形，.ZABD=NCBD,V O H 1 AB,O M 上 B C,：.OH=O M,.O H.X=-=I,O M故 答 案 为：1;(2),四 边 形 ABC。是 矩 形，:.A C=B Df.。是 平 行 四 边 形 4 8 8 对 角 线 的 交 点，：OA=OB,ZAOB=60,，AO 3为 等 边 三 角 形，在 他 08 中：OH=dOB。-BH?=0-(/=容,ZABO=60。，二 NOBM=30,O M IBC,：.0M=-0B=-x,2 2二 人 也

43、二 sM I 2(3)四 边 形 AQPE对 角 线 交 点 为。，过 点。作 于 从。加，。于 河,设 运 动 时 间 为，秒，由 题 意 得：CQ=t,AQ=3-t,BP=tyCP=3-t f在 M 尸 CQ中，尸。2=。尸+。2 PQ yj。-1）十 厂,1 Q P E是 平 行 四 边 形,二 AQ.OH=-PQ.OM,.PQPC=A Qf：.O H O M，OH PQ南 一 而,O H P Q 门 石 才 而 且 3.石=J(3 T)2+C,3-z化 简 后 得：/一 8+12=0,即：(r-2)(r-6)=0,解 得：6=2 4=6（舍）,二 心 距 比；1=6，则 点 P运 动 时 间 为 2 秒，故 答 案 为：2.【名 师 指 路】本 题 是 四 边 形 综 合 题，考 查 了 平 行 四 边 形 的 性 质，矩 形 的 性 质，菱 形 的 性 质，勾 股 定 理 等 知 识 点，能 够 正 确 理 解 题 目 中 的 新 定 义，运 用 相 应 四 边 形 的 性 质 是 解 题 的 关 键.