2023届河南省开封市高三第一次模拟考试理科数学试题含答案.pdf

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1、开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学一、选择题：本 题 共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已 知 集 合 卜 弓2 x +l,则 口 是（）A.Vx$R,ex x +1B.WX E R,ev x +1Q e R,eA x +1D.e R,e x 4-13 +4 i3.若z 是纯虚数，则复数z可以是（）A.-3 +4 iB.3-4 ic.4 +3 i D.4-3 i4.已知 B C中，D 为BC 边上一点,BD=且-B C3 ,贝 函=（）A.1 2-A C+-A B3 3B.软+；A Bc.L4 AC+14 ABD.3 一 1

2、-A C+-A B4 45.已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为（）A.G兀B.百兀Tc.扃 D.7 136.如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为（）甲乙9 m2 92 1 00 1 8A.4 B.2 C.0 D.v 2x +y-3 0,x-y +lN O,7.已知则 x+2 y 的最大值为（）A.2 B.3 C.5 D.68.设/（X）是定义域为R 的偶函数，且在P +）上单调递减，则满足/G）I n-(3)证明：2 3 4 n 2 .2 1.如 图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M

3、,N,有一根旋杆将两个滑标连成一体，肋=3,。为旋杆上的一点且在，N两点之间，且ND=A D M 当滑标用 在滑槽跖内做往复运动，滑标N在滑槽G内随之运动时，将笔尖放置于。处进行作图，当彳=1和2=2时分别得到曲线q和G.如图2所示，设E F 与GH交于苴0,以EE所在的直线为x轴，以G所在的直线为N轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线G和G的方程；（2）已知直线/与曲线G相切，且与曲线G交于4 B 两 点,记AO/B的面积为S,证明:S&迎8 .（二）选考题：共 10分.请考生在22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 I:坐 标 系 与 参 数 方 程 （10分）x

4、-2pt2 2 .在直角坐标系P中，曲线c的参数方程为1 =2夕/（t为参数）,G，4）为曲线C上一点的坐标.（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）过点任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C交于点/,B,以直线”的斜率k 为参数,求线段48的中点”的轨迹的参数方程，并化为普通方程.选修45：不等式选讲（10分）2 3 .已知函数/（*）=卜+4+2k一1|.（1）当。=1时，求/G）的最小值；（2）若。0,6 0时，对任意x l，2 使得不等式+1恒成立，证明：/)+开封市2023届高三年级第一次模拟考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

5、有一项是符合题目要求的.=k|-2x 8 l nJ 1 八1,已知集合 1 2 J ,8-1,0,L 2 ,则 406=（）A 2 B T 0 C 0，2 口-l,o,1,2【答 案】C【解 析】【分 析】由 指 数 函 数 的 单 调 性 得 =次 卜 后 由 交 集 定 义 可 得 答 案.-2V 8 2-1 2、2 3。-1 x 3【详 解】2 ,则/=巾1 3 ,又八 T O,1,2 ,则zn八 0,1,2 故选：C2.设 命 题“V xw R,e N x+1,则 已 是（）A.D x R ,ev x+1B.T xw R ,eA x+1Q 3 x G R y eA x 4-1D .w

6、R ,e /3=7 1所以 3 3 3 .故选：B.6 .如图为甲，乙两位同学在5次数学测试中成绩的茎叶图，已知两位同学的平均成绩相等,则甲同学成绩的方差为（）甲乙9 m2 1 02 90 1 8A.4 B.2 C.G【答案】B【解析】【分析】由平均数相等求出加，再求方差.D.O8_ _0_x_2_ _+_ _9_0_ _x_3_ _+_ 9_ _+_ _w_ _+_ _2_+_ _l _8_0_ _x_2_ _+_ 9_ _0_x_3_ _+_ _2_+_ _ 9_ _+_ _1 _+_ 8_ O仙i l【详解】由 5 5 可得,-(22+12+12+22)=2机=8,即甲同学成绩的方差为5

7、、7故选：Bx 4-y -3 0,0,7.已知1 转 /2 0,则 的 最 大 值 为()A.2B.3C.5D.6【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根据简单线性规划求解即可.【详解】作出可行域如图：1y x平移直线 2经过点A时，z有最大值，x+y-3=0由 x-y+1 =0 解得4（1,2）,Z max=1 +4 =5故选：C8.设/（X）是定义域为R的偶函数，且在 0+R）上单调递减，则满足 的X的取值范围是（）A（-8，-2）B（-2,+co）c.（8，1）D.（L+8）【答案】D【解析】【分析】利用/（X）的奇偶性、单调性可得卜一2|771=(1,0,-1)同理可求出平面卬的法向量

8、=(1,0,1),因 为 加=所以团工，因此平面4八/0，平面2 M 8,故正确;因 为 丽=(0,1,0),BD=(-2-2,0)cos MN,BQ)所以丽 函-2阿，眄 1x 74+4V 2V因为异面直线所成的角范围为(，9 0 ,所以直线M N与4 R所成的角为45。，故正确:设 直 线 与 平 面4即所成的角为巴因为=(2,2,2),平面4 N D的法向量为m=(1,0,_ 1),si n 丽讣4+4手*所以 I I I I,所以直线DB与平面AND所成的角不是45,因此错误，一共有3个结论正确，故选：C12.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有

9、限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石.简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数/()，存在点%,使得/(/)=/,那么我们称该函数为“不动点”函数.若函数./(x)=x(a e -In x)为“不动点,函数，则实数的取值范围是()A.S。B.上3 c.(一 刈 D.(一8向【答案】B【解析】【分析】根据题意列出关于X。和a的等式，然后分离参数，转化为两个函数有交点.【详解】由题意得若函数/()=3 一 )为不动点函数则满足/(x。)=%(a e%1鹏)=%,即 a*=In x 0 +1,即设g尸)(In x +l)*-e1-(e1)(l n x +1)e1 ,in x 1A(x)=-l n

10、x-l,A,(x)=-5-0,g G)0 所以 g(x)在(D上单调递增,x l,+8)，Mx)0,g (x)0,所以g(x)在(1，+8)上单调递减,/、l n l +1 1所以g(x x=丁北当x e f 0,j,(l n x +1)0,则 g(x)0 xe f-,+0 0,(l n x +l)0d0,则且 。所以g(x)的图像为:当_ In X o +l (_ 1要想。一 e、。成立，则N=a与8)有交点，所以。一8 x则 一故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3,若函数/（s in 的一个零点为7，则/宿卜.【答案】O【解析】【分析】由题意，利用函数的零点，求得

11、A的值，再利用辅助角公式和两角差的正弦公式化简/俘1”X）,可得7 T 详解函数/（x）=s in x _co s x的一个零点为6,兀）.7 t 7 1 1 .V 3 As in co s =A-=0l 6j 6 6 2 2,/T /（X）=也s in x-co s x =2 s in x-A=0 3,函数 I 6 人故答案为：丘.1 4.已知点（L）,8（2,2）,C为y轴上一点，若-Z,则 在.就=【答案】5【解析】【分析】设利用余弦定理求o点坐标，然后利用数量积的坐标表示求解即可.【详解】设c（o，所 以 眼|=历再5=指，AC=7（0-l）2+（y-0）2=7 1+7 BC=7（0-

12、2）2+（y-2）2=y y2-4y+S，N B A C J BC?=AB?+AC?-2ABACcos-因为 4,所以由余弦定理得 4,即j 2-4 y +8=5 +l +_/-&x V x J l +A 解得y =3,所以。（0,3）,所以/8=(1,2),A C (-1,3)t所以 AB -A C=1 x (1)+2 x 3 =5故答案为：515.3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术.如图所示的塔筒为3D 打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为后的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该

13、塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6 cm,下底直径为 9 c m,高为9 cm,则 喉 部（最细处）的直径为 cm.【答案】4及【解析】【分析】由己知，根据题意，以最细处所在的直线为*轴，其垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，并根据离心率表示出“力之间的关系，由题意底直径为6 cm,所 以 双 曲 线 过 点 用），下底直径为9 c m,高为9 cm,所以双曲线过点代入双曲线方程即可求解方程从而得到喉部（最细处）的直径.2 2-4=1（。0力0）设双曲线方程为a b-由已知可得，a ,且所以4/=从，所以双曲线方程为/4/,底直径为6 c m,所以双曲线过点O

14、”）,下底直径为9 c m,高为9 c m,所以双曲线过点1 2 人代入双曲线方程得：9 m2.-=1a1 4/,Z8 1（口 歹2 卜=29d 4 a 2 ,解得：a =2四，所以喉部（最细处）的直径为4及c m.故答案为：4人.1 6.在数列 ,中，a In-（3）证明：2 3 4 n 2 .【答案】（1）（一 8,-2（2）0 （3）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数法得单调递增等价于/（*）=2 c 一的恒成立问题;（2）由导数法求最值即可；（3）由（2）可得2 s 欣+由导数法证ln(x+l)+x (.19(x)=x-1*+1)卜 一 r i l|sin x7 MX+1)“)v/

15、怛大于0,则 2 ，令 2,3 ,王，不等式左右累加即可证.【小 问1详解】由已知可得：/()=2。一即a 2 c o&r恒成立，又-2 4 2 c o s x 4 2则有-2【小问2详解】+左m殂 g(x)=2 s i nx-x-ln(x +1)g(x)=2 c o&r-1 -由已知可得：J,x+1,令(x)=g()/G)2 s m+(x +1 )2在收万-上单调递减，则有又因为,(。)0,唯卜,所以存词使得“(x)=0.X(0,4)(W)“(X)正负g(x)递增递减g =G-1 V 3 -1 -r-=V 3 0又有 g(o)=,7+1 r1,所以在西，x er0,l 6)上g(x),则g

16、G)在L 6 上单调递增，所以最小值为 g(o)=o.【小问3详解】,2sinx In(x+1)+x I A j 3一4 由(2)可得 ,在1/上怛成,令（x）=x-ln（x+l）,在 句 上）一所以。（X）单调递增且。（）=,所以 xM(x+l)2sinx 21n(x+l),=、口)、从而当x eK口 .sinx ln(x+l)1 1 1x=令 2,3,4，得到 2sin-In-sin-ln-sin-ln-3,12344sin-lnnn+1n.1 .1sin-+sin-+sin-+-+sin-lnn+1相加得:234n221.如 图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标/，N,

17、有一根旋杆将两个滑标连成一体，=。为旋杆上的一点且在M,N两点之间，且ND=Z D M _当滑标在滑槽及 内做往复运动，滑标N在滑槽GH内随之运动时,将笔尖放置于。处进行作图，当2=1和彳=2时分别得到曲线G和0 2.如图2所示，设E F 与GH交于前0,以E厂所在的直线为x轴，以G 所在的直线为N轴，建立平面直角坐标系.（1）求曲线G和G的方程;（2）已知直线/与曲线G相切，且与曲线G交于4B两 点,记AO/B的面积为s,证明:s*G ：+y 2 =_QQ.r2+y2=【答案】4,4（2）证明见解析【解析】【分析】根 据 收=如/,设。G M,（%，）,（O,九）,利用向量等式关系确定坐标转

18、化关系，由lN|=3,即得/2+%2=9,按照坐标代换可得x,y所满足的方程，最后取2 =1和丸=2,即可得曲线G和G的方程；（2）根据直线/与曲线相切，且与曲线G交于4,8两点，讨论直线/的方程情况，按照面积公式分别求证即可.【小 问1详解】解:由题意，ND=4DM,设。G M,&,0）,N（O,九）,所以=一羽一丁），（J一）=&7，一N）,X =彳（工0 -x）卜 为，（一切解得(1+6、。一二y0=(l+A)y又因为1叩所以=9,(1 +A)2x2-落+(1+4)2/=9由则C:x2+y2将4 =1和几=2分别代入，得-4.C22:4+，/=1【小问2详解】l:x=-解：直线/斜率不存

19、在时，2代入G方 程 得 闷 邛，所以5=平网 _ 3直线/斜率存在时，设：y=b+m,/与曲线a相切，所以J 7+1 2,即nr9(公+1)4联立2X 2 i二+歹=L4y =h+加，可得(1 +4女-一+8kmx+4 /-4 =0,5由 =64%2 m 2 1 6(1 +4 3)(/M2-l)0 得 后 一 ,-8km所/+2=由，2于是得4 G/i)1 +4左 2AB=J 1 +左 -X2|=J+2 J(X|+W)2 _ 4 X|X2 =24+kW H-5l+4k24（7/+2%2-5）AB|2=-11 6/+8公+1 ,4（7rt+2左2 5）7 _ 2 4左2 8 7 0m1 6G+

20、8 F+1 -4 4（16/C4+8JC2+1）因为7 AB S迎 S 2所以 2,8 ,综合可证，8 .（二）选考题：共 10分.请考生在22 23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修 I：坐标系与参数方程|（10分）x=2pt22.在 直 角 坐 标 系 中，曲线0的参数方程为1歹=2 0”（/为参数），（2 4）为曲线C上一点的坐标.（1）将曲线C的参数方程化为普通方程；（2）过点。任意作两条相互垂直的射线分别与曲线C交于点/,B,以直线”的斜率k为参 数,求 线 段 的中点”的轨迹的参数方程，并化为普通方程.【答案】（1）/=y 2%2 =y-l【解析】x=2pt【分

21、析】（1）根据曲线C的参数方程为 =2夕/（/为参数），消去参数 求解;1_ y=x（2）设。/的 斜 率 为 左,方 程 为 则 8的方程为：k,分别与抛物线方程联立，求得4 8的坐标，再利用中点坐标求解.【小 问1详解】x=2pt。，b 0时，对任意使得不等式+1恒成立，证明:(1 Y(1 Ya+-+b+-2,2)2).【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)分段求解/(X)的最小值和范围，即可求得结果；转化一1为-3X+3,结合二次函数在区间上的最值，利用不等式，即可证明.【小 问1详解】当 4 =1 时，/()=|x+l|+2|x-l|当 XV-I,/(x)=3x+l,/(x)m i n =/(T)=4当/(x)=-x+3,/(x)e(2,4)当 x2 l,/(x)=3x-l,/(x)m j n=/(1)=2.当a =l时，/(X)的最小值为2.【小问2详解】。0,b0,当 时，卜+司+2k7/_ 1可化为a +8x2 _ 3x+3,令”x)=x2 _ 3x+3,问1,2 ,(立。(1)=妆2)=1 一”+61.(a +g)+(g)=a2+b2+a +b+-+a+b+f当且仅当。=6时取得等号；(a+42+a+6+-2 2又当。+6 1时,+2；2