2020届黑龙江省哈尔滨市(东北三省四市)高三下学期高考调研模拟数学试题(解析版).pdf

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1、2020届黑龙江省哈尔滨市(东北三省四市)高三下学期高考调研模拟数学试题一、单选题1.已知全集U=1,2,3,4,5,6,7 ,集合4=2,3,5,7 ,6 =1,2,4,6 ,则AC(B)=()A.2,5,7 B.3,5,7 C.3 D.5,7【答案】B【解析】先由已知得到C q 6 =3,5,7 ,再与A求交集即可.【详解】由已知，C，5 =3,5,7 ,故An(G，5)=3,5,7 .故选：B.【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.2.已知复数=-则Z 的虚部为 )/-IA.1 B.-i C.1 D.1【答案】A【解析】分子分母同乘分母的共规复数即可

2、.【详解】2i _ 2i(i +l)_-2 +2i一一(I)(i+l)-2 1故工的虚部为一1.故选：A.【点睛】本题考查史数的除法运算，考查学生运算能力，是一道容易题.3.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中，甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎，个位数字为叶).若甲队得分的中位数是8 6,乙队得分的平均数是8 8,则x+y=()第 1 页 共 2 2 页A.170 B.10 C.172 D.12【答 案】D【解 析】中 位 数 指 一 串 数 据 按 从 小(大)到 大(小)排 列 后，处在最中间的那个数，平均数指一串数据的算术平均数.【详 解】由茎叶图知，甲的中位

3、数为8 0+x =8 6,故x =6：乙的平均数为7 8 +8 2+8 0+y +8 9 +9 1+9 3+9 77=8 8,解 得y =6,所 以x+y =12.故 选：D.【点 睛】本题考查茎叶图的应用，涉及到中位数、平均数的知识，是一道容易题.4.(l +2x)(l +x)5的展开式 中/的 系 数 为()A.5 B.10 C.20 D.30【答 案】C【解 析】由(1+2)(1+)5 =(1+X)5+2式1+)5知，展开式中X。项有两项，一项是(1+x)5中 的F项，另一项是2x与(1+x)5中 含X的项乘积构成.【详解】由己知，(1+2x)(1+j r)5=(1+x)5+2x(1+x

4、)s,因 为Q +x)5 展开式的通项为所以展 开 式 中/的系数为C；+2 G =20.故选：C.【点 睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.5.算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的第2页 共2 2页有系统的数学典籍.其中记载有求“困盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长人与高力,计算其体积V B”的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式V a h相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为()2 2 1 5 7 2 8 3

5、3 7A.B.-C.D.-7 5 0 9 1 1 5【答案】C【解析】将圆锥的体积用两种方式表达，即丫 =3 4/6=+(2)%,解出乃即可.【详解】设圆锥底面圆的半径为r,则丫=4/，又丫=与 7?=与(2/r r)%,3 1 1 2 1 1 23 1 1 1 9 2 8故-(2 rr)zh -n r h ,所以，乃=-=.1 1 2 3 3 6 9故选：C.【点睛】本题利用古代数学问题考查圆锥体积计算的实际应用，考查学生的运算求解能力、创新能力.6.已知公差不为。的等差数列,的前项的和为s“，4 =2,且 吗 此 成 等 比 数列，则 邑=()A.56 B.72 C.88 D.40【答案】

6、B【解析】片=可。9。(卬+2)2=(+8),将 =2代入，求得公差d,再利用等差数列的前项和公式计算即可.【详解】由己知，a;=Oj f l,q =2,故(4 +2 d =q(q +8d),解得d =2或d =O(舍),故a.=2 +(l)x 2 =2 ,S =I%；%).=4(2 +2 x 8)=72.故选：B.【点睛】本题考查等差数列的前项和公式，考查等差数列基本量的计算，是一道容易题.7.下列说法正确的是()A.命题“3%4 0,2 Ao W s m.%”的否定形式是“V x 0,2 x s m xM第3页 共2 2页B.若平面a,p,y,满足a _ L y,夕_1 _/则a/0C.随

7、机变 量;服从正态分布N(1,d)(b 0),若尸(0&o)=o.8D.设x是实数，“x 0”是“1 1”的充分不必要条件X【答案】D【解析】由特称命题的否定是全称命题可判断选项A；a*#可能相交，可判断B选项;利用正态分布的性质可判断选项C：L l=*x l，利用集合间的包含关系可x判断选项D.【详解】命题2%W s i n x。”的否定形式是“V x 0,2 x s i u x，故 A错误：a l/,夕_ L y,则a.p可能相交，故B错误：若尸(0 1)=0.4,则尸(1 4 2)=0 4,所以1-0 4-0 4 1P 记 0)=0.9,所以 c 错误；由 上 1,得 x l,故“x 0

8、”是“1 0,b 0)的右焦点与圆M：(x-2)2+y2=5的圆心重合，且圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦长为2点，则双曲线的离心率为()A.2 B.72 C.y/3 D.3【答案】A【解析】由已知，圆心M到渐近线的距离为J I，可 得 出=丁 二 十，又yja-+b-c =2 =+，解方程即可.第4页 共2 2页【详解】由己知，c=2,渐近线方程为/u土纺，=0,因 为 圆M被双曲线的一条渐近线截得的弦 长 为2应.-2b 2b.所 以 圆 心M到渐近线的距离为 产 _(、历=J”、,尸=丁 b,故a=yjc2-b2=1 ,所以离心率为e=2.a故选：A.【点睛】本题考查双曲线离心率的问题，

9、涉及到直线与圆的位置关系，考查学生的运算能力，是一道容易题.9.已 知4(4,弘)是 圆 心 为 坐 标 原 点。，半 径 为1的圆上的任意一点，将 射 线。4绕点O逆 时 针 旋 转4到06交 圆 于 点8(0,%)，则2以+%的最大 值 为()A.3 B.2 C.Ji D.y/5【答 案】C【解 析】设 射 线。4与x轴正向所成的角为a ,由三角函数的定义得y A=s m a,%,=s i n(a +?)，+=?s i n a +也c o s a，利用辅助角公式计算即可.3 2 2【详解】设 射 线0 A与x轴正向所成的角为a ,由已知，4=c o s a,%=s ui a,xB=c o

10、s(a +,),yB=s i n(a +,)，所以 2%+%=2 s i n a +s i n(a +,)=2 s ui a-s r n a d-c o s t z =s i n a H-c o s a=J3 s i n(a +)J3 2 2 2 2 6当a =g时，取得等号.故选：C.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题，涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识，是一道容易题.第5页 共2 2页1 0.从 集 合-3,-2,T,L 2,3,4 中随机选取一个数记为 1,从 集 合 -2,-L 2,3,4 中随机选取一个数记为，则 在 方 程 三+=1表示双曲线的条件 下,方 程 工+二=1表m

11、示 焦 点 在.V轴上的双曲线的概 率 为(9 8A.-B.1 7 1 7【答 案】A【解 析】设事件A为“方 程 二+工=1表示双曲线”，事 件8为“方 程 三+t=1表示焦m n m n点 在y轴上的双曲线“，分别计算出久 做 外 谢，再利用公 式(s/A)=lk计算即可.【详解】设 事 件A为“方 程+2 2=1表示双曲线”，事 件B为“方 程+2 2=1表 示 焦 点 在y轴m n m n上3 x 3 4-4 x 2 1 7 3 x 3 9的双曲线”，由题意，P(A)=.P(AB)=-=,则所求的概率7 x 5 3 5 7 x 5 3 5为P(6/A)=迹.P(A)1 7故选：A.【点

12、 睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题，涉及到双曲线的定义，是一道容易题.11.2t+1+2,x 0,已 知 函 数/(x)=0a （2,4）八,1 6 k 解得 3 0 5g（4）0故选：B.【点睛】本题考查复合方程根的个数问题，涉及到一元二次方程根的分布，考查学生转化与化归和数形结合的思想，是一道中档题.1 2.已知定义在 0,+8）上的 函 数 满 足f（x）=；/（x+2）,且当xe 0,2）时，#=一/+2.设/团在2-2,2）上的最大值为最（”）,且数列 为 的前项的和为S“.若对于任意正整数不等式A（S.+1）N 2 -9恒成立，则实数攵的取值范围为（）A.0,+）【答案】C【

13、解析】由已知先求出X）皿=2 -*,即a=2-1,进一步可得s“=2 -1,再将所2/1-Q2/1-9求问题转化为&N下一对于任意正整数恒成立，设%=下 一，只需找到数列 c,的最大值即可.【详解】第7页 共2 2页当2一2Kx 2时，则0 0，解得?，令 烁 勺?，考虑到eN*,故有当W 5时，匕,单调递增，当26时，有 c“单调递减，故数列 5的最大值为C e =M=3643所以“d故选：C.【点睛】本题考查数列中的不等式恒成立问题，涉及到求函数解析、等比数列前项和、数列单调性的判断等知识，是一道较为综合的数列即.二、填空题1 3 .若曲线/(x)=a e，-ln x(其 中 常 数0)在

14、点(L f(6处的切线的斜率为1,贝.2【答案】y【解析】利用导数的几何意义，由/=1解方程即可.【详解】12由己知，fx)=aex一一，所以f(l)=a e i l=l,解得“=.x e2故答案为：一.e【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.1 4 .若函数x)=s i n 2.v-c o s 2.v的图像向左平移J个单位得到函数g(x)的图像.O则g(x)在 区 间 一?坐 上 的 最 小 值 为.O O第8页 共2 2页【答 案】【解 析】注意平移是针对自变量X,所 以g(x)=x+2)=2 s in(2 x-2),再利用整812体 换 元 法 求 值 域

15、(最 值)即 可.【详 解】由已知，/(x)=sm2x-/3cos2x=2sin(2,r-)g(x)=/(x+)=382sin2(x+)-=2sin(2x-),又xw-1，孝，故2x-三e -2,二 ,8 3 12 8 8 12 3 32sm(2x-)e-V 3,2,所以 g(x)的最小值为退.故答案为：-6【点 睛】本题考查正弦型函数在给定区间上的最值问题，涉及到图象的平移变换、辅助角公式的应 用，是 一道基础题.1 5.如图所示，在 边 长 为4的 正 方 形纸片A8C。中，A C与8。相 交 于。.剪去AAQ8,将 剩 余 部 分 沿o c，O D折 叠,使。4、0 5重 合，则 以4(

16、6)、C、。、。为顶点的四 面 体 的 外 接 球 的 体 积 为.【答 案】8府【解 析】将三棱锥置入正方体中，利用正方体体对角线为三棱锥外接球的直径即可得到答案.【详解】由已知，将三棱锥置入正方体中，如图所示第9页 共22页8 =4,OA=O C =O D =2 /2 故正方体体时角线长为g v +O C。+O f f =2 册,所以外接球半径为R=n，其体积为：）/?3 =8屁.故答案为：8卡 兀.【点睛】本题考查三极锥外接球的体积问题，一般在处理特殊几何体的外接球问题时，要考虑是否能将其置入正（长）方体中，是一道中档题.r 1 6.已知椭圆C：三+二=1的左、右 焦 点 分 别 为 生

17、，如图A6是过鸟且垂直6 2于长轴的弦，则 必6尼的内切圆方程是_ _ _ _ _ _ _ _.【答案】+3十 八1【解析】利用公式S g町=g/r计算出r,其中/为A 4 8%的 周 长，r为A 4 8心 内切圆半径，再利用圆心到直线A B的距离等于半径可得到圆心坐标.【详解】由已知，A（2,半），5（2,半），尸 式2,0）,设内切圆的圆心为&0）。-2）,半径为r,则S1 A gA=g x A6x 工=g x（A 8 +A F,+6E）xr=；x 4 a x r,故有第1 0页 共2 2页x4 =4y16r，O yf Q解得由|，一 （一2）f =一,或f =一 （舍），所以A 4 S%

18、的内切圆方程为（4丫，4（x+-3+y-=9 故答案为：（x+g）+俨=1.【点睛】本题考查椭圆中三角形内切圆的方程问题，涉及到椭圆焦点三角形、椭圆的定义等知识,考查学生的运算能力，是一道中档题.三、解答题1 7.在A A B C中，M 为8c边上一点，Z B AM=45,c o sZ A A f C =.（1）求 sin 5 ；1 -（2）若M C=-BM ,A C =4,求M C.2【答案】（1）叵；（2）41 0【解析】（1）B =ZA M C-ZBA M ,利用两角差的正弦公式计算即可；（2）设A/C =x,在A A B M中，用正弦定理将AM用x表示，在A 4 C A/中用一次余弦定

19、理即可解决.【详解】（1）c o sN A M C =%,sinZ AMC =-,5所以，sin 5 =sin(Z A A/C -A B A M )=sm Z AMC-c o s Z B A M -c o s Z AMC-sm Z B A M_ 2/立在显二叵=2 r=-i o-(2),：M C=-BM ,2第1 1页 共2 2页，设MC=x,BM=2x,BM AM在A4W中，由正弦定理得，-=,sin 45 sin 62x _ AM:F一 而，T ToA S 2 乔 AM=-x，5v AC2=AM+MC2-2AM-MC cosZAMC，：.MC=x=4.【点睛】本即考查两角差的正弦公式以及正

20、余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.1 8.某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试，从中随机抽取了 20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎，个位数字为叶)：*ttK e 3 3 J IQ R 7 7 S 3 3若分数不低于95分，则称该员工的成绩为“优秀”.(1)从这20人中任取3人，求恰有1人成绩“优秀”的概率；(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图，并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率频率组距160,70)270,80)380,90)第1 2页 共2 2页4 9 0.1 0 0 iHtt估计所有员工的平均分数

21、（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；领 从 所 有 员 工 中 任 选3人，记X表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数，求X的分布列和数学期望.8 3【答案】（1）;（2）0 8 2,分布列见解析，（X）=-【解析】（1）从20人中任取3人共有C；。种结果，恰 有1人成绩“优秀”共 有 种 结果，利用占典概型的概率计算公式计算即可：（2）平均数的估计值为各小矩形的组中值与其面枳乘枳的和；要注意X服从的是二项分布，不是超几何分布，利用二项分布的分布列及期望公式求解即可.【详解】（1）设从20人中任取3人恰有1人成绩“优秀”为事件A.则 P(A)=2o=4 =一,所以，恰 有1人“优秀”的概率

22、为2.G o 1 9 1 9(2)组别分组频数频率频率组距16 0,7 0)211 00.0127 0,80)631 00.03380,9 0)820.0449 0,1 0 0 4150.02第1 3页 共2 2页估计所有员工的平均分为82=82,4 1X 的可能取值为。、八 2,3,随机选取I 人是“优秀”的概率为八 五 三.p（x=o）=a 噎p（x =i）=c1，K4丫3 I 3，4 81 2 5尸5=2、）、=6图丫 45 =11225P（X=3）=X的分布列为X0123P6 41 2 5481251 21 2 511 2 5.数学期望(X)=3 x =g.【点睛】本题考查古典概型的概

23、率计算以及二项分布期望的问题，涉及到频率分布直方图、平均第 1 4 页 共 2 2 页数的估计值等知识，是一道容易题.1 9.已知抛物线C：俨=4.的焦点为尸，过C上一点P（U）。0）作两条倾斜角互补的直线分别与C交于M,N两点，（1）证明：直线M N 的斜率是一 1；（2）若 8|可，|A/N|,|N/|成等比数列，求直线M N 的方程.【答案】（1）见解析；（2）y=-x+l【解析】（1）设（石,其），N（x2,y2）,由已知E w +k心=0,得%+%=-4,代（2）利用抛物线的定义将|MN=8|M尸|N F|转化为（演+公-8.v1x,-4（x1+x;）-4 =0,再利用韦达定理计算.

24、【详解】（1）P在抛物线歹=4 x上，.1 =2,尸（1,2）设M（X，M）,（七,月），y 2 y 2由题可知，kM p+kN/,=Q,7 r+-T=.玉一1 A,-14 4%+2 y2+2=0 ,二,+=-4_ M一,M +K(2)由(D 问可设：/：y=-x +m,则|M N|=-,MF=xl+l,NF =x2+l,二 I MN=8 1 MF|N f I,(/2|.V1-X,|)2=8(X1+1)(X,+1)，即(X+x,)8.工三 4(x1+x;)4 =0 (),第1 5页 共2 2页y =x+m将直线/与抛物线C联立，可得：V-（2 m+4）x+J=o,y =4xA =1 6 m+1

25、 6 0所以 xi+x?=2 m +4 ,Xrj =nr代 入O式，可得帆=1满 足/0,./：y =-x+l.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，在处理直线与抛物线位置关系的问即时，通常要涉及韦达定理来求解，本题查学生的运算求解能力，是一道中档题.2 0.如图，在直角A A O 8中，0 4 =0 5 =2,MOC通过A A O 8以直线Q A为轴顺时针旋转1 2 0 得 到（400=1 2 0）.点。为斜边A8上一点.点M为线段8 C上一点，且=延.3（1）证明：M O J.平面AO5；（2）当 直 线 与 平 面A O 6所成的角取最大值时，求二面角6-8-0的正弦值.【答案】

26、（1）见解析：（2）e3 5【解析】（D先 算 出 的 长 度，利用勾股定理证明OM_LO6,再由已知可得O A 1 O M ,利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）由（1）可得为直线与平面A O 8所成的角，要使其最大，则8 应最小，可得。为A 5中点，然后建系分别求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值,进一步得到正弦值.【详解】1）在A MO5中，ZO BC=3 Q，由余弦定理得O M =y/OB2+BM2_ j /?-2 0B B M-C O S 3 0 =王3：-O Mz+O B-=M BZ,第1 6页 共2 2页，O M 1 OB.由题意可知：O 4 _ L Q 5,O A L O

27、C,O B C O C =O,.Q A_ L 平面 C O B,。用 J L A 5,点。为A B中点.8(0.2,0),C(6，l,0),A(0,0,2),0(0,1)，C D =(-7 1,2,1),丽=(0,1,-1),0 0 =(0,1,1).设平面 C O 5 的法向量G =(x,y,z)，n-CD=0 得j 3 x+2 y+z =0n DB-0 y-z =O令 Z =L 得y=L x =/J，所以平面CDB的法向量1=(J I 1,1),同理,设平面COO的法向量而=(x,y,z),由，m CD=0m O D-0-5/3 x 4-2 y+z =0、y+z=o得令y=i,得z =i,

28、x =立，所以平面c oo的法向量而=中,LT3 3.co s =叵，sm=Ji=也.3 5y 3 5 3 5故二面角6-C -O的正弦值为 士 叵.3 5【点睛】第1 7页 共2 2页本题考查线面垂直的判定定理以及利用向量法求二面角的正弦值，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.2 1.已知函数f(X)=x +co s x (f le R ),/(x)是/(x)的导数.(D当a=l时，令 (x)=/(x)-x+lnx,力(x)为力(x)的导致.证明：万。)在区间0、；存在唯一的极小值点;(2)已知函数y=/(2 x)-；/在O.y上单调递减，求的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)1【解析

29、】(1)设 g(x)=/?(x)=L-co s x,g (x)=+s m x,注意到 g (x)在Xx-上单增，再利用零点存在性定理即可解决:(2)函数y=/(2 x)g x 在0,|上单调递减，则y YO在0,(恒成立，即4K42 ax-s i n2 x-X 40在 O,y 上恒成立，构造函数，(x)=2 aY-s l2 x-x 3,求导讨论心)的最值即可.【详解】(1)由 已 知,f x)=x-sinx,所以(x)=lnx-s i nx,i ,一 i设 g(x)=/f(x)=co s x ,g (x)=+s i nx ,X x-当x e(o怖j时，g (x)单调递增，而g 0,g 且g (

30、x)在(0,：)上图象连续不断.所以g (x)在 o，)上有唯一零点a,当x e(0,a)时，g(x)0；.g(x)在(0,a)单调递减，在(a,单调递增，故g(x)在区间(),/)上存在唯一的极小第1 8页 共2 2页值点，即”(x)在区间(0，1)上存在唯一的极小值点：(2)设奴x)=x-s i nx,x e 0,+o),k(x)=l-co s x N 0,.k(x)在 0,+s)单调递增，奴x)N k(0)=0,即x N s i nx，从而s i n2 x V 2 x,因为函数y=/(2 x)-在o,y上单调递减，4 了 一/./n(x)=lax-s m 2 x -x3 0 1：0.上恒

31、成立，令7(x)=2。-2 co s 2 x-4./=p(x),V s i n2.r 2 x,，p(x)=4 s i n2 x-8 A 0所以一定存在与10,yj,当0 4 x 0,心）在 O,%）上单调递增，?（玉,）7（0）=0与题意不符，舍去.综上，。的取值范围是a 4 1【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值点、不等式恒成立问题，在处理恒成立问题时，通常是构造函数，转化成函数的最值来处理，本题是道较难的题.1-rX=-22.在直角坐标系xO y中，曲线C的参数方程为1；：（/为参数）.点/，（%,儿）第1 9页 共2 2页在曲线C上，点。，）满足加=2x0.=用（1）以坐标原点。为极点

32、，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求动点o的轨迹a的极坐标方程；（2）点A,8分别是曲线g 上第一象限，第二象限上两点，且满足406=5,求1 11 0A1+1 0 6 F的值，7【答案】（1）3 P 2 c os?夕 +4 sin?8 =1 2（2）【解析】（1）由己知，曲线C的参数方程消去，后，要注意x的范围，再利用普通方程与极坐标方程的互化公式运算即可；4 /八、/八万、.，1 3 c os2 6 4-4 sm2 0.设A（g,q）,B+-1 由（i）可得=-*-i-,2）P 1 2,3 c os;f +4 sm2 0.+1 _ I 2）l 2人 相加即可得到证明.至 1 2【详解】A

33、x#-1.，x?+尸=l（x*-1）,由题可知:in=2x0 =6 y omX0 r 2 _ nr -lz 小=十 =l（m *一2）,“4 3y。飞C ：3 c os二 夕+4,sin，8 =1 2（冗6 3abc.【答案】(1)r =3；(2)见解析【解析】(1)由题意，只需找到/(x)=|x+l|-|x-3|的最大值即可：(2)a3b+b3c+c3a 3 a b c O +3,构造并利用基本不等式可得a b cC C l U C C l +(a+b+c)2(a+b+c),即+a+b+c=3.a b c a b c【详解】4,x3(1)/(x)=|x+1 1-1 x-3 1=2x-2,-l

34、 x 3,-4,x-l./(x)的最大值为4.关于X的不等式|x+l|-|x-3|m-2|+m有解等价于工皿(x)=4 4m-2+m,i)当机2 2时，上述不等式转化为4 2?-2+6，解得2W/W 3，(ii)当?2时，上述不等式转化为4 N m+2+m，解得?0,/?0,c 0,ci b+b c+c i 2 3abe 1 H 之 3 a b c-F i-F(a +b +c)=n a +FCa b c a b c第21页 共22页2 xa+2 -xb+2-xc=2(a+b+c)当且仅当a=b=c时，等号成立,b-c-a-.b-c-t rIJJ-F 4-N a+/7+c,-1-H-N 3,a b c a b c所以，alb+b5c+c5 3abc-【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是 一道中档题.第2 2页 共2 2页