2022-2023学年广东省广州市高一年级上册学期期末数学试题2含答案.pdf

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1、2022-2023学年广东省广州市高一上学期期末数学试题一、单选题1,已知集合=N吨I x 4 7 ,则“U N=（）Ax|-2x7 B x|lx5cx|-2x7 D *|14x5【答案】C【分析】根据并集运算求解即可.【详解】因 为=H X5,N=xl扬，成立是“a b 0”成 立 的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】求出不等式的等价条件，根据充分条件和必要条件与不等式的关系进行判断即可.【详解】由&加 得a b20,则a 6 2 0是a b 0的必要不充分条件，故选：C.3.若扇形的弧长为8 cm,圆心角为2弧度，则扇形的面积

2、为（）A.87rcm2 B.8cm2 Q 16cm2 9 167tcm2【答案】C【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出答案.【详解】设扇形的弧长为/,圆心角为扇形的弧长为8 cm,圆心角为2弧度，即/=8,a=2,:l =ar,可得/=4,S=/,=x8x4=16fcm2）,该扇形的面积 2 2 V 故选：c.cos-n-a4.已知以原点为顶点，x轴的非负半轴为始边的角a的终边经过点R3,-4）,则 12 J的值等 于（）34_3_4A.5 B.5 C.5 D.5【答案】B【分析】根据三角函数的定义确定sina的值，再结合诱导公式求解即可.-4 4sin a=i=【详解】解：角a的终边经过点

3、尸（3,-4）,则*2+（-4），（31.4所以12 J 5.故选：B.5.已知实数a,6满 足/+=。6+1,则6的最大值为（）A.1 B.2 C.4 D.2【答案】B尸【分析】利用基本不等式。力时，4，构造基本不等式，求 出 的 最 大 值【详解】因 为/+/=必+1,（a+=3ab+l a +b+1所以 4,可得（+6）2 4 4,即。+%2,所以a+人的最大值为2,当且仅当 =6=1时，等号成立故选:B.6.在人类用智慧架设的无数座从已知通向未知的金桥中，用二分法求方程的近似解是其中璀璨的一座.已知A为锐角A/8 C 的内角，满足sin/-2cos+tan4=l,则（）【答案】C【解析

4、】设设/（）=s i n -2 c o s +t a n -l,则/在 1 ，引单调递增，再利用零点存在定理即可判断函数 ()的零点所在的区间，【详解】因为A为锐角”8C的内角,设/(4 )=s i n /-2 c o s 力 +t a n 力-1 贝 /(0)=s i n 0-2 c o s 0 +t a n 0 -1 =-3 0在 2)取*得/4/f s i n -2 c o s+t a n -1 =V3 J 3 3 3乃、J八也即是方程s i n “-2 c o s /+t a n /=1 的根所在的区间.满足s i n 4-2 c o s/+t a n 4 =l,J()在1 万)单调递

5、增，2 c o s +t a n -1 =-。2s i n J -2 c o s A+tan A-I囚 力 、，7,也 以“即满足$出/-2 8 5/+1 2 1 1/=1 的角/1 4 3 人故选：c【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是令（A判断函数的零点所在的区间.7.已知函数/（x）=s i n 2 x c o s g +c o s 2 x s i n s（xcR）,HJ奇 忌 仅 丁IAI用、/，:s i n J-2 c o s J +t a n J-l；根据零点存在定理/（x）/f 1其中。为实数，且 1 9J 对任意实数R 恒成立，记A%人A.rpqC.pqr【答案】C【分析】利

6、用和角的正弦化简函数”X），答.详解 /（x）=s i n 2 x c o s e +c o s 2 x s i n e 二_ 2 兀x=2则当 9时，/（X）取得最大值，因此r=/伊1 6 1,则p、q、/的大小关系是（）B.qrpD.qpr再求出夕的表达式，然后利用正弦函数单调性比较大小作=s in（2 x +。），因为，。），（9 ）对任意实数R 恒成立，2 7 1 7 1 ._ C 7 兀 7 r 7:x +0=2 攵 兀+,攵 G Z 0=2&兀 +,k G L92 ,即3 18.31K./5兀、q=s in-=s in(-)18 18,=s in(2 x +),%G Z.43花 .

7、7兀r=s in-=s in 1818,.2 5T I.7兀 ./7K.p=s in-=-s in =s in(-)18 18 18,兀 7兀 5兀 77 i 兀 -显然 2 18 18 18 2,r兀兀 Z 7兀、/5兀、*/7兀、.I J s in(-)s m(-)s m()正弦函数夕=s】n x在2 2上单调递增，即有 18 18 18,所以P”.故选：C8.已知定义在R上的函数 x）满足：/（X）为奇函数，/G+1）为偶函数，当0 0 4 1时,x）=2 T,贝 （1。比2 02 3）=（）9 9 9 2 5 102 4 512A.-102 4 B.-2 048 C.-2 02 3 D

8、.一 频【答案】A【分析】由/G）为奇函数，/（x +1）为偶函数可知/（龙）为以4位周期的周期函数，且关于（2%，求eZ点对称，关于x =l +2%,%e Z轴对称，利用周期性与对称性可化简/(l o g22 02 3)=-2 02 3102 4代 入 八）=2 1即可得出答案.【详解】因为/（X +1）为偶函数,所以/（x+l）=r+l）,所以/（r）=x +2）,又/为奇函数，即/(-x)=-/(x)所以-/(X )=/(X +2 )n/(X +4)=-/(X +2 )=/(X )所以/（“）的周期为4,故选：A.【点睛】本题综合考查了函数的周期性与对称性，属于难题.解本类题型一般可借助

9、正弦曲线与余弦曲线帮助我们理解其对称性与周期性.9 .净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的P P 棉 滤 芯（聚丙烯熔喷滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质.假设每一层尸产棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为50m g/L,若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5m g/L,则尸P 棉滤芯层数最少为（）（参考数据：收2=0.30,lg3=0.48）A.9 B.8 C.7 D.6【答案】B50 x俏 l 时，f(x)=2x-2t 函数/(x)单调递增,g(x)=|2-，-2|

10、,当 2T一 2-l 时，g(x)=-2-，+2,函数 g(x)单调递增，故当，=2 时，满足函数X)与函数g(x)在区间 1,2 上同时单调递增，故排除C,D,若朗=1 时，x)=|2-l|,当2,一 10时，即x 0 时，/(x)=2-l 函数/(x)单调递增,g(x)=|2-，-l|,当 2 10 时，g(x)=-，-l,函数 g(x)单调递增，故当机=1时，满足函数八刈与函数8口)在区间口，用上同时单调递增，故排除8,其图象为故选：A.C.=二、多选题1 1.下列化简正确的是()21 log2 3 _ 2B.3有D.%=占【答案】BC【分析】将根式转化为分数指数基，结合对数运算性质得到

11、正确答案.【详解】行7 =疗=3口=3 3,人错误；72,_|OJ?23 _ 2:2喻3 =2 3=3,B 正确；1,-1/（5，秒=的）=9，=92=近I J I）,C 正确；x 可得到x 0,从而 x x,D错误.故选：BC （x+2,x-1/（外=2.、12.已 知函数 x-+L T x 2,关于函数x）的结论正确的是（）A./（X）的定义域是R B.X）的值域是（f，5）C.若 f（x）=3,则 x 的值为&D./（T）=2【答案】BCD【分析】根据分段函数的解析式，结合一次函数、二次函数的单调性，运用代入法逐一判断即可.【详解】A：函数的定义域为（Y，2）,所以本选项不正确；B：当X

12、V-1 时，=当-l x 2 时，”x）mm=O）=l,/（-I）=2 J（2）=5,所以有 1 /（x）x+2=3=x=l,不符合x 4 T；当-l x X2+1 =3=X=V 2 或x=_及 不符合7 c x 0M 0,0 9 兀）的部分图象如图所示，则（）C./（X）的图象关于点（2 2 2,0）对称D.2 x）在R,4 上单调递增【答案】A B D【分析】A选项，由图象得到力=1,4 ,求出T =8,4,再 代 入 结 合 。兀求出 4,求出函数解析式，计算出 2 ,AB正确；将2 0 2 2 代入解析式,2 0 2 2）=s i n（）=-也 工 x +M|”史 一利用诱导公式求出

13、2 ,c错误；整体法求出2 4 L 4 4，结合正弦函数图象，得到其单调递增，D正确.1 7 =3-1 =2【详解】从图象可知：4 =1,4 ,解得：7 =8,(o=-=-/(x)=s i n 住 x +w即 8 4,则 1 4/、s i n +(p=1将(甲)代入解析式，得1 4 J ,71 7 1 5 71-V (p -因为0 0 【详解】A 选项：函数/（*）=J（a +l*+x-a（a e R）,当0 时，即 一 时,其定义域为R，故 A选项正确；B选项：当。+1 0,即“-1 时，函数-（+6 +厂 在 I 2 a+2 J 上单调递减，在1 2 a+28）上单调递增，故一 2 4 +

14、2 ,且/（O）=G*O,即-1 T时，/（X）在 尸-1 或、一。+1 时取最小值为0；故 C选项正确；D选项：当 彳 时，其 值 域 为 叱），X=_ _!_当且时，/G）在X _ _ 2.+2 时取最大值为12。+2-4 a2-4 a-I%。+1),其值域为0,4 a2 4 a 14(t z +l)，故 D选项错误;故选：A B C.x =2 E f（x）=a15.函数x）=as i n x +bco s x,触.0）的图象关于.一 7对称，且 八 。尸 S，则（）A.452 42 5【答案】A C D_兀 分析将/（x）=as i n x +bco s x,（M/0）化简，结合其图象关

15、于*一 不对称,|/()|=V777可得 6厂 f G o）=_ Q s i n /+；=一化简得6 =1 3 a,故 结 合 5 ,根据辅助角公式化简可得 I 3 J 5,判断A；利用诱导公式即可判断C;利用二倍角余弦公式可求得72 5判断B;结合诱导公式判断D./(x)=a s i n x+6 co s x=y/a2+b2 s i n(x +(p),(s i n (p=/,co s (p=,a)【详解】由题意知函数 y!a2+b2x I_t函数/(x)=a Si n X +6 co s x,(ab X )的 图 象 关 于-6 对称,|/()|=a2+h2 a+-b=-la2+b2则6 ,

16、即12 2 ,化简即得（G o-b f又即 f(xQ)=a sin 与+力 cos xQ=a sin xQ+也a cos x0=2asin(xo+|)=|s i n+J：J J,即 /A 正确;cos|-x0|=cos -(x0+)=sin(x0+)=C 正确；B 错误;sinsin -(y-2 x0)=cos(y-2x0)=(D正确,故选：AC D,f（x）=cos2x+|V3sin2x|1 6.已知函数 1 2I则（）1 3一 一 十 一2 27 1A./（X）的最小正周期为5_ 尿/,y B.x）的图象关于直线x-万，,对称一 19 兀 11C./G）在112 6 上单调递减D.g（x）

17、=/（x）7在 卜55兀，5。5向上的零点个数是 4041【答案】BCD【分析】赋值满足最小正周期的数即可判断A；利用对称轴的定义对B 选项判断；根据区间把函数/(x)=2变形为cos 2x+I 3,利用余弦型函数的单调性可判断C 选项;先分析/（x）的周期和奇偶性，再分析8（“）在一个周期的零点个数，进而可以判断D.【详解】对于A,4 兀 F T .471cos-F 5/3 sin 3 3=1兀即一（X）最小正周期不是5,故 A 错;对于B,kit）_（E +x=cos 2 x+kn22kitVJsin2 x+2（k e Z）=|cos（2x+E）+|/Jsin（2 戈 +ZTI）|=|co

18、s（2x+7t）+|/3sin2x|f+G sin 2（与-x（h Z）=|cos（kn-2x）+|V3sin（kit-2x）|=|cos（2x-E）+|V3sin2x|=|cos（2x-4兀+2%兀）+=|cos（2x+AT T）+|V3sin2.r|kux_ knX 2,%eZ 是/(x)的对称轴，B正确:VXG对于c,19 兀 11 7 CI T T2x G19K 1 IK.sin 2 x 03 2 I 3j，/（x）=2cos（2x+g t=2 x+-0,g（x）=|co s 2 x +s i n 2 x|-1 =2 co s-1=0_兀 _兀解得或*=5 或x =o；XG,7t r当

19、 L 2 J时，2 x e 7 t,2 n）,s i n 2 x o；,.g（x）=|co s 2 x-V 3 s i n 2|-l=2c os2x+y -1 =0_ n _ 2兀解得或x =7；当=兀时，也符合题意；综上，g（x）在 0户 有4 +1 =5 个零点，.8（）在 ，5。5 兀）上的零点个数有4*5 05 =2 02 0,g。）在57 t*5 兀）上的零点个数有2 x 2 02 0=4 04 0g（x）在卜5 05 兀,5 05 兀 上的零点个数有4 04 0+1=4 04 1D 选项正确.故选：B CD三、解答题1 7.已知函数.2-x求函数/（X）解析式；（2）判断函数/（X

20、）的奇偶性并加以证明;解关于x的不等式/（x）N电3 .【答案】（1/3=.x e（-l,l）（2）奇函数，证明见解析-x 3 21 2 0则1-x ，化 简 为I,(2 x-l)(l-x)0即 I,-X 1解得2/,（x）=s i n 2 t y x -V J co s2 cox+_-（0）1 8.已知函数.2 2 ,其图象的相邻两条对称轴之间的距离为7 VI.（1）求函数/（X）的解析式及对称中心；（2）将函数/（X）的图象向左平移12个单位长度，再向上平移5个单位长度得到函数g（x）的图象,n 2 T一若关于x的方程 g（x）F+（加+2）g（x）+2 m =在区间16 3 上有两个不相

21、等的实根，求实数加的取值范围.【答案】（1）/(x)=V 3 s i n (2 x-专H对称中心k7l 71 1 T+n92/rj、-3 m/Z).(2)2f (x)=sin 2a)x-百【分析】(1)先将 21 +cos 2a)x+百 -122,转化为f (x)=VJsin(71Z.COX-6_27t再利用图象的相邻两条对称轴之间的距离为5,求得周期，进而可求得解析式与对称中心.根据图象变换得到g(x)=s i n 2 x,再将g(x)f+G +2)g(x)+2w=0,转化为g(x)+2g(x)+?=0,解得 g(x)=-2(舍)，g(x)=一叫 再将问题转化y=g(x)二 一机有两个不同交

22、点的问题求解./(x)=sin2x 1 +cos 2cox 6-1-+-2222=G sin 2妙一：)一2271V 图象的相邻两条对称轴之间的距离为：.T =7T,69=1/(x)=6 s in(2x 一高一;2c 4，kTl 7T2 X-=K7T X=+由 6 k Z 得 2 12,A:GZ 对称中心k7U 71 1T+T 2，-2,(*eZ)(2)g(x)=6 sin 2 x由g(x)F+(加 +2)g(x)+2加=0,，g(x)+2g(x)+m=。，g(x)=-2(舍)，g(x)=-tn问题转化y=g(x)y=m有两个不同交点.V X G 当XG当n 2一,一冗6 32x e71 4一

23、,一兀3 371 71时，g()递增,71 27Vg(x)此时 时，g(x)递减，此时|,6如)一|,石33 一 加 石 一百m由图象知：2，即 2【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.如图，风景区的形状是如图所示的扇形Z 8 C 区域，其半径为2千米，圆心角为60”,点尸在弧B C上.现欲在风景区中规划三条商业街道PQ,PR，RQ,要求街道P Q与A B垂直（垂足。在 Z8 上），街道H?与 48 平行，交 ZC 于点R（1）如果P为弧8 c的中点，求三条商业街道围成的A P O R 的面积：（2）试求街道RQ长度的最小

24、值.百 病_ 6【答案】（I）（2）最 小 值 为 一 3 一 千 米.【分析】（1）结合已知角及线段长，利用锐角三角函数定义及扇形面积公式可求；（2）由已知结合锐角三角函数定义及勾股定理可表示R。，然后结合同角平方关系，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数性质可求.【详解】连接“尸，过 R作垂足为D（1）当尸为弧8 C 的中点时，N P/Q =3。，在/尸。中，AP=2,尸。：。，故尸。=1,/。=百，在/?）中，RD =PQ=l,NRAD=6Q。,所 以 茄 S6 0=G,则 仞=行，RP=D O=4 i-=所以 3 3,S=-P Q R Q =在直角三角形P R Q 中，P Q R 的面

25、积 2 3 .c=ta n 60 0=x/3 AD =sin 0 R P=D Q =2 cos0-s i n 0又 ，则 3 ,所以 3RQ2=PR2+PQ2=(2 c o s 0-s i n 0)2+(2 s i n 0)2在直角三角形P R。中，3=-(c o s 2 0+2 /3 s in 2 0)=-2 1 1.s in(2 +q )ta n p=p)3 3 3 3 ,其中 20 0 (p2 0+(p +(p因为 3,所以 3八 共0 0 0且,1，壮 勺,“刈是定义在尺上的奇函数.求”的值；3（2）已知/=5,函 数 如）=於+尸,-（乃*1,2 求8（力的值域；（3）若0 b/7（

26、X）=（刈,对任意x e pH+1 ,不等式例x +Q 4囱MT恒成立，求实数A的取值范围.:1 7 （3 2,co,-【答案】（1）（2）L 1 6；（3）1 4.【分析】（1）由奇函数定义性质求得无，并检验函数为奇函数；/,=3（2）由,-2求得。=2,换元，=2 1 2-,求得f的取值范围，g（x）转化为，的二次函数后可求得最值，得值域.a ,h（x）=a-|/（x）|=（3）计算出 优，为偶函数，确定其单调性，计算g（x）F=（2 x）,这样不 等 式+4”（2 x）可利用奇偶性与单调性化简为B M -4(2 -2-)+2令 f =2、-2 T(1 4x 42)易 知 皿x)在1,2

27、上为增函数，一3 1 5/.t 一,-2 4g(x)=(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2_ 1 5 1 7当4时,g(x)有最大值1 6；当，=2时,g(x)有最小值-2,-2,12g(x)的值域是L 1 6a l,A(x)=a1 r 1-|/(x)|=P ,X-0,由,x 0,a2x,x0,a2x,x0,:.h(x+A)h(x)=h(2x)对任意x e曰 +1 恒成立，即|2 x|4卜+4对任意x e /M+”恒成立,平方得:3-2心-万V 0对 心e俱,4+1 恒成立,134 24 丸 一 兄“W 0,3(/l4-l)2-22-(2+l)-r 04 解得：4综上可得:4 的取值范围是30 0,-4【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，指数函数的性质，用换元法求函数的值域，考查不等式恒成立问题.解题中紧紧抓住所用方法：用换元法化简函数、方程，用奇偶性化自变量为函数的同一单调区间，用单调性化简不等式.