2022-2023学年高二数学题型归纳与分阶培优练16等差数列“函数性质”及综合应用（人教A版2019选择性必修第二册）（解析版）.pdf

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1、专 题 1 6 等 差 数 列“函 数 性 质”及 综 合 应 用 目 录【题 型 一】等 差 数 列 前 n 项 和 对 称 性.I【题 型 二】通 项 公 式 线 性(零 点 正 负).3【题 型 三】等 差 数 列 不 等 式 范 围.4【题 型 四】最 值 与 范 围 1：通 项 最 值.6【题 型 五】最 值 与 范 围 2：前 n 项 和 最 值.8【题 型 六】求 和 应 用 1：正 负 相 间 求 和.10【题 型 七】求 和 应 用 2：奇 数 项 与 偶 数 项 和.12【题 型 八】求 和 应 用 3：绝 对 值 型 和.13【题 型 九】求 和 应 用 4：取 整 函

2、数 型 数 列.15【题 型 十】求 和 应 用 5：等 差 裂 项 相 消 型.17【题 型 十 一】求 和 应 用 6；无 理 等 差 型.19【题 型 十 二】数 列 中 函 数 性 质 综 合 应 用.21【题 型 十 三】等 差 数 列 与 三 角 函 数.22培 优 第 一 阶 基 础 过 关 练.24培 优 第 二 阶 能 力 提 升 练.27培 优 第 三 阶 培 优 拔 尖 练.30【题 型 一】等 差 数 列 前 n 项 和 对 称 性【典 例 分 析】在 各 项 不 全 为 零 的 等 差 数 列 4 中，S,是 其 前 项 和，且 邑 36=$刈 8,&=$232,则

3、正 整 数 k=()A.2020 B.2021 C.2022 D.2023 答 案 c析】根 据 等 差 数 列 前 项 和 的 函 数 特 征，即 可 根 据 对 称 性 求 解.【详 解】设 等 差 数 列%的 首 项 和 公 差 分 别 为 4/，则 S“=弓 所 以 S“可 看 成 关 于 的 二 次 函 数，由 二 次 函 数 的 对 称 性 及 邑 016=5刈 8，=S刈 2，可 得-=-一，解 得 左=2022.故 选：C【提 分 秘 籍】基 本 规 律.等 差 数 列 与 函 数 关 系：(1)经 整 理 斯=加+(。|/),则 数 列(小 是 等 差 数 列=通 项 为 一

4、 次 函 数：即 an=kn+b(a,匕 为 常 数)；(2)经 整 理*=1 2+(0 3，数 列 m 是 等 差 数 列 4“为 无 常 数 项 的 二 次 函 数：即 S“=A 2+B(A、8 为 常 数).【变 式 训 练】1.已 知 递 减 的 等 差 数 列%满 足。；=若，则 数 列 也,的 前 项 和 取 最 大 值 时=()A.4 或 5 B.5 或 6 C.4 D.5【答 案】A【解 析】山 a：=G，可 得=-4，从 而 得 S“=。-争，然 后 利 用：次 函 数 的 性 质 求 其 最 值 即 可【详 解】解：设 递 减 的 等 差 数 列 4 的 公 差 为，(d0

5、),因 为 q：=a；,所 以 a；=(q+84)2,化 简 得“小 一 短，所 以 S“=ria,J=-4dn+n2-n=n2-n,对 称 轴 为=因 为“eN+,&0；当”=12时,=0；当 N13时,a0,所 以 5,取 得 最 大 值 时，的 取 值 为 11或 12.3.已 知 等 差 数 列,中，旗|=|4，且 公 差”。，4。0,即 可 得 到 答 案.【详 解】由 等 差 数 列 的 公 差 4。，40。，则 数 列 的 前 项 和 取 得 最 大 值 时 的 值 为 9.故 选：B【题 型 二】通 项 公 式 线 性（零 点 正 负）【典 例 分 析】在 等 差 数 列 4

6、中，S,为%的 前 项 和，q 0,4%0,则 无 法 判 断 正 负 的 是（）A.品 B.兀 C.5,3 D.S14【答 案】B【分 析】根 据 等 差 数 列，,0,4%0,可 以 求 出 d 0,且 必。，%。，6。，从 而 判 断 出 S”，几，儿 的 正 负，选 出 正 确 答 案.【详 解】设 公 差 为 d,因 为 q 0,%。，可 知：d 0,且。,的 0，所 以 4。，从 而 S=116 0,用=S；牝）=6（4+%）不 确 定 正 负，4=1佰；%）=13%0,，4=电 等 次=7（%+应）0。故 选：B【提 分 秘 籍】基 本 规 律 等 差 数 列 通 项 公 式 即

7、 为 一 次 函 数：即 痣=如+6（八 万 为 常 数），具 有 直 线 性 质，当 k 即 公 差 d 不 为 零 时，具 有 单 调 性，且 首 项 的 正 负，还 决 定 是 否 有“零 点。”，即 正 负 项 分 界 点【变 式 训 练】1.数 列 4 中，已 知 4,=2-17,该 数 列 中 相 邻 两 项 积 为 负 数 的 是（）A.6 和%B.%和 C.。8 和 9 D,。9 和 即）【答 案】C【分 析】根 据 题 意 得。以”=（2-17）（2-15）0,进 而 求 出 w 即 可 求 解【详 解】由 题 意 得=（2-17）（2-15）0,解 得 1手 5 17 三，

8、又 eN*,.H,.满 足 条 件 的 相 邻 两 项 为 4,%.故 选：C2.首 项 为-24的 等 差 数 列，从 第 10项 起 为 正 数，则 公 差 d 的 取 值 范 围 是（）A.件+8）B.即 C.串）D.&【答 案】D【分 析】根 据 等 差 数 列 的 通 项 公 式，列 出 方 程 求 解 即 可【详 解】由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 可 得：%=-24+（-l）d,.从 第 10项 开 始 为 正 数，M X X W 解 得 沁.，.公 差 d 的 取 值 范 围 是 加，故 选：D.3.数 歹 打 4,中=5,3%+1=3a“-2（eN）,则 该 数 列

9、中 相 邻 两 项 乘 积 为 负 数 的 是（）A.ab-ay B.C.4 的 D.a9-al0【答 案】C【分 析】结 合 等 差 数 列 的 知 识 求 得 数 列,的 通 项 公 式，从 而 判 断 出 正 确 答 案.【详 解】依 题 意 4=5,3%M=3%-2（”e N）所 以%”二 为 一“川-4=-|，0 7?17所 以 数 列 4 是 首 项 为 4=5,公 差 为 的 等 差 数 列，所 以 4=（+5+；=-；+?,2 17 17 一 由+得 2 5=8.5,所 以 8“）0,%0,则 选 项 不 正 确 的 是（）A.数 列 曳|的 最 小 项 为 第 6项 B.-t

10、 Z 0 D.5“。时，”的 最 大 值 为 5【答 案】D【5 析】根 据 题 意，由 等 差 数 列 的 性 质 及 前 八 项 和 公 式 依 次 分 析 选 项，综 合 即 可 得 出 答 案.【详 解】解：由 题 意 品=岑（4+4 0）=5（6+4）（）,又 0,故 选 项 C 正 确；a,=12+2d 024由%=12，且%0,。，得，4=12+3 4 0,解 得 d 0项 B正 确；由 题 意 当 掇 女 5时，0,当”.6时，。，S=ll6 0时，”的 最 大 值 为 1 0,故 选 项。错 误；由 于 d 0,当 几.6时，0,当 机.11时，5 0,当 破 女 10时，0

11、,%an anS故 数 列 上 中 最 小 的 项 为 第 6 项，选 项 A正 确.故 选：D.a【提 分 秘 籍】基 本 规 律 等 差 女 数 列 关 于 首 项 和 公 差 的 等 式 或 者 不 等 式（不 定 方 程），会 涉 及 到 范 围 的 取 值，大 多 数 情 况 下，其 不 等 式 组 是 老 教 材“线 性 规 划”的 应 用，只 是 改 成 了 解 不 等 式 组 而 已。【变 式 训 练】1.的 前 项 和 为 S.，若 是 公 差 为 4（4 2 1）的 等 差 数 列，则（）A.B.4 之&C.a2 a3a4【答 案】D【分 析】由 已 知 可 得 S“=l+

12、(l)dq,对 于 A B,令 71=2,可 得 卬=而 2,即 幺=公 1,。2由 于 正 负 不 确 定，无 法 比 较 大 小;对 于 CD,令=3,可 得 4+生=2血，即=穹 出，2d令=4,可 得 4+/+%=3 须，即/=(2?1),作 差 法 比 较 卅 2-4,进 而 得 6d到 选 项.【详 解】Q 2 是 公 差 为“(八 1)的 等 差 数 列，其 首 项 为=1。=即 l,J 4anS=1+(-1)小“对 于 A B,当=2 时，S2=ai+a2=(+d)a2,整 理 得：at=da2,即 2=421。2当 4，的 0时，(,；当 4，%0 时，q W%；故 A B

13、错 误；对 于 C D,当=3 时，S 3=q+%+q=(l+2 d)%,整 理 得：a+a2=2da3l 又 出=d%,(d+1)3=2d4,%=-c i-)当=4 时，S4=q+g+/+包=(l+3d)%,整 理 得：6+。2+%=3应 即(2d+i)a7=3da4,：.a4 的 的 4=而，-四 坦 皿 刈 2d12/2/+5储+41+16d(2d+l)(4+l)“22d+d+1-%3d 2d 212d(2d+l)(d+l)2显 然”)V+言+*+看 为 减 函 数,且=1又 dNl,d 1 5,1 1-1-1-+6 2d 3d2于 2 0,即 4 出 之 的/，故 D 正 确;故 选：

14、D2.设 等 差 数 列 4 的 前 n 项 和 为 S,已 知-I)+2017(%-1)=1,(2014-1)3+2017(42014-1)-1,则 下 列 结 论 正 确 的 是()A.2017=2017,%0|4 aAC.S2017=-2017,/oi4 4 D.52017=2017,a2014 0,I 2 4：.m+n=。4-1+。2014-1=0，4+“2014=2,C 2017 z、2017 z、2017 32017=(%+“2017)=2-4+“2014)=Q-x2=2017,又 加+=0 说 明 机,一 正 一 负，而 加 3+2017机=1,+2017n=-l说 明,a4-1

15、 0,a2()l4-1 1 a20l4 o 故 选：D.3.设 函 数=数 列%满 足%+1=N)，若,是 等 差 数 列.X+2,x 3则 4 的 取 值 范 围 是.【答 案】(-8,一 3_-2,1【分 析】作 出 函 数 图 象，讨 论 4 的 范 围，根 据 4M=/(qJ(”sN*),再 讨 论 公 差 的 范 围，判 断 是 否 满 足 等 差 数 列，得 出 答 案.【详 解】画 出 函 数/(x)的 图 象 如 如 图 所 示.当 0 4 一 3时，=/(4)=4 一 4 4 一 7,a,=/(O2)=O2-4-3 时，因 为%是 等 差 数 列，若 其 公 差 d 0,则

16、N*,使 得%2,这 与 a”+i=f(%)=2-a：4 2矛 盾；若 其 公 差 4=0,则%-4-a；+2-q=0,解 得 4=-2或 q=1.则 当 q=-2时，。“=-2为 常 数 列.当 q=l 时，=1为 常 数 列，此 时 q 为 等 差 数 列，符 合 题 意；若 其 公 差 4-3且 4+|4-3,则 等 差 数 列 的 公 差 必 为-4,因 此+|-=-4，2-4-a M=-4,解 得 知=-3(舍 去)或,=2.又 当%=2 时，A”=4*=*+3=-=-2这 与%是 等 差 数 列 矛 盾.综 上 所 述，卬 的 取 值 范 围 是(-8,-3-2,1.故 答 案 为

17、：(-8,-邛-2,1.【点 睛】关 键 点 睛：本 题 考 查 等 差 数 列 与 函 数 的 综 合 问 题，关 键 在 于 运 用 函 数 的 图 象，值 域，以 及 等 差 数 列 的 定 义 及 性 质，讨 论 首 项，公 差 的 范 围，问 题 得 以 解 决.【题 型 四】最 值 与 范 围 1：通 项 最 值【典 例 分 析】数 列。“满 足 4=2,的 二-4,且 对 任 意 正 整 数，有 4+2=2%+1-%+1,则“的 最 小 值 为()A.-16 B.-17 C.-18 D.-19【答 案】D【分 析】构 造 法 求。川-凡 的 通 项 公 式，再 用 累 加 法 求

18、 出%的 通 项 公 式 即 可 求 解.【详 解】由 4+2=2a“+|-+1 得,联 一 n+i=4+1-a“+1,即 3+2-4+1)-(4+。)=1，所 以 数 列。向-%是 以 4-q=-6 为 首 项，1为 公 差 的 等 差 数 列，所 以+1-=-6+(-1)=一 7,所 以(oj-aJ+a4-aJ+L+(-a-i)=-6+(-5)+L+“8=(_逊,r-r；rI(1)(6+8)z?2 15H+14 r-r-1.n 15/?+18 1 2 15 八 所 以 4-4=-=-所 以“=-=-n-n+9,对 称 轴%=9=7.5,所 以 当=7 或 8 时，。“有 最 小 值 为-1

19、9.故 选:D.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 等 差 数 列 或 者 等 差 数 列 前 n 项 和 通 项 公 式 转 化 求 最 值，转 化 为 函 数 求 最 值 与 范 围，要 注 意 对 应 的 自 变 量 是 正 整 数 n,所 以 多 把 自 变 量 限 制 在 正 实 数 或 者 1,+00）内【变 式 训 练】1.等 差 数 列 卬 i 的 前 项 和 为 S,GN*.若 S/20，Si30,70,根 据 公 差 8 0 即 可 得 出 答 案.【详 解】由 题 意 S/20，5/K0 及 5/2=6（。/+。/2）=636+。7），5/5=1307.得。6+470,47

20、0,。6|“7|，且 公 差 d0,所 以 Rd最 小.故 选：B2.已 知 函 数 f（x）=若 数 列%的 前 项 和 为 s“，且 满 足 S,=/（a,-3 4=卬，则 生 的 最 大 值 为（）A.9 B.12 C.20 D.4【答 案】C【分 析】先 得 到 4=苧 吟 及 递 推 公 式（4用+4,）（4向-%-2）=0,要 想 最 大，则 分 两 种 情 况，生 为 负 数 且 最 小 或 出 为 正 数 且 最 大，进 而 求 出 最 大 值.【详 解】S“=W*，当=1时，4=.吟，当 2 2 时,SnT所 以 一 得：%=1 3,整 理 得：（4用+4）（q+1-4-2）

21、=0,所 以+1=一/，或 4+-4=2,当。2，-，“10是 公 差 为 2 的 等 差 数 列，且 1=-10时，。2最 小，“I最 大，此 时 4o=%+8x2=_q1=-a2,所 以（4）面=-8,此 时 4=20；当。3=-4 且 3，即 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 时，出 最 大，%最 大，此 时 Q”=4+8x2=-4+16=%，所 以（%）m x=8,此 时 4=12综 上：4 的 最 大 值 为 20。故 选：Cs3.等 差 数 列 q 的 前 项 和 为 S”.已 知 q=-5,4=T.记 2=7(=1，2,)，则 数 列 也 的()A.最 小 项 为。3 B.

22、最 大 项 为 A C.最 小 项 为 D.最 大 项 为 a【答 案】C【分 析】根 据 题 意 求 得 等 差 数 列 的 通 项 公 式 4=2-7和 前 项 和 S,=2 6，得 到 2=止 也，结 合 4“，可 排 除 A、D,再 求 得 数 列 的 单 调 性，得 到 B 不 正 确，C 正 确.【详 解】由 题 意，设 等 差 数 列 4 的 公 差 为 d,因 为 q=-5,a3=-l,可 得 d=_1_(-5)=2,3-1 2所 以%=-5+(-l)x2=2-7,s,=(6；/)=(一 5|-7)=“2 _6,则 t=n.可 得 打=3-6x3=9也=4 6x4=_ 8,所

23、以 仇/，可 排 除 A、D；设 an 2/2-7 2x3-7 2x4-7，/、x2-6x ri 7.,7、X)=-,xel,+-)1(-,+oo),zx-/M、(2x-6)(2x-7)-(x2-6x)x 2 2,一 7x+21)八.则 7 X)=1-0 玲-=-不 一，因 为 A=(-7)2-4X1X21V0,所 以(2x-7)(2x-7)/”)0，所 以 在 区 间 1,g 和 g,+8)上 都 是 单 调 递 增 函 数，即 当“=1,2,3时，数 列 2 为 递 增 数 列，当 N4,eN+时，数 列 也 卜 也 为 递 增 数 列，其 中 4=1也=也=9也=-8您=一:，475例

24、如 当 九=25时，可 得%=丁 4，所 以 B 不 正 确，C 正 确.故 选：C.【题 型 五】最 值 与 范 围 2：前 n 项 和 最 值【典 例 分 析】5已 知 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列”“的 前 n 项 和 S“，4+%=10,%是 4 和%的 等 比 中 项,则%()A.有 最 大 值 9 B.有 最 大 值 25 C.没 有 最 小 值 D.有 最 小 值-24【答 案】DS【解 析 根 据 条 件 列 出 方 程 组 求 出 首 项 与 公 差，由 求 和 公 式 与 通 项 公 式 得 出 求 最 值%【详 解】设 公 差 为 4 则 有 2q+4d=10q

25、(q+4d)=(4+3d J 5则 S“=9 2 2 J()_/,可 令 z=H_2，可 得 2=1 1 T,则 an 9 25 1)-11-2/?当=1,t=9,/。)=1；当=5,r=1,/(/)=25,可 得/在=1 到=5 递 增;s当=6,t=-l,/（0=-24,n=l,r=3,/（O=-7,可 得/在 6递 增，则 有 an最 小 值-2 4,而 无 最 大 值，故 选：DS|（）M-M2【点 睛】关 键 点 点 睛：利 用 差 数 列 的 通 项 公 式 和 求 和 公 式 可 得=不 7,通 过 令=11-2 un 11 z.n1 gg换 元 可 转 化 为/（。=-；0 一

26、-2）,考 查 函 数 的 单 调 性，注 意 feN*,求 函 数 最 值，属 于 中 档 题.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 与 等 差 数 列 前 n 项 和 有 关 的 最 值，大 致 有 以 下：LS”为 无 常 数 项 的 二 次 函 数：即 S,=A 2+B（4、8 为 常 数）.涉 及 到 最 值 即 可 从 二 次 函 数 图 像 对 称 轴 来 求 解。2.涉 及 到 等 差 数 列 首 项 和 公 差 异 号，则 可 以 从 正（或 者 负 项）和 最 大（小）入 手。Cl）n 2 0,I.当 00,d0且 满 足 一 时，Sm最 大；而+1W0Clm 0,H.当。0,

27、上 0 月.满 足、八 时，S机 最 小.3.涉 及 到 与 1/n有 关，可 以 从 构 造 对 钩 函 数，双 曲 函 数 等 构 造 函 数 入 手。【变 式 训 练】1.已 知 S”是 等 差 数 列”“的 前 项 和，若$238$202。，”2 0 2 0，计 算 1 一 0.“2018”2019厂 匚+-得 到 答 案.,2 0 1 8 2019详 解】S,是 等 差 数 列 4 的 前 项 和，若 S2OI8 s202()0，生。2。0，2=4 4+4+2，故 二，n anan+an+21 c l 1 c l 1 c当(2017 时，0,=-0,”2018。2018 2019 2

28、020”2019。2 0 1 9 a 20204 0 2 1+_J J=0 2 0 1 9+2020 02018”2019 4 2 0 1 8 2 0 1 9 a 2020 2 0 1 9 2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 1 8 a 2 0 1 9 a 2020 2021当“2 2020时，故 前 2019项 和 最 大.故 选：B.2.等 差 数 列 叫 的 前 项 和 为 S“，且 4 0,$5。=。.设 d=a M+4+2(N*),则 当 数 列 也 的 前”项 和 刀,取 得 最 大 值 时，”的 值 为 A.23 B.25 C.23 或 24 D.23 或 25【答 案】D【

29、分 析】先 依 据 条 件 知 等 差 数 列 4 的 前 2 5项 为 正 数，从 第 2 6项 起 各 项 都 为 负 数，所 以 可 以 判 断 也,的 前 2 3项 为 正 数，阳 为 负 数，%为 正 数，从 第 2 7项 起 各 项 都 为 负 数，而 h2i+h25=O,故 也 的 前“项 和 7；取 得 最 大 值 时，的 值 为 2 3或 25.【详 解】4 0，55。=0,.等 差 数 歹 岂 叫 的 公 差 d(；。)=25(包+%,)=0则 5 0，2 6 0，且 I W T W，由 2=4 4+4+2(W N+),知 也 的 前 2 3项 为 正 数，&为 负 数，区

30、 为 正 数，从 第 2 7项 起 各 项 都 为 负 数，而&与 怎 是 绝 对 值 相 等，符 号 相 反，相 加 为 零,:之 后，越 来 越 小，所 以 数 歹()4 的 前“项 和 T”取 得 最 大 值 时，的 值 为 2 3,2 5,故 选 D.3.已 知 数 列,满 足%-q=2,若 不 等 式 a；+a2+-+,V 33恒 成 立，则 n的 最 大 值 为 A.6 B.7 C.8 D.9【答 案】B【解 析】根 据 已 知 判 断 出 勺 为 等 差 数 列，利 用 等 差 数 列 的 前“项 和 公 式 化 简 不 等 式，根 据 一 元 二 次 不 等 式 有 解，判 别

31、 式 大 于 或 等 于 零 列 不 等 式，由 此 求 得 的 最 大 值.【详 解】由 于 2,故 数 列 是 公 差 为 d=2的 等 差 数 列，其 前 项 和 S=叫+当,故 可+%+=-+-a1+可 工 33,即，+()q+-33 W 0,此 不 等 式 有 解，其 对 应 一 元 二 次 方 程 的 判 别 式 即 3 2 2 133V(),(n-7)(3n+19)=(4+2+8+2+L+4*57+2)+2x15=30+(6+4x5；+2)x=i8oo.故 选:D.【提 分 秘 籍】基 本 规 律 形 如“向=(_ l)+f(n),多 可 以 通 过 奇 偶 取，再 二 次 消

32、去，得 到 奇 数 项 或 者 偶 数 项 累 加 法(或 者 跳 项 等 差 等 比 数 列)的 通 项 公 式【变 式 训 练】1.数 列 4 满 足.=(-1)/%+2-1,则 数 列。,的 前 4 8项 和 为()A.1006 B.1176 C.1228 D.2368【答 案】B【分 析】根 据 题 意，可 知。川-(-l)”a“=2-1,分 别 列 出 各 项，再 整 理 得 出 q+为=2,a,+a4=8,a5+a7=2,ab+=2 4,L,a4 5+a47=2,a46+a48=184,uj 知，相 邻 的 奇 数 项 之 和 为 2,相 邻 的 偶 数 项 之 和 为 等 差 数

33、 列，首 项 为 8,公 差 为 1 6,利 用 分 组 求 和 法，即 可 求 出%的 前 4 8项 和.【详 解】解：由 题 可 知，.=(-1广,+2-1,即：1-(-1 广=2-1,则 有：出-4 口，a3+2=3,a4 a3=5,a+a4=l,a6-a5=9,a7+a6=11,aa-,=13,%+%=15,L,“4 7+”4 6=91,“4 8 447=93.所 以，a,+a3=2,a2+a4=8,a5+a7=2,q+4=2 4,L,ai5+a47=2,=184,可 知，相 邻 的 奇 数 项 之 和 为 2,相 邻 的 偶 数 项 之 和 为 等 差 数 列，首 项 为 8,公 差

34、 为 16,设 数 列%的 前 48 项 和 为 5 4 8，则 S&8=4+。2+%+“4+。5+a 6+。45+”46+”47+。4 8，=(4+%+%+%+%5+“47)+(%+“4+。6+“8+0 4 b+”48)=12x2+12x8+与 1 x 1 6=11 7 6,所 以 数 列 4 的 前 4 8项 和 为：1176.故 选：B.2.记 5为 数 列%的 前“项 和，若 4=1,%=2,且 限-4=1+(-1)，+,贝”侬 的 值 为()A.5050 B.2600 C.2550 D.2450【答 案】B【分 析】讨 论 为 奇 数 或 偶 数 时，/对 应 的 数 列 通 项，根

35、 据 奇 偶 数 项 分 组 求 和，即 可 求 的 值.【详 解】当 为 奇 数 时，4.2-4,=2,数 列%,1 是 首 项 为 1，公 差 为 2 的 等 差 数 列：当”为 偶 数 时，%+2-%=，数 列 4.是 首 项 为 2,公 差 为 0 的 等 差 数 列，即 常 数 列.50 x49则 S(x)=(4+/+W+4+4oo)=50 i-x 2+50 x 2=2600.故 选：B.3.已 知 数 列 4 满 足%+2+(1)%=3,q=l,%=2,数 列%的 前 项 和 为 S“，则$3。=()A.351 B.353 C.531 D.533【答 案】B【分 析】根 据 题 意

36、 讨 论”的 奇 偶，当 为 奇 数 时，可 得%+2-%=3,按 等 差 数 列 理 解 处 理,当 N为 偶 数 时，可 得 4+2+凡=3,按 并 项 求 和 理 解 出 来，则 邑 0按 奇 偶 分 组 求 和 分 别 理 解 处 理.【详 解】依 题 意，+2+（-!）=3,显 然，当“为 奇 数 时 有 见+2-%=3,即 有 4-4=3,a5-a3=3,=3,令 乩=4 1，故 b”.b,=3,所 以 数 列 勿 是 首 项 为 1,公 差 为 3 的 等 差 数 列，故=3”-2；当 为 偶 数 时 有 4+2+4=3,即/+%=3,%+。4=3,”2,+2+2=3,于 是,$

37、30=（4+4+%）+（%+%+%0）=（4+4+九）+%+（%+必）+（28+C!3（）=-X15+2+7 X3=330+23=353,故 选：B.【题 型 七】求 和 应 用 2：奇 数 项 与 偶 数 项 和【典 例 分 析】含 2+1项 的 等 差 数 列，其 奇 数 项 的 和 与 偶 数 项 的 和 之 比 为（）2/1+1A.-nc a+1B.nC.nD.n+l2n【答 案】B【解 析】利 用 等 差 数 列 的 前 项 和 公 式 即 可 求 解.【详 解】设 该 等 差 数 列 为%,其 首 项 为 4,前 项 和 为 S“,则 S,广 5+叭 4+限）2（4+/.）2 4+

38、4 向=2+4 2,，.5奇 _+1.故 选：B【提 分 秘 籍】基 本 规 律 H+1含 2+1项 的 等 差 数 列，其 奇 数 项 的 和 与 偶 数 项 的 和 之 比 为.一 丁【变 式 训 练】1.一 个 等 差 数 列 共 有 2 八+1 项，其 奇 数 项 的 和 为 5 1 2,偶 数 项 的 和 为 4 8 0,则 中 间 项 的 值 为（）A.3 0 B.3 1 C.3 2 D.3 3【答 案】C【分 析】利 用 等 差 数 列 前 刘 项 和 公 式,对 奇 数 项 的 和、偶 数 项 的 和 列 式.通 过 等 差 数 列 的 性 质，都 转 化 为 的 形 式，然

39、后 两 式 相 减，可 得 到 的 值.【详 解】中 间 项 为.因 为%=（+7）（+1）=（+1）*=512,5倘=生 产.”=。+产 480,所 以-S儡=512-480=32.故 选 C.2.已 知 数 列 叫 的 前 项 和 为 S“q=l,且 满 足”M,M=2S“，数 列 也 满 足 仇=1 5,=2n,则 数 列 中 第 项 最 小.【答 案】4【详 解】分 析；由 题 可 得 到 数 列 乙 为 等 差 数 列，首 项 为 1,公 差 为 1.可 得 数 列 2 满 hn足=15也 用-2=2 利 用 累 加 求 和 方 法 即 可 得 出.可 得 二，利 用 不 等 式 的

40、 性 质 即 可 得 出.详 解：由 题 2 2 时，2a=25-2s,i=aa+t-aa,；a“*0,化 为%-a,t=2.n=时，=2q,解 得 弓=2.，数 列 a1=l,a2=2的 奇 数 项 与 偶 数 项 分 别 成 等 差 数 列，公 差 都 为 2,q=l,%=2.进 而 得 到 数 列 4 为 等 差 数 列，首 项 为 1,公 差 为 1.,=1+数 列 4 满 足 4=15,bn+i-b=2n,：.n2 时，(一=2(n-l)+(-2)+.+2+l+15=2xv；+15=/I(H-1)+15,n=时.也 成 立.6=n(/i-l)+15.-A=/J-1+2V15-1A=3

41、+A=7.则 数 列,4 J 中 第 4 项 最 a n 4 4%a,J小.即 答 案 为 4.2 23.已 知 数 列%、b,=/一，b,=,其 前 项 和 分 别 为 S“，7”，记 最 接 近 S“-7；2n-l 2+1的 整 数 为 C“，则 C|+C2+coo=【答 案】2550【分 析】根 据 给 定 条 件 利 用 裂 项 相 消 法 求 出 5.一（，探 讨 5.值 的 范 围，确 定 c“的 表 达 式 即 可 计 算 作 答.【详 解】依 题 意,tr n2 2n2 1 八 1 x 1 1 z 1-=-弓-=-(1 H-z)=1-(-2n-l 2+1 4 2-1 2 4/1

42、2-1-2 4 2n-l2+1)则 S 一 4=(4+4+)一(+%+”)=(4 2)+(生 一 区)+(af l-hfl)_n lr/1 1 1 1,1 1、r n n(n+)+(-)1=一+-=-2n l 2/?+1 2 2(2 勿+1)2+11 1 1 _ 2 1 2,n,2+1即 有=-+-77,从 而 有-F 因 此，彳 5一 4 一 丁，S-Tn n n+”+1 S-Tn n 2 2+1 n若 n=2k 1(%N，),Wic=/:=,若=2Z 伏 eN,),则 c“=Z=5，所 以 J+c2+4()0=2(1+2H-b 50)=2550.故 答 案 为：2550【题 型 八】求 和

43、 应 用 3：绝 对 值 型 和【典 例 分 析】已 知 等 差 数 列 4 满 足：同+|出|+=4 一;+。2-;+4 一；3 3 3=a+a2+2+/=72,则 的 最 大 值 为()A.18 B.16 C.12 D.8【答 案】c【分 析】根 据 等 差 数 列 性 质 分 析 题 中 数 列 变 化 规 律，计 算 得 出 结 果.详 解 同+同+=q _ g+a2-g+4=7 2，叫 不 为 常 数 列，且 数 列 的 项 数 为 偶 数，设 为 象(keN*)则，一 定 存 在 正 整 数 人 使 得 4M。或 见。，田 句。不 妨 设/(0,%+，0,即,cii，0 q+(k-

44、l)d a+kdQd0aA 0从 而 得，数 列 叫 为 单 调 递 增 数 列,1八 1 1-1 1at 0,:,ak-2,1%+kd N 根 据 等 差 数 列 的 性 质，为 句-4=4+2-。2=2*-ak=kd二 同+同+=阎+同+|%=%|+4+2+&-4-4 一-ak=k2d=127?72k2=36.n=2k3,eN),满 足 14|+1/I+1 I=14+11+1/+11+14+”=14-2|+1生-2|+1a“-2|=2019,则()A.的 最 大 值 为 50 B.”的 最 小 值 为 50C.的 最 大 值 为 51 D.”的 最 小 值 为 51【答 案】A【分 析】首

45、 先 数 列。,中 的 项 一 定 满 足 既 有 正 项，又 有 负 项，不 妨 设，由 此 判 断 出 数 列 为 偶 数 项，利 用 配 凑 法 和 关 系 式 的 变 换 求 出”的 最 大 值.【详 解】%为 等 差 数 列，则 使 同+&|+|q1=|i+1|+|/+1|+|。“+1|=|%-2用%-2|+|a“-2|=2019,所 以 数 列 4 中 的 项 一 定 有 正 有 负，不 妨 设 4 0,因 为 1all+&卜-=|i+1|+|2+lp-H“+l卜|4-2,&-2 1-an-2=2019为 定 值,a.+I 0 a.+I-20.故 设 c,且，n,解 得 d 3.若

46、 q 0 且 4+1 0,则 4 一%+1=1,同 理 若%。以+10,则 何+卜 闻=1.所 以 力|q|-t,+l|=f+同=所 以 数 列 4 的 项 1=1 1=1 i=k+l i=k+l数 为 24,所 以|q|+&|+|a|=-a1-a2-ak+aM+ak+2+a2k=-2(4+劣+4)+(%+o J=-2 kat+_-d+2kay+2k(2k+l)d2(=A%=2019,由 于 d 3,所 以 2d=29193廿,解 得 人 0【分 析】设”=2k,AeN+,等 差 数 列 的 公 差 为 d,不 妨 设*”八，则 4 0,且 4+140,即 ak0,得 到 即 有 d 2 2,

47、再 根 据 等 差 数 列 的 前“项 和 公 式,求 得 二 d=2021,从 而 得 出 20212 2,即 可 求 解.【详 解】解：由 题 意 知：等 差 数 列 4 满 足|4+同+同=何+1|+同+1|+|%+1|=|q T+E T+L+|a-l|=2021,故 等 差 数 列 不 是 常 数 列，且 4 中 的 项 一 定 满 足 或,且 项 数 为 偶 数，3+1 o设.=2k,kcN：等 差 数 列 的 公 差 为，不 妨 设 z 八，则 q 0,且 4+1W0,HP a,-1,由 华 1之 0,则-l+&d N q+k/N l,即 初 2 2,即 有 4 2 2,则=一 4

48、 一%-L-火+4+i+L+a2kr.k(k l)d.j k k V).2 j reel Zx?|H-+k(ci+kd)4-cl=k d=2021,可 得 202122A2,解 得&=31.7,即 有 II的 最 大 值 为 31,的 最 大 值 为 62.故 答 案 为：62.3.已 知 数 列 4 的 通 项 公 式 为%=|19-2|,n w N：则 其 前 20项 的 和 为.【答 案】202【分 析】利 用 分 组 求 和 直 接 计 算.详 解 由 4=|19一 21,当 4 9 时，4,=19_2”，当“2 10时，。“=2”-19,所 以 S20=4+/+49+40+。“+%o

49、=17+15+1+1+3+21J17；1)X9+0+21)X11=2O2)故 答 案 为：202.2 2【题 型 九】求 和 应 用 4；取 整 函 数 型 数 列【典 例 分 析】国 为 不 超 过 x 的 最 大 整 数，设%为 函 数 x)=xx,xeo,)的 值 域 中 所 有 元 素 的 个 数.若 数 列 的 前 项 和 为 5“，则$2=()M+2JA H B.1 C.吗 D.也 1013 2 4040 1012【答 案】D【分 析】先 根 据 题 意 求 出 q=；*之,一 汽*,进 而 用 裂 项 相 消 法 求 和.【详 解】当=1时，xe(o,l),x=0,x.r=o,故

50、 xx=0,即 q=l,当=2 时，xe0,2),x=O,l,xA-eOvjl,2),故 xx=0,l,即 g=2,当=3 时，X G 0,3),=0,1,2,xx G 0 VJ1,2)J4,6),故 xx=0,l,4,5，即 出=4,以 此 类 推，当 2 2,工 40,)时，区=0,1,2,xxe0 1,2)1 4,6)j(n-l)2,W(n-l),故 山 用 可 以 取 的 个 数 为,1 八 1-+21+1+2+-1=-,2即。=-，当 n=1时 也 满 足 上 式，故=-广 工，w N、_ 2 _ 2 _ 2_2_所 以 a“+2 n2+3n+2(+1)(+2)n+i+20X 2 2