2022—2023学年人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元自测题（含解析）.pdf

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1、人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数 单元自测题一、单选题1.计算sin45。的值等于（）A.-y3 B.2C后2D.B22.2齿30。的值等于（）A.百 B.毡3 V2V z .-2D.123.在 RPABC 中，EJC=90。，AC=4,AB=5,则 cosA 的值为（）3 3A.B.4 5c?D.344.在，ABC中，NC=90 ,若si A=，2则cosB的值为（）A1 B也2 2C.2D.正25.如图，在Rt.ABC 中，ZC=90,cosA=-，3ACA.2 B.36.已知a是锐角，2cos（a+45。）=1,则a的值是A.15 B.307.如图，.A6C的三个顶点都在方格纸

2、的格点上，AA.1 B 15 5则依归的值为（）r372 n V24 4（）C.45 D.60贝（IsinC的值是（）C.-D.亚4 58.如图，电线杆AB的中点C处有一标志物，在地面D 点处测得标志物的仰角为3 2。,若点D 到电线杆底部点B的距离为a 米，则电线杆AB的长可表示为（）2A.2a(0$3 2。米 B.2a,t a n 3 2。米 C.-米sin320D.9.如图，在R L ACB中，NC=9 0，D 是4c的中点，A C =8,二-米tan32tanNCAB =L 则2sinND B A 等 于()B噜c 布一垃 2A-iD-T1 0.如图，在平面直角坐标系中，阳的顶点5在X

3、 轴的正半轴上，A BO =9 0,点A的坐标为（1，班），将t,A B O绕点。逆时针旋转，使点B的对应点3 落 在 边 上,连接A、A ,则线段A 4 的长度是（）A.1 B.2 C.6 D.26二、填空题1 1 .如果c o s A =立，那么锐角A的度数为 ，21 2.2s in 3 0 0 +3 t a n 3 0 =.1 3 .若0 a,培育绿植销售，空地南北边界AB C D,西边界8C_LA 6,经测量得到如下数据，点A在点C的北偏东58。方向，在点D的北偏东48。方向，6C=780米，求空地南北边界A B C D的 长（结果保留整数，参考数据：山 48。1.1,ton581.6

4、）.五、综合题21.如图，小欢从公共汽车站A出发，沿北偏东30。方向走2000米到达东湖公园B处，参观后又从B处沿正南方向行走一段距离，到达位于公共汽车站南偏东45。方向的图书馆C处.B(1)求小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间的最短距离；(2)如果小欢以10 0米/分的速度从图书馆C沿C 4回到公共汽车站A,那么她在15分钟内能否到达公共汽车站？(注：逝,1.414，百a 1.73 2)2 2.如图，在四边形ABC。中，9 0%Z AZ)C =9 0。，AB=6,CD =3,B C的延长线与A D的延长线交于点E.(1)若 N A=60。，求 6c 的长;3(2)若siE=餐,求

5、A D的长.2 3.如图，在平面直角坐标系中，点。为坐标系原点，矩形。RC的边。4,O C分别4k在X轴和y轴上，其中c os/O3 C =,O C =3.已知反比例函数y =(x 0)的图象经5x过3 c边上的中点。，交A 8于点E(1)求人的值；(2)猜想A O C。的面积与A O 6 E 的面积之间的关系，请说明理由.(3)若点P(x,y)在该反比例函数的图象上运动(不与点。重合)，过点P 作尸R，y轴于点R,作P Q，8c所在直线于点。，记四边形C Q P R 的面积为S,求S关于x的解析式并写出x的取值范围.答案解析部分1.【答案】C【解析】【解答】解：sin45=2故答案为：C.【

6、分析】直接根据特殊角的三角函数值进行解答.2.【答案】B【解析】【解答】tan30=且，3贝 ij 2rm30。=毡，3故答案为：B.【分析】利用特殊角的三角函数值求解即可。3.【答案】C.RtllABC 中，口C=90,AC=4,AB=5，故答案为：C.【分析】根据余弦函数的定义，cosA=DA的邻边口斜边即可直接得出答案.4.【答案】A【解析】【解答】解：如图所示,AV ZC=9 0,sinA-,2二 N A =3 0。，Z A+Z B =9 0 ,Z B =60,cosB -c os60。=.2故答案为：A.【分析】根据特殊锐角三角函数值可得口人=3 0。，再根据直角三角形两锐角互余求出

7、D B的度数，进而再根据特殊锐角三角函数值即可得出答案.5.【答案】D【解析】【解答】解：在R t A B C中，ZC=9 0 ,c osA=g,.A C 1-=,AB 3二可设A C =x,则A 3 =3 x,B C =ylAB2-A C2=2y2x，tanBA CB Cx _ /22yf2x 4故答案为：D.Ar 1【分析】根据余弦函数的定义得一上=-，设 AC=x,则AB=3 x,根据勾股定理表示出A B 3B C,进而再根据正切函数的定义即可求出答案.6.【答案】A【解析】【解答】解：2 c os(a+45)=l,c os（a+45。）1 _2又 c o.v 60 =,2.a+45=6

8、0 ,解得a=15,故答案为：A.【分析】由2 c os9+45。）=1可得,公9+45。）=,，利用特殊角三角函数值可得2。+45。=60。，继而得解.7.【答案】A【解析】【解答】解：如图所示，A D =4,DC =3,则AC=JAQ2+CZ）2=5,故答案为：A.【分析】先利用勾股定理求出A C的长，再利用正弦的定义可得si C =4 2=3。A C 58 .【答案】B【解析】【解答】解：BD=a,1Z C D B=3 2。，ABD BD,/.BC=BDt an3 2=aet an3 2 ,.点C是 A B 的中点，AB=2 BC=2 a,t an3 2 .故答案为：B.【分析】利用解直

9、角三角形的方法求解即可。9.【答案】B【解析】【解答】解：过 D作于点E,CD；D是4 c的中点，AC=8,AO=8=，AC=4,2V tanZCAB-,2DF：.tanZCAB=AEBC _ 1I c-2设 DE=a,则 AE=2a,BC=4,DE2+AE2=AD2.即a2+（2tz）2=42,解得a=逑，即。5=述55BD=yCD2+BC2=472，475.7NDA DE 5 V10,sinZDBA-=、=-BD 472 10故答案为：B.【分析】过D作。E 1 A 5于点E,先求出山 NC4B=2 g =gG =L,设0石=。，AE AC 2则AE=2”，BC=4,利用勾股定理可得。B

10、P a2+（2a）2=42,求出a的值，再求出BD=dCD2+5 c2 =4。，最后利用正弦的定义可得475./NDA DE R 而。sinNDBA=-=，=-BD 472 1010.【答案】B【解析】【解答】解：A（1,百），2450=90。,.：OB=1,AB=6,A Q r-二.tan/A 03=j3，OB:,ZAOB=60o,.OAB=30,OA=2OB=2,由旋转的性质可知，AOB=A O A =600 9 OA=OA f.Q4/V是等边三角形，AA=OA=2,故答案为：B.【分析】易得0B=l,AB=百，由正切函数的定义及特殊锐角三角函数值可得LAOB=60,由旋转的性质得OA=O

11、A AOB=DAOA,=60O,故口0 人 人，是等边三角形,根据含30直角直角三角形的性质及等边三角形的性质可得AA，的长度.11.【答案】30【解析】【解答】解：cosA=走，2二锐角A 的度数为30。,故答案为：30.【分析】根据特殊锐角三角函数值即可直接得出答案.12.【答案】1+73【解析】【解答】解：原式=2X1+3X32 3=1 +5/3.故答案为：1 +百.同【分析】根据特殊角的三角函数值可得原式=2x7+3x上，计算即可.2 313.【答案】30【解析】【解答】解：2a=兑60=虫2/.2a=60a=30.故答案为：30.【分析】利用特殊角的三角形函数值可得2a=60。，再求

12、出a=30。即可。14.【答案】9【解析】【解答】解：如图所示ZCAO=6Q,ZBAD=30,ZR4c=90。，由题意知NEBA=30,:.ZEBA=ZBAD，.-.ZABC=30+30=60%在用中，可得 AB=25O=2x3=6,在R/ABC中，可得AC=AB-tan60=6 6，先求出在火/ACO中,A可得 CO=AC sinZCAO=AC-sin60=6 e x 4=9.2故答案为：9.【分析】先求出/归。=30。+30。=60。，可得AB=28D=2x3=6,再利用解直角三角形的方法求出CO=AC sinZCAO=AC-sin600=x 走=9即可。2（万丫.%15.【答案】（1）解

13、：原 式=4-3A/3+-+6X-2/2 3=1 /3；（2）解：原式=_L 交 X百+1 14 2如 4 2【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、0 次幕的运算法则可得原式=（也 户 3 G2+1+6 x 1,然后计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可；2 3（2）根据特殊角的三角函数值可得原式=L 显 x g +1 l，据此计算.4 216.【答案】解：原式=6+2 乂孝-2 拒+9=0+0-2 0+9=9.【解析】【分析】根据绝对值、特殊角三角函数值、二次根式的性质及负整数指数事先化简，再计算加减即可.17.【答案】解：.FB=90。，/4 A B _5 cos NA=-.A

14、C 7；AB=10,，AC=14,B C =VAC2-A B2=V142-102=v%=476.BC的长为4#.【解析】【分析】先根据余弦的定义求出AC的长，再利用勾股定理求出BC的长即可。18.【答案】解：.NC=90,A C =叵,8C=，；AB=724 cli=20，AA C V2 1 *B C 屈 j贝 U c o s A=-=,t a n A=-=-=。3 .AB 2/2 2 A C V2【解析】【分析】先利用勾股定理求出A B 的长，再利用余弦和正切的定义求解即可。1 9.【答案】解：如图，连接C D 并延长，交A 3于点E,B N M由题意可知C E 1 A 8,.四边形C DN

15、 M和四边形DE BN是矩形，:.D E =B N ,C D =M N =1 0m,AE在 Rt A C E 中，t a n a =,CE：.A E =t a n a C E =t a n a（）*+C）=t a n a（）+1 0）.AE在 Rt A D E 中，t a n p =,D EA E=t a n p -DE,:.t a n p D E=t a n a （D E+1 0）,c l l Ot a n a 1 小 小.D E =-1 2.9 m,t a n p -t a n a/.AE=tanp-DE 17.2m,二 AB=A+BE=17.2+L5=18.7mvl9m.答：小瑞家到地面

16、的高度A3为19m.【解析】【分析】连接C。并延长，交A8于点E,先利用解直角三角形的方法求出AE和DE的长，再利用线段的和差求出AB的长即可。20.【答案】解：过D作于。于E,Bi-4C D,：BCLAB,：.BC DE,AB CD,二四边形8CDE为矩形，NACB=58。，AB在 Rt ABC 中，tan58=-,.BC=780 米，to/?581.6,/.AB780 xl.6=1248（米），；ZADE=48,Ar.在 Rt ADE 中，3?48=,.四边形BCDE为矩形，/.DE=BC=18。米,V to/?48l.l,AE780 xl.1 =858（米），CO=3E=AB AE124

17、8 858=390（米），答：AB的长和CD的长分别约为1248米和390米.【解析】【分析】过D作于于E,先利用解直角三角形的方法求出AB780 xl.6=1248,AE780 xl.1 =8 5 8,再利用线段的和差求出C D =B E =A B-A E a 1 2 4 8 8 5 8 =3 9 0 即可。2 1 【答案】（1）解：过点A 作A D 于点D,8位于A 的北偏东3 0。方向，A B =2 0 0 0 米，.4=3 0。，A D =g A B =1 0 0 0（米），答：小欢从东湖公园走到图书馆的途中与公共汽车站之间最短的距离是1 0 0 0 米；（2）解：R.A O C 中，

18、N Z M C =4 5。，4）=1 0 0 0 米，An/.A C =1 0 0 0 及 ”1 4 1 4（米），c o s 4 5.1 4 1 4 =3,/.CE=2CD=6,BC=BE-CE=6y/3-6-3（2）解：sinE=,AB=6,AE=10,3tanE=,4%：CD=3,，DE=4,AD=AE-DE=6.【解析】【分析】（1）先求出N=30。，可得5山30。=1,再结合C0=3,可得2CE=2CD=6,最后利用线段的和差求出BC的长即可；3（2）根据口E=,CD=3,求出。E=4,再利用线段的和差求出4AD=AE 0E=6 即可。23.【答案】（1）解：四边形Q4BC是矩形，:

19、.ZOCB=90,BC 4：.cosZOBC ,OB 5设3C=4x,OB=5x,由勾股定理得，OC2+BC2=OB2，OC=3,.-.9+16X2=25X2.BC=4,OB=5,。是3 c的中点，:.CD=BC=2,2/.。（2,3）,、几 k设 y=一,x把0(2,3)代 入 得，k =6.(2)解：SAOCD=SOBE，k由 题 意 可 知，SROCD=3 =3,。是5 c的 中 点，SocD S&OBD=/SBDC，OBC=OBA,SM BA=SOBC=6 ,上 在 反 比 例 函 数 图 象 上，*SOAE=/=3，SOBE=OBA AOAE=3 ,SOCD=$bOBE*(3)解：当

20、0 v x v 2时;如 图 所 示:.S=x(-3)=6-3 x,X当x 2时，如 图 所 示：ys矩 形RP=CQ.PQ S-x(3 )=3x6,x综上所述，S=63x,(0 x 2)【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可得匚OCB=90。，利用三角函数的概念可设BC=4x,0B=5x,由勾股定理可得x 的值，由中点的概念可得CD的值，表示出点D 的坐标，然V后代入y=x 中就可求出k 的值；k_(2)根据反比例函数系数k 的几何意义可得S OCD=S OAE=2=3,根据中点的概念结合三 角 形 的 面 积 公 式 可 得S OCD=S OBD=5 s BDC，根据全等三角形的性质可得S OBA=S OBC=6,然后根据面积间的和差关系进行计算；6(3)当0 x2时，6CQ=x,PQ=3X,然后根据S 矩 形QCRP=C QP Q进行解答.