2022-2023学年广东省信宜市高二年级上册学期期末数学试题及答案.pdf

《2022-2023学年广东省信宜市高二年级上册学期期末数学试题及答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022-2023学年广东省信宜市高二年级上册学期期末数学试题及答案.pdf（19页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、2022-2023学年第一学期期末考试高二数学本试卷共6 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位量上.2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题(共

2、60分)一、单项选择题：共 8 小题，每小题5 分，共 40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线x=的准线方程是()B.x=41D.x=-16【答案】C【解析】【分析】化为标准形式求解即可.【详解】解：X=2y2可化为y2=/x,所以抛物线x=2y2的准线方程为x=O故选：C2.a=(1,-1,3),=(-l,4,-2),c =(l,5,x),若 三 向 量 共 面，则 实 数%=()A.3B.2C.15 D.5【答案】D【解析】(分析】利用向量共面sn坐标运算进行求解即可.详解】:a=(1，-1,3),=1,4,-2),，.与不共线,又,：a、b、6三向量共面

3、，则存在实数?，拉使C=+m-n=即 /3 +1 nA.-D.-v.-U.2 2 47 5 +14【答案】B【解析】【分析】表示出各点坐标，由N A B b =9 0 可得区4.3尸=0,得出。力,。的等式，变形后可求离心率.【详解】由题意 1（一。,0）,8（0,烧F（c,0）,则 B A =（a,b）,B F =（c,b）,ZABF=90,BA B F-ac+h2=0 即。2一。2一。=0，可得（+i=o,a a.e =或土史（舍去）.a 2 2故选：B.6 .设。，b为 实 数,若直线以+刀=1与 圆/+y 2=1相交，则点尸（。力）与圆的位置关系 是（）A.在圆上 B.在圆外 C.在圆

4、内 D.不能确定【答案】B【解析】【分析】根据直线与圆的位置关系，求得。力满足的关系式，结合点与圆位置关系的判断方法，判断即可.【详解】根据题意1yfa2+b21，故点P（a,。）在圆f +y 2=i外.故选：B.7 .如图，在 _ _ABC中，AC,AB所在直线方程分别为4 x-3y 13=0和3x+4 y-16 =0,则/A的角平分线所在直线的方程为（）A,x-7 y +3=0 B.7 x+y-2 9 =0 C,x-y +3=0 D.x+y 5=0【答案】A【解析】【分析】求出A点的坐标，根据题意可得A B 1 AC,设/A的角平分线所在直线的倾斜角为a,直线AC的倾斜角为 夕，从而可得t

5、an a=tan（尸 4 5。），再根据直线的点斜式方程即可得解.【详解】解：联立口；,八，解得，即A（4,l）,3x+4 y-16 =0 y=l 7因为4 x 3 3x 4 =0,所以AB1 AC,即/R 4 c =9 0 ,4设NA的角平分线所在直线的倾斜角为。，直线AC的倾斜角为 夕，贝h an 4=,则 tan a=tan（0-4 5）=-=,1 4 73即ZA的角平分线所在直线的斜率为1，7所以NA的角平分线所在直线的方程为y -1=4）,即x 7 y +3=0.故选：A.8.已知数列 为 是 以1为首项，2为公差的等差数列，也“是 以1为首项，2为公比的等比数列，设c,=,Tnc+

6、c2+c“(eN*),则当骞2 0 2 2时，的最大值是()A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】先求出数列 4和 2的通项公式，然后利用分组求和求出力,，再对“进行赋值即可求解.【详解】解：因为数列 4是 以1为首项，2为公差的等差数列所以 a”=l +(-l)x 2 =2-l因为也,是 以1为首项，2为公比的等比数列所以a=2小由%=%得：cn=2b,-1 =2n-lTn=c,+c2+c,(eN*)=(2 +22+23+2 )-2(1-2 )=-n1-2=2向_ 一2当7；2 0 2 2时，即2向 一-2 2 0 2 22+2 0 34所以的最大值是9.故选：B.【点

7、睛】关键点睛：本题的关键是利用分组求和求出7“，再通过赋值法即可求出使不等式成立的的最大值.二、多项选择题：共 4 小题，每小题5 分，共 20分.在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求.全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.直线丁=以 一3。+2(。/?)必过定点(3,2)B.直线y =3x 2在y轴上的截距为2C.直线百x+y +1=0的倾斜角为6()。D.圆f +丁=5的过点(一 1,2)的切线方程为x-2 y +5 =0【答案】A B D【解析】【分析】选项A将直线化为点斜式可判断；选项B根据截距的定义可判断；选项C先求出直线的

8、斜率可得倾斜角从而判断；选项D先判断点在圆上，然后由切线的几何性质求出切线方程，从而判断.【详解】选项A.直线y =o x-3a+2化为y-2 =a(x 3),所以直线过点(3,2),故正确.选项B.直线y =3尤2在y轴上的截距为 2,正确.选项C.直线6x+y+l =()的斜率上=-6,倾斜角为12 0,故不正确.选项D.由(一1+2 2=5,则点(-1,2)在圆V +y 2=5上所以圆f +V =5的过点(一 1,2)的切线的斜率为g,所以切线方程为y 2 =；(x+l),即x-2 y +5 =0,故正确.故选：A B D2 210.已知曲线C的方程为一+二 一=1(左e R,且左片2,

9、k w 6),则下列结论正确k-2 6-k的 是()A.当我=4时，曲线C为圆 B.若曲线C为椭圆，且焦距为2万，贝必=5C.当我 6时，曲线C为双曲线 D.当曲线C为双曲线时:焦距等于4【答案】A C【解析】【分析】写出当&=4时的曲线方程，即可判断A;分情况求出当曲线表示椭圆时k的值，可判断B；当人 6时，判断k一2,6一左的正负，即可判断C;当曲线C为双曲线时，确定k的范围，求得焦距，可判断D.2 2【详解】当出=4时，方 程 为 三+汇=1,即f+/=2,表示圆，故A正确；2 2若曲线C为椭圆，且焦距为2及，则当焦点在x轴上，2 6 左 0且左一2 一 (6 左)=2,解得=5；当焦点

10、在y轴上，6 A%2 0且6 一(左2)=2,解得左=3 ,故此时=5或 攵=3,故B错误；?2当 2时，一2 0,曲线+工=1表示的是焦点位于y轴上的双曲k-2 6-k线；2 2当A6时，-20,6 0,曲 线 工+工=1表示的是焦点位于x轴上的双曲k-2 6-k线；故C正确；当曲线C为双曲线时，伏-2)(6 6 0 ,即攵 6,当女 6时，左一2 0,6 左 反，所以一AFG的周长L=FG+4 0 =4+4及，故 B 正确；对于 C,AB=OB+OA=2+OA,4WABW2+2 0，故C正确；对于D,设A B所在直线方程为y=由椭圆性质可知2WQ4W2、/，所以*y=kx r-联 立 任+

11、=1可得乙=心+/14 8y=kx 1 联 立，可得与二士、二,x+y 2=4 B 5+%2则 SAABF-S A O F +SOIiF-2|O F II x j +2 1 O F II 1-J显然当江2 NO时，函数y=匚丁+是减函数,所以当人=0时，S。/有最大值4,故D错误.故选：B C第二部分非选择题（共90分）三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.法国数学家蒙日（M o g e/7 4 6-1 8 1 8）发现：双曲线F：条互相垂直切线的交点P的轨迹方程为：x2+y2=a2-b2,8 1 42+k2+l +k2 2 2 7 =l（ah0）的两这个圆被称为蒙日圆.若某双2曲

12、线1 y 2=i（a o）对应的蒙日圆方程为/+y 2=3 ,贝|。=.【答案】2【解析】2【分析】根据题意写出双曲线 一 2=1（。0）对应的蒙日圆方程，可得出关于的等式，即可求得正数的值.【详解】由双曲线、y 2=i（a o）的方程可得从=i,a丫2由蒙日圆的定义可得双曲线与y 2=（q 0）对应的蒙日圆方程炉+,2=3,所以a2 b2-3 ）即 a?1 =3，可得a =2.故答案为：2.1 4 .在1和9之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于.【答案】27【解析】【分析】设公比为0,利用己知条件求出然后根据通项公式可求得答案【详解】设公比为0，插入的三个数分别为生，4

13、，4，因为4=1,%=9,所以/=9,得4?=3,所以生小，包=%q a4 =a：（q2）=33=27 ,故答案为：271 5 .已知等差数列 凡 满足4+4=6,请写出一个符合条件的通项公式a,=.【答案】3 （答案不唯一）【解析】【分析】由已知条件结合等差数列的性质可得4=3,则4+3 d =3,从而可写出数列的一个通项公式【详解】因为%拈等差数列，且4+4=6,所以2a 4 =6,a4=3.当公差为。时，。“=3；公差为1时，an=n-i.故答案为：3 （答案为唯一）2 21 6.已知过椭圆E:二+上 一=1（机 5）上的动点P作圆C （C为圆心）：m m-1V2x+y 2=0的两条切线

14、，切点分别为A,8,若NA CB的最小值为胃，则椭圆E的离心率为.【答案】g【解析】【分析】由椭圆方程和圆的方程可确定椭圆焦点、圆心和半径；当Z4C3最小时，可知Z A C P =|,此时|尸。|0血=2；根据椭圆性质知|P C Ln=而 一1，解方程可求得？，进而得到离心率.【详解】由椭圆E方程知其右焦点为(1,0)；由圆C的方程知：圆心为。(1,0),半径为1；当NA CB最小时，则N 4 C P最小，即N A C尸=(,此时|P C|最小；A C 1 1 .,此时COSZACP=H=E=二，.=2；PC P C 2 1 l m nP为椭圆右顶点时，|PCL=J/T =2,解得：机=9，二

15、椭圆E的离心率6 =、=.m 3故答案为：3四、解答题：共 6 小题，共 70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.1 7.己知等比数列 4满足4=44=8.(1)求 凡 的通项公式；记 4的前项和为S“，证明：-4 5,S“+2，6 s,用成等差数列.【答案】（1）a=2t t（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等比数列 a,的公比为“，根据%=4为=8,求 得 的 值，即可求得数列 4 的通项公式；（2）由等比数列的求和公式求得S=2,+|-2,得至I J 5+1=2-2-2,Sn+2=2+3 -2,化简得到-4 5 +6 s“+1 =2s*2，即可求解.【小 问 1 详解】解：

16、设等比数列%的公比为9，因 为%=。1%=8,所以q q 2=a；q =8,解得4=夕=2,所 以%=a/T=2 x 2 T=2 ,所以数列%的通项公式a=2.【小问2 详解】2（1 -2）解：由（1）可得s =-二2=4-A=2+i-2，1-q 1-2SN=2+22,S,I+2=2+3-2,所以-4（2n+I-2）+6（2n+2-2）-2（2n+3-2）=0,所以 4S“+6S“M=2S”+2,即一4 S“，S“+2,6 s“M 成等差数列.1 8.已知双曲线C的焦点在x 轴上，焦距为4,且它的一条渐近线方程为y =（1）求 C的标准方程；（2）若直线/:y=g x l 与双曲线C交于A,8

17、 两 点,求|4 B|.2【答案】（1）土 2=13（2）1 0抠【解析】2 2【分析】（1）焦点在X 轴上，设方程为鼻-1=1（4 0 力 0）根据题意求出。力 即可a-b-（2）设点，联立方程组，消元得一元二次方程，由韦达定理，然后利用弦长公式计算即可【小 问 1 详解】2 2因为焦点在X轴上，设双曲线。的标准方程为鼻-马=1(40 2 0),a b由题意得2c=4,所以c=2,又双曲线C位一条渐近线为y=g x，所以2 =立，a 3又 储+)2=/,联立上述式子解得a =百，b=l,2故 所 求 方 程 为2=1；3【小问2详解】设 A(x，x),B(x2,y2),1 ,y=-x-l2

18、i联立2,整理得一M+3X6=。，1 2 1 4-V =13由 A =3 2-4x(L)x(-6)=1 50,4所 以 玉+=-1 2,x,x2=-24,即|A fi|=J1+k J(X+%)-4%x,-J(-1 2)2-4X(-2 4)=1 0G1 9.已知数列 a“满足-H-+-H =n.2 4 6 2n(1)求数列 ,的通项公式；(2)设 勿=-,求数列也 的前项和S“.a“a“+i【答案】(1)%=2【解析】【分析】（1）根据所给式子得到4+&+色+作差即可得到4=2，（n 2）,再计算力,即可得解；（2）由（1）可得（4 一一 二 ,利用裂项相消法求和即可.n+）【小 问 1 详解】

19、解：因为-H-H-1 =n ,2 4 6 2n所以 之 2 时，+4-H-F 7=n l,2 4 6 2-2两式作差得，/=1,2n所以2 2 时，an=2n,又拉=1时，-=1,得4 =2,符合上式,所以 q 的通项公式为4=2 .【小问2 详解】,1解：由（1）知2=11 1 1 1 1=x-cinan+2x2(+l)4 (+1)4(n+1n4(+1)即数列 ,的前项和s.n4(+1)20.已知圆C 经过点A（0,2）,B（6,4）,且圆心在直线x 3 y 4=0上.（1）求圆。的方程；（2）若平面上有两个点P（-6,0）,Q（6,0）,点M 是圆。上 的 点 且 满 足 胃 =2,求点M

20、的坐标.【答案】（1）（%-4）2+/=2 01 0 4而3 3【解析】【分析】（1）设出圆心，利用点到直线的距离公式即可求得圆的方程.（2）根据已知条件求得M满足的方程联立即可求得M的坐标.【小 问1详解】.圆心在直线1-3 一4=0上，设圆心 C（3 a+4,a）,已知圆。经过点A（）,2）,8（6,4）,则由|C4|=|CB|,得 J（3 a +4 y+（a-2）2 =J（3 a +4-6）2+（如-4解得。=0,所以圆心。为（4,0）,半径 r =|C4|=（4-0）2+（0 2）2 =2后,所以圆C的方程为（工一4+J =20 ；【小问2详解】设 M（x,y）,.,加在圆（7上，（一

21、4）2+2=20,又 P（-6,0）,Q（6,0）,2可得：(x+6)2+y2=4化简得（x 1。1 +v二的,联立-2(x-1 0)2+y24VH21.A B C是边长为2的等边三角形，M为AB边上的动点，且MN BC,O为MN的中点，P为8 c的中点.将A B C沿M N进行折起，使得平面4 W N _ L平面3 O V M.（1）求证：M N L A P；（2）求平面AA/B与平面AMN夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 与5【解析】【分析】（1）根据面面垂直可得AO_L平面8CNM,据此证出A/N_L平面A O P,可得线线垂直；（2）以。为原点，o看,0%,&所 在 方 向 分

22、别 为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系O-x y z,利用向量法求解即可.【小 问1详解】连接0 P,如图，由题意可知，M N/B C,且AW=A N,又。为MN的中点，则A0LM N,而平面4WN_L平面8CNM,且交于MN,AO u平面AMN,所以40_L平面BCM W.因为OB=O C,所以由直角三角形AOB,AOC全等可得A3=AC,故4ABe是等腰三角形，P为边上的中点，则OPLBC,由 可知 又 AO A P =A,AO,APu平面 AOP,则平面A O P,因为A P u平面A O P,所以M/工475.【小问2详解】以。为原点，血,命,以 所在方向分别为 X z轴正方向建立

23、空间直角坐标系。一肛z.设|痴|=2|启|()/1 1)，则(0,0,0),A/(2,0,0),A(0,(),四)，3(1,石-&,0),。(-1,石-&,0),品=(4 0,-疯)，B =(l,6-&，-&),n-A M=0设平面AA始 的 法 向量为n=(x Y z)，则由/32z =0即平面A M B的一个法向量为;=(73,-1,1)，因为y轴与平面A M N垂直，所以平面A A W的一个法向量为j =(o,o),“，t f n-m yj5所以co s =T f =-)I ll rn I 所以平面A M B与平面A M N夹角的余弦值为好.52 222.已知椭圆C：:+二=1 Ca b

24、 0),四点4(2,2),(0,2),a b“(-2,72),8(2,垃)中恰有三点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线/不经过优点且与椭圆C相交于A,B两点，线段A B的中点为M，若Z A M P2=2 Z A B P2,试问直线/是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.2 2【答案】(1)二+2=18 4(2)直线/恒过定点，定点坐标为(0,-g)【解析】【分析】(1)根据题意椭圆过点尸2、巴、巴，代入椭圆方程列出方程组，解之即可求解；(2)根据角、线段之间的数量关系可得4鸟3=0,设直线/方程丫 =+机，联立椭圆方程，利用韦达定理和平面向量的坐标表示可

25、得43+.2）F 2mL 8 j（/7、）（卜4km2k2+(m-2)2=0,求出，”的值，即可得出直线恒过的定点.【小问1详解】由于P,，乙两点关于y轴对称，故由题设知C经过P,，鸟两点,2又 由 三+；4+|匚知，C不经过点Pl,所以点尸2在C上ab2 a2 b一2因此，2解得a2-8,=4.-1-.-a2 b21,22故c的 方 程 为 二+=1.8 4【小问2详解】在 AABP中,NAMP?=2AABP,ZAMP2=NAB巳 +NBP2M,所以从而|2闸=忸 叫,又M为线段A 8的中点，即忸加|=夕4 3|,所 以 区=因此4 4 2 5 =90,从而 A-6 B =0,根据题意可知直

26、线/的斜率一定存在，设它的方程为丫=+机，A(x”y J,B(w，%)，联立y=kx+m尤 2 y 2 消去 y 得（2A +1）+4k/wc+2frr-8 0 ,1 8 4A=（4 h n）2-4（2m2-8）（2k2+l）0,根据韦达定理可得再+七=-4 6九2m2-82F+1 XX2 2k2+所以 A-5 =（X|，M -2（*2，必-2）=（1 +%2肉+4（m一2）（%+x2）+（m-2）2+-含）+（加-2）2所以（1 +F）1 +NL2），4km2k2+（?-2）2 =0,2整理得（/n-2）（3/w+2）=0,解得m=2或加=一 又直线/不经过点（0,2）,所以加=2舍去，于是直线/的方程为y =-|,恒过定点（。,一|）,该点在椭圆C内，满足关于x的方程有两个不相等的解,所以直线/恒过定点，定点坐标为（o,一g）.